Actividad 1.2

Problemas de razonamiento

Áreas y volúmenes

La figura adjunta es el plano de un área recreativa que se va a construir al oriente de la ciudad. Tiene la forma de un cuadrado de área igual a 7225 metros cuadrados. El semicírculo de la derecha está destinado a una alberca con área de regaderas y espacios para tomar el sol; las restantes áreas, a juegos infantiles, espacios con mesas y sillas para los visitantes, y un área verde. Los límites del área verde son: el espacio para la alberca, parte de una diagonal del cuadrado, y un cuarto de círculo con centro en el vértice B. Determina la cantidad de pasto en rollo que se debe comprar para colocar en dicha área verde.

Solución 1- Área de triángulos- Área de un círculo- Teorema de Pitágoras

Calcular la dimensión de los lados que conforman el cuadrado, obteniendo la raíz cuadrada del área total = 7225

Entonces, la dimensión de un lado del cuadrado ABCD, corresponde a la dimensión del radio del círculo con centro en el vértice B. Usando la fórmula para calcular el área de un círculo , obtener el área del círculo con centro en el vértice B.

1

2

Como el área del circulo que pertenece a la parte sombreada está limitada por la octava parte de ésta, el área total del círculo con centro en el vértice B, es dividida entre 8.

Por otra parte, cierta parte del semicírculo de la derecha limita la parte sombreada. Para obtener su área, se utiliza la fórmula, en donde:

3

4

Para obtener el área de la pequeña parte del semicírculo que no pertenece a la octava parte del círculo con centro en el vértice B, se dibuja una línea del punto F al punto C, formando así un triángulo escaleno isósceles. Para obtener la dimensión de su base y la altura, se debe aplicar el teorema de Pitágoras, donde:

5

Entonces, aplicando la fórmula para calcular el área de un

triángulo , tenemos que:

Así, restamos el área del triángulo BFC al semicírculo. De ésta

manera se obtienen dos áreas; para obtener la que nos

interesa, sólo se divide al área sobrante del semicírculo entre

dos.

6

7

Finalmente, ésta última área calculada se resta al área de la

octava parte del círculo con centro en el vértice B.8

Solución 2- Sector circular- Segmento circular

Calcular la dimensión de los lados que conforman el cuadrado, obteniendo la raíz cuadrada del área total = 7225

Calcular el área del sector delimitado por la circunferencia con centro en el vértice B, el cuadrado ABCD y la diagonal DB, utilizando la fórmula para obtener el área de un sector circular:

Entonces,

1

2

Calcular el área del segmento delimitado por el cuadrado ABCD y la

cuarta parte del semicírculo, utilizando la fórmula para obtener el

área de un segmento circular:

Calcular el área del sector formado:

Donde:

3

Calcular el área del triángulo formado:

4

Finalmente, para obtener el área de la parte

sombreada, se resta el área del sector circular de la

octava parte del circulo con centro en el vértice B y el

segmento formado en el semicírculo, y tenemos:

5