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Universidad Nacional de Moreno

GUÍA DE PROBLEMAS QUE UTILIZAREMOS DURANTE LAS CLASES DE ANÁLISIS II

Problema 1

Estimar la población de zorras es importante para los funcionarios de salud pública preocupados por

la rabia que dispersan esos animales. El diagrama de contorno de la figura, muestra la densidad de

población D=f(x,y) de zorras en el suroeste de Inglaterra, donde x e y están en kilómetros, medidos

desde la esquina suroeste del mapa, y D en zorras por kilómetro cuadrado. El contorno de línea grue-

sa, es la línea de la costa y puede considerarse por el contorno D=0; es evidente que la densidad es

cero fuera de ella.

Decidí si es posible estimar la población total de zorras de la región representada por el mapa de la

figura.

Problema 2

Sea ( ) y sea [ ] [ ] Calculá ∬ ( )

.

Rta=4/3

Problema 3

Calculá ∬ ( ) ( )

, donde S = [

] [

]

Rta=

2

Problema 4

Hallá el volumen acotado por la gráfica de ( ) , el rectángulo [ ] [ ] y los

cuatro lados verticales del rectángulo R.

Problema 5

Calculá la integral doble de la función ( ) sobre la región D del plano xy com-

prendida entre las rectas x=1, x=3, y=x, y=-x

Rta=80/3

Problema 6

Calculá ∬

, donde D es el interior del triángulo con vértices (0,0), (1,3) y (2,2).

Problema 7

Hallá el volumen del tetraedro acotado por los planos y=0, z=0, x=0 e y – x + z = 1

Rta= 2/3

Problema 8

Sea W la región acotada por los planos x=0, y=0, z=2 y la superficie z= .

Calculá ∭

Rta= 8√

Problema 9

Calculá la integral doble ∬

siendo D el triángulo determinado por la recta x+y=2 y los

ejes coordenados.

Rta=e-(1/e)

Problema 10

Calculá ∬ ( )

donde D es la región del primer cuadrante que está entre los arcos de

los círculos y

Rta=

(

)

Problema 11

Calculá la masa de una lámina triangular de vértices (0,0) (0,3) (2,3), si su densidad en cada punto

(x,y) está dada por ( ) .

Rta=10

Problema 12

Un sólido V de densidad de masa , está acotado en el espacio entre el paraboloide z= y el

cilindro =1. Encontrá su momento de inercia Iz.

Rta=

Problema 13

3

Graficá las siguientes curvas:

i) ( ) ( ( ) ( ))

ii) ( ) ( ( ) ( )) ¿Quién es D?

Problema 14.

Sea *

+ , ( ) ( ( ) ( ) ) Si la imagen de representa un alambre y

( ) es la densidad. Calculá la masa total del alambre.

Problema 15

Sea la hélice [ ] , ( ) ( ( ) ( ) ) y ( ) .

Calculá ∫

Rta=

√ ( )

Problema 16

Calculá ∫

, donde [ ] está dada por ( ) ( )

Rta=11/15

Problema 17

Considerar la fuerza ( ) ( ) Calculá el trabajo realizado al mover una partícula a lo

largo de la parábola de a .

Problema 18

Calculá ∫

, donde [ ] ( ) (

(

) )

Rta=1/4

Problema 19

Sea S la superficie parametrizada por ( ) ( ( ) ( ) ). ¿En qué puntos de S

existe el plano tangente?

Problema 20

Una helicoide se define como donde ( )

( ) y D es la región donde y . Ha-

llá su área.

Problema 21

Sea S la helicoide del problema 20. Calculá ∫ √

4

Problema 22

Sea S la esfera unidad y [ ] [ ]

( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )).

Calculá ∫

Rta=4 /3

Problema 23

Supongamos que ( ) representa la temperatura y que el flujo de calor está

dado por el campo vectorial . Determiná el flujo de calor fuera de la esfera

.

Problema 24

Calculá ∫

, donde ( ) ( ) y S la región del plano situado

en el primer octante.

Rta=27

Problema 25

Sea ( ) ( ) y D el disco unitario Calculá ∮

y

∬

Problema 26

Sea ( ) ( ) y D el disco unitario Calculá ∮

y

∬

Problema 27

Calculá el área de la región encerrada por la hipocicloide definido por

, usando la parametrización ( ) ( )

Problema 28

Sea ( ) ( ) ¿Es cierto que la integral de F alrededor de una

curva cerrada simple orientada C que es frontera de una superficie S es igual a 0?

Problema 29

5

Calculá ∫

donde C es la intersección entre el

cilindro y el plano y la orientación de C co-

rresponde al movimiento en el sentido inverso a las agujas del reloj en el

plano xy.

Problema 30

Una ley de la teoría electromagnética dice que si ( ) y ( ) representan los campos

eléctricos y magnéticos en el tiempo t, entonces

donde se calcula manteniendo t

fija. Probar que ∫

∬

Esta igualdad se conoce como Ley de Faraday.

Problema 31

Calcular ∫ ( )

, donde W es la bola sólida

Rta=4 /3

Problema 32

Sea S una superficie y . Probar que ∫