Problemas Estabilidad Sistemas Potencia

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONALFACULTAD REGIONAL SANTA FE

SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA

5to Año Ingeniería Eléctrica

2008 Docente Titular: Ing. Julio Cesar Turbay Ayudante: Ing. Germán Gustavo Lorenzón

Estabilidad Transitoria. 1

U N I D A D T E M Á TI C A N º 7 :

E S T U D I O D E E S T A B I L I D A D T R A N S I T O R I A E N L O S S I S T E M A S E L É C T R I C O S D E P O T E N C I A .

1 . E J E M P L O S R E S U E L T O S .

1 . 1 . E J E M P L O U T 7 – 1 .

En el sistema de la Figura E1.1, el generador G1, con una tensión interna Eg =1,15 pu, detrás de la reactancia transitoria Xs =0,9 pu, se encuentra conectado a través de la línea de transmisión, cuya reactancia a la secuencia directa es XL =0,1 pu, a una barra de potencia infinita –es decir, de tensión y frecuencia constante en el tiempo– cuya tensión es V=1 pu. El generador es accionado por una turbina que le entrega una potencia mecánica Pmec =0,75 pu.

G1

1 2

V=1 puPmec=0,75 pu

Eg=1,15 puX=0,9 pu

X=0,1 pu

Figura E1.1.

Notas: 1.- Todos los componentes del sistema carecen de pérdidas.

2.- Todos los valores están dados para una misma base.

Repentinamente sobreviene un cortocircuito trifásico franco en la línea y los relevadores de máxima intensidad ordenan la apertura de los interruptores sacándola de servicio. Una fracción de tiempo más tarde –tiempo durante el cuál el rotor alcanzó los 87º eléctricos– la línea es reconectada y, estando la falla extinguida, el sistema volverá a la “normalidad”. Sin embargo, durante el período de falla, la potencia eléctrica de salida del generador será cero y la potencia mecánica de la turbina –la cuál se mantuvo constante– acelerará el rotor.

Se solicita determine, mediante el criterio de las áreas iguales, si el sistema –reestablecida la línea– perderá, o no, la estabilidad.

1 . 1 . 1 . S o l u c i ó n .

La reactancia total del nexo Generador–Barra Infinita resulta

pu01pu10pu90 ,,,XXX LS

Luego, las potencias de prefalla, falla, y postfalla son:

sen,sen,

,sen

X

VEP

gprefalla

pu151pu

01

1151






pu0pu01

0151

sen

,

,sen

X

VEP

fallagfalla

sen,sen,

,sen

X

VEP

gpostfalla

pu151pu

01

1151

1,15 pu

0,75 pu

P

0 máx=87º

B

A

Figura E1.2. Diagrama Potencia–Ángulo.

Ahora, según se ve en la Figura UT7-1.2, los ángulos 0 y máx valen:

rad71050151

75010 ,

,

,sen

rad4312rad71050151

7501 ,,,

,senmáx

Para conocer si el generador es transitoriamente estable se deben comparar las áreas A y B, las cuales se calculan como sigue:

606007105051817507507500 0

0 ,,,,,,dPA mec

247405181431275051814312151

750151750151

750151

,,,,,cos,cos,

,coscos,,cos,

d,sen,dPsenPB

máxmáx

mecpostfalla

máxmáx

máx máx

Por ser el área B es menor que el área A se concluye que el generador es transitoriamente inestable.

1 . 2 . E J E M P L O U T 7 – 2 .

En la Figura E2.1 se puede observar el esquema unifilar de un sistema en el cual un generador sincrónico está conectado a una barra infinita a través de un transformador y dos líneas paralelas.






Si en la barra infinita se demanda una potencia de 1,0 pu con un factor de potencia igual a 0,95 inductivo, determinar:

a. La tensión interna –detrás de la reactancia síncrona– del generador.

b. La ecuación de la potencia eléctrica entregada por el generador en función de su ángulo .

Además, si la constante de inercia del generador es de 3,0 pu·s:

c. El ángulo crítico –y su correspondiente tiempo crítico– de despeje de falla cuando sobreviene un cortocircuito trifásico en F.

G1

1 2 3

inf

X'd=0,30

Xt=0.10Xl=0,20

Xl=0,10 Xl=0,20

Ffp=0,95 indP=1.0

V=1,0

Figura E2.1. Esquema unifilar del sistema.

1 . 2 . 1 . S o l u c i ó n .

a. La reactancia equivalente del sistema vista desde el interior del generador –o sea, detrás de la reactancia sincrónica– resulta igual a:

520

200100200

200100200100300

3223

3223 ,,,,

,,,,,

XXX

XXXX'XX

FF

FFtdeq

Modelando la demanda como una extracción de corriente constante, se tiene:

º,,,j,,

,j,

V

SI

*

*261805133001

01

33001

Finalmente, la f.e.m. interna del generador vale:

º,,,j,,j,IjXV'E eq 9232813300152001

b. En virtud de los resultados anteriores, la ecuación potencia-ángulo resulta:

sen,sen,

,,sen

X

V'EP

eqe

462

520

01281

c. Hasta aquí son conocidas las condiciones de prefalla (ver punto b), con lo que resta determinar las ecuaciones potencia-ángulo durante la falla y posterior a la liberación de la misma.

Para las condiciones de falla –para una falla trifásica en F–, en primer lugar, se debe hallar el equivalente de Thevenin del sistema visto desde los bornes del generador (barra 1).






1 2 3

infXl=0,10

Xt=0,10V=1,0

Xl=0,20

Xl=0,20

FXl=0,20

Xl=0,20Xt=0,10

Xl=0,10

321 V=1,0

inf

Figura E2.2.

La reactancia de Thevenin vista desde la barra 1 –bornes del generador–, ver Figura E2.2, es igual a:

1670101020

1020,,

,,

,,XTh

Por otro lado, la tensión de Thevenin para la barra 1 (para la red en falla) está dada por la siguiente expresión:

33030

1001

30

1010

202010

20

202010

202010

Tensión de Divisor

Corriente de DivisorInfita barra la por Inyectada Total Corriente

,,

,,

,

,V,

,,,

,

,,,

,,,V

VTh

Por último, para la red en falla, se obtiene el esquema equivalente de la Figura E2.3.

G1

Vth=0,33E'=1,28Xth=0,167X'd=0,30

Gth

Figura E2.3.

Así, la ecuación potencia en función del ángulo de par durante la falla está dada por la siguiente expresión:

sen,sen,,

,,sen

X'X

V'EP

Thd

Thefalla

90401670300

330281

Finalmente, cuando la falla ha sido despejada, la ecuación potencia ángulo de par es la siguiente (ver Figura E2.4):






1 2 3

infXt=0,10 Xl=0,20X'd=0,30

G1

E'=1,28 V=1,0

Figura E2.4.

sen,sen,,,

,,sen

XX'X

V'EP

ltdepostfalla

132200100300

01281

Aplicando el criterio de las áreas iguales, ver Figura E2.5, se tiene:

rad41860462

110 ,

,sen

rad6532rad48870132

11 ,,,

senmáx

Igualando las áreas A y B, las que se calculan como sigue, se obtiene el ángulo crítico de despeje de falla.

000

coscosPPdsenPPA crfallacrmecfallameccr

crmáxmeccrmáxpostfallamecpostfalla PcoscosPdPsenPB máx

cr

P

0

1 pu

2,46 pu

0,904 pu

máx

B

2,13 pu

cr

A

Figura E2.5.






º,,

,,

,cos,,cos,,,cos

PP

cosPcosPPcos

fallapostfalla

máxpostfallafallamáxmeccr

7112rad96619040132

653213241860904041860653211

001

Así, si la falla no es despejada antes de que el ángulo de par alcance los 112,7º el generador es transitoriamente inestable.

Para determinar el tiempo crítico de liberación de la falla se debe integrar la ecuación de oscilación del sistema generador sincrónico–barra infinita. Para esto se recomienda seguir los siguientes pasos:

1. Correr el programa ESTAB para un tiempo de despeje de falla, por ejemplo, igual a un segundo –o mayor, para obtener una curva Ángulo–Tiempo monótona creciente–.

2. En el archivo de salida buscar en la columna correspondiente al ángulo de par el valor correspondiente al ángulo crítico de despeje de falla –en este caso igual a 112,7º–.

3. Luego buscar en la columna correspondiente al tiempo de simulación el valor de tiempo asociado a dicho ángulo (para este caso en particular 0,365 s).

4. Volver a correr el programa ingresando el tiempo crítico antes obtenido. Si el sistema es inestable se puede reducir, por ejemplo, un paso de simulación el tiempo crítico y así, seguramente, el sistema será estable. Está pequeña corrección puede ser necesaria debido a que estamos trabajando con métodos numéricos.

2 . P R O B L E M A S P R O P U E S T O S

2 . 1 . P R O B L E M A U T 7 – 1 .

Para el sistema de potencia de la figura siguiente, un generador con una fuerza electromotriz igual a 1,5 pu –detrás de su reactancia síncrona, Xs=0,9 pu- se encuentra conectado a través de una línea de transmisión de reactancia XL=0,1 pu a una barra de potencia infinita (es decir, de tensión y frecuencia constante) cuya tensión es de 1,0 pu. El generador es accionado por una turbina que entrega una potencia de 0,75 pu.

NOTA: Todos los componentes del sistema carecen de pérdidas.

Repentinamente sobreviene un cortocircuito trifásico franco en la línea y relevadores de protección la quitan de servicio. Una fracción de tiempo más tarde (tiempo durante el cual el rotor del generador alcanzó los 87° eléctricos) la línea es reconectada y, estando la falla extinguida, el sistema volverá a la “normalidad”. Sin embargo, durante el período de falla, la potencia eléctrica de salida del generador era nula y la potencia mecánica de la turbina –la que no ha podido cambiar– acelerará el rotor.

Entonces, se solicita determine, mediante el criterio de igualdad de las áreas, si el sistema –restablecida la línea- perderá o no la estabilidad.






G1

1 2

Pmec=0,75 pu V=1 pu

Eg=1,5 pu

L1

Figura 1.

Respuesta:

El sistema es inestable, pues: la energía acelerante, A1=0,7461, es mayor a la energía frenante, A2=0,5529.

2 . 2 . P R O B L E M A U T 6 – 2 .

El la figura siguiente puede observarse parte de un sistema de potencia compuesto por un generador sincrónico que se conecta a un sistema de potencia mucho mayor (para nosotros representado por una barra infinita), a través de dos líneas de transmisión. Los parámetros de los componentes del sistema son, referidos a bases comunes, los siguiente:

XG=0,2 pu con una f.e.m. interna de 1,2 pu.

XL1= XL2=0,4 pu.

La tensión en la barra infinita es de V=1,0 pu y la potencia mecánica entregada por la turbina al eje del generador de 1,5 pu. Imprevistamente, los interruptores de una de las líneas la sacan de servicio. Así, mientras la potencia mecánica se mantiene constante –consecuencia de la inercia de los mecanismos de regulación de velocidad de la turbina- la potencia eléctrica transmitida habrá disminuido, produciéndose una aceleración del rotor. En esta nueva situación, ¿perderá o no el generador el sincronismo con la red?

1 2

V=1 pu

L2

L1

TG1

Figura 2.

Respuesta:

El sistema conserva el sincronismo, pues: la energía acelerante, A1=0,775, es menor a la energía frenante, A2=0,478.

2 . 3 . P R O B L E M A U T 6 – 3 .






Un generador suministra una potencia de 1,0 pu a una barra de potencia infinita, a través de una red en la cual puede despreciarse la resistencia (ver figura siguiente), cuando se produce una avería que reduce la potencia máxima transferible a 0,4 pu, mientras que antes de la avería esta potencia era de 1,8 pu, y después del despeje de la falla de 1,3 pu.

Mediante el criterio de la igualdad de las áreas determinar el ángulo crítico de eliminación de la avería.

Respuesta:

El ángulo crítico de despeje de la falla es de 55,35°

2 . 4 . P R O B L E M A U T 6 – 4 .

En el sistema generador-barra infinita de la figura siguiente la tensión en la barra infinita es de 1,0 pu y la reactancia del enlace es de 0,3 pu, valores referidos a la potencia nominal del generador. La potencia entregada por el generador síncrónico es de 0,8 pu con una tensión interna de 1,11 pu. La constante de inercia del mismo es de 5MJ/MVA y la reactancia transitoria de 0,2 pu. Despreciando las resistencias, determine la expresión de la ecuación de oscilación.

G1

1 2

f=50 HzV=1 pu

j 0,3 pu

j 0,2 pu

E=1,11 pu

Figura 3.

Respuesta:

sen

dt

d 22,28,00318,0

2

2

2 . 5 . P R O B L E M A U T 6 – 5 .

Un generador tetrapolar de 60 Hz, 20 000 kVA y 13,2 kV tiene una constante de inercia H de 9 kWs/kVA. Determinar: a) La energía cinética almacenada en el rotor a la velocidad sincrónica y, b) La aceleración, si la potencia mecánica en el eje es de 19 700 kW y la potencia eléctrica entregada a la red es de 16 000 kW. Desprecie la pérdida de potencia por rozamiento, Efecto Joule, etc..

Respuesta:

a) 180 000 kJ

b) 1,9373 radmec/s2

2 . 6 . P R O B L E M A U T 6 – 6 .






La energía cinética almacenada en el rotor de una máquina sincrónica de 50 MVA, 6 polos y 60 Hz, es de 200 MJ. La entrada a la máquina (en el eje) es de 25 MW, cuando entrega (a la red eléctrica) 22,5 MW. Calcule la potencia de aceleración y la aceleración.

Respuesta:

a) 2,5 MW

b) 0,785 radmec/s2

2 . 7 . P R O B L E M A U T 6 – 7 .

Un motor sincrónico capaz de desarrollar 500 MW de potencia opera a un ángulo de potencia de 8°. ¿Cuánto puede incrementarse repentinamente la potencia en el eje sin que se pierda la estabilidad? Plantee la ecuación que conduzca a la solución.

Respuesta:

099,0cos3 111 sen

2 . 8 . P R O B L E M A U T 6 – 8 .

Un generador de 60 Hz que posee una constante H de 5 MJ/MVA, suministra el 50 % de la potencia que es capaz de generar por una línea de transporte a una barra infinita. Se produce un fallo que aumenta la reactancia entre el generador y la barra infinita a un 400 % del valor anterior al fallo. Una vez aislado el fallo, la potencia máxima que se puede suministrar es del 75 % del valor original máximo. Determinar: a) el ángulo crítico de corte y, b) en base al listado de computador adjunto, el tiempo crítico de corte.

-CURVA DE OSCILACION-

t(s) (grad) (rad/s) (rad/s2)

-------------------------------------

0.00000 30.00000 0.00000 0.00000

0.00500 30.00000 0.03534 14.13717

... ... ... ...

0.30500 64.99856 3.83040 10.30791

0.31000 66.10326 3.88175 10.23270

0.31500 67.22263 3.93273 10.15976

0.32000 68.35655 3.98336 10.08925

0.32500 69.50493 4.03363 10.02135

0.33000 70.66766 4.08358 9.95620

0.33500 71.84465 4.13320 9.89399

0.34000 73.03581 4.18253 9.83488






0.34500 74.24106 4.23156 9.77903

0.35000 75.46032 4.28033 9.72662

... ... ... ...

Respuesta:

a) 69,86º

b) 0,329 s

2 . 9 . P R O B L E M A U T 6 – 9 .

Para el sistema de la figura se producen los eventos siguientes:

El sistema se encuentra funcionando según los datos del esquema,

A t=0 s se produce una falla trifásica en los bornes del interruptor del lado del enlace,

A t=0,1 s el interruptor se abre despejando una falla. En este momento, ¿qué ángulo de par tiene el rotor del generador?

G1

1 2

j 0,124 puE=1,04 pu

H=23,04 sf=50 HzPm=6 pu t=0,1s

Figura 4.

Respuesta:

El ángulo de par es de 60,30°

2 . 1 0 . P R O B L E M A U T 7 – 1 0 .

El sistema de potencia de la figura siguiente representa un simple sistema donde dos líneas de transmisión idénticas enlazan una barra infinita con un motor sincrónico. Dicho sistema no función normalmente arrastrando el motor con una carga que es el 35 % de la máxima transmisible por el enlace, cuando se produce una falla trifásica en una de las líneas y próxima a la barra Terminal del motor.

La falla subsiste hasta que los relevadores de protección de la línea la quitan de servicio.

A todo esto, el rotor del motor sincrónico se atrasó hasta los 47º.

Ahora, con el enlace constituido por una sola línea y sin haber variado la carga del motor, ¿conservará este la estabilidad?






inf

1 2

Interruptor

MS

Falla

Figura 5.

Respuesta:

El sistema es transitoriamente inestable.

2 . 1 1 . R O B L E M A U T 7 - 1 1 .

Una máquina sincrónica que opera a 60 Hz se conecta a una barra infinita a través de un transformador y un par de líneas de transmisión, como se observa en la figura que sigue.

2

V=1 pu

L1

L2 infT

G1

1 3

Figura 6.

La tensión de la barra infinita es de V=1 pu. La reactancia transitoria de eje directo de la máquina es de 0,20 pu, la reactancia del transformador es de 0,40 pu, todas referidas a la potencia nominal de la misma.

Inicialmente, la máquina sincrónica, está entregando a la barra infinita una potencia de 0,80 pu, con una tensión detrás de la reactancia transitoria de 1,111 pu. La constante de inercia es de 5 MJ/MVA. Se desprecian todas las resistencias.

Determine la ecuación de oscilación de la MS.

Respuesta:

sen

dt

d 22,28,00265,0

2

2

2 . 1 2 . P R O B L E M A U T 7 - 1 2 .

En un sistema como el siguiente, el interruptor, Is, abre intempestivamente durante 0,25 s, cuando el generador, G, estaba entregando 10 MW al sistema. Averigüe si al volver a cerrar el interruptor el generador podrá o no mantener el sincronismo con el resto del sistema. Los parámetros de los componentes del sistema son los siguientes:

Generador: 15 MVA, 13,6 kV, 60 Hz, EY=1,055 pu, X’d=0,33 pu, H=5s

Línea: j 0,11 pu

V=1,9 pu






Referidos a la potencia y tensión nominal del generador.

1 2

IrIsGS inf

VLE

Figura 7.

Respuesta:

El sistema es transitoriamente estable.

2 . 1 3 . P R O B L E M A U T 7 - 1 3 .

En el sistema generador-enlace-barra infinita siguiente se produce una falla trifásica en el extremo transmisor de una de las dos líneas de transporte. La misma es despejada –por los interruptores ubicados en sus extremos– después de un cierto tiempo, quedando en servicio sólo la restante.

Si previo a la falla el generador estaba entregando a la barra infinita, vía el enlace, una potencia activa de 4 pu, ¿cuál será el ángulo crítico de despeje de la falla?.

G1

3 21

inf

3X=6,8%

X=6,8%

X=1,8%X=1,3%

V=0,951 puV=1,04 pu

X=5,1%

P=4 pu

Figura 7.

NOTA: valores dados en bases comunes.

Respuesta:

65,23°

2 . 1 4 . P R O B L E M A U T 7 - 1 4 .

Un turbogenerador de 4 polos, 60 Hz, 500 MVA, 22 kV y H=7,5 MJ/MVA, está entregando su potencia aparente nominal con un factor de potencia de 0,8 en retraso, cuando una falla en la red reduce su potencia eléctrica de salida en un 40 %. ¿cuál será el par acelerante y la aceleración mecánica que experimentará su rotor en ese primer instante?

Respuesta:

160 MW 4,021 radmec/s2

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