Problemas de Integracion Curvilinea
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Captulo 8
Problemas de Integrain Curvilnea
(En los problemas marados on el iono es onveniente usar de un programa de
ordenador para la representain gra de funiones, por ejemplo Winplot).
8.1. INTEGRAL CURVILNEA
1. Calular
C
y2 dx+ 2xy dy, donde C es una irunferenia de entro (0, 0) y radio R.
2. Calular
C
yz dx + xz dy + xy dz , donde C es la hlie x(t) = a cos(t), y(t) =
a sen(t), z(t) = kt, t [0, 2pi] (ver gura).
3. Calular
C
(cos x y senx) dx + cos x dy, donde C es el tringulo uyos vrties son
los puntos A(0, 1), B(2, 3), D(1, 4).
4. Calular
C
6x2y dx + 10xy2 dy , donde C es el segmento de la urva y = x3, entre
M(1, 1) y N(2, 8).
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60 CAPTULO 8. PROBLEMAS DE INTEGRACIN CURVILNEA
5. Calular
MN
(2x cos yy2 senx) dx+(2y cos xx2 sen y) dy , donde N(pi/2, pi/2),M(pi/4, pi/4).
6. Empleando la frmula de Green, alular
C
xy2 dx x2y dy , donde C es la urva
x2 + y2 = a2.
7. Calular
(c,d)(a,b)
f(x) dx + g(y) dy , donde f(x), g(y) son funiones ontinuas.
8. Sea f(u) una funin ontinua y C una urva errada. Demostrar que
C
f(x2 + y2)(x dx + y dy) = 0
9. Calular
C
x2y2 dx + y
(xy + ln
(x+
x2 + y2
))dy , donde C es la urva que
aparee en la gura.
10. Sea C la urva denida omo interse
in entre las superies (ver gura).
x2
a2+y2
b2= z
x2
a2+y2
b2= 2c2 z
Departamento de Matemtia Apliada E.U.P. San Sebastin
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8.1. INTEGRAL CURVILNEA 61
Se pide:
a) Emplear oordenadas ilndrias generalizadas para obtener una parametrizain
de C.
b) Calular
C
(x2
a2+y2
b2
)dx+
(x2
a2y2
b2
)dy + 2xyz dz
11. Calular el valor de
C
(6xy2y3) dx+(6x2y3xy2) dy, para ada una de las siguientes
urvas C:
a) C es el segmento de reta AB, A(1, 2), B(3, 4).
b) C es el aro de irunferenia de entro C(2, 3) y que pasa por los puntos A(1, 2),B(3, 4).
) C es toda la irunferenia del apartado anterior.
12. Considerar la familia de parbolas y = kx(x 1) que unen los puntos (0, 0) y(1, 0). Sea C es una de estas parbolas, y F (x, y) = (2xy, x2) la fuerza apliada en
ada punto (x, y). Se pide:
a) Parametrizando C, demostrar que el trabajo efetuado por F (x, y) no dependedel valor de k.
b) Expliar el resultado obtenido en el apartado anterior.
E.U.P. San Sebastin Departamento de Matemtia Apliada