Investigación de Operaciones I

Problemas de Asignación

MSc. Ing. Julio Rito Vargas II cuatrimestre 2012

Introducción

Los problemas de asignación incluyen aplicaciones tales como asignar personas a tareas. Aunque sus aplicaciones parecen diferir de las del problema del transporte, constituye un caso particular.

Los problemas de transporte y asignación son casos particulares de un grupo más grande de problemas, llamados problemas de flujo en redes.

Introducción

El problema de asignación es un tipo especial de problema de programación lineal en el que los asignados son recursos destinados a la realización de tareas

Ej.

Empleados a trabajo

Máquinas a tareas

Períodos a tareas

Supocisiones de un problema de asignación

1. El número de asignados es igual al número de tareas (se denota por n). (esto puede variar)

2. Cada asignado se asigna exactamente a una tarea.

3. Cada tarea debe realizarla exactamente un asignado.

4. Existe un costo cij asociado con el asignado i (i=1,2,…,n).

5. El objetivo es determinar cómo deben hacerse las asignaciones para minimizar los costos totales.

Caso Fowle Marketing Research

1 2 3

1. Terry 10 15 9

2. Carla 9 18 5

3. Roberto 6 14 3

Jefe de

Proyecto

Cliente

Tiempos estimados de terminación del

proyecto (días)

Problema de la Fowle Representación en Red

J1 [1]

J2 [1]

J3 [1]

C1 [1]

[1]

[1]

C2

C3

18

3

Jefes de Proyecto

Nodos de Origen

Clientes

Nodos de Destino Asignaciones Posibles

Arcos

Variables de decisión

así es no si

cliente al proyecto de jefe el asigna se si

0

1 jixij

Planteamiento matemático Sea Z tiempo total de terminación

)4,3,2,1;3,2,1(0

1

1

1

1

1

1

nesrestriccio las a Sujeta

3146518991510Min

332313

322212

312111

333231

232221

131211

333231232221131211

jix

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxxxxxxxxZ

ij

Solución

1 2 3

1. Terry 0 1 0 1 = 1

2. Carla 0 0 1 1 = 1

3. Roberto 1 0 0 1 = 1

1 1 1

= = = Costo 26

1 1 1

Asignaciones

Jefe de

Proyecto

Cliente

Representación de red para el problema general

S1 [1]

S2 [1]

Sm [1]

D1 [1]

D2 [1]

Dm [1]

c11 c12

c1n c21

c22

c2n

cm1 cm2

cmn

Planteamiento matemático modelo general

).y todapara binarias, (y para,0

,,...,2,1 para1

,,...,2,1 para1

a sujeta

min

1

1

1 1

jixjix

njx

mix

xcZ

ijij

m

j

ij

n

j

ij

ij

m

i

n

j

ij

El entrenador de un equipo de natación debe asignar competidores para la prueba de 200 metros de relevo combinado que irán a las Olimpiadas Juveniles. Como muchos de sus mejores nadadores son rápidos en más de un estilo, no es fácil decidir qué nadador asignar a cada uno de los cuatro estilos. Los cinco mejores nadadores y sus mejores tiempos (en segundos) en cada estilo son los siguientes.

Problema Natación

Carlos Cristy David Antony José

Dorso 37.7 32.9 33.8 37 35.4

Pecho 43.4 33.1 42.2 34.7 41.8

Mariposa 33.3 28.5 38.9 30.4 33.6

Libre 29.2 26.4 29.6 28.5 31.1

Tiempo de Nado

Solución

Problema Natación (Solución)

Carlos Cristy David Antony José

Dorso 0 0 1 0 0 1 = 1

Pecho 0 0 0 1 0 1 = 1

Mariposa 0 1 0 0 0 1 = 1

Libre 1 0 0 0 0 1 = 1

1 1 1 1 0

<= <= <= <= <=

1 1 1 1 1

TIEMPO Min.

Tiempo de Nado

126.2

Problema de Asignación

El gerente de la línea de producción de una empresa electrónica debe asignar personal a cinco tareas. Existen cinco operadores disponibles para asignarlos. El gerente de línea tiene a su disposición datos de prueba que reflejan una calificación numérica de productividad para cada uno de los cinco trabajos. Estos datos se obtuvieron a través de un examen de operación y prueba administrado por el departamento de ingeniería industrial (véase la tabla P3-20). Suponiendo que un operador puede ejecutar un solo trabajo, plantee un modelo que conduzca a la asignación óptima de tareas.

TABLA P3-20

Número de

operador

Número de trabajo

1 2 3 4 5

Op1

Op2

Op3

Op4

Op5

12

6

10

2

7

16

8

6

4

10

24

20

26

2

6

8

14

18

24

6

2

6

12

20

18

1.Formular el modelo como uno de PL 2.Desarrollar el modelo Matemático

Método Húngaro

1) A todos los elementos de cada columna restar el menor elemento de la columna. En la matriz resultante, restar a todos los elementos de cada fila el menor elemento de la fila. Así se garantiza la obtención de por lo menos un cero en cada fila y columna.

2) Con la matriz resultante, verificar la existencia de una solución óptima. Para encontrarla se debe asignar un cero a cada fila( comenzando por las que tengan menor Nº de ceros), y cancelar los demás ceros de esa fila y los ceros de la columna en la que se encuentra ese cero. Repetir esta operación hasta que no queden ceros sin asignar o cancelar.

Si no existe solución óptima ir al paso 3.

Método Húngaro

3) Realizar lo siguiente: a) Marcar con un * todas la filas que no contengan

ceros asignados. b) Marcar todas las columnas que contengan uno o

más ceros cancelados en alguna fila marcada. c) Marcar toda fila que tenga un cero asignado en una

columna marcada. d) Repetir b) y c) hasta que no sea posible marcar más

filas o columnas. e) Poner un trazo (línea) sobre toda fila no marcada y

sobre toda columna marcada.

Método Húngaro

4) Tomar el menor número no atravesado por un trazo(línea) y: • Restarlo a todos los elementos de las filas no

atravesadas.

• Sumarlo a todos los elementos de columnas atravesadas.

Volver al paso 2.

Ejemplo de Asignación usando el método Húngaro.

Se desea asignar 4 máquinas a 4 lugares posibles. A continuación se presentan los costos asociados.

Maquina\Lugar 1 2 3 4

1 3 5 3 3

2 5 14 10 10

3 12 6 19 17

4 2 17 10 12

Ejemplo (cont.)

Paso 1.

1 2 3 4

1 0 2 0 0

2 0 9 5 5

3 6 0 13 11

4 0 15 8 10

1 2 3 4

1 0 2 0 0

2 0 9 5 5

3 6 0 13 11

4 0 15 8 10

Paso 2.

No hay óptimo pues hay 3 asignaciones que es <4

Ejemplo (cont.)

Paso 3. a)

*

* *

b)

0 0 2 0 1

15

0

9

2

8

13

5

3

10

11

5

4

0 4

6 3

0 2

1

0 0 2 0 1

15

0

9

2

8

13

5

3

10

11

5

4

0 4

6 3

0 2

1

*

*

c)

0 0 2 0 1

15

0

9

2

8

13

5

3

10

11

5

4

0 4

6 3

0 2

1

*

d) No es posible marcar más filas ni columnas

0 0 2 5 1

10

0

4

2

3

13

0

3

5

11

0

4

0 4

11 3

0 2

1

Ejemplo (cont.)

Paso 3. e)

*

0 0 2 0 1

15

0

9

2

8

13

5

3

10

11

5

4

0 4

6 3

0 2

1 0 0 2 5 1

10

0

4

2

3

13

0

3

5

11

0

4

0 4

11 3

0 2

1 *

*

Paso 4. El menor número es 5

Paso 2. Óptimo pues hay 4 asignaciones: • Máq. 1 a lugar 3 • Máq. 2 a lugar 4 • Máq. 3 a lugar 2 • Máq. 4 a lugar 1

Costo total=21

Problema de Asignación

Se deben utilizar cuatro barcos cargueros para transportar bienes de un puerto a otros cuatro puertos (numerados 1,2,3, y 4). Se puede usar cualquier barco para hacer cualquiera de los cuatro viajes. Sin embargo, dadas algunas diferencias entre los barcos y las cargas, el costo total de carga, transporte y descarga de bienes de las distintas combinaciones de barcos y puertos varía de manera considerable. Estos costos se muestran en la tabla siguiente.

Tabla de datos

Puerto

1 2 3 4

Barcos

1 $500 $400 $600 $700

2 $600 $600 $700 $500

3 $700 $500 $700 $600

4 $500 $400 $600 $600

El objetivo es asignar los barcos a los puerto en una correspondencia uno a uno de manera que se minimice el costo total de los cuatro envíos.

Formule el modelo como un PPL

Obtenga una solución óptima

Muestre la solución en gráfico de red

Obtenga la solución como un problema de asignación.

Aplique en forma manual el algoritmo húngaro. Al problema de costos (Asignación)

Tarea

Personas

1 2 3

A 4 6 5

B 7 4 5

C 4 7 6

D 5 3 4

4

5

6

4

7

Solución mediante el método Húngaro

Problema:

El profesor Michell ha terminado 4 capítulos de su libro y esta

pensando en pedir ayuda para terminarlo. El ha elegido a 4 secretarias que podrían tipearle cada uno de sus capítulos. El costo asociado refleja la velocidad de la secretaria y la exactitud con la que realiza el trabajo. Además los capítulo difieren en la cantidad de hojas y en la complejidad. ¿Qué puede hacer el profesor si conoce la siguiente tabla:

Capítulos

Secretaría 13 14 15 16

Juana 96 99 105 108

María 116 109 107 96

Jackeline 120 102 113 111

Edith 114 105 118 115

Restricciones del Método

* Todas las asignaciones son posibles

* Una asignación por persona y una persona por asignación

Matriz de Costos Capítulos

Secretaría 13 14 15 16

Juana 96 99 105 108

María 116 109 107 96

Jackeline 120 102 113 111

Edith 114 105 118 115

Restar el Menor valor de cada fila Capítulos

Secretaría 13 14 15 16

Juana 0 3 9 12

María 20 13 11 0

Jackeline 18 0 11 9

Edith 9 0 13 10

Restar el menor valor de cada columna en la matriz anterior

Capítulos

Secretaría 13 14 15 16

Juana 0 3 0 12

María 20 13 2 0

Jackeline 18 0 2 9

Edith 9 0 4 10

Trazar el mínimo número de líneas que cubran los ceros de la matriz obtenida en el punto anterior.

Capítulos

Secretaría 13 14 15 16

Juana 0 3 0 12

María 20 13 2 0

Jackeline 18 0 2 9

Edith 9 0 4 10

Si el número de líneas es igual al número de filas se esta en la solución óptima, sino identificar el menor valor no rayado restárselo a los demás números no rayados y sumarlo en las intersecciones.

Pare este caso corresponde al valor 2

Capítulos

Secretaría 13 14 15 16

Juana 0 5 0 14

María 18 13 0 0

Jackeline 16 0 0 9

Edith 7 0 2 10

Las asignaciones corresponde a los valores donde existen 0

Juana Cap. 13

María Cap. 16

Jackeline Cap. 15

Edith Cap. 14

*Costo Asignación: 96 + 96 +113 +105 =410