Universidad Autónoma de Baja California

Facultad de Ciencias Químicas e Ingeniería

Investigación de Operaciones II

Tarea 5

Carpeta

Ing. Alma Delia Corrales Orozco

Arriola Alcántara Esther de Guadalupe 277959

Tijuana B.C. México

22 de marzo del 2011

1.- Un departamento a dispuesto 2 millones de dólares de su prosupuesto general para la compra de material informático con el que se compraran computadoras, impresoras y programas, estos pueden ser adquiridos a un costo por unidad de 125,000 , 76, 000 y 120, 000 todo en dólares respectivamente. Se ha decidido que han de adquirirse al menos 5 computadoras y 2 impresoras. Debido a los costos de mantenimiento se ha decidido también no comprar más de 5 impresoras.Por acuerdo del departamento el rango en el que han de variar la proporción de programas a ordenadores a de estar entre 1/12 y ½ y el objetivo es maximizar la utilidad total de la compra de donde las actividades individuales están dadas como 2,3 y 1.Resolver el problema planteado.

2 millones Variable Costo Necesidad RestrinccionComputadoras X1 125 000 5Impresoras X2 76 000 2 No+ de 5programas X3 120 000 + 1/12 - 1/2

Max Z = 125, 000 x1 + 76, 000 x2 + 120, 000 x3S.A:

2 x1≥ 53 x2≥ 23 x2 ≤5X3≥ 1/12 x1X3 ≤ ½ x1 X1 + x2 + x3 ≤ 2, 000, 000

X1, x2, x3 ≥ 0

2.- Una empresa desea planear su política de producción/inventario para los meses de agosto, septiembre, octubre y noviembre. La demanda estimada del producto para esos meses es de 500, 600, 800 y 1,000 unidades respectivamente. En la actualidad la capacidad de producción mensual es de 600 unidades con un costo de 2, 500. la administración ha decidido instalar un nuevo sistema de producción con capacidad mensual de 1, 100 unidades a un costo por unidad de 3,000 sin embargo el nuevo sistema no puede ser instalado hasta noviembre. Supóngase que el inventario inicial es de 250 unidades y que durante cualquier mes dado se puede almacenar a los uno 450 unidades, pero si el costo mensual por unidad por mantener el inventario es de 300 minimizar el costo total de producción e inventario. Suponer que se debe satisfacer la demanda y se requiere obtener 100 unidades en inventario final de noviembre.

Mes Variable DemandaAgosto X1 500Septiembre X2 600Octubre X3 800Noviembre X4 1,000

Min Z = 500 x1 + 600 x2 + 800 x3 + 1000 x4S.A:

600(x1+x2+x3+x4) = 2, 5001100(x4) = 3,000250(x1+x2+x3+x4) + 400 = 300X4 = 100

3.- Max Z= 10 x1 +x2 S.A:

X1 + 6x2 ≤ 5012x1 +x2 ≤60

X1, x2 ≠ 0

# Ec Z VB X1 X2 X3 X4 LD0 1 Z -10 -1 0 0 01 0 X3 1 6 1 0 502 0 X4 12 1 0 1 600 1 Z 0 -1/6 0 5/6 501 0 X3 0 71/12 1 -1/12 452 0 X1 1 1/12 0 1/12 50 1 Z 0 0 2/71 59/71 3640/711 0 X2 0 1 12/71 -1/71 540/712 0 X1 1 0 -1/71 6/71 310/71

Z= 3640/71 = 51.26X2 = 540/71 = 7.60X1 = 310/71 = 4.36

4.- Max Z = 2x1 + 10x2 S.A.:

2x1 + x2 ≤65x1 + 4x2 ≤20X1, x2 ≥ 0

# Ec Z VB X1 X2 X3 X4 LD0 1 Z -21 0 X3 22 0 X4 50 1 Z1 0 X32 0 X2

5.- Sacar el Dual de Max Z= 10 x1 +x2 Min Q = 50 y1+60y2 S.A: S.A:

X1 + 6x2 ≤ 50 -1(y1+12y2≥10)12x1 +x2 ≤60 -1(6y1+y2≥ 1)

X1, x2 ≠ 0Min Q = 50y1+60y2S.A:

-y1 - 12y2 ≤-10-6y1 - y2 ≤-1Yi, y2 ≥ 0

#ec Q VB Y1 Y2 Y3 Y4 LD0 -1 Q 50 60 0 0 01 0 Y3 -1 -12 1 0 -102 0 Y4 6 -1 0 1 -10 -1 Q 0 155/3 0 25/3 -25/31 0 y3 0 -71/6 1 -1/6 -59/62 0 Y1 1 1/6 0 -1/6 1/60 -1 Q 0 0 310/71 540/71 -3640/711 0 Y2 0 1 -6/71 1/71 59/712 0 Y1 1 0 1/71 -12/71 2/71

Q= 3640/71Y2= 59/71Y3= 2/71

X = 7.5Y = 16.25Z = 1262.5

6.- Método de Ramificación o acotamiento Max Z = 60 x + 50yS.A:

2x + 4y ≤ 803x + 2y ≤ 55X ≤ 16 X = 7.5 Y ≤ 18 Y = 16.25

X,y = 0,1,2… enteros Z = 1262.5

X ≤ 7 X ≥ 8

Y ≤15 Y≤16

X ≤ 8 X ≥ 9 X ≤ 7 X ≥ 8

Solución óptima: X = 9, Y = 14, Z = 1, 240

X = 7Y = 17Z = 1270

X = 7Y = 16.5Z = 1245

X = 8Y = 16Z = 1280

X = 8Y = 15.5Z = 1255

X = 10Y = 15Z = 1350

X = 8.33Y = 15Z = 1250

X = 7.66Y = 16Z = 1260

X = 8Y = 16Z = 1280

SE CICLAX = 8Y = 15.5Z = 1255

X = 9Y = 15.5Z =1315

X = 9Y = 14Z = 1240

X = 8Y = 16Z = 1280

7.- Max Z = 8x + 7yS.a:

2x +0.5 y ≤124x + 7y ≤36

x, y = 0,1 ,2 3…. enteros

#ec Z VB X1 X2 X3 X4 LD0 1 Z -8 -7 0 0 01 0 X3 2 0.5 1 0 122 0 X4 4 7 0 1 360 1 Z 0 -5 4 0 481 0 X1 1 0.25 ½ 0 62 0 X4 0 6 -2 1 120 1 Z 0 0 7/3 5/6 581 0 X1 1 0 7/12 -1/24 5.52 0 X2 0 1 -2/6 1/6 2.

Z= 58X= 5.5

Y=2

8.- Max Z = 5x +7yS.a:

3x +8y ≤ 246x + 6y ≤ 38

x, y = 0,1 ,2 3…. enteros

#ec Z VB X1 X2 X3 X4 LD0 1 Z -5 -7 0 0 01 0 X3 3 8 1 0 242 0 X4 6 6 0 1 380 1 Z -19/8 0 7/8 0 211 0 X2 3/8 1 1/8 0 32 0 X4 15/4 0 -3/4 1 200 1 Z 0 0 2/5 19/30 101/31 0 X2 0 1 1/5 -1/10 12 0 X1 1 0 -1/5 4/15 16/3

X= 16/3Y= 1

Z= 101/3

No tiene solución factible porque se cicla.

9.- Una agencia de publicidad esta tratando de terminar el número de anuncios que se debe comprar en cada una de las 2 revistas ha recopilado los siguientes datos:

La agencia quiere llegar por lo menos a 160, 000 hombres y a 330,000 a un costo mínimo.

a) elaborar la función objetivo y las restricciones para este problema de programación lineal.

b) Con ramificación y acotamiento encuéntrese la solución óptima.

Min Z = 3 000 X1 + 4 000 X2S.A:

40, 000 X1 + 40, 000 X2 ≥ 160, 00030, 000 X1 + 11, 000 X2 ≥ 330, 000

X1, X2 = 0,1,2… enteros

La solución da en enteros, no es necesario hacer ramificación y acotamiento.Solución óptima es: X= 11 Y= 0 Z= 330 00

10.- Considere el siguiente problema de maximización de utilidades Max Z = X1 + 5X2 + 7 X3 + 3 X4S.A:

7X1 + 3X2 + 2X3 + 4X4 ≤ 158 X1 + 2X2 + 3X3 + 5 X4 ≤ 17X1 ≤ 4

X2 ≤ 4X3 ≤ 1 X4 ≤ 1

X1, X2, X3, X4 todos enteros

#ec VB X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 LD0 Z -1 -5 -7 -3 0 0 0 0 0 0 01 X5 7 3 2 4 1 0 0 0 0 0 152 X6 8 2 3 5 0 1 0 0 0 0 173 X7 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 44 X8 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 45 X9 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 16 X10 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 10 Z -1 -5 0 -3 0 0 0 0 7 0 71 X5 7 3 0 4 1 0 0 0 -2 0 132 X6 8 2 0 5 0 1 0 0 -3 0 143 X7 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 44 X8 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 45 X3 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 16 X10 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 10 Z -1 0 0 -3 0 0 0 5 7 0 271 X5 7 0 0 4 1 0 0 -3 -2 0 12 X6 8 0 0 5 0 1 0 -2 -3 0 63 X7 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 44 X2 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 45 X3 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 16 X10 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 10 Z 4.25 0 0 0 0.75 0 0 2.75 5.5 0 27.751 X4 1.75 0 0 1 0.25 0 0 -0.75 -0.5 0 0.252 X6 -0.75 0 0 0 -1.25 1 0 1.75 -0.5 0 4.753 X7 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 44 X2 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 45 X3 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 16 X10 -1.75 0 0 0 -0.25 0 0 0.75 0.5 1 0.75

X1= 0X2=4X3=1

X4=.25Z=27.75

No tiene solución óptima

11.- Min Z = x1 + 3x2 +5x3S.a:

X1+x2+x3 ≥6.53x1 + x2+ 4x3 ≥9.5X1 ≤1 X2 ≤2

X3 ≤ 4X1,X2,X3 todos enteros

MAXIMIZAR: -1 X1 -3 X2 -5 X3 + 0 X4 + 0 X5 + 0 X6 + 0 X7 + 0 X8 + 0 X9 + 0 X101 X1 + 1 X2 + 1 X3 -1 X4 + 1 X9 = 6.53 X1 + 1 X2 + 4 X3 -1 X5 + 1 X10 = 9.51 X1 + 1 X6 = 11 X1 + 1 X7 = 20 X1 + 1 X3 + 1 X8 = 4X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7, X8, X9, X10 ≥ 0

Z = 18.1666666667 X1 = 1 X2 = 5.16666666667 X3 = 0.333333333333

12.- Max Z = 5x1+3x2 + x3S.a:

X1+ x2+ x3 ≤ 63x1 + x2 + 4x3 ≤ 9X1 ≤ 1

X2 ≤ 1 X3 ≤ 4

X1,X2,X3 ≥0, todos enteros

Z = 9.25X1 = 1X2 = 1X3 = 1.25

13.- Max Z = x1 +x2S.A:

7X1 – 5X2 ≤ 7-12 X1 + 15X2 ≤7

X1,X2 = 0,1,2,3 enteros

X= 3.11Y= 2.95Z= 6.1

14.- Una empresa de bienes raíces. Peterson & Johnson analiza 5 proyectos de desarrollo posibles. La siguiente tabla muestra las ganancias a largo plazo estimadas (valor presente neto) que generaría cada proyecto y la inversión requerida para emprenderlo, en millones de dólares.

Proyecto de desarrollo

1 2 3 4 5Ganancia estimada 1 1.8 1.6 0.8 1.4

Capital requerido 6 12 10 4 8

Los propietarios de la empresa Dave Peterson y Ron Johnson reunieron $20 millones de capital de inversión para estos proyectos. Ellos quieren elegir la combinación de proyectos que maximice la ganancia total estimada a largo plazo (valor presente neto) sin invertir mas de$20 millones.

a) Formule un modelo de PEB para este problema.

b) Muestre el modelo en una hoja de cálculo de Excel.c) Use la computadora para resolver este método.

Max Z= X1+1.8X2+1.6X3+0.8X4+1.4X5Sujeto a:

6X1+12X2+10X3+4X4+8X5<=20 X1, X2, X3, X4, X5 variables binarias.

Max X1 X2 X3 X4 X5

Z 1 1.8 1.6 0.8 1.43.4

X 1 0 1 1 0

R1 6 12 10 4 8 <= 20 20

Se debe invertir e los proyectos 1,3 y 4.

15.- El consejo directivo de General Wheels Co. Estudia 7 grandes inversiones de capital. Cada inversión se puede hacer solo una vez. Estas inversiones difieren en la ganancia estimada a largo plazo (valor presente neto) que generaran, así como la cantidad de capital requerido. Como se muestra en la siguiente tabla (en millones de dólares).

Oportunidad de inversión

1 2 3 4 5 6 7Ganancia estimada 17 10 15 19 7 13 9

Capital requerido 43 28 34 48 17 32 23

Se dispone de $100 millones de dólares como capital total para estas inversiones. Las oportunidades de inversión 1 y 2 son mutuamente excluyentes. Lo mismo que 3 y 4. Más aun la oportunidad 3 o la 4 no se pueden aprovechar a menos que se invierta en una de las primeras opciones. No existen restricciones de este tipo sobre las oportunidades de inversión 5, 6 y 7. El objetivo es elegir la combinación de inversiones de capital que maximice la ganancia estimada a largo plazo (valor presente neto).

a) Formule un modelo de PEB para este problema.b) Use la computadora para resolver este método.

Max Z= 17X1+10X2+15X3+19X4+7X5+13X6+9X7Sujeto a:

43X1+28X2+34X3+48X4+17X5+32X6+23X7<=100X1+X2<=1X3+X4<=1X3<=X1+X2X4<=X1+X2X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7 variables binarias.

Se invierte en los proyectos 1.3y7.

16.- Farmville es una ciudad pequña con unos 20,000 habitantes. El consejo de la ciudad está en vías de desarrollar una tabla equitativa de impuestos urbanos. La base impositiva anual para la propiedad catastral es $550 millones. La bases impositivas anuales para alimentos y medicinas es $35 millones, y para ventas en general es $55 millones. El consumo local anual de gasolina se estima en 7.5 millones de galones. El consejo ciudadano desea establecer las tasas de impuestos basándose en cuatro metas principales.

1- Los ingresos impositivos deben ser $16 millones, cuando menos, para satisfcer los compromisos financieros municipales.

2- Los impuestos en alimentos y medicinas no pueden ser mayores que el 10% de todos los impuestos recabados.

3- Los impuestos por ventas en general no pueden se mayores que el 20% de todos los impuestos recabados.

4- El impuesto a la gasolina no puede ser mayor que 2 centavos por galón.

Habitantes- 20,000

Prop catastral 550 X1Alimento y medicamentos

35 X2

Ventas en general 55 X3Consumo gasolina 7.5 X4

550 x1+35x2 + 55x3+ 7.5x4 ≥ 16X2 ≤ .10 (x1+x2x+3x+x4)X3 ≤ .20 (x1+x2+x3+x4)X4 ≤ 2 + - + - + -

Min Z = d1 +d1 + d2 + d2 + d3 + d3 + - 550x1 + 35x2 + 55x3 + 7.5x4 – (d1 +d1 ) = 16 + -

X2- (d1 - d2) = .10 (x1+x2+x3+x4) + -

X3 – (d3 + d3 ) = .20 (x1+x2+x3+x4)X4 ≤ 2X1,2,3,4 ≥0 + -

di , di ≥ 0

17.-El centro comercial NW Shopping Mall organiza eventos especiales para atraer clientes. Los 2 eventos más populares que parecen atraer la atención de los adolescentes y a las personas jóvenes y adultas son los conciertos de bandas, y las exposiciones de artesanías. Los costos de la representación de las bandas son $1500, y de las artesanías son $300, respectivamente. El presupuesto total anual (estricto) asignado a los dos eventos es $15,000. El gerente del centro estima que la asistencia a los eventos es la siguiente:

Se han establecido las metas anuales mínimas de asistencia de adolescentes, jóvenes y adultos como 1000, 1200 y 800, respectivamente. Formule el problema como modelo de programación de metas.

200x1 + 100 x2 + 0x3 = 15000x1+400x2+250x3=300X1+x2+x3+x4 =1500Min Z = 1000d1+1200d2+800d3

Preguntas

21.- ¿Qué es programación meta?

Es similar al modelo de Programación lineal. El Primer paso es definir las variables de decisión, después se deben de especificar todas las metas gerenciales en orden de prioridad. Así, una característica de la Programación Meta es que proporciona solución para los problemas de decisión que tengan metas múltiples, conflictivas e inconmensurables arregladas de acuerdo a la estructura prioritaria de la administración.

La Programación Meta es capaz de manejar problemas de decisión con una sola meta o con metas múltiples. En tales circunstancias, las metas establecidas por el tomador de decisiones son logradas únicamente con el sacrificio de otras metas.

22.- Haga un contraste de diferencias entre la programación lineal y programación meta lineal.

En programación lineal- no hay orden. Programación meta- las metas se satisfacen en una secuencia ordinal.

Programación lineal – hay variables de holguraProgramación meta- son déficits.

Programación lineal- se maximiza o minimizaProgramación meta- sólo se minimiza

23.- Exprese las características claves de un problema de programación meta en general, definiendo términos construya un problema, ejemplo simple y formúlelo como un problema de programación meta lineal. Haga un contraste entre esta formulación y la formulación por programación lineal. Resuelva ambas formulaciones gráficamente.

Las metas se satisfacen en el orden de prioridad establecido por el tomador de decisiones.

Las metas no necesitan satisfacerse exactamente sino tan cerca como sea posible.

Ejemplo:

La compañía Aedis ha desarrollado recientemente tres nuevos productos haciendo uso del exceso de capacidad en sus tres plantas sucursales existentes: Cada producto puede fabricarse en cualquiera de las tres plantas. El análisis ha demostrado que sería rentable utilizar el exceso de capacidad para producir estos tres nuevos productos. En realidad, el propósito de la gerencia al desarrollar los nuevos productos era lograr la utilización completa de la capacidad productiva de exceso sobre una base rentable. Mientras que las plantas Aedis generalmente operan a capacidad plena en sus líneas de productos existentes, la producción por debajo de la capacidad normal ocurre con poca frecuencia, presentando problemas con la fuerza laboral. Aunque la compañía no necesita la fuerza laboral plena durante los períodos de holgura, el costo de los despidos sería considerable, y Aedis desearía evitar esto tanto como fuera posible.

Además, la gerencia desearía balancear la utilización del exceso de capacidad entre las sucursales. Esto serviría para distribuir equitativamente la carga de trabajo del personal de supervisores asalariados y reducir los agravios de la fuerza laboral que se le paga por horas, que de otra manera se sentiría discriminada con respecto a las cargas de trabajo o a los despidos.

Para el período que es está considerando, las plantas tienen las siguientes capacidades de producción en exceso(en términos de unidades) de nuevos productos y capacidades de embarque disponibles asignadas a los nuevos productos:

Planta capacidad de exceso de producción(unidades)

capacidad de embarque(pies cúbicos)

1 750 12000

2 300 10000

3 450 6500

Los productos 1,2 y 3 requieren 30,20 y 15 pies cúbicos por unidad, respectivamente. Las contribuciones unitarias a la utilidad de los productos 1,2 y 3 son $15,18 y 12 respectivamente. Los pronósticos de ventas indican que Aedis puede esperar ventas tan altas como 900, 1000 y 700 unidades de los productos 1, 2 y 3 respectivamente, durante el periodo de planeación en consideración.

Dada la situación que hemos descrito, la administración ha expresado las siguientes metas de preferencia en orden de importancia decreciente (P1=más importante):

P1. Lograr una utilidad perseguida de $15000.

P2. Utilizar tanto de la capacidad de exceso como sea posible. Debido al bajo costo de la mano de obra, la administración cree que es 1,5 veces más importante utilizar la capacidad de exceso de la planta 1 que la de las plantas 2 y 3.

P3. Lograr un balance de la carga de trabajo en la utilización de exceso de la capacidad entre todas las plantas. Debido a ciertas demandas adicionales de los trabajadores de la planta 1, la administración cree que si ocurre algún desbalance en la carga de trabajo, es dos veces más importante que favorecer a la planta 1con menor trabajo con respecto a las plantas 2 y 3

P4. Lograr el pronóstico de ventas para el producto 2, puesto que este tiene la mayor contribución a la utilidad por unidad.

P5. Producir suficiente cantidad de los productos 1 y 3 para cumplir con las ventas pronosticadas.

P6. No exceder la capacidad de embarque disponible.

-Exceso en las restricciones de capacidad

N- desviación negativa.

P- desviación positiva.

X11+ X21 + X31 + N1- P1 =750

X12 + X22 + X32 + N2- P2 =300

X13 + X23 + X33 + N3- P3 =450.

2-Resricciones en el requisito de espacio

30X11 + 20X21 + 15X31 + N4 - P4=12000

30X12 + 20X22 + 15X32 + N5 - P5=10000

30X13 + 20X23 + 15X33 + N6 - P6= 6500

3-Restricciones en las ventas esperadas

X11 + X12 + X13 + N7 - P7=900

X21 + X2 + X23 + N8 - P8=1000

X31 + X32 + X33 + N9 - P9= 700

4-Balance de carga de trabajo

X11 + X21 + X31/ 750 = X12 + X22 + X32/ 300

X11 + X21 + X31/ 750 = X13 + X23 + X33 / 450

Este balance de ecuaciones puede escribirse como una restricción meta por medio de una simple división y por transposición del miembro derecho como sigue (por transitividad, solamente dos restricciones de balance son necesarias):

0.0013X11 + 0.0013X21 + 0.0013X31 - 0.0033X12 - 0.0033X32 - P0.0033X32 + +N10 - P10 =0

0.0013X11 + 0.0013X21 + 0.0013X31 - 0.0022X13 - 0.00223X23 - 0.00223X33 + N11 - P11=0

N10, N11= número de unidades producidas demasiado bajas con relación a las producidas en las plantas 2 y 3, respectivamente.

P10, P11= Número de unidades producidas en exceso relativas a las que es producen en las plantas 2 y 3, respectivamente.

5- Restricción de utilidad

15(X11+ X12+ X13) + 18(X21+ X22+ X23) + 12(X31+ X32+ X33) + N12 - P12=15000

6- Función objetivo

Minimizar Z=PR1(N12+ P12)+ 1,5PR2(N1)+ PR2(N2+ N3)+ 2PR3(N10+ N11)+ PR3(P10+ P11)+PR4(N8)+ PR5(N7+ N9)+ PR6(P4+ P5+ P6)

24.- ¿Qué se entiende por factores prioritarios (preestablecidos) en un problema de programación meta?

Factores que tienen mayor importancia.Se toman por niveles de importancia que tengan.

25.- ¿Se puede utilizar ponderaciones cardinal(es) cardinal numérica en la función objetivo de un modelo de programación meta?Si se puede.

26.- Una división de Schwim Manufacturing Company produce 2 tipos de bicicletas1- una bicicleta de 3 velocidades2- una bicicleta de 10 velocidades

La división obtiene una utilidad de $25 en la bicicleta de 10 velocidades y $15 en la bicicleta de 3 velocidades. Debido a la fuerte demanda de estos artículos, durante el periodo de planeación de verano la división cree que puede vender, a los precios que prevalezcan, todos los tipos de estas 2 bicicletas que produzcan. Las instalaciones de producción se consideran recursos escasos. Estos recursos escasos corresponden al departamento de ensamble terminado. Los tiempos unitarios de procesamiento y las capacidades de cada uno de los departamentos se muestran en la siguiente tabla

Sin embargo, la división durante este periodo de planeación se enfrenta a cambios grandes de organización y cree que el maximizar la utilidad no es un objetivo realista. Sin embargo desearía lograr un nivel satisfactorio de utilidad durante este periodo de dificultad. La dirección cree que la utilidad diaria de $600 debería satisfacerse y desea determinar, dadas las restricciones del tiempo de producción, las mezclas del producto, que debería llevar a esta tasa de contribución a utilidades.

Max Z = 15x1 +25x2S.a: x1+3x2 ≤ 60x1 +x2 ≤ 40x1 ,x2 ≥ 0

Min Z= d1+d1S.a + -

15x1 +25x2 – (d1 – d1) = 600

X1+3x2 ≤ 60X1+x2 ≤ 40 + -

X1,x2,di,di≥0

27.- La DEWRIGTH COMPANY está considerando tres nuevos productos para sustituir a los modelos actuales que piensa descontinuar, de manera que ha asignado al departamento de IO la tarea de determinar qué mezcla de estos productos debe producir. La administración quiere prestar atención primordial a tres factores: la ganancia a largo plazo, la estabilidad de la fuerza de trabajo y el nivel de inversión de capital que será necesario para el equipo nuevo. En particular, ha establecido los siguientes objetivos1) lograr una ganancia a largo plazo (en valor presente neto) de al menos $125millones de dólares por estos 3 productos. 2) mantener el nivel actual de empleo de 4000 empleados y 3) mantener la inversión de capital en menos de $55 millones de dólares. Son embargo, la gerencia se da cuenta de que es posible que no se alcancen todas las metas simultáneamente, por lo que ha analizado las prioridades con el departamento de IO. Este análisis llevo a establecer ponderaciones de sanción de 5 si no se logra la meta de las ganancias (por cada millón menos que se logre), 2 por sobrepasar la meta de inversión de capital (por cada 100 empleados), 4 por quedar abajo en esta misma meta y 3 por exceder la meta de inversión de capital (por cada millón de excesos). La contribución a la ganancia de cada nuevo producto, del nivel de empleo y de la inversión de capital es proporcional a la tasa de producción. Estas contribuciones por tasa unitaria de producción se muestran en la tabal siguiente con las metas y penalizaciones.

12x1 + 9x2 + 15x3 ≥ 125 millones5x1 + 3x2 + 4x3 = 405x1 + 7x2 + 8x3 ≤ 55 millones - + - +

Min Z = 5d1 + 2d2 + 4d2 + 3d3 + -

12x1 + 9x2 + 15x3 -(d1-d1) = 125 millones + -

5x1 + 3x2 + 4x3 – (d2-d2)= 40 + -

5x1 + 7x2 + 8x3 –(d3 –d3) = 55 millones + -X1,2,3 ≥0 di,di≥028.- Philadelphia paints tiene una ganancia neta de $2 por galón de pintura Regular, $ 3 por galón de Premium y, $4 por galón de Suprema. Cada galón de pintura Regular requiere una minuta en una mezcladora, cada galón de pintura Premium, y cada galón de pintura suprema, 3 minutos. El gerente del departamento de producción ha establecido una ganancia meta de $100 y pretende usar 1 hra de tiempo de mezclado. Se considera que maximizar al ganancia es doblemente importante que minimizar la cantidad de tiempo de mezclado. Usando el número de galones de cada pintura por producir como variables de decisión, escriba

a) restricciones de meta apropiadas, b) un solo objetivo que minimice la penalización total por no cumplir con las metas.

a) 2x1+3x2+4x3=100 x1+2x2+3x3=60 - + - +

b) Min Z = 2 (d1+d1) +d2 +d2 + -

2x1 +3x2+4x3 – (d1-d1) =100 + -

X1+2x2+3x3 - (d2-d2)=60 + -

X1,2,3 ≥0 di,di≥0

29.-Chiralty Company produce tornillos pequeños, medianos y grandes. La gerente del departamento de producción desea producir tantos tornillos como sea posible, proponiéndose un total de 17500. además, también desea minimizar el peso total, esperando mantener el total en alrededor de 10 libras. Ella sabe que 1 libra de cada tipo respectivo da como resultado 200 tornillos pequeños, 150 tornillos medianos y 100 tornillos grandes. Usando el numero de tornillos de cada tamaño como variables de decisión, escribaa) restricciones de meta apropiadas b) un solo objetivo que minimice la penalización total por no cumplir con las metas, suponiendo que ambas metas son igualmente importantes.

200x1+150x2 + 100x3 ≥ 17500X1 +x2 + x3 ≤ 100 + - + -

Min Z = d1+d1+d2+d2 + -

200x1+150x2+100x3 – (d1-d1) =17500 + -

X1 +x2 +x3 – (d2-d2) = 100

X1,2,3 ≥0 di,di≥0

29.- La producción de cada galón de gasolina suprema cuesta 20% mas que la producción de la regular, y cada galón de la extra cuesta 10% mas que la regular. El gerente del departamento de producción ha determinado que los costos mínimos de producción para satisfacer la demanda de los tres tipos de gasolina para este periodo son de $50 000, con un costo de $0.80 por galón de regular. En un intento por maximizar al cantidad de gasolina regular producida, se ha establecido una meta de 40 000 galones. El gerente también piensa que por cada dólar con que los costos de producción excederán la meta establecida en 10% por encima del número posible debe

penalizarse tres veces, así como cada galón que falte a la producción de regular para alcanzar la meta. Usando el número de galones de cada tipo de gasolina por producir como variables de decisión, escriba a) restricciones de meta apropiadas y b) un solo objetivo que minimice la penalización total por no cumplir con las metas.

.20x2=x1

.10x2=x3X1=.96X3=.88.96x1+.80x2+.88x3 ≤50000.80 x2- (d2-d2)≥ 40 000

+ - + -

Min Z = 3 (d1+d1) +d2 +d2 + - .96x1+.80x2+.88x3 – (d1-d1)=50000 + - .80 x2- (d2-d2)= 40 000

X1,2,3 ≥0 di,di≥0

30.- Acme Soda Pop Company utiliza agua de soda, jugo de fruta, azúcar y ácido ascórbico para producir su bebida Lime Lovers. La cantidad de azúcar, vitamina C y el costo asociado a cada onza de estos ingredientes usados en la producción de cada botella de la bebida se proporcionan en la siguiente tabla:

Además de minimizar costos, la cantidad deseada de vitamina C en cada botella varía entre 250 y 300 mg y la azúcar es de 200mg. Cada gramo por el cual la cantidad de vitamina C está fuera del intervalo aceptable es doblemente inaceptable, así como cada centavo por el cual se excede el costo objetivo de $0.25. de manera similar, cada gramos por el cual el azúcar exceda la meta es considerado 3 veces tan inaceptable como cada centavo por el cual se excede la meta de costo. Usando el número de onzas de cada ingrediente mezclado en cada botella como variables de decisión, escriba:

a) restricciones de meta apropiadas,b) b) un solo objetivo que minimice la penalización total por no cumplir con las metas.

10x2 + 25.5x3 = 2005x2 + 85x4 ≥ 2505x2 + 85x4 ≤ 300 + - + - + - Min Z = 3 (d1+d1) + 2 (d2+d2) + d3+d3 + - 10x2 + 25.5x3 (d1-d1) = 200 + - 5x2 + 85x4 (d2-d2) = 250 + - 5x2 + 85x4 (d2-d2) = 300

X1,2,3 ≥0 di,di≥0

31.- max 6x1+5x2Sa:

5x1+x2 ≤ 152x1+4x2 ≤ 19

X1,x2 ≥ 0 y enteras

32.- Min Z= -2x1 +3x2Sa:

7x1+24x2≤45-x1+4x2≥5

X1,x2 ≥ 0 y enteras

33.- min Z = -2x1-5x2s.a

4x1-2x2 ≥103x1+x2≤5

X1,x2 ≥ 0 y enteras

No tiene solución

34.-min Z = x1+x2S.a:

5x1+x2≤102x1+4x2≤8X1=0.1 o 2 x2=0o1

35.- min z= 2x1+3x2S.a:

-x1+x2 ≤ 1-x1 +x2 ≤ 2x1+x2 ≤ 3

X1=0 o 1 x2=0,1 o 2

Z= 19/3X=2/3Y=5/3

36.- (Presupuesto capital) Se están evaluando cinco proyectos durante un horizonte de planeación de 3 años. La tabla siguiente muestra los ingresos esperados para cada uno, y sus gastos anuales correspondientes.

¿Cuáles proyectos se deben seleccionar para el horizonte de 3 años?

MAX X1 X2 X3 X4 X520 40 20 15 30

Z 951 1 1 1 0

R1 5 4 3 7 8 <= 19 25R2 1 7 9 4 6 <= 21 25R3 8 10 2 1 10 <= 21 25

Solución: Los proyectos 1, 2, 3 y 4 se deben seleccionar para el horizonte de 3 años, o sea todos menos el 5.

37.- La gerencia de High Tech está considerando invertir en seis proyectos, cada uno requiere una cierta cantidad de capital inicial. Estos datos, junto con el factor de riesgo asociado (entre 0 y 1) y la recuperación anual esperada, se presentan en la siguiente tabla:

Los socios de la empresa han acordado que el riesgo total, obtenido al sumar los factores de riesgo de cada proyecto emprendido, no debe exceder a 3.0. También, cuando mucho dos proyectos pueden tener un factor de riesgo mayor a 6.0. El siguiente problema de programación entera fue desarrollado para determinar en qué proyectos se debe invertir con un presupuesto de un millón de dólares para lograr la mayor recuperación anual esperada.

MAX X1 X2 X3 X4 X5 X60.2 0.15 0.3 0.25 0.17 0.4

Z 1.071 0 1 0 1 1

R1 0 0 0.7 0.65 0 0.75 <= 1.45 2R2 0.5 0.4 0.7 0.65 0.45 0.75 <= 2.4 3R3 100000 200000 170000 250000 400000 250000 <= 920000 1000000

Solución: En los proyecto 1, 3,5 y 6 se debe invertir con un presupuesto de un millón de dólares.

38.- Maximizar Z = 2x1 + 5x2S.A10x1 + 30 x2 ≤ 3095 x1 - 30 x2 ≤ 75

X1 y X2 son binarios

MAX x1 x22 5

z 50 1

R1 10 30 <= 30 30R2 95 -30 <= -30 75

Solución: X1 no se hace, x2 se hace

39.- Max Z = -5x1 + 25x2S.A-3x1 + 30x2 ≤ 273x1 + x2 ≤ 4

X1 y X2 son binarios

MAX x1 x2-5 25

z 201 1

R1 -3 30 <= 27 27R2 3 1 <= 4 4

Solución: se hacen las dos, tanto x1 como x2.