problemas de cambio y combinacion

23
Rev. Psicopedagogia 2006; 23(71): 158-80 #& DIFICULTADES EN EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICAS: UNA PERSPECTIVA EVOLUTIVA ARTIGO DE REVISÃO Josetxu Orrantia INTRODUCCIÓN El aprendizaje de las matemáticas supone, junto a la lectura y la escritura, uno de los apren- dizajes fundamentales de la educación ele- mental, dado el carácter instrumental de estos contenidos. De ahí que entender las dificultades en el aprendizaje de las matemáticas se haya convertido en una preocupación manifiesta de buena parte de los profesionales dedicados al mundo de la educación, especialmente si consideramos el alto porcentaje de fracaso que presentan en estos contenidos los alumnos y alumnas que terminan la escolaridad obligatoria. A esto hay que añadir que la sociedad actual, cada vez más desarrollada tecnológicamente, demanda con insistencia niveles altos de competencia en el área de matemáticas. Josetxu Orrantia - Doctor em Psicológia. Profesor Titular en el Departamento de Psicologia Evolutiva y de la Educación de la Universidad de Salamanca. RESUMEN El objetivo de este trabajo es plantear un marco teórico de carácter evolutivo que nos permita analizar y comprender las dificultades que surgen en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Para ello, comenzaremos revisando cómo se desarrolla el pensamiento matemático de los niños, ya que asumimos que las dificultades en el aprendizaje surgen en este proceso evolutivo. Posteriormente, analizaremos algunas de las dificultades, centrando nuestra atención en las dificultades relacionadas con el cálculo y la resolución de problemas. PALABRAS CLAVE: Matemática. Solución de problemas. Cognición. Niño. Correspondência Josetxu Orrantia Avda. La Merced, 109 031 Salamanca Espanha 37005 E-mail: orrantia @usal.es En este contexto, el objetivo de estas páginas es plantear un marco para analizar y entender las dificultades en el aprendizaje de las matemáticas, para que, desde este análisis, podamos imaginar la respuesta educativa que podemos ofrecer a los alumnos que presentan estas dificultades. Para ello, antes es necesario acotar lo que vamos a entender por dificultades en el aprendizaje de las matemáticas, puesto que los contenidos de matemáticas pueden ser muy diversos. Así, las dificultades pueden aparecer en contenidos como la geometría, la probabilidad, la medida, el álgebra o la aritmética. Pero muchos estamos de acuerdo en que es en la aritmética donde los alumnos encuentran más dificultades, puesto que estos son los contenidos a los que se enfrentan en primer lugar, además de que

Transcript of problemas de cambio y combinacion

Page 1: problemas de cambio y combinacion

����������

���� ���������������������������� ! �

���

����������� �� �� � �������� �� ��

����������� ���� � ������ ��������

������� �� �����

�� "#$��%%�&"��

�������������������������� �� ���������� � ������

������������������������� ���������������� �������

���� � ����������� � �� ��� �������� ����

����������������������� � ������������� ��

������� ����������������������� ��������

������ ������������ �� ���������� � ������

��������������������������������� ����

�������������� �� ������ ����� ����� ���

����� �� ��� ��������� � �����������

��� ����� ��������������������������� �����

��� ������ ��� � �� � ������� � �� � ������ � �

������ ����������������� ���������� ������

!�� ������������"������� ��� ������������

���� ������ �� ��������� ������� ��������

������ ���� � ������ ����� � ���� � �

��������������������������������� �

����������� ��������������� ����� ����������� ����

����������������������� ����� �������� �������� ��

������ ����������� ��� �����������������

����� #��������������� ������������ �������������������������

�� ��������� ��������� ���� �� � ������� �������� �� ���������� ��

������� ����� �� �������������� ������ �"������������������

�� ���������� ��$��������������������� ���� ��������� ��� �������

��� ��� ����������������� �� �� � �"� �� ��� ���� � ���� � ���� ��

������� � ��� ��� ���������� �� ��� ��� � ��� ����� �� ���������

$� ������������ ���������� � �� ��� � �� �� � ������� �� ��������

��� ���� �������� ��� �� � ������� � ��������� � ���� ��� �������� �� ��

�� ����������������� �

�������� ����� %����������&����������������� ��'� ������("��

�������!�� �

����������� �

"�����#��$����%�&'(�)�'*&�)�����������)������+�

*,''-�)����� �.����� ��/�������

���� ��������)������������������ �� ��� ��

� �����������������������������������������

�� � ������� � ��� ��� ���������� �� ��

��������� �� ����� ����� � �� � ��� ���� �

����� � �� ���� ��� �� ��� ��������������

����� ����������� �� ������� �������� �����

� �� �������� ��$�������������� �� ����� ���

������������������ ����������������������

�������������������� ���������� ����� ������

�� �������� ������������ ������� ������

��� � ��! ��� �� �������� ���������������

���������� ��������� ����������������������

������������� ��������������*�����$���������

� ���� ������������������ �����������*���

������ ������� �������������� �������� �

��� �������� �� � ����� �������� ����� ����� �

���������� ��� ������ �� ���� ���� � �� ���

Page 2: problemas de cambio y combinacion

'�(�)*+'�',-�,��,+����,�'�.��,�',�+�-�/��,/0��)�-

���� ���������������������������� ! �

���

�� ��������� ���� ��� �� �� ����� ��� ���� �

� �������� ���� �������� ��$���������������

�� ����)�� ��� �� ����� ������������ ������

�������������������*������ � �������� �

!��������������� �������� ������� ���

��������������� �������� ����� ����������

�� ��� ����*���� ��� ���� ����* � �� � ��

������������������ �� ��+���� ��� �� �������

���� ��� �� ���������� �� � ����� �� �����

����� �� � ���� �������������� ��� ���� ��

�� �"��������������*������ ���� ������������

�������'���� ��� ���� � �)��� ��� ��� ��� �

��� ��� ,�-� �� � �+���� � �� � ����������� ��

��������� ������� ����������� ���������

������ �����)����� ��� �� ��������� �������

����������� ��$������������������������ ��

��������� ��� �� ���������� ������� �������

����� ����������������� �����������������������

������������ ������������������ �"���������

����*���������������� ��������� �������������

������������ ���������� .�� ���� �����������

���������� ��������� ������������ � ���������

�� ��� ������������������������������������ ��

��� ������������������

(�� ���� �������� � � ��� ��� ������� �� � ��

������������� �� ��� ����� ��� �� ������� �

�������� ���������������������������������� �

���� �"����/�������������������*����� �

����� ���� ��������� ���������� �� ���������

*���� ���������������������� �������� ��

���������������� �

���� ����������� ���� �� ��� �� ����� ��

����������� �������� ��������������������

�� � ������ � ��� � �� � ������� �� $���� �����

��������� ��������������� ����������*����

���������������� ������� ����� ��������������

� ��� ������� �� ����������� �� ��� ��� ��

������� ����������� �� ������ �������� ��

! ��� ����������� � ���������� ����� �

��������������� �������� ������ ��������

����*��� ��� �� �� �� ������������������

���� �� ���� �� ��� �)�������� ��������� �

������������������������� �"������)�������

���� ����� ����������������* �������� �"����

����������� �� ������� � ��������� ��� ���

� ����� ����� ������������+��������� �����

� ��������� ������0��������������� �� �����

�� ������������ ��������������� ��!� �����

��������� � ���������� ������� ���� ��� ��

������� ������������ ����� ������� �������

������������������������������� ���������

�� � � ����� � ��� ����������������������� �

�� ������������������*������ ���������������

���� ���������������������� ��������� ���

�� ����������������� ��������������������

�� � ��������� � �� �� �� '�������� � ���� ��

��� ������� ��� ����� �������� ����������

�)������ �� � ������� � ���� �� � ������

��������������� �� �������� �

� ��������� � �� ����������

���������� ��������� �� !���"�� ������" ����������

1������ ��� � �������� �� ��� ����*���� ��

���������������� �������������� ������������

��������� ������� ����������������������� ��

�������������� ������������� ��� ����� � ����

� ������ ����

$����$� ��� ��� ��������������������� �

� ���������������� �����������������������

� �������� ��� � ������� ���������������������

��� �������� ��� �+����� � � ����������� ��

� �������������� ��������� ����2� ��"� �����

���� � � ��� �����"� ������ ���������� ��

������������+��������������*������������������

������������������������� ��� �� ����� ��� �

3���������������������������� �������+����

� ������ �����"� �� ����� ��� � ���� �� �

4������ ���������� ���������������������� ��

�� �������� ����

�� ��� ��������������������������� �����

�+����� ������������������������������ ���

����������� ���� ��������� �� � ���� ��

�� �� �����+������!��� ������� ����������

������������������������������������

���������������������� ��������� ����������

���� �������������������� ������*���� ��� ��

���� ����������� � ����������� �������

���� ��� ������ � ������������������ �

������ ������ ��� ������ ����� �������� ��

������ ���� ��� � ����������� �� ����� �

Page 3: problemas de cambio y combinacion

����������

���� ���������������������������� ! �

���

���� ���� ��� � � ���� � � ������� � ����� ��

��� �������� �� ��� ��� ����������� ��� �)���

��������������������� �������� ����� �������

�"��������������� � ��� ��� ���� ���������

���� ������ ���������������� ����� ���������� �

��������������������������������� �� ������

�� � ���� ��������� �� � ��� ������ �� ���� ���

�"���2� ��"� ������������� ���������� ����

���� �� �� � ��� � ��� ������� ����+������

���� ��� ����������������������� �� ���������

���� �����"������ ����������� ��� ��� ���

���� ������ ����� ���� �������������������

���� ������������ ���������� �

$��� ����� ����� ��� �� � �)�������� � ����

��� ������� ���� �"�������������������������

����� ����� ������������� ��� ��������� ��2�

�"� � ��� ������ ������� ���� ��� ��� ��

������������������ ����� ������ ��������� �

&������� ��������� ���� ���� ����������� ����

56��*������� 0����� ������ ������� ��������78�

�� ��"� ������������� ��������������� �����

����� �� ������� ��� ����������������� ��

������ �� ���� � ����� � ��������� ���� ��

��� ���������������� � ����������.�������

������� �� ��������� ��� ����������� ���� �

������ �������������

� ����� �������������� �������� �������

���� ��������� ������ ��������� ��������

��������� �������� ���������� ���� ���������

����������� ���������������� ��������� ��

� ������������������ ���������� ������

�� �������������� ������� ���� � ���� ��������

�� � �� �� � ����� ������� � �������� �� ��

��������������������������������+������

����������� �������������������� ��� ��

��������� �������� ������������+������ �����

$� ���������� ������5���������8����� �������

�� ����������������������� ��������� ��� �� ����

�"������� ��������������������������+����

���������*����

���� ��������)����� ����������������������

�� �"���������+������ ��+������� �����������

� ����� ����� ����������� ����� �� ��� �� �

&������� ���� ������������������������

������ � ���� ��� � ���� �� ������� ���� � ��

�������� ��� � �������� ��� �+������ �� ���

��� ��������� ��"� ��������������������

���������������������+����������������*���

���� ����������� ������

!� ����� ��� ���������� �������� ��4������ �

4��� ���9� ��������� ���������������������������

�������������� ���������������������������

��� ����$� ����������������� ����������������

������������� ������������+����������� �������

������ �����*��� ������������"� ����� ������

��� ����� ���� ����������� ����������

�� ��������� ���������

&������� ��������������������������*���

� ��� �������� ���� ���������� ��������� �

������� ��� ���� � ����� ������ ���������

�"� � ��� ������������������������ ���

����������������������������������������� �����

:��������� ����� ������������������������ ��

����������+������ ������������ �������

��������� �

6'��������� � �� ���� ��� �) �������

� �� ���� �� ���� ������ ���������������

�"� ����*��������� ���������� �� �����

�����7��) ���� ���� ���� �� ��� � �����

������� � �������* � ���"� ����������� ����

���� ����� �� ������ ����� ����� ������ �

������������������� ��+���� ��!� ��� ���� ��

������� � ����������� ��� ���� ���������

������� �� � ����������� ���� ��� ��� ��

��� ������ �� �� � ���* � ���� ��� � ��������

������ ����� ��� ������� ������+����� �����

���� �����* ��������� � ���� ���� �������������

� ���������� ������������ ���������* ������

������������������ ��������������������

� ������������������ �������������;����������

��<� �������� ������������ �����������

�������������������������

�� ��� ������� ��� ������������������

�� ����* ���� ���������������� ��� �����������

;����� ���� ��� ��� ���� ������ <����� ����

� ������ ������� � ������ � �� � ���� �

������ � ���*��������� �� ��� ������ �

������������� � ������� � ����� ��� ��� ���

�� �������"������������� �������� ���� �

���� �� ���������� ����* � ��� ����+��������

�� ������ � ���������������������� ���

�� ��������� �������������������� ����������

Page 4: problemas de cambio y combinacion

'�(�)*+'�',-�,��,+����,�'�.��,�',�+�-�/��,/0��)�-

���� ���������������������������� ! �

���

��������� ��� � ��������� � ���� ������ ��

����� �������������� �

������� ����������� ������������������

�� � ���* � ������ �������� ����� �������

���*��� � ������ �������� � ��� ����� � ��

������� ������� � �� ����� ������� ���

������������� ����� �� ����� �����������*��

���� ����� ����������� ��������� ��������������

��� ��������� ��� �������������� ����� ����

���� ����������� ������ � ��� ������������

� �������� ����* � �������������������������

������� ������������+��������������� ������

��������+������� ��� ������ ������������ ����*

������������������������� ������� ��������

��� � �� ��� �� ��� ��� ������ �� �� ��

��� �������� �

�� ��� �� ���� � ����� ������ ��� ��

��������������� �������� ����* � ��������� ��

����� ��� ��� � ���*��� � �� ���� �����

���������������������� ������������������

�� ��� �������&�� ����� ��� �� �������� ��

������ ������� �����+����� ������������ �

� ������������� ���� ��"� ��������������

�"� ������������� ������������������������

���������������������� ���� �������������

�������� ����� ��� ������������ �������������

������������������ �� ����� ���������������� �

'�������������� ���� � �� ���� ����� � �� ��

��� ��������� �� �� �� ����� ��� ������� � ��

������ ������������ ��������� ��������������

���� ������� � ������� ������������ �

� ����"� #"�$��&� ��� ���� ��� �� � ����� ������������ ��

��������� ����������+������������������������

����� �� � ��������� � ���������� � ����

��� ����� ��� ����������� ��������� �� ��������

���� ��� ��������� � ����0��� �������� ����*�

��� ��������������!��� ����������� ������)��

����� ����� ����������"���������������

��� �������� ������� ������������ �������� �����

����������� �������������� ����*��� ��������

��������������������������� ���� ��������� �

�������� ����� ���������� ����������

��������������������"� ������� � ����� ��

������ �� (�� ����� ��� �� ���� � ��� �����

��������������*��������������������������

��� ���������������������������� ����������

��� ��������������������� ��"� �

&�� ����� ��� �� �� �� ��� �� ���� ��� ������

������������������ ����������� ���� �����

����������������� ������������������ �������

��� ������ �� ���� ���� �� �*���� � ���� �

� �����������������������$��������������� ���

���� �������� ��������� � ��� ��������� �

����������� �� ������������������������������

����������� ��� ������ ��� ��������� �������

���� ��+���� ��������������������!��� �

���������������� �������� ������ �������*���

��������������������������������������.�����

������� ����� ����������������������������

��� �������*����������� �"��������������

������������ �������������� ���������� ����� �

���������������� �������� ����� ������� ����

��������� ���������������� �������� ���������

���� �������� ���� ���������� ����� ��� ���� �

���� ������5�� ������������������8������������

��� ���������������+��������������)��� �����

��� �������*��������� ���������+������������

�������� ��������������$���+������� ����� �

������������������� ����������+����������

������������������ ��������������������

�������� ���������������������������� ��*

������������������������ ��� � �����

$�������������� �������������� ����� ��

������������������� ����������� ����������� ����

��������������������������� ��"� ��������

����3� ����� ����� ������� ������� �����

�� ��������������������� ����� � ����������

�"� ������

!����������6��*���� �� ������� ���������

� ��������7��(������������ ��� ����������� ��

��� �����!� ��� ��������������) �����������

������������ �;������������������������

������<����� ����������������������������

���� ������������ ��"� ����������������������

������������) ��������� �� ������� ��������

�� ����������������������������������������

����� ������ ������������ ��������������

�������;���������� �������<�����������

� ������������������ ���������������������

���������� ��� ����������������� ��������

Page 5: problemas de cambio y combinacion

����������

���� ���������������������������� ! �

���

���*��� � �� ��� �������� ����� 5������� � �

������8.����� ��� �� ������� � ������������

��������������� ���������������� ���������

����������� ����������� ���������

��������� ���� ����� ��������������� ����

��� ��������� ������� � ����������������

�)��������� �� �� � ��� ������������� �

��� �������������������� ��"� ����������

������� ����� ���� ������ �������� ���� �

������� ���� ��� �������� ;���� �� ������� �

����� ��� ���<������������������ ������ �����

���� � �����)�� �� ����� ������� ������

����� ������������������������=����������

���������������� �������������������

����� � �� � ������� � �����)�� �� �� � �"�

����������� ����������� ���� ��������������

������������+���������������������� ��������

��� �������� ������� �����������

(��� �� �������� ������������������������� ��

� ��� ���� �� � ������������������ ��������

���������� ��������������������� � ����

���������������������� ������� ��������� �

�������������� ���������������� �����������

�+��������������� ����������������� ��������

� �������� ��� ����������� �� �� � ������

����������������������������������������

&����� ������� �������� ��������������

����� �� ����� � ������� �� ��������� �

�� ���������������������������������� ������

��� ������������������������4��������4��� ���9�

����������������� �����������������

�����������������������������������������

���������� ���������'����������������������������

��������� ������ � 0����������������������

�� ���� ������� ���� �� � �"� � ������� ��

������������������������� ��������� �������

���� ��������������������������� ���������

������ �"������� ��������������� �������

���� ������������� ������������������

������ ������ ������������������������������

�������� � � ����� ����� ������ ������ ���� ��

������� ������� ���� ���������� ��*� � ��

���� ���������������������� �� ��������������

������� ������������ �������.�������������

� � �"��������� �������������� � �� ���� ��

������������

��� ��������� ����� � ������ � ���������

������������� ����� ���������� �����������

�� ���� �������� ����������� �������� ����

�����4��������4��� ���9�� � ���������� �

������������ ������ ��������������������

��� �����������*�������������������*�� �

����������� ����������������������������

;���������� ��� ���������������������<�����

�������������������������

��������������������� ��������������

+����� �������� �� ��� �������� ���*���

����� ����������������������������� ���� �� ��

���������������� �������������������������

4��������4��� ���9� ��� ��������� �� ��"�

����������� ���������� ������������������

*��� � � ������ ��� ��� +����� ��������� �� ��

�����������������

�������������� ����������������������

������ � �������� � �� ������ ������� �

�������������������������������������������

���� *��� � ����� ������ *��� � ;������ � �

������������� ������������ ��<�

$���+��������������������������������

����������������������� ��������������������

�� ��������� ���������������� ����������������

��� ��������������! ��� ���������������

���������������������������� ��������

������������ ����� ��)����� � �����������������

����� ����������������

2� ������� �������� ���������� ����

���������������������� �����������

�� ��� �� ������ ���� � �������������������

����������������� ��!��������� � ��)������

�� �������������������"���������������

�����������*�������������������� ��������

���������� ��������������� ��������� �����

�������������������� ����������������������

�������������

1 2 4 6 7

señala

etiqueta

Page 6: problemas de cambio y combinacion

'�(�)*+'�',-�,��,+����,�'�.��,�',�+�-�/��,/0��)�-

���� ���������������������������� ! �

���

2���� �������������������������������� ����

����� ���������������)������������ ������������

���� ������� ��������� ������������� �����������

��������� ��� ����� ������ ������������$�����������

� ����+����������"����� ������������������ �

����� ������������������������������������

�������������������� �������������������������

������������� ���������������� ��� ��������

�����������������������������������

�� " %&"�� !�����&��������#� $���������������������������������� ��

�"� ������ �����������������)�����������

���� ������ ����������� ����*��� ����� ��

��������� � ����� ��� � �������� �� ������ ��

�+��������������*������ �� ��������� ����� �

���� �����>� ��?@�A������5� ����� �������

���������� 8��� ������������������� �����

������� � ��� ��� ���������� �� ��� ���� ����

������ ����������� ����� ����������� ���

�������� ��� ����������� ����� ��� ����

���*����� �� ����������� ����������� ������

����������� �� � � ����� ���������������� �

�� �������������� �����>� ��?@�A��� �� ��

��� � �� ���������� � ������ ��� ���

������ �������� ���������������������+�����

�� ���������������* ��� ����� ������ ���������

�������������������������

!�� ���� ���� ������� ���� ��� � �������� ��

��� ������������� ���������������������������

����������"����� ������������������

���*���� ������)��� ������� ��������� �

���� ������*�������������������������� ��

���� �� ��� ���� �� � ������� � ���� �������

�� B� ��� �����������������������"� ��� ��

���� ������������� ���� +������� ��������

�� �� ��� ��� �������>� ��?@�A� ������ � �����

������������������ ������������� ���������

�������� �� ����� ���������������� ��� 0

�������� ���������� ����� � ��� �� � ������

������������������������������������������ ���

�������������� �����������

��� � ���������������������� ����������

���������� ������� �� �� � �"� � �� ��� � �"�

�������� ���������� ������ ������� ������

���� ��"����� ���� �������� +������������$��

�������������"�� �������� �����������������

������������� ���������������� ��� ���� ���

��� ���������� ������������ ��������� �������

� �������������� ������������������� ����

�������"��������������������� ��������

�+���������� �������� ������������ �������

� ���������� ������� �

$���������������� ������ ����������������

�������������������� ����� ������ � ���������

�����������������������5����8�������������

��� �� ����� ����� ��� ��� ��� ����� ���

�����"� �����������*���� ��������������� ��

�� ��� ����� �� �������� ���� ����������� �

�������������� ������� ���������� ����

������������������� ���� ��������������� ��

���� ��������������������� ��"� ��������

����������������������������� ������� .

������ ����� ���� ��� ���� � ������� ���� ��

����� � �� ������ ��� ��� �� ����� � ��� ���� �

���� � �� ���� �� �� ������ �� ��� � ��� ��

������ �;����� ������ � ������ <��'�����������

>� ��?@�A��� ���������� ������� ���������

����������������������������� �������������

�� ����� ��������������������� �������� �

;6������ ���� ����� ������� ��������� ���7<�

&������� ����� ��"� ������������������"�

���������������� ��������� ������� ����

��� � � ��� �������� ������������������������

�"� ������������ �������������� ����� ����

� ������ � ������ � ;������� ������� ���

����� �������� ��� ������ <�

�� �� � ��� �����)���� �� � � ����� � �

��������������������������� ���� ���������

����������� ������������ �����������������

�� �������&������� ���� ������������������

����� �������������������� � ������������

������������ ����������� �;�� �� �����������

�� ���� ������� �������������� ����� � ����

����� ���<��������������� ��"� ���������������

� ���� � �������� ��� ����� � ����������

������������������������������������������

�� ��� ��� ��� ����������� ���������� ���� ��

����������� ����� ���������� ;��� ������<� �

� ��������� �� � ������ � ������ � ��� ��

�� ��������� ���� � ������� ������������ �

����� ������ ��������C ����,�

Page 7: problemas de cambio y combinacion

����������

���� ���������������������������� ! �

��

����� ������) ��������������������� ����

������������� � ���� � ����� ������ �+����

�"� ��&������������� ���� �����)������

�������� ������ �� � ������� ��� ����������

������ ��������������������������������������

����+�������������� ���������������������

�� ������������ ������ ���� � ������� � ������

���� �� $���� ��� �������� ��� ����� ��

������������� ������ ��������� �����������

������� �� ��� ��������������������� ��� ��

��� �� ��� �� ���� �� �� ��� ���� � ���

�� �� ��� ������� ��� �������� ����� ������

�������������� �� � ������� � ��� �������

���� ������������ � �������������� � �������

����� ��������������

�������� ������ �� �������� ����� � �����

�� ������ ���� ������ ������� ������������

�� ���� ���� ��������� ������� ��"� �����������

��� �� � ���� 0� ������ ;�"�������������<�

���������������������������������� �������

������ ������ ��������C ����D�

2� � ������� �����������������"����

����������������������������������������

���"������������ ����������������� �����

Esquemasprotocuantitativos

conteo

'�(&�� )����&"�%���1&��2���&���3�&"���2���&"�

��&�2� � 4$3� ��%�"��$�&"�"�"�� �

Resolución desituaciones

problemáticas

$��� ����������� �� ������������� ��� ������

�������� ��� ������������ �� �� � � �����

��������������� ��� ����* ��� ��� �� ��������

������� � ����������� �� $��� ��� ������� ���

��� ��������������������������������� ��������

�� � ���� � ������� ������������ ����� ����

�������������������� ��"� ����� �� �������

����� ������������

���&�����" !��$�"�*���� ��� ���� � ��� ���� �� ������� � �������

conjunto inicial

conjunto final o resultado

cambio o transformación

conjunto inicial

conjunto final o resultado

cambio o transformación

CAMBIO AÑADIENDO CAMBIO QUITANDO

}parte 1

parte 2

todoconjunto mayor

conjunto menor

diferencia

'�(&�� +�����% &"���1&��%56������2� � "%$�"$%� ����"�� �

)�/7���)��� )�/����)�8�

cambio otransformación

cambio otransformación

Page 8: problemas de cambio y combinacion

'�(�)*+'�',-�,��,+����,�'�.��,�',�+�-�/��,/0��)�-

���� ���������������������������� ! �

���

����������������������������� ��� ����� �

��� ���� ���� � �� � ������� � ����� �����

��������� ������� ��2� � ������� ��������

������������������������ ��������� ���������

���� � ����� �� ��� ��� ���� ������� �� �

������ ����� �������������������������

�������������������

:���� ���������� ����������������� ��

������� � ������� �� � ����� ���������

����� ��������������������������� ���������

������������� ���������� ������ �������

� ����� ������������ ��� � ����� ��������� ��

������������������������� ����������� ���

����� �"������� ��� ������� �� �������� ���

��� ������� � �������� ��� ������ �����/

� ����������������� ������������/������

&������� �������� ����������� ������� ����

��������� ������ ���������� ����������������

������ ������������������� ��������������� �

����� ��� �� ��������� ��� �������0� 5E���

������������ ���� ���$������������ ��� ���� .

6������ ��� ���� ����� ���$�����������������

� �� �����E���78��� ��������� ������� � �

��������� ����������������������������

�� ������� ��� ��� ���� ��� �������� ������ �

������ � ����� ��� �)��� ���������� ��

���������"����������������������������

� ���������� �� ������� �

$��� ��� ������� ������� � ���� ������� ��� ��

������� ���������� ����������� �����������

�������� ��.����� ���� �� ������������������

�)������� ������ ������ ;������ �� �������<�

������ ���������� ����� �� � ��� �����������

��������� �������������� ������� ��� ������

���������;����������������������<��'���

����� ���������� � �� � ������� � ������ �

������ ��� ��� �� � � ����� ����������������

� ���� ��� ����� �

=������ ������ ��� ������������������ ��

������� � ������� ������������ ��2� ��������

�� �������������������� �� ����� ���� ���������

���� ��������������� ����������� ����������

������ ��������� ������������ ������� �����

���� ������ �� ����� ������������������� ����

����� ���������������� ���� �����������

������������*�������� ����� �������

! �������� ��������� ������������� ��������

��������� ������������������������������

�� ����������������� ������������ �����

�� ������������������ �������������.���

������������������ ����"���������������������

����� � � ���� ����������� ���� ������� �����

��� ���� ����������� ��� �� � �������� � �

��������������������� ������������ ��

���������������������������������������������

�������������� ������������������������������

����� ����������������������������*�����������

����� � � ���� ����������� ��������������

!� �� ������������������ ��� ���������3���

�� � ������� � �� ���������� �����

� ��������������������������������������.�����

���� ���+������� ��������������) ����� ���

������������������������������������� ������

�� ������ ��� ����� ��������� � � ��� � �

������� ������������0����������� ���������

��������������������� ������ ��$������������� �

����������������� ����������� ��������

����� ��������������

� ������������������ ��� ��������������

�� � ������� ��� �������� �������� ���������

��� ����� ���������� ��� �������� ������� �

������� �� ����� ����� ���������� ��� �� ��� ��� �

������� ������������� ��� ��� � ������

������� ����� ��� �� � ������� � ������

������� ������ ����� ��������� ��������

����;���� ��<� ���� ������������������������

����;�� �� ��<.�� ������ ������������������ ��

������� ��������������������������� �����

� ��������$����������� ��� � �����) ���� ��

����� �������.� ��� �� � �������� � ���� �

����� ������� �������� ��������� ����;���� ��<

��������������� ���;�� ���<������������������

�� ��� ����������������������� � ������� ��

������������� ���������� ��� ������ �����

��������������� ��������� ����� ����� � ��

�� � ����� � �� �� ������ �� ���� ���� ��

������������������������ ���������

������������� ��"� � �������������������

���� � ������� ������������ ���������� �

������������ �������� ���� ����������� ����

���� ������������� ���������� ��� �� ��� ���

���� ��������������������������� �������������

Page 9: problemas de cambio y combinacion

����������

���� ���������������������������� ! �

���

������������������+�����������������������

�� ��"� �������� ������ ������� ������������ �

��� ��� �������������� ������������� ��

����������������� ��������� ��� ��������� ��

�� ��� ��������$���� ������ ��� �����������

������������� ����� � ������������������

������������������ ���������������� ���������

���.�� ����� � ����� ��������������� � �� �

���� ����������� ��� �������������������

������������������� �����������+������ ������

�� �� ������ ��� ��������� ���������� ���

����������F���� �� �������� �������������

��������

����"(�� ," ����"�2� ������� � ������� ��� �������� ����

���� �������������� ��"� ���������������������

������ ��� ���� ��� ������������������� ��

�� ����� ����������������������� ���� ���������

����������������������� ������������������

������ ��� �� ����������� ���� ��� ��� �����

������������� ���������������2� ������� � ��

������ � ����� ����� ������ ��� ������� �� ��

�+���� ����� ������� ��� �������� ���

� ����������������������"� �������������������

������������������� �������� �������

2� �� � ������� ��� ������ � ������ ��

�� ������� ��"� ���������������� ����������

�� ��� ��� �� � �� ������ �"��������� ��

��� ��������������������������������������

������������ ������������������!��� � ���� ����

������������� ����� �� ������ ����������

�����������

��� ��� ������� �� ������ �� � ������

��� ���� ��� ����� ������ ���� �� � ������ � ��

��������������������"�������� �����������

����+������������� ����� ���������������

������;����*�� ������������� ����������

�������� � ���� �������� �� ���� �� �� �

�"����<.� ������� � �� �������� ��� � ��

������ ��������� �������� �������������� ������

����������������� ��������� ��������������

���������� ���������������� �� ������ ��� �

�������������������� ������������������ �����.

��� � ��� �� �� ����*�� �� ������ ������� ��

������ � ������ ������������ ��2��� ����� �

�������������������������������� �����

��������������������� ��� ������� �

2�� ����������� ��������)��������� �����

����������������������������� ������������

������������������ ����������� �������������

�� ����������������� ����� ���� ����������

5 ��������8������ ��� �� ��� �� ����� ����� ���

������ ���������������������� ��� ��� �� ������

�� ������� ����� ����������������������.���

�� ������ � � �)��� ��� ���� �� � ������ � ���

������

2� ��"� ��������� ������� � ������� ���

���� �� ������� ������ ��&����� � ������� ��

������������� ������������� ����� ����� ����

�������������������� �� ��� � ������ ����� �

�� ���������� �������������������'�� �����

����� ���������������� ������������� ���������

;�������������������<���� ������ � ������������ .

��� �������� �� � �������� ���� �������� ��

������ ��)��� �������������������;��*���������

���������������� ��� ����������������������<

������� � ������� ��������������������������

����� ��� �������� �"��� ��� ��������������

;����������������<��� ������� �� �������� ��

�������� �������� ��������� ��� ��������

F��� �� ������� �� ���� ��� � �� � ������

����� ��� ��"� � ��������� ����� ���������

�������������� ������� ��� �������� ��

�� ���� �� �� �� ��� ���� ���� �� �"����

���������� �� ���������� ��3� �������������

����� ������� � � ����� � � ����������

������������� ������� ������ ����� ������

������� ��������G�����,�������������� ����

��� �� �� ����� � �

$�������������������� ����������� ������

���������+�������������������������������������

�������������� �� ����� ���������������� ����

�"� � ��� ������ � �� �� ������ ������ �

������� ������������ ��$���������������� ���

������� �� ����� � ��������������� ������

���� ������������ �������� �������

'���������������� ������������������� ���

������������������������������ ��"� ������ ���

������������ ��������������������� ����

��������� ����� � ������������ � �� ���� �

�� ������ ���������� ������� ������������ �����

Page 10: problemas de cambio y combinacion

'�(�)*+'�',-�,��,+����,�'�.��,�',�+�-�/��,/0��)�-

���� ���������������������������� ! �

��

���������� �� ��� �� ������� �� ��� ������

�������������!��� �������������� ����� �

���������������������� ��������� ����� ���

������� ������� ���������� ���� ��� ���� �� � �"�

�������������*����� �������������������

������ ������������������������������ ���������

������ ��G�� �� �� ������� ���������������

���� �� ����� � ������������ �������� ����

�� �� �� � ������� ������������ ���� ��

��������������������

2� � ������� ��� ������������ ����� �

�������� ���� ����� ����5�����������������

������8��������� ��������������������������

������ ��� ������ ��������� ���� �������� ��� ��

�������� ������ ������������������������

�� ��������� ����������������������������������

� ����� ���� ������� �����$��� ��������� �����

��������������������������������� ���������

��� ��������� ����� �� �� ������ ;5!������� �����-

����� ��� ����@�������������.�6������ ������

������ ��* �����������7<���� ��"� ������

��������������������������������������"����

�� � �������� ���� ��������� �������� ���� ����

�����0�5��� .��������;����� ������� <�������;���

� �� ��� <�� � �;����� ���� ��� <�� ����;�����

��������� <�� ����� ;���� � � ������� <� �����8�

'��������� ��� �������� ����� �������������

����������� ��������� ������� ������������

�� ��������������� ��"� �����������������

�� ������ �� ���� � ���������� � �������� � �

������� �

=���� ����� �� ��������������������������

�� ���� ����������� ������������5��������

��������������8����������������������������

���������������������������������������������

��� ��������������������������������������

� ����� �� ��������� & ����� ���� ��� �������

�������� �� ��"� �������� ��� �����0� 5����.

��$�� )���'� "�&"� � "%�"��� �����&"��

��!� ," ��&���-� ����"(��

)�39����:���&���; <��&"�%�"���=�

��39�&���1&� �� )�&"�%��9>"� ���%��%�% &"�%�2���&>$&"���&����2���$&�

<��&>$&"��6�&�2=�; ��2� ���%"

<"���=�� ��&����� �� )�&"�%��9>"� ���%��%�% &"�%�2����&"�����4$�

�:�������%��2���"%����%"

�� )�&"�%�"��� �2� ��9>"� ���%���"%3�&�%�2���&>$&"�

% $2"������2�"���

)�39���4$�"�&������&>$&"� < ��%�%��=

6�&�2�� ��&����� �� )�&"�%��9>"� ���%��%�% &"�%�2���&>$&"���&����2

�� ?$�"�%�2� ��9>"� �4$� ���6����2���&>$&"����39��

�� )�&"�%�2� ��9>"� �4$�4$��&���%�� "�92�%�2

��&>$&"��% $2"���

��$�2���1&����6%&��� <�:���%� �9%=��� �$@ ���3��%>�%�

� ��&����� �� )%�%��� �6�2� ����9>"� ���%��%�% &"�%��������&>$&"�

�� �:���%��9>"� ���2��6�2��35 ��4$:��A� "��4$� �

��$�2���2��6�2��3�;�%

�� )�&"�%�2�&B3%�����9>"� ��:�����

)�3��%���1&����6%&��� <3��%>�3�&"�=

� ��&����� �� )%�%��� �6�2� ����9>"� ���%��%�% &"�%��������&>$&"�

�� )�&"�%�2�&B3%�����9>"� �&��3��%>��� �&�2��6�2���2

��&>$&"��3�;�%

Page 11: problemas de cambio y combinacion

����������

���� ���������������������������� ! �

���

� �;����� ������� <�� ����;����� �� ��� <��

�����;����� ���� ��� <�������8�

� ������������������������������������������

����� ����� �������������������������������

���������������� ��������� �� ����� ����������

�������� ���� �� ���� �� �� �� � ����� � � ���

��������� ��������� ���������������������

����������������������! ���������������� ����

�� ��������� ��������������������������������

�� ��������� ������ ��������� �� ��� ���

���*�����:��� ����� �� ���������������������

������ �� �� � �������� � ������ ������� �

�������������� ������� ����������� �����

C ����-�

'��������� ��� �������� ����� ����������

�"� � ����� ��� ������ ������� ��� �����

����������� ������;�����5H8������������� ������

������ ���<���������+����������������������

���� ������������� ����� ��������������

������.�� �����������������+����������������

���������� ������ ������������� ������� �

!��� ��� ����� �����)��������������������

���������������������������������� � ���

���������������� ���������������������������

� ��� �� ��� ���� ��� ������ �+����� ��� ��

�����������������;�����5I8�������������������

�� ��� � ���<���� ��� �� � ���� �� � �� ��"�

���������� ���� �� � ������ � ����������

������������������ ��������� ��� ����� ����

��������������� �������������������;������������

��������������������������������� �������*�

�������������� ��� ���������� ������� ��� ��

���<�� =�� ����� �� ���� �� ��� �������

5���� �����8�;�����<����� � ����� ���

��� �������������5������������� ��������� 8�

'������� ��"� ������������� ����� ���

������� ����� �� ��������� ����� ������������

������ ��������� ����������� ������� �� � ��

������������ ��* � ��������������������������

����������� ������������� ����� ����� ������

��������������� ������ ������������� ���.

� �������������������� ��������� �������� ���

���������� ���������� ����������

$���������� ������������� � ������� ����� ���

����*������������ �� ����� � ��� ��� ������

������������ 0���� 5�����������8��� ��� 5������

��� �� ��8����� ������������ � � ���� � ����� �

���� ����������������������������� ��������� �

������� ��������������������������������

��������������������������������� ��$�����������

����������� ����������������� �������� � ��

������ ����������� �����������������������

���������� �������������������������� ���������

�"� ������������� ��� �����0�5�����.�����

;����� ��������� <�� ���� ;����� �� ����� <�

� � ;����� � ��� ����� <�� ����� ;����� � ������

���� <������8�������� ����� �"�������� �������

���������������� ��������������� ������ �����

�� ��� ����������� �������������!����������

�� �� ����� � � ��� �� ������������������� ��

����� ��� ������������ ��� � � ��������� ��

������������������������� ����� ������

�������� ��������.����� � ������ �����

����� �� ��� ���� ���*���� ��� ����

������� �� ��� ��� ���� ��� ��� � ����� �� �

������������ ��� ������� � ����������������

2�� ���������� �� ���� �� ����� ��� � ����

� ����� ����������������� ����������������������

������������������������������������� �������

������������ ���������������� ������������ ��

�� �� ���������������������� ������"���� ��������

��������������� ������ ����������������������&

� ��� ��������������������������� ��"� �������0

5������.������� � �� ����������������.�������8�

������ +������������������������������������

�� ��������� ������� �

8 5

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

? Si cuentas todos estos puntos, ¿quédirías para este (?) punto?

8 5

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

? Si cuentas todos estos puntos, ¿quédirías para este (?) punto?

'�(&�� .����2����& �&"%���&"��;���%��&�2�����

Page 12: problemas de cambio y combinacion

'�(�)*+'�',-�,��,+����,�'�.��,�',�+�-�/��,/0��)�-

���� ���������������������������� ! �

���

��� ������ �� �� ��� ��� � �������� �� ��

� ����� � ���� ��������������������������

� ����������������� ��������������������

������� ��������5������������������� 8�;����

������ �������� ��� * <����������������

5����� � ����� 8� ;����� ������ � ������ �

������������� � � <������ ���������������

��� ����� ���� ������ ����������� � ����

������ ��������� �+����� ��� ���� � � � ;����� ��

���� ���������� ������������ ��� .������� �����

����.������ � ���������.����<��� ����������������

���������������������/�����������������������

��������*���� ���������� ��������������

� ������ ������ ������ �����2�� �����

������� �� ����������������� ������������

����� � ����� � ��������� ��������� �������

��������� �������������� ������������ �����

�������� � ����� ��3�� ��������������������

���������� ������������� ����������� ������

���� ������ ���� ������� ���)���� ��� ��

�� ������������������ �������������������

$������������������ � �� ������ ������

������� ������������ �� ����� � ������� ��"�

������� ����� �� ������ ���� � �������

����������� ������ �������������������� ����

� �� � ������� � ���� �� ����������

����������������������������������������� ��"�

��������������������� ��������������� �

������������� � ���������� ��� ������� ���

��� �������� � �� ����� ���������������� ����

��� � ���� ������ �� ������ �� ����������

�������������� ���������������������������

���������� ��� �������� ������ �����������

���� ����������������� ��������� �����������

����� �� ����������� ���� ��� �������� �� ��

����� ����������� ��� ����� ����� ������

��������������������)������������ ������

���������� �

��� �� ������ ��� ��� ���� ���� � ������

����*���� ��������� �� ��"� �� ������������

���������������� ������������ ���������

����� ������� ������������������ ���������� �

����� �����*��� ��� ������������� ���������

������� ��������� ������� ������������ �

����������������� �����������������������!

������ �� � �� � ���������� �� �������� ����

������������������ ����������������������

���������*������ ��������

���������� ���������� ��������������� ��� ��������� ������

����� �� �� �� �"����/���������� �� ��

����*������ ���������������� ������� ���

����� ������ ����������������� �����������

���� �� ��� �������� �� ��������� �� !�����

�� ��� �� ��� �������������� ������������

����������� ���������������������������� ���

������������� �������� �����������������

�" ��&��-� ," !��$�"�� ��� �*���� � ������ �� ��� �� �����������

��������������������������)����� B� �����

�������������������������������� ��������

����������*�������� � ��� ����� �������

�� ��� ������� � ���������� J�,@�� ! ��� ��

��)��� ������� �� ��� ���� ������ ����� �������

������� �� ������� ��� ��� ���� �� ���� ��� ��

���� ������ ���� �� � ��������� ��� ������

��� ������������������ �������������������

&���������� ����� �������� �������� �� �����

����������������������*����������� ����� �

�������������������������������������������

� ����������������� ������������������ �

�� ����������� ��� ������ �� ��������� �����

�������=�������������� ��� ���������������

��� ����� �������� ����� ��� ���������� � ��

�������������������������������������� �����

���������������������!�������������� ��������

�� ��������� ���� �� ������ � �� ���������

����� ���������� ��� �)������ �� ��� ������

����������

&�� ���� ������ ��� ������� � �����

����� �)������ � ��� ����� �� �� �� ������� �

�������� ,A�D,�� G�� � ���� � �������� �� ���

��������������������������� �����������������

����������������������� �������������������

������ ���������� �� ���� � � ����� � �����

����������������������� ���� ���������� ����

��� ��)��� ������� �� ���� ����� �������� ������

�� ������� ��� ��� ���� �� ���� ��� �� � ����

����� ���� �� � � �������� � ������� �� � �

����� ��� ������� ���������� � ����� ��� ��

Page 13: problemas de cambio y combinacion

����������

���� ���������������������������� ! �

��

���������3������������ ����� ������������

������ ����������� ����������� ���� ������

� ���������� �� ��������� � ������� �

! ������������������ ��� ������ ���������

� �������� �����K��� ���2��?�,A���>����������D,

��������� ���� �� � �������� ��� � �����

���� ���������� ����������� �������������

����������� � ����������� �� ������ �������

������ ��� ��� �� ������� �� ����� � ��������

������������ ������� ����������� ����������

���� ��������� �� ������� ����������������� ��

����������������������� ����������������

������ � ���������� ��� ����� ������� ���� ��

������� ������� ���� �� � �������� � �������

� ���� ������� ��)��������������������������

�� ������������������������ ����������������

����������� ����������������� � ������� ����

�������������������������)���������������

������� ������������������ ��� ������������

������� �� � ��� � �������� �������������������

��)��������������������������������������+�

��������5���8����� ����� �� �������� �5����� 8

������������� �������������������������;�*� �

�� ��������<�

:��� ������� ,J�,H����������� �������� ���

�������� � ��� �� � ���� ��� ������� ��� ��)����

�������+������������ ������������������ ���

����������������������*���� ����������� ��

� � ������������ �� ��� � ��� �� ��� ��� ������

���������)�������������������������������

�� ��� ���� ����� ���������� �� �� ������ ��

����������! ���L�� �����4�����,H�������������

� �� ��� ��)��� ��� ��������� �� ����� ���

����� ����������)�����5���8����������� ������

�� ������� ���������������������������� ��

����)�� DD�D9�� ����������� 0������ ��������

����� ���������������������� ����������

������������)����� ������� ������� �����

� � � ����� � ��������� � �� ������� �� ����

����������� ������������ ��������������

��� ���������� ��� ��� ���� �� �������� ��� �����

���������� ��������� ������� ����������

����� ����� ���� ��� ��������������� ����

�� ��������� �����*��� ���� ���)�������� � �

��������� ��������������������������)����� �

������� ������ ���������� ������������������

���� ��� �������� ��������� �������������� �

�� ������������������������������������� �

�� �������������������������������������

��������� �� ������� ������ ���������

���� ����� ���� ���������� �������� �������

���������������������

��������)��� ������ �� ������ ��� ��

������������� �����)������>�� ��,I���������� ��

������������� ������������� �� �������

�����������)����� ����������������������������

����������������������� ��������� ���

�������������������� ��������������������

��)����������������� ����� �� �����������������

����� �� � ������������ � � ������� � �� ��

� �������� �������������������������� ��������

� ���������������������� ������� ����� ������

���� ����� ������� ������� ������������ ���

������5�� ��������� � ��������� � ���� �����

��� ������ �� �� +�� ����� �� ��� ���� �����

���� �� ������� � ������� �� �� ������� ��

��������������� ����������� ������������� �

������ ���� �������� 8��������������� ��������

���������5 ���������������������� ����������

� ��������� ��������� �� ����������� ��� �����8�

&��������������� �������� ���������������

���������������������������������������

���������

������������������ ���������������������

����� ������������� ������� ����� � ����

����������������������� ������������ ��.���

� ��� ����� �� �������+��� ���� � ��� � �

���������� ������ �� B� ��� �����������

��������� �

6$����*��� ��� ��������� � ����� ������

���� �����7

=�������������� ��� ����������� �����

��� ������������ ������ ����������������� �

���� ������������ ������ �������� � ��� ��

��������� �� � ���� � �������� �� 2�� ��

����������� ���� ������� � ��������� � � ���

������� ���� ���� �������� ����� ����� ���

��������������������������������������� ��

�� ����� � ����� ����������������� ��������

�� ������������������������������������

����������� ������� ��� ��� �� ��������� ��

� �� D@�

Page 14: problemas de cambio y combinacion

'�(�)*+'�',-�,��,+����,�'�.��,�',�+�-�/��,/0��)�-

���� ���������������������������� ! �

��

'����������� ������������ �������� ��

�� ��������� ������� ��� ��� ���� � ����

������� ���)�� ��� ���� ����������*���� �����

�� � ��� �� �� ��� � ��� ������ �����

��������� ���� ���� ����������� ����������

�� ��� ��������� ���������� ���������� ��� �

��� ��������� ����� ��� ����������������� ��������

�� �����������������������������&����� �������

���� ���� ���� �������� � ������� ��� �� ���

������ 0�������������������������������

��������

� � ����� �� �������� �� � ���� � ��� ��

�������� ���������������� � ��� ���������

��� ���� ��������! ����������� ��� ����� ���

���������� ���� �������� ��������� ���������

������ ��� �� ��� � ����� � �� �� ������� &�

����� ����� ��������������� ��������� ��������

������� �� �������������� � ������������� �� ��

�������������������� ��������� ���������

�������������� � �� ����������������� ����

��� ��� ����� ��� ������ �� ���� ��� ��� ����

���� ������������������������������ ���

���� ������� ������� ��� ��*���� �����������

;�������������5 ����8���5�� ����8�����������

����������������������;���� ������������������

,��������������-<�������� ���������� � � ��� �

�� ��*���� �����������������������������������

;���������5 ����8���5�� ����8����������������

������ ������������������@��������������@<�

$��������� ������������ �������������������

���� � ��� ����������� �� � ��� ����������

������������������������������������ �

! ��� �� � �������� � ��� ����� � �� �����

�� ���������������������������������� ����

���������������� ��� ������������������

�������������������� ������������� ��������

����� ����� ��������������)������������������

� ������������� ����������� �������� �����

� ����������������� ���������� ���������� �

�� ����� � ����� ��� �������� ����*��� ��

��������������������������������� ��� �������

������ ��� �� ����������������������� ��

���������� ����� � ����������������� �����

�� ������� ��������� ������� ������������ �

� ��� ���������������� ����������������

����������������� ����������������� �

2���� ����������� ��������� ����� ����� �

������� ����������������������������������

��)���������������������� ����������������

� ��� ���������������������� ���� ���������

���������������������)����� ����������+���������

5���8����� ����� �� �������� �5����� 8������

������ � ��������� ����������������� G�����

�������������������������������������������

����������� ��������� �����������������������

�������0�5E���������H������ .�*�������-���

����$���.�6������ ������ ������$���78��2�

��� � �������� ��������� � ��� ��� ��������

���������� ;�� � ����� � ��$���<�� ������� �

����������������� ��� ��������� ��������� ;��

����� ���E���<���� ����������������� �� ��

�������� �� ��� ��������� ����������� �� ��

����� ���� ������ � ������� ������������

�������� ������������������������ ������������

������������������������������ ������������

������ ��������������������� ������ �����

����������� �� ����������� 5���������������M

���������������������������������8���5��������

������M����������������N�����������������8�

��� ������ ����������������������)�����������

����������������������������������������

������� �� ���� ��� �������� ��� ���� ��������

���������,@�� ������������������������������

���� � � ��������� �� ��� ��������� ���������� ;��

� ������<�� �������������� ���������������

�� ����2� ���������������������� ������������

������ ��� �� �� ������� �� �������� �� � ��

�������� � ��������������������������������

�������������������

!� �� ���������� ����������� ���������

���������� ������ ��������� ������ ����� �

��� ��������������������������;������@���A<�

&�� �� ������� ������ �� +�� ������ 5����� �

���� �� �� � ��������� �������� 8,A�� $��

���������������������������������"����

�������5��������������� �������N���������

������M��������������8�;5E������������ ���

����� .�������� � ������� �������������.������

��������������� .� 6������ � ���������� ��� ��

�����78<�� �� �� ������� ������ �������� ��

��������������� �������������� ������"�

��������������������.����������� ���������� �����

Page 15: problemas de cambio y combinacion

����������

���� ���������������������������� ! �

��

��������������������������������� ���������

�� ������ � ���� ������ ����������� ���������

������������������� ������� ������� �������

��� �� � �������� � �� ������������ �����

����������������������������������������� �����

��� �� ���� �� �� � �������� � ���������� ���� �

� ��������������������� ��������*������� �

��������������� ������������� ��������

���� ��+���� ��� ������������������������

�������������� �� ��������� ��������������

��� � ��������� ���������� ��������� ���� �� ��

�������� ��������������(�� �����������������

��������������������� ����������������������

�������� � �� ������ �� ����������� ��� ��

��������������������������������������%�

������ �����������������������������������

���������������� ������������������������� ���

���������� ����*��� �������� DA�

$���� ����������������� ����������� ������

���������� � �������������� �������������

����� ������ � ������ ��������������� �����

�������� ��� ����� ������ ����������� $���� ��

����� ����������� ��������� �����������

�������������������������������������������

����� ������ ��������� ������ �������������

�� ��������� ���� ��� ����� ���� ����

;� ������������������<����������������������

�+������� ���������

�!"������" $* ��� �������� ������ ����������������� �������

��������������������������������������� �����

�� �������3������ �� ���������� ����� ������ �

�������� ���������* ���� ����� � ��������� �

$���� ��� �� ����������� ��� ���� �� � ������

������������������� ����������� ����*�

��� ��� �� ��� ����������������������������

��� �� ������� �� ����������� ��� ��������

������� ������������ �� ����� �� 6'���

����������� ����� �7�=����� ��� ����������� ��

��� ���������� ������������������������ �

�������� ������������ �� �����������������

����� ��������������=������������������ �� �

������������� ������� �;����������� ����������

��������������� ������ ��� ����<���������

�)������������ ���� � ��$���������������) ��

������������� �)������ ��� �� � ����� �� ����

������� ����������������� ������ ��� ���������

� ������� ��� ���������������������������

�������������������������� �����*��� ����

� ��� ��������������������������� ������

������� �������

&������� ��� �����������������������

���� ����*��� � �� ��� ��������� ����* ��� ��

� ����� � � �������� � ���� �� � �"� � ������

������ ���������������� ������� ���������� �

3��������� ����� �� ��� �� ����� ������� ���

���������������������������� �� �� ����� � �����

���� �����������������*������ ��� ���������

������������������������������������������������*

�� �� �� ����� � ������������ ������������

��������� ���� ���������������������������� ��

�� ��� ��� ������������� �� ����� � ����������

��������������������) �������� ���� �������

��������)����������������������������������

��� ���������������� ����*��� ��� �� �

� ������ ������ �� ����� � ������������� ������

�� ������� ������ ������ ����� ��)�������

�� ������� ���� �������� � ������ ��������

��������� ������������������������� �� �����

������� ���������� � ���*��� �� O���� ��

�� ��� ������� ����� �������������� ������

������ ����*��� � ������������ ������� �����

�������������������������� � ������ � ��

����� �� �� � ���� ���������� ���� � �����

������ ��$������������ ��� �� ������5����8��� ��

�� ������5�� ��������+����� �����8��������

������������������������������� ����� ���

���������� ��������������� ���������� �����

��� ��� ���� � �� � ���������� � �� �����

������������� �� ������5��� ��� ��+���� ���

����� ������� ����+����8���5��� ��� ��+����

�� ����� �������+����� �����8��!� �� ����

��������������� ���������� �� ������(���(� �����

� �P����(���P� ������� �(������ �� ������*����

� �� � ������� �,�;�����J���A��I���H��-@���-9���<�

O����������������������������� �������

������� �������������� ������������ �� ��

��������� �� ��� ��������� ���������������

� � ���� � �� � �� �� � ������ �� ��� ��� �����

������������������������������ �����������

���*��� ��� �� ��3�����*�����������������

Page 16: problemas de cambio y combinacion

'�(�)*+'�',-�,��,+����,�'�.��,�',�+�-�/��,/0��)�-

���� ���������������������������� ! �

��

��� �������������� �����������������������

������������� �� ��������������� ��� ��� �

�� ������������� ����*��� �� ������ � �

������ ��������������� ����� � ��������

����� �

$���� ����� � �������� ������ �;����*�

������ �� ����� � ������ ��������� ����� �

����� ��� ��� ������� ������� <� ���������

������� ����������� ������ ������� ��+����

������������������� ���� ���������� ���

���������� ����������������+���� ����� � ���

�� ������� � ��� ������ �� $��� ��������� ��

���������A�N�J� ������� ��������� ����

������� �� � �+���� � ����� ������� �����

������ ��������� ����� ��� �����;QA�N�AR�N�,.

5 � � ��� � � � ���������� ����� �������

���� � ��������� � � ��� � ����� ������� ����

������ ���� �������8<��:�����*�������������� �

���������� �����������������������������

���������� ������ ������������� � �����

���������������I�N�(���(�N�I.����� ����� �����

����������� �� ������ �����������������

�������� � ����� � �����.�� ���I�N�A� ������

� ������������I�N�Q�@�N�,R���������I�N�,�M�,P

N�@���������� ��������� ����������������������

����� �� ����� ��� ������ ���� ����������� �

��������� �� ���������� ����� �������

�������.��������������H���@� ��������� �����

��� �������� ������ ����"��������������

�����������;@�N�-�M�H<.����������������� ������

������ ����*��� ��� �� ����� �����������

������������� �������� ���

� �� �� ����� � �������� ������ �����*�

������������ ��������������� �� ������

������ ����*��� ������������������ ���

$��� ��������� ��� �� ��� ��� ����� ��� 5J�S� P8� �

������������5 ���� ���� �������� ����8.��

����� ����������������������������5��� ����

�� ������������ �� � ���8�

(����������������� �� ��� �� ���������

����� ���������� ��������������������

����������������������� �������������

����� ����*�����!����������6��*���������� �

��������������� ��������)��7��$��� ������������

��� ��� �� ���� ��� �������� � � ��� � ������

������������������������� �����������

���*��� ��� �� ��$����������� �����������

�������� �� ��� �������� �����������������

����� ����*��� �� ��� �������������������

�� ���������$��������������������� ���������

����� ���������������$��������������� ������

�����������������������������������������

������������� �� ��� �� ������������ ����� �

����� ������

��'�������� � �� ����������=��� ���� ������� � �� � ������� � �� ��

����*����� �������������� ����������� ���

� ������������ ������ ��"� ������ ����������

���� ������������� ��� ����� �������� ����

������ �� ������ �������� ���!��� �� ��������

����� � � ���������������������������������

��� �������� ������������� ����� ��������

��������� ������������� ��(� �� ���� ��������

������ ����)������������ ����� ��) ��������

�� �"��������������*�����������������������

�������������� ��"� �� ���������� ���������

������ �� �� � ���������� ��� � ������� � ���

������������� ����� �

'�������� �������������������������

��� ���� � �� ��� �� �� �� ��"� �� ���������

���� �������� �"���������������������*����

����������� ���������������� ���������

��������� ���������+���������������������

������ ����*��� � �� �� �� ��� �� ��������

������� ������������ ������� ���������

���� ��� ����� �������������� ������

&������� ����� ��"� ������������������

����*���� �������� ����������� � �������

����� ��������� ��� ���� ���������������

���������������� � ������ ����� �� ������������

����������� � ������ ������� ���� ���� �

����������������������%���� ��"� �������

��������� �������� ����������������������� �

���� ������ � ������ ��������������������

��� ����� �� ���� �� �� ����� � �)������

�������� ������� ������ ������ ���������

���)�������3�� ���� ��� ���������������

�������������������� �������� �������������

�������� ������� ���������� �������������

������ � ������ ����������� � �� ��

���� � ��������������� ����� �������������

Page 17: problemas de cambio y combinacion

����������

���� ���������������������������� ! �

��������(����������������� �������� ��

���� �� �� � ������� � ���������� � �� ��

������� �������� ����������� ������� ���

����������������� ���������� �

(���� ������������� ���������� �������� ��

� �������*������� ������������� �� �����

���� ������� ������� � ��� ��� ����������

'��������������� ����� ��������������� ��=��

������ ��������������� �� ��������� ��������

���������� �������� ���������������������

������ � ��� ��� ������� �� � ����������

���*��� ��� �� ��� ���� �������������������������

�� � ��*����� �� ������� ��� ��� �� ������� �

�������� ��������������� ��� ���������� ���

������������������������*�����(���� ���������

����� ����������������������� ��������������

�� �������� ����������������� .������� ���

��������������� ���������������� �

�����&���," "� "� �!�"�,�/�0" ,"� �*��&��'������������ ���������� ��������������

�� �������� ������ ������������������ ���

������ �������� ������*����� ������� ������

��������� ����������� ����*��� ��� ��

;����J�N�I�M�7<�������������� ��������������

����� �������� ������ ������ �*�������������

�� �� 0������������� ������������������

����� ��! �������������� ����������������

����*��� � ;� ����� � � �� �� ������� �

��������� <� �������������� ������ ������

����� ������������������ ������������� ��

��������� !��� �� ������ ������� � ��� ��

����� �������� �� ������������ �� �����

����*��� � � �� ���������� �� ��� �� �����

��������

�������������4������ �������������� �����

�������������� ����DJ�DH��� �������������������

��������"� ������������ ��;�����������

�� ��������� <������������������� ����� �

�� ����� � �� ��������� ������ �� ������

�������� � ���� ��� ����;���� ����+����

���D����I��������������-�N�9<��2� � �� �����

��� ����� ���� ��� � �� � �"� � ��������� ��

� �� �� ����� � �;������������������������

����������������������������� <�������������

������������������������������������

� ����� � ��! ����� ��"� ������������ ��� ����

������������� ������� �������������������������� �

������������� ����� � ����� ������ ���������

;������������������� ���<��������������������

�� ������ � �� ������������ �� ���������� �

����� ��� �� ��� ��� ��� ��� ���������������

������� ���� ������� ��� �� ��� ����� � � ��

���������� �*������������� ����� ������� ��

������� ���� ������� � �� ������������ ���

����� ������� ������������� ����������

������������������ ��������������� �����*���

�� �� ��������������

%� ������ ������+�� ����� ��� ����� ����

��������������� � �� ��* �������� �����

� ��������%����� ������� ��"� � �������

��� ��� �������������������������������������

��������������� �����������������������

���������������������������������� �� ����

�� � �� ��� ��������"� � ����������� ���

�� ������������ � ����� � ��� �����������

� ����� � ��! ������������������������������

�����������5����������8������������������

��5������������������������8�������������

������� � ���� ������ � ������ ���� ��� ��

������ � �� ������� �� !��� �� ��� ����

����� � ��� ��� �+������������ ����������

���������� �� ����������� �� ��� ��� �������

���������������������������

������ �����������������DI����� ����������

�� ����� � ����� ���������������������� ���

���"� ������� ��������� ��������*�����

���� � ����� � ������� � �� �������

������� ;� �� � ���� �� ��� �)��� ��� �<�

'��������� ����� �� � �"� � �����������

���������� ������� ����������� ����� � �����

������� ������� ��"� � ��������� ��!��� �

������������������ ��������� ��������

���������� �����������������������������

���� ��2� ��"� � ��������� ���� ��������

���������������������������� ����� � ���

� �������� �;�����������������������������

������� <�������������� ��������2� ��"�

����������� ������ ������� ����������������

��������������������������� ����� � ����������

������������� �����������������������������

������ ������������ ����������� ����� �������

Page 18: problemas de cambio y combinacion

'�(�)*+'�',-�,��,+����,�'�.��,�',�+�-�/��,/0��)�-

���� ���������������������������� ! �

��

��� ��������������������������� ������ ���

���� ���� ������ ���������� ���������������

������� ���������������������� ������ ���

���� �;���������������� �)������ �<������ ����

����������) �������������� ���������������� �

������ ������� ������������������������������

������������� ������� � ��������� �

��� ��� ��������� �� � �� ����� � �� � ��

� ��� ���� ��������������� �� �*������ ��

������ ������%� ������ ���� 0������������

����������������������� �� ����������� �

�� ������� ������������� ���� �� �������

�� ������ ����)���� �� �� � �� �� � �"� � �

������� � ;�������� �������� ����� ����� �

� �������<�������� � ���� �� � ������ � �

������������ �� ����� � ��� ;��������� ���

��������������� �������<������� ������ �������

G�����D�

��� � ��� �����)��� ����� � �� ��������

������� �� ���� �� ������ �� � ���� �����

������������� �*���������������� ����������

������������ �� ��"� ������� ���������� �

! ����� �� ����� � ����� ������ ����� �������

������������ �������� ������� ��"� ������%

�������������������� ���������������������

����������� �� �������� � �����������

��� ����� ���� �������������������������

�� �� ����� ��$��� ����������� �������� ������

������������������� � �� ���������� ���� ��

�������������������������������������

����������������������������������������������

������� ����� � ����������� �� ����� �������

������������������ �����������������������

����� �������� ��������� ������� ������� ���

������������������������������������

���������������������������������������������

���� �������������� �������� �������������.��

� ��� ���"��������� ������� �����������������

��� ������� ���������� ��������������������

�������������������� �������������������

����� ����������� �������� ����������

��������������� �� � ������ �*�������������

������� �������������� ������������������

����� ��������������2� �������� �������

������� ��������� ��������� �� �������������

�������������������������� �������������

��������������� �� ��"� � ���������� ��� ��

������� � �� ��� �������� ����� � �� � ���

����� ��������� ���������2� �*�������������

���� ��� ������������������� �� �� ����� ��

����������� ����� ��� ��� ������ �����������

������������� �� �������������� �����������

������ ������������������� ����� � ����������

� �������������� �������������� � �����

�����������������

�����&���," "� "� �� �" ��&��-� ," !��$�"�� '��������������� ������������������ ������

����������������� �������� ������� �� �

����� �������� .�������������������������

����������������������������������������

��������������������������������� ��������

�� ��������� �������� ��� �������� ����������

����*������������������������ ����������������

����F���� ���+������ ���� ������������

������� �� �� ����� ������ �������� ��������� 0

;�< E������������ ������� ������ ����� � ��� �

�� ����DJ������ �

��$�� +�C�)�%��"%D "��� ���2� ��� "�&"� �"��� ����@6���" �&�2��52�$2��

�@6���" ��%��"%D "���

�%����3&"�2 ! "%�"��� �3&� �3��$%� �� �923&"

!%%�% �����&"� %"%� ��&�2

!>�$��1&�2&"� � �%%�22�

%�$�%���1& !�"D�����%�% &"���1& �� �923&"

��A�A� !%%�% ���%�$�%���1& ��6%&��� �&�2

!"�3�� ���% �$ "� � �%%�22�

� � "35"���

Page 19: problemas de cambio y combinacion

����������

���� ���������������������������� ! �

��

!������������������������-9������ �

6'����� ������ ����������� �����������7

;�<����������������������������� �����������

����� ����������������������������

2����������������������������-/9�������

�������� ������� � ���,/H��������

6'����� ��� � ���� � ���7

2� �������� �������������������������

����� ���� �� ������� ������ ���������

������ � ��� ���������� ��� �������� ��

����������$���������������������������;�<� ��

��������������� �������������������� ��� � �

���������������� �� ������������� ����� �

����� �����������������)�����������������

������������������������ �����������������

���������������� ����������� �����������

��)����� ��+���� �;-9���DJ<�������������������

;5 ���8<��������� ��������� ����������������

������������;-9�N�DJ<��!���������������� ���

� �������*��� ������� ��������� ����� � ��

� ��������6$���� ���������� �����������

� ������������������� ��������� ������������7

&� ���������� ������ �������������������

�� ��� ����� ������2���� ����������� �������

������ ���� ���������������������������� ��

������ ������� ������������ ���������

������� ��� ������� � �� ���� ����� �� ��

����� ��� � ������������������ ����������

��� ���������� �� � �������� � �� ������� ����

��������� �� ���������� � ����� �����������

����* ��������� ������ ���������������������

�������� ��� � ������ � ;�*�� ��� � ���� ��

���� �����)��<� ����� ��� �������������� ����

����� ����� ������� ������������� � �������

����� �� ������� �� ��� � ��� �����)���� �����

����� ������� �� ���� �� � ������ � �����

������� �������������������� �� ����� �

������ ������ �� ������ �� � �������� �� ���

���������� �������� �"�������������������

���������� �������� ����� ��� ������ ��� ��

!� �� ���������� �������������������

;�<�� ������������� ���������������� ����� ���

��� ������������� ��� �������������� ���������

� ���������� ������� ������� ������ ������

���������� ���������!���������� ��*���� ����

� ������������� ����)��������������������)��

���������� ��� ����)������������ ����������

� ����� �������� ������� ���������� ��

�������������������� ������� ������ �������

�����-/9�������,/H��=������ ������ �����

������������� ��������� ������������������

��������� �

��� ��������� ������� �� ��� � ������

������������ ������� � ��� � �� � ��������

�������������������������������������������

��������� ����������� ������� ���������� ����

���������;�<����������� ���� �����������

5��������� ����� � ������� N� ��������

������M���������� �� �����8�� �� �� ������

������ �� +�� ���� �� ����� ���� �� ��

��������� �� � ��� � �� ������ �������� ��

��������������� �������������� ������"�

���� ��� ��������� ����.� ���� ������ �� �����

�� ��������������������������������������� �

���������� ������ � ���� ������ �����������

������ ��� ��� ��������� ������ � ��� ���� ��

�������������������������������������������

��� ����������� �������� ��������� ����������

���� ��� �����������������������������*����

&�� � �� � ���������� � ����������� � ;���

�� �� ����� ����� ���������������������

�������� ������������ �� ����� � ���������<

��� � � ����� ��������� �� �� ��� ������� ��� �

�������� ����� ����� ���� ��������3���� ��

���������� � ���� ���� �"��� �������

��������� � ���� ��� ��������� �� �����

�� ������� ��� ��� ���� � ���� � �������� �

�+���� ���� ����� �

���������������;�<�������������������������

������������ �� � ��������������������� �����

����� ��������������� �������� ����������

���� � �� ������ ����������� ����� ��

�������� ��� ������������������������� �;����

����������� ������������ �����������<��>�����

��� ������� ��������� ���� ��� ������

� ���� ��� ������� ��������������� �

��� �����������������������;�+������� ���� <

����������������;�+��������������� �������

����<.��������������� ��������� ���� ��

����� ������������������ � ������� ��

���� ��������� ��� � ��� ������ ��� ��������� �

� ��� ���� � ���������� � � ���� ���� ����

Page 20: problemas de cambio y combinacion

'�(�)*+'�',-�,��,+����,�'�.��,�',�+�-�/��,/0��)�-

���� ���������������������������� ! �

�� ������������������;�<���� ���������������� �

����������� �5 ���� 8���,/H� ��������������

����-/9��$���� �������� � ������� ���� ��

����� ���������� ������� ��������� ��������

������ ����� ����������� ��� ������������� �

��������������������������*�� ������������

��������� ��� � ������� ������5�������� ��

� ��8�� �� ������ � ��� ������� &�� � ��

������������ �������� ������� ������������

������� �� �������������� ��� ��������

� ���� ��� ������������ ������������ ��� ��

�������

$��������������� �������� ��������� ������

���������� � ���������������������������

��������� ������� ����������������� ������

�������������� ������������������������ ���

������������������ ��������������������

������������������������������������������

������������������ ������������ ������������

������������������ �� �� ����� �� ����������

��������������� ����� ��������������������

������������������� ��� � �� ����� ��������

������������������ ��������

� ����� �������������+�������� �����������

���������� �������� ��������� ��������

�������� ��&���� �����������������������

���� ���� ����� ��� ��� �� ���� ��������

����� ��������������������� �����������

����� ������������ ��������� ���������� � �

���������� ������������������� �������

������ ���������� ��� ��� �� ������� �

�������� �� !����� ����� 6����� �������� ��

����� ������������ ��������� ���������� 7

��������� ������������K������ � ���������

������������������� ������������ �������

��� ������ � ���� 0��������������;������

����� �������� � �� �� <�� ����������� ;�

����* �������� �������� �������� ��� ����� <

�� ������������;���� ������ �� ���� <��! ��

��� �+����� 9@� ����� ��� ����� ������ �

�������������������������������� ��� ��

���� ������������� ������� �� � ������

�� ������� �����������������5-J8�

���� ��������)���� ��� �� ��������� �� ��

�������� ��������� ����������������������

������������������ �������������������

�� � ����� ��! ������������������������

��� ��� �������� �������� �� �� �������� ���

� �������������� ���������������������

������ �� ��� �� ��� ���� � ��� � �� ��� ��� ����

��������������������������� ��������

������� ������ �������� ��������

$������������������C ����9� ������ �������� �

��������� ����� ������������������������

���������������������;�<���������

'����� ������� ������������������������

������ ��������������� ��������� �� ��������

����������������������� ����� �����������

��������������� ���������� ����������������

����������������������������������������������

� �������� ��� ������"�����������������

���������� ����������O���� ��� �������

�� � ������� � ��������������*���� �������

����� ������ ���������� � �������� � ������

����������5����*��+����� �� ��� �����DJ�����

��� � ���-98�

���������� ���������������������;�<� ������

��������� ��� ������ �������� ���������

� ������� �������� �������� ������������� �

�������������������C ����@�

27

? 34

'�(&�� 1�����% &"���1&����"1%����;�3�&��$2�"����%��$&��%�923������39���

?

Representación pictórica

Representación manipulativa

Page 21: problemas de cambio y combinacion

����������

���� ���������������������������� ! �

��

���� ����� ���������������*����� ��������

������������������ �������������������������

5,/H����������-/98��3� � ��������������� ������

���� ������� ����� ��������� ����������

�� � ��� ���� � ���������� � �� ��

�����������

������������� �������� ��������� ������

���������� � ������������������ ���� ��

���� � ���� � ������� � ����� ���������� � ���

����������������� ������������������������

����������� ���� ����� � ����������� �����

��� ����� ������� ����� ����������� �

�����������$���������� � ��� ���� ��� ��������� ��

���� ����������������������������������

�� � ��������� �������� �� � ������� � ���

��� �������� ������� �����������*����������

�� �������� ������������ ����� ����������

���������� ������� ��������� ��������� ����

� ������������������������ ����������� ������

������ �������������� ������� �����������

������ �������� ����� ��������� ��������

��������� �������� ����������� � ����� ��

�� � ������ � ���������� � �������� � �� � ��

����� ����������������������������� �����

������������������������������������������� ��

����� ��

2�� ����������������*��������������������

� �������������������� ��������������������

������������������������ �������� � �������

������������ ����)��������) �������������

��������������� �� �� ���� ������������� �

3���������� ��� �������� ������������������

�� � ����� � ��� � �� �� � ������ � ��� ��

����*�������������������� ������������

�� �� ������� �;��������� �����������

���*��� ��� �� <������������ ������ �� �������

�����������������������������"���������� �

���� ������� �����������*����

&��������� ��������*������������������

��� ����� ������ ����������������� �����

������������������ �������� ���������������

������������������ ������ �"����������������

������� ������������� �� ������� ��������

&��������� ������ ����������������� �����

��� ������������������������� ��������� ����

����� ��������������� ����� ��� �� ����� �

������ ����� �������� ������ �����������

����������� ����� ��� ������ ��� �� �������� ��

����� ��� ��� �����

� ����� ������� ���������� ��������������

����� ������������������� ���������� �� ������

� ������������� ����� ��� ����������������

������ ��� ��������� ��!������������� ����� ��

���������� �����������������������������

����� ���������������������� � ����� ��(����

�������� ������ �������� ����������� �������

���������������������������� ������ ��"� �

������������ ������� ��������������������

!�� ������ �� � ���������� ��� ����� ���

� ������������ �������� ��&���������� ����

��� �������������� ������ �"�������������

������� � ��������������������� ����� �

�� � �� ���� ������� ��� ������� �� �

���������� ����� ���� �

�2������������ ��� ����������� �� ������������ ��� ��������

K&:DPP-�P@PJ@� ��� %� ����� �� '����� �

G������ ��� � ��"���

34

0 1

18 3

4 81

= 6

=

14

18

���������� � ��18

34

� �� � �������������

� �� � ������������������

'�(&�� 3�����% &"���1&����"1%����;�3�&��$2�"����

$&����� �1&���6%�����& ���%���%$��3�&"��

Representación pictórica

Representación manipulativa

Àcuántos

Page 22: problemas de cambio y combinacion

'�(�)*+'�',-�,��,+����,�'�.��,�',�+�-�/��,/0��)�-

���� ���������������������������� ! �

��

�'������

,� :������� E���������� � ��� ��� ���������

����������0�������� ��������� ������& ��

'����,IIJ.DH0@�DD�

D� :�������E��2� �������� ��� �T���������� �

�� �� ������U���� �� O�0� &������� ��� ��

�������� � �� �T���������� ��� K��������0

=���� ����:��������'��������.,IIJ�

-� :������� E��%�����%'��4�����!���4�����

���� 2�� VG����� ���������������W� $����� ��

�� ��� ��� ����� ����� �� �"��� �� �� �����

�������� ������������ ��'����������

2�� ����� ����������,[email protected],@�DH�

9� 4������>��4��� ����'>��G������T ����� �

���� � ��� �������� '���� �01�����

=���� ���$�� .,IJH�

@� >� ��?� 2K�� �������� � �����������

?��X�� ���!��$ ������ ,IHI.990,AD�I�

A� >� ��?�2K��C���������������� � ��� ������

��� 0� ���� ������������� �������������

�� ��������� ��� �������� ?��X�� ��� O�0

2�������4�� $������>��1�������>!�� � �

!���� � ��� ��������� ���� ���������

������ ��1�� ���02�!.,IID�

J� %�����>���%����������� ������� O�0�&�����

��� �>E�����1���������� 0�������������

����� � � ����������(�X�3��?0C������.

,IH@�� ��,DJ�@P�

H� %����� >��� '� ����� ��� � �������� �

��������� 0�������������� ������ ������

E�����$ ������,IHI.H,09@D�A�

I� %����� >��� G��?� �� �������� ���� �

�� ������(�X�3��?0C������.,IID�

,P� %�����>���2��?��E1��L�����EK��!��� ��

��������� ���������������� ���� �������

O�0� &������� � >E�� ��� !����� � �� ���

� ������ �� ��� ������ ����� ����� ����D�

1�� ���0��������.,IH9�� ��D-,�J-�

,,� &�������� !�� %����������� �������

���� ��:�����0!������$�� .,IH@�

,D� 4������E��&�����)����� ���� �� ����� �� ?

����� �X��� � ���������� ���������� O�0

&��X�>�� C������ $!��%���� ��Y��� � �

!������ ������ � ��� � ��������� ����� OO�

'� ���������� � ����� � ��� ������ ���

�������� ���� ��1�� ���0�������.,IHP�

��,�D,�

,-� '���������G$��%� ��� E%��G�������������

����������� ������������������ ����

?�� ��O�0�'���������G$��%� ���E%��>�����

3G!�� � �� !���� ��� ���������0� �

�� ����� ��� ��������1�� ���0�������.

,IHD�� ��I�D9�

,9� ��� '����� ��� F�� �������� 2�� G��� ������� ��

������� �������������� �� ���� � ����� �

���� ���� � ����� ��� ����������X��

��������� E� >� � %�������� � ���

,IHJ.,H0-A-�H,�

,@� &��������Y������?� �����������������X��

������� � ������ � ���� ������ ��� ��� ��

�� ������� ���� ������7� E� ���� $ �����

,II-.H@0J�D-�

������4�������� ���������������� ������� 0������������������� ������

G����������� ������� ����� �������������������������������������������

����������X�X����X�������X�� ������������������� ���������������

��������������� ���������� ������ ����� ��O������������ ���X�T��� ����

����X� ���X�����������T ����������������?� ������� ������� ��X�

� ���� ����� ������ � ����� � �� �� ����� �� ������������������� �

!����X�� �X���������� ������������������ ������ � ���������������

������������������������������������ ���� �

54 6����0�%�������� ��$������� ���� ��'� ������'���

Page 23: problemas de cambio y combinacion

����������

���� ���������������������������� ! �

���

,A� K��� ��E��2��?�� E1��!�� ��� ���������

��� ?����� ���� ������������X���������� �

'� �� O� �����,IH9.,0D9@�IA�

,J� '���� �����L�� ���Y��>�� ���L��Y����

>��G��������������� ���� ��� ���� �X��

������� ��'� �$ ������ ,IHH.DP09P@�-H�

,H� L�� ���Y��4������ E��=��� ���� � ��

���� �X��� ��������� ��������� $ �����

>���,[email protected],PI�DI�

,I� >�� ��� L�� C���� ��)�� ��� ������� ��

�������0� �� ����� �������� ��

���� ���� � ��� ���� ������������

X��� ������� �� O�0�%���� 1�� ��� '����

���K�������(��C������1C��� ��2�����

��� � ��������� ����� D�� :)���0$�� ��

���.,IIP�� ��9JJ�IH�

DP� >���� %&�� 4������ E4�� �������������

����� � ��� ���� ���� � ��� �� �� �����

������� � ��� ���� � ������� �� '� �

O� �����,IHH.@09I�,P,�

D,� >����(&��4������E��1������EO�������������

��� ������T � �������� ���� � ������ �

���������� O�0� 4� ��� � 1$�� ��� G��

�����������������������������?� ��(�X

3��?0!������$�� .,IH-����,@-�IA�

DD� L�� ��� Y�� G��� ����� ��� ?��X�� �� �

���� �� ��������� ��0� �� ��� ��������

��� ������ ������ $ ������ >��� ,IHH.

I@0,A-�HD�

D-� L�� ���Y��'�������� ��0� ������ �� ���

�� ������'���� �0'���� ��=���� ��

$�� .,IIH�

D9� F�����?�G!��L� ���Y��&����� � ���� ���� �

��������� ���� (�X� 3��?0!�����

$�� .,IH-�

D@� :�������E����� �������������������������

����� ��� ��� �� ����������������� � ����*�

��� ������ ���������������O������!�����

����� DPP-.DA;9<09@,�AH�

DA� C� ���L'��'�������Y%��2�� �E��2���� � �

������������ � ��� ���� � ����� ��

������������������X���������� ��'� ��

������� O� ��������,IIA.,90-9@�J,�

DJ� 4������'�� K��X��&'�� &���������?��F!�

'� ����� ����0� �� ����� ��� �����

���� ��� ����� �� ������ ��� �������

����� � � �������� � �� ������� ��

�������������� ����� �������� ���

$ ������ ,II,.DJ0JHJ�IJ�

DH� 4����� �'�� 1���� %L�� 1�� ��� ':�

(�������� ��� ����������� �� ����0

������� ����������� �������� ���������

��� � ?� ���� �������������� ������� E��)�

'���$ ������ ,III.J90D,-�-I�

DI� :�������E��%��������E��%�����%'��C�������

E'�� �������� � ��� ��� ���������� �� ��

����*���0� ��� ���� � � �� �� ������

������*���� ��'� �����DPPD.,90,H-�DP,�

��0��+�� ��� 1��������� ��� ����������������%

�����+��

"� ��� ���0 ��.�2-3'432''5

"������.� '*3'532''5