Problemario de Cálculo Multivariable

PROBLEMARIO DE CALCULOMULTIVARIABLE

Manuel Gonzalez Sarabia

MANUEL GONZALEZ SARABIA PROBLEMARIO DE CALCULO MULTIVARIABLE

1. Realiza la grafica de las siguientes superficies cuadricas y clasifıcalas.

a) x2

4+ y2

9+ z2

16= 1

b) x2

4+ y2 − z2 = 1

c) y2

4− x2 − z2

9= 1

d) x2

25+ y2

9− z2 = 0

e) x2 = 4y2 + z2

f ) z = −(x2 + y2)

g) yz = 1

h) x2 − 4y2 = 1

i) x2 + z2 = y

2. Encuentra el dominio, la imagen y describe las curvas de nivel de lassiguientes funciones. Dibuja estas curvas de nivel para algunos valoresparticulares.

a) f(x, y) = −2√36−x2−y2

b) f(x, y) = arctan ( yx)

c) f(x, y) = xy

d) f(x, y) = ln (x2 + 2y2)

3. Construye las curvas de nivel de las siguientes funciones y grafica algu-nas de ellas.

a) z = x+ y

b) z = x2 − y2

c) z =√xy

d) z = (1 + x+ y)2

e) z = 4− |x| − |y|f ) z = 4x

2x2+y2

g) z = ln (x2 + y)

h) z = arcsin (xy)

TELEMATICA 1 UPIITA, IPN


4. Encuentra las superficies de nivel de las siguientes funciones y graficauna de ellas.

a) w = x+ y + z

b) w = x2 + y2 − z2

5. Encuentra el dominio de las siguientes funciones y representalo grafi-camente.

a) z =√

1− x2 +√

1− y2

b) z = 1√y−√x

c) z =√

sin (x2 + y2)

6. Encuentra los lımites siguientes.

a) lım(x,y)→(0,0)

x− y + 2√x− 2

√y

√x−√y

b) lım(x,y)→(2,−4)

y + 4

x2y − xy + 4x2 − 4x

c) lım(x,y)→(0,0)

x3 − x2y + xy2 − y3

x2 + y2

7. Demuestra que los lımites siguientes no existen cuando (x, y)→ (0, 0).

a) lım(x,y)→(0,0)

x2 + y

y

b) lım(x,y)→(0,0)

− x√x2 + y2

8. Demuestra que la siguiente funcion no tiene lımite cuando (x, y) →(1, 2):

f(x, y) =xy − 2x− y + 2

x2 + y2 − 2x− 4y + 5

9. Define f(0, 0) de tal forma que la funcion siguiente sea continua en(0, 0).

f(x, y) = x2y3(x4 − y4

x4 + y4

)



10. Encuentra la region de continuidad de las siguientes funciones.

a) z = ln√x2 + y2

b) z = cos ( 1xy

)

c) z = 11−x2−y2

d) w = 1|xy|+|z|

11. Analiza si la siguiente funcion es continua en su dominio.

f(x, y) =

{4x2y2

x4+y4 si (x, y) 6= (0, 0)

0 si x = y = 0

¿Tiene derivadas parciales en (0, 0)? ¿Es diferenciable?

12. Sea

f(x, y, z) =

{ xyzx3+y3+z3 si (x, y, z) 6= (0, 0, 0)

0 si x = y = z = 0

a) Prueba que fx, fy y fz existen en (0, 0, 0).

b) Demuestra que f no es diferenciable en (0, 0, 0).

13. Encuentra las primeras derivadas parciales de f .

a) f(x, y) = ln√

x+yx−y

b) f(x, y) = cos x cosh y + sinx sinh y

c) f(x, y, z) = arcsin√xy sin yz

14. Encuentra las derivadas parciales de orden superior que se indican encada caso.

a) Si w = x2

y2+z2 , encuentra ∂3w∂z∂y2

b) Si w = 3x2y3z + 2xy4z2 − yz, encuentra wxyz

15. Demuestra que ∂2z∂x∂y

= ∂2z∂y∂x

si z = arcsin√

x−y2



16. Demuestra que la funcion

f(x, y, z, t) =1

(2a√πt)3

e−(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2

4a2t ,

donde x0, y0, z0, a son constantes, satisface la ecuacion de conductividadcalorıfica:

∂f

∂t= a2

(∂2f

∂x2+∂2f

∂y2+∂2f

∂z2

)17. Demuestra que para la funcion

f(x, y) =

{xy[x2−y2

x2+y2

]si (x, y) 6= (0, 0)

0 si x = y = 0

se cumple que fxy(0, 0) = −1 pero fyx(0, 0) = 1.

18. Encuentra, usando diferenciales, un valor aproximado de las siguientesexpresiones:

a) (1,02)3 · (0,97)2

b) cos 28◦ · sin 61◦

19. Una caja cerrada, cuyas dimensiones exteriores son de 10 cm, 8 cm, y 6cm, esta hecha de madera de 2 mm de espesor. Determina el volumenaproximado del material que se gasto en hacer la caja.

20. El perıodo de oscilacion del pendulo se calcula con la formula

T = 2π

√l

g,

donde l es la longitud del pendulo y g la aceleracion de la gravedad.Encuentra el error que se comete al determinar T , como resultado delos pequenos errores ∆l = α, ∆g = β cometidos al medir l y g.

21. Las dimensiones de una caja rectangular cerrada son 3, 4 y 5 pies, conun error posible en cada medicion de 1

16de pulgada. Usa diferenciales

para aproximar el maximo error en el valor calculado de

a) el area de superficie



b) el volumen

22. Los catetos de un triangulo rectangulo son de 3 y 4 cm, con un errorposible en cada medicion de±0,02 cm. Usa diferenciales para aproximarel error maximo en el valor calculado de

a) la hipotenusa

b) el area del triangulo

23. ¿Con que exactitud puede calcularse V = πr2h a partir de las medicio-nes de r y h que tienen un error de 1 %?

24. Si r = 5,0 cm y h = 12,0 cm al milımetro mas cercano, ¿Cual sera elerror maximo porcentual al calcular V = πr2h?

25. Estima que tanto afectan el calculo del producto los errores simultaneosde 2 % en a, b y c:

p(a, b, c) = abc

26. El area de un triangulo es 12ab sinC, donde a y b son las longitudes

de dos lados del triangulo y C es la medida del angulo incluido. Allevantar topograficamente un terreno triangular, se han medido a, b yC obteniendo los valores de 150 pies, 200 pies y 60◦, respectivamente.¿Que error podrıa tener el calculo del area si los valores de a y b tienenerrores de medio pie cada uno y la medida de C tiene un error de 2◦?

27. La resistencia total R de tres resistencias R1, R2 y R3 conectadas enparalelo esta dada por

1

R=

1

R1

+1

R2

+1

R3

.

Si las medidas de R1, R2 y R3 son de 100, 200 y 400 ohms, respecti-vamente, con un error maximo de ±1 % en cada medida, aproxima elerror maximo en el valor calculado de R.

28. Encuentra dwdt

usando regla de la cadena. Despues evalua dwdt

en losvalores indicados de t.

a) w = x2 + y2, x = cos t+ sin t, y = cos t− sin t, t = 0

b) w = z − sinxy, x = t, y = ln t, z = et−1, t = 1



29. Si u = eqr arcsin p, p = sinx, q = z2 ln y, r = 1z, encuentra, usando

regla de la cadena, ∂u∂x, ∂u∂y

y ∂u∂z

.

30. El voltaje V en un circuito que satisface la ley V = IR disminuye a unarazon de 0,01 volts por segundo mientras que la resistencia aumenta auna razon de 0,5 ohms por segundo en el instante en que tenemos unaresistencia de 600 ohms y una corriente de 0,04 amperes. ¿A que razoncambia la corriente en este instante?

31. Las longitudes a, b y c de los bordes de una caja rectangular cambiancon el tiempo. En el instante en que a = 1 m, b = 2 m y c = 3 m, a y baumentan a una razon de 1 m/s mientras que c disminuye a una razonde 3 m/s. ¿A que razon cambian el volumen V y el area de superfice Sde la caja en ese instante? Las diagonales interiores de la caja, ¿creceno decrecen en longitud?

32. Dos barcos que salieron al mismo tiempo del punto A, van uno hacia elnorte y, el otro, hacia el noreste. Las velocidades de dichos barcos sonde 20 km/h y 40 km/h, respectivamente. ¿Con que velocidad aumentala distancia entre ellos?

33. Los dos lados iguales y el angulo incluido de un triangulo isosceles seestan incrementando a razones de 0,1 ft/hr y 2◦/hr, respectivamente.Encuentra la razon a la cual se esta incrementando el area del trianguloen el instante en que la longitud de los lados iguales es de 20 ft y elangulo incluido es de 60◦.

34. Cierto gas obedece la ley del gas ideal PV = 8T . Supongamos que el gasse calienta a una razon de 2◦/min y la presion se esta incrementandoa una razon de 1

2(lb/in2)/min. Si en cierto instante la temperatura

es de 200◦ y la presion es de 10 lb/in2, encuentra la razon a la queesta cambiando el volumen.

35. Demuestra que si z = f(x+ ay), donde f es una funcion diferenciable,entonces

∂z

∂y= a

∂z

∂x

con a una constante.

36. Encuentra ∂z∂x

y ∂z∂y

, si z = f(u, v), donde u = x2 − y2, v = exy.



37. Encuentra ∂z∂u

y ∂z∂v

, si z = arctan xy, donde x = u sin v, y = u cos v.

38. Demuestra que la funcion z = xy + xφ(yx

), satisface la ecuacion

x∂z

∂x+ y

∂z

∂y= xy + z

39. Demuestra que la funcion z = eyφ

(ye

x2

2y2

)satisface la ecuacion

(x2 − y2)∂z∂x

+ xy∂z

∂y= xyz

40. Demuestra que si w = f(u, v) satisface la ecuacion de Laplace fuu +

fvv = 0, y si u = x2−y2

2y v = xy, entonces w satisface la ecuacion de

Laplace wxx + wyy = 0.

41. Sea w = f(u) + g(v), donde u = x + iy y v = x − iy con i =√−1.

Demuestra que w satisface la ecuacion de Laplace wxx + wyy = 0 sitodas la funciones necesarias son diferenciables.

42. a) Demuestra que si w = f(x, y) es una funcion diferenciable, x =r cos θ, y = r sin θ, entonces

∂w

∂r= fx cos θ + fy sin θ

y1

r

∂w

∂θ= −fx sin θ + fy cos θ.

b) Resuelve las ecuaciones en el inciso anterior para expresar fx y fyen terminos de ∂w

∂ry ∂w

∂θ.

c) Demuestra que

(fx)2 + (fy)

2 =

(∂w

∂r

)2

+1

r2

(∂w

∂θ

)2

.

43. Encuentra, usando la definicion, la derivada direccional de f(x, y) =x2 − 5xy + 3y2 en el punto P = (3,−1) en la direccion del vectorv =√

2i +√

2j.



44. Encuentra, usando la definicion, la derivada direccional de f(x, y, z) =xy3z2 en el punto P = (2,−1, 4) en la direccion del vector v = i+2j−3k.

45. Encuentra el gradiente de f en P .

a) f(x, y) = e3x tan y, P = (0, π/4)

b) f(x, y, z) = ex+y cos z + (y − 1) arcsinx, P = (0, 0, π/6)

46. Encuentra el gradiente de la funcion en el punto indicado. Luego, traza-lo junto con la curva de nivel que pasa por el punto.

a) f(x, y) = y − x2, P = (−1, 0)

b) f(x, y) = x2

2− y2

2, P = (

√2, 1)

47. Encuentra la derivada direccional de f en el punto P en la direcciondel vector indicado.

a) f(x, y) = x cos2 y, P = (2, π/4), v = 5i + j

b) f(x, y) = arctan(y/x) +√

3 arcsin(xy/2), P = (1, 1), v = 3i− 2j

c) f(x, y, z) = z2 arctan(x+ y), P = (0, 0, 4), v = 6i + k

48. Encuentra la derivada direccional de la funcion z = x2− xy− 2y2 en elpunto P = (1, 2) y en la direccion que forma con el eje OX un angulode 60◦.

49. Encuentra la derivada direccional de la funcion z = ln√x2 + y2 en el

punto P = (1, 1) en la direccion de la bisectriz de la region del planoXY en la que X > 0, Y > 0.

50. Encuentra la derivada direccional de la funcion w = xy + yz + zxen el punto M = (2, 1, 3) en la direccion que va desde este al puntoN = (5, 5, 15).

51. Encuentra las direcciones en que las funciones crecen y decrecen masrapidamente en el punto P . Luego, encuentra las derivadas de las fun-ciones en estas direcciones.

a) f(x, y) = x2y + exy sin y, P = (1, 0)

b) f(x, y, z) = ln(x2 + y2 − 1) + y + 6z, P = (1, 1, 0)



52. Encuentra las ecuaciones del plano tangente y la recta normal en elpunto indicado para las siguientes ecuaciones.

a) x3 − 2xy + z3 + 7y + 6 = 0, P = (1, 4− 3)

b) z = 2e−x cos y, P = (0, π/3, 1)

53. Encuentra los puntos sobre el hiperboloide de dos hojas con ecuacionx2− 2y2− 4z2 = 16 en los cuales el plano tangente es paralelo al plano4x− 2y + 4z = 5.

54. Demuestra que toda recta normal a la esfera pasa a traves del centrode la esfera.

55. Demuestra que las graficas de F (x, y, z) = 0 y G(x, y, z) = 0 (donde Fy G tienen derivadas parciales) son ortogonales si y solo si

FxGx + FyGy + FzGz = 0.

56. Demuestra que la ecuacion del plano tangente a la superficie ax2+by2+cz2 = k en el punto P = (x0, y0, z0) tiene la forma

axox+ by0y + cz0z = k.

57. Demuestra que los planos tangentes a la superficie√x+√y+√z =√a

interceptan en los ejes coordenados segmentos cuya suma es constante.

58. Encuentra los maximos y mınimos locales y los puntos silla de las si-guientes funciones.

a) f(x, y) = x3y2(6− x− y) (x > 0, y > 0)

b) f(x, y) = xy√

1− x2

a2 − y2

b2

c) f(x, y) = 1− (x2 + y2)2/3

d) f(x, y) = (x2 + y2)e−(x2+y2)

e) f(x, y) = 1+x−y√1+x2+y2

f ) f(x, y) = 4xy − x4 − y4

g) f(x, y) = 1x2+y2−1



h) f(x, y) = 1x

+ xy + 1y

i) f(x, y) = e2x cos y

j ) f(x, y) = x sin y

59. Encuentra dos numeros a y b con a ≤ b tales que∫ b

a

(24− 2x− x2)1/3dx

tenga su valor maximo.

60. Demuestra que (0, 0) es un punto crıtico de f(x, y) = x2 + kxy + y2,independientemente del valor de k.

61. ¿Para que valores de la constante k garantiza la prueba de la segundaderivada que la funcion del problema anterior tendra un punto silla en(0, 0)? ¿Un mınimo local en (0, 0)? ¿Para que valores de k esta incon-clusa la prueba de la segunda derivada?

62. Encuentra el punto sobre la grafica de z = x2 + y2 + 10 mas cercano alplano x+ 2y − z = 0.

63. Encuentra los maximos y mınimos absolutos de las funciones siguientessobre la region cerrada y acotada que se indica.

a) z = x2 + 2xy + 3y2 en la region −2 ≤ x ≤ 4, −1 ≤ y ≤ 3

b) z = x3+3xy−y3 en la region triangular con vertices (1, 2), (1,−2)y (−1,−2).

c) z = x2 + 4y2 − x+ 2y en la region x2 + 4y2 ≤ 1.

d) f(x, y) = x2 + xy en la region acotada por las graficas de y = x2

y y = 9.

e) z = x2y en la region x2 + y2 ≤ 1.

f ) z = x2 − y2 en la region x2 + y2 ≤ 1.

g) z = x3 + y3 − 3xy en la region 0 ≤ x ≤ 2, −1 ≤ y ≤ 2.

64. Determina los maximos y mınimos de las siguientes funciones, sujetosa la condicion indicada.



a) z = x+ 2y con x2 + y2 = 5.

b) w = xy2z3 con x+ y + z = 12, x > 0, y > 0, z > 0.

c) z = x2 + y2 con x2 − 2x+ y2 − 4y = 0.

d) z = 3x− y + 6 con x2 + y2 = 4.

e) w = x− 2y + 5z con x2 + y2 + z2 = 30.

f ) w = xyz con x2 + 4y2 + 2z2 = 8.

g) w = x2 + y2 + z2 con x− y + z = 1.

65. Si a1, a2, . . . , an son n numeros positivos, encuentra el maximo de

n∑i=1

aixi sujeta a la restriccionn∑i=1

x2i = 1.

66. Encuentra el punto sobre la esfera x2 + y2 + z2 = 9 que es mas cercanoal punto (2, 3, 4).

67. Se va a construir una caja rectangular cerrada que tiene un volumende dos metros cubicos. Si el costo por metro cuadrado para el materialde los lados, base y tapa es $1, $2 y $1,5, respectivamente, encuentralas dimensiones que minimizaran el costo.

68. Un contenedor con tapa cerrada y area de superficie fija va a ser cons-truido en la forma de un cilindro circular recto. Encuentra las dimen-siones relativas que maximizan el volumen.

69. Prueba que el triangulo de area maxima y perımetro fijo es equilatero.Sugerencia: Si los lados son x, y, z y si 2p es el perımetro, entonces elarea A esta dada por la formula de Heron:

A =√p(p− x)(p− y)(p− z).

70. Prueba que el producto de los senos de los angulos de un triangulo esel mas grande cuando el triangulo es equilatero.

71. Un contenedor de granos sin tapa tiene la forma de un cono circularrecto de radio 2 ft coronado por un cilindro circular recto. Supongamosque las alturas del cono y el cilindro son k y h, respectivamente, y queel volumen del contenedor es de 100 ft3. Encuentra los valores de h y kque minimizaran el area de superficie del contenedor.



72. Una sonda espacial con la forma del elipsoide 4x2+y2+4z2 = 16 entra ala atmosfera de la tierra y su superficie comienza a calentarse. Despuesde una hora, la temperatura en el punto (x, y, z) sobre la superficie dela sonda es

T (x, y, z) = 8x2 + 4yz − 16z + 600.

Encuentra el punto mas caliente sobre la superficie de la sonda.

73. Encuentra el volumen mınimo para una region limitada por los planosx = 0, y = 0, z = 0 y un plano tangente al elipsoide

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1

en un punto en el primer octante.

74. Entre todos los paralelepıpedos rectangulares de volumen V dado, en-cuentra aquel cuya superficie total sea menor.

75. En el plano XOY hay que encontrar un punto M = (x, y) tal que lasuma de los cuadrados de sus distancias hasta las tres rectas, x = 0, y =0, x− y + 1 = 0, sea la menor posible.

76. Encuentra el triangulo de perımetro 2p dado, que al girar alrededor deuno de sus lados engendre el cuerpo de mayor volumen.

77. Hacer pasar un plano por el punto M = (a, b, c) que forme con losplanos coordenados un tetraedro que tenga el menor volumen posible.

78. Encuentra las dimensiones del paralelepıpedo rectangular del mayorvolumen posible y que este inscrito en el elipsoide

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 1.

79. Encuentra las dimensiones del cilindro circular recto inscrito en la esfera

x2 + y2 + z2 = r2,

que tenga superficie maxima.

80. Encuentra el maximo de la funcion f(x, y, z) = x2 + 2y − z2 sujeta alas restricciones 2x− y = 0 y y + z = 0.



81. Encuentra los valores extremos de f(x, y, z) = x2yz + 1 sobre la inter-seccion del plano z = 1 con la esfera x2 + y2 + z2 = 10.

82. Encuentra el mınimo de f(x, y, z) = xy + yz sujeta a las restriccionesx2 + y2 − 2 = 0 y x2 + z2 − 2 = 0.

83. Encuentra el mınimo de f(x, y, z, w) = x2 + y2 + z2 + w2 sujeta a lasrestricciones 2x− y + z − w − 1 = 0 y x+ y − z + w − 1 = 0.

84. Los cursos de dos rıos (dentro de los lımites de una region determinada)representan aproximadamente una parabola, y = x2, y una recta, x −y− 2 = 0. Hay que unir estos rıos por medio de un canal rectilıneo quetenga la menor longitud posible. ¿Por que puntos habra que trazarlo?

85. Encuentra la distancia mas corta del punto M = (1, 2, 3) a la recta

x

1=

y

−3=z

2.

86. En los siguientes ejercicios traza la region de integracion y evalua lasintegrales.

a)π∫0

sinx∫0

y dy dx

b)4∫1

√x∫

0

32ey/√x dy dx

c)π∫0

1+cosx∫0

y2 sinx dy dx

d)π/2∫−π/2

3 cos y∫0

x2 sin2 y dx dy

e)π/2∫0

1∫cosx

y4 dy dx

f )1∫−1

x+1∫x3

(3x+ 2y) dy dx

87. En los siguientes ejercicios traza la region de integracion y escribe unaintegral doble con el orden invertido.



a)a∫0

√a2−x2∫

a2−x2

2a

f(x, y) dy dx

b)a∫a2

√2ax−x2∫0

f(x, y) dy dx

c)1∫0

1−y∫−√

1−y2

f(x, y) dx dy

d)1∫0

√3−y2∫y2

2

f(x, y) dx dy

e)

r√

22∫0

x∫0

f(x, y) dy dx+r∫

r√

22

√r2−x2∫0

f(x, y) dy dx

f )π∫0

sinx∫0

f(x, y) dy dx

88. Calcula las siguientes integrales dobles.

a)∫∫R

x dx dy, donde R es la region limitada por la recta que pasa

por los puntos (2, 0), (0, 2) y por el arco de circunferencia de radiouno que tiene su centro en el punto (0, 1).

b)∫∫R

dxdy√a2−x2−y2

, donde R es la parte del cırculo de radio a, con centro

en el punto (0, 0), situado en el primer cuadrante.

c)∫∫R

√x2 − y2 dx dy, donde R es un triangulo con los vertices en

(0, 0), (1,−1) y (1, 1).

d)∫∫R

√xy − y2 dx dy, donde R es un triangulo con los vertices en

(0, 0), (10, 1) y (1, 1).

e)∫∫R

xdx dyx2+y2 , donde R es un segmento parabolico, limitado por la

parabola y = x2

2y por la recta y = x.

f )∫∫R

dxdy√2a−x , donde R es un cırculo de radio a, tangente a los ejes de

coordenadas y que se encuentra en el primer cuadrante.



g)∫∫R

√4− x2 dx dy, donde R es el sector mas pequeno cortado del

disco x2 + y2 ≤ 4 por los rayos θ = π/6 y θ = π/2.

89. Coloca los lımites de integracion, en uno y otro orden, en la integraldoble

∫∫R

f(x, y) dA para las regiones R que se indican a continuacion.

a) R es un trapecio cuyos vertices son (0, 0), (2, 0), (1, 1), y (0, 1).

b) R es un paralelogramo cuyos vertices son (1, 2), (2, 4), (2, 7) y(1, 5).

c) R es un sector circular con centro en el punto (0, 0), cuyo arcotiene sus extremos en (1, 1) y (−1, 1).

d) R es un anillo circular limitado por las circunferencias, cuyos ra-dios son 1 y 2, y cuyo centro comun esta situado en el punto (0, 0).

e) R esta limitada por la hiperbola y2−x2 = 1 y por la circunferenciax2 + y2 = 9 (se considera la region que contiene el origen decoordenadas).

90. Coloca los lımites de integracion en la integral doble∫∫R

f(x, y) dA, si

la region R esta determinada por las desigualdades siguientes.

a) x ≥ 0, y ≥ 0, x+ y ≤ 1.

b) x2 + y2 ≤ a2.

c) x2 + y2 ≤ x.

91. Un cilindro recto solido (no circular) tiene su base R en el plano XYy esta limitado arriba por el paraboloide z = x2 + y2. El volumen delcilindro es

V =

1∫0

y∫0

(x2 + y2) dx dy +

2∫1

2−y∫0

(x2 + y2) dx dy.

Traza la region R de la base y expresa el volumen del cilindro comouna sola integral iterada con el orden de integracion invertido. Luego,evalua la integral para encontrar el volumen.



92. Evalua la integral

2∫0

(arctanπx− arctanx) dx.

Sugerencia: escribe el integrando como una integral.

93. ¿Que region en el plano XY maximiza el valor de∫∫R

(4− x2 − y2) dA?

94. ¿Que region en el plano XY minimiza el valor de∫∫R

(x2 + y2 − 9) dA?

95. Evalua las siguientes integrales impropias.

a)∞∫1

1∫e−x

1x3y

dy dx.

b)∞∫−∞

∞∫−∞

dx dy(x2+1)(y2+1)

.

c)1∫−1

1/√1−x2∫

−1/√1−x2

(2y + 1) dy dx.

d)1∫0

3∫0

x2

(y−1)2/3 dy dx.

96. Encuentra el volumen de la cuna cortada del primer octante por lasuperficie cilındrica z = 12− 3y2 y el plano x+ y = 2.

97. Encuentra el volumen del solido limitado al frente y atras por los planox = 2, x = 1, a los lados por las superficies cilındricas y = ± 1

xy arriba

y abajo por los planos z = x+ 1 y z = 0.

98. Encuentra el volumen del solido cortado de la columna cuadrada |x|+|y| ≤ 1 por los planos z = 0 y 3x+ z = 3.



99. Encuentra el volumen del cuerpo limitado por el paraboloide hiperboli-co z = x2 − y2 y los planos y = 0, z = 0, x = 1.

100. Encuentra el volumen del cuerpo limitado por el cilindro x2 + z2 = a2

y los planos y = 0, z = 0, y = x.

101. Encuentra el volumen de los cuerpos limitados por las superficies si-guientes.

a) az = y2, x2 + y2 = r2, z = 0.

b) x+ y + z = a, 3x+ y = a, 32x+ y = a, y = 0, z = 0.

c) x2

a2 + z2

c2= 1, y = b

ax, y = 0, z = 0.

d) x2 + y2 = 2ax, z = αx, z = βx (α > β).

102. Encuentra, usando integrales dobles, el area de la region comprendidaentre:

a) Las parabolas x = y2 y x = 2y − y2.b) Las rectas x = y, x = 2y, x+ y = a y x+ 3y = a (a > 0).

103. Calcula el area de la figura situada sobre el eje OX y limitada por esteeje, la parabola y2 = 4ax y la recta x+ y = 3a.

104. Cambia las siguientes integrales cartesianas a una integral polar equi-valente.

a)0∫−1

0∫−√1−x2

2

1+√x2+y2

dy dx.

b)ln 2∫0

√(ln 2)2−y2∫

0

e√x2+y2

dx dy.

c)2∫0

√1−(x−1)2∫

0

x+yx2+y2 dy dx.

d)1∫−1

√1−y2∫

−√

1−y2

ln(x2 + y2 + 1) dx dy.



105. Pasa a coordenadas polares y coloca los lımites de integracion para las

nuevas variables en la integral1∫−1

1∫x2

f( yx) dy dx.

106. Calcula, pasando a coordenadas polares, la integral∫∫R

√a2 − x2 − y2 dx dy,

donde la region R es un semicırculo de radio a con centro en el origende coordenadas, situado sobre el eje OX.

107. Calcula la siguiente integral pasando a coordenadas polares.

a∫0

√a2−x2∫0

√x2 + y2 dy dx.

108. Calcula la siguiente integral pasando a coordenadas polares∫∫R

√a2 − x2 − y2 dx dy,

donde el recinto R esta limitado por la hoja de la lemniscata

(x2 + y2)2 = a2(x2 − y2) (x ≥ 0).

109. Encuentra el area de la region cortada del primer cuadrante por lacurva r = 2(2− sin 2θ)1/2.

110. Encuentra el area de la region cortada del primer cuadrante por lacardioide r = 1 + sin θ.

111. Encuentra el area de la region encerrada por el eje x positivo y la espiralr = 4θ/3, 0 ≤ θ ≤ 2π. La region parece la concha de un caracol.

112. Encuentra el area limitada por r cos θ = 1 y la circunferencia r = 2.(Se considera la superficie que no contiene el polo).

113. Encuentra el area limitada por las curvas

r = a(1 + cos θ) y r = a cos θ (a < 0).



114. Encuentra el area limitada por(x2

4+y2

9

)2

=x2

4− y2

9.

115. Encuentra el area limitada por la elipse

(x− 2y + 3)2 + (3x+ 4y − 1)2 = 100.

116. Escribe seis integrales triples iteradas diferentes para el volumen deltetraedro cortado del primer octante por el plano 6x + 3y + 2z = 6.Evalua una de las integrales.

117. Sea D la region limitada por los paraboloides z = 8 − x2 − y2 y z =x2+y2. Escribe seis integrales triples iteradas diferentes para el volumende D. Evalua una de las integrales.

118. Encuentra los volumenes de las regiones indicadas.

a) La region en el primer octante limitada por los planos coordenadosy los planos x+ z = 1, y + 2z = 2.

b) La cuna cortada del cilindro x2 + y2 = 1 por los planos z = −y yz = 0.

c) El tetraedro en el primer octante limitado por los planos coorde-nados y el plano x+ y/2 + z/3 = 1.

d) La region en el primer octante limitada por los planos coordena-dos, el plano y = 1− x y la superficie z = cos(πx/2), 0 ≤ x ≤ 1.

e) La region en el primer octante limitada por los planos coordena-dos, el plano x+ y = 4 y el cilindro y2 + 4z2 = 16.

f ) La region entre los planos x+ y + 2z = 2 y 2x+ 2y + z = 4 en elprimer octante.

g) La region cortada del cilindro elıptico solido x2 + 4y2 ≤ 4 por elplano xy y el plano z = x+ 2.

119. Evalua las siguientes integrales cambiando el orden de integracion deforma apropiada.



a)4∫0

1∫0

2∫2y

4 cos(x2)2√z

dx dy dz

b)1∫0

1∫3√z

ln 3∫0

πe2x sin(πy2)y2 dx dy dz

c)∫ 2

0

∫ 4−x2

0

∫ x0

sin 2z4−z dy dz dx

120. Despeja a en la siguiente ecuacion.∫ 1

0

∫ 4−a−x2

0

∫ 4−x2−y

0

dz dy dx =4

15.

121. ¿Para que valores de c el volumen del elipsoide

x2 +y2

4+z2

c2= 1

es igual a 8π?

122. Encuentra los lımites de integracion en la integral triple∫∫∫D

f(x, y, z) dx dy dz

para los recintos D que se indican a continuacion.

a) D es un cilindro limitado por las superficies

x2 + y2 = R2, z = 0, z = H.

b) D es un cono limitado por las superficies

x2

a2+y2

b2=z2

c2, z = c.

123. Calcula las siguientes integrales.

a)0∫1

1∫0

1∫0

dz dy dx√x+y+z+1

.

b)a∫0

√a2−x2∫0

√a2−x2−y2∫

0

dz dy dx√a2−x2−y2−z2

.



124. Calcula ∫∫∫D

(x+ y + z)2 dx dy dz,

si D es la parte comun del paraboloide 2az ≥ x2 + y2 y de la esferax2 + y2 + z2 ≤ 3a2.


z2 dx dy dz,

donde D es la parte comun de las esferas x2 + y2 + z2 ≤ R2 y x2 +y2 + z2 ≤ 2Rz.


(x2

a2+y2

b2+z2

c2

)dx dy dz,

donde D es la parte interna del elipsoide x2

a2 + y2

b2+ z2

c2= 1.

127. Calcula la integral∫ 2R

0

∫ √2Rx−x2

−√2Rx−x2

∫ √4R2−x2−y2

0

dz dy dx,

transformandola previamente a coordenadas cilındricas.

128. Calcula el volumen de la parte del cilindro x2 +y2 = 2ax, comprendidoentre el paraboloide x2 + y2 = 2az y el plano XOY .

129. Calcula el volumen del cuerpo limitado por el plano XOY , el cilindrox2 + y2 = ax y la esfera x2 + y2 + z2 = a2 (interno con respecto alcilindro).

130. Calcula el volumen del cuerpo limitado por el paraboloide

y2

b2+z2

c2=

2a

x

y el plano x = a.



131. Encuentra el volumen del cuerpo limitado por la superficie(x2

a2+y2

b2+z2

c2

)2

=x2

a2+y2

b2− z2

c2.

132. Encuentra el volumen del cuerpo limitado por las superficies

x2

a2+y2

b2+z2

c2= 2,

x2

a2+y2

b2− z2

c2= 0, (z ≥ 0).

133. Averigua los valores de α para que converja la integral∫∫∫D

dx dy dz

(x2 + y2 + z2)α,

dondeD es la region que se determina por la desigualdad x2+y2+z2 ≥ 1(parte exterior de la esfera unitaria).

134. Da los lımites de integracion para evaluar la integral∫∫∫D

f(r, θ, z) dz r dr dθ

si D es la region limitada abajo por el plano z = 0, lateralmente por elcilindro r = cos θ y arriba por el paraboloide z = 3r2.

135. Convierte la integral∫ 1

−1

∫ √1−y2

0

∫ x

0

(x2 + y2) dz dx dy

a una equivalente en coordenadas cilındricas y evalua el resultado.

136. Establece la integral iterada para evaluar∫∫∫D

f(r, θ, z) dz r dr dθ

sobre la region D indicada.



a) D es el cilindro recto solido cuya base es la region en el plano xyque se encuentra dentro de la cardioide r = 1 + cos θ y afuera delcırculo r = 1, y cuya parte superior se encuentra en el plano z = 4.

b) D es el prisma cuya base es el triangulo en el plano xy limitadopor el eje y y las rectas y = x, y = 1, y cuya parte superior seencuentra en el plano z = 2− x.

137. Encuentra los lımites en coordenadas esfericas para la integral que cal-cula el volumen del solido dado y luego evalua la integral.

a) El solido entre la esfera ρ = cosφ y el hemisferio ρ = 2, z ≥ 0.

b) El solido encerrado por la cardioide de revolucion ρ = 1− cosφ.

c) El solido limitado abajo por la esfera ρ = 2 cosφ y arriba por elcono z =

√x2 + y2.

138. Evalua ∫∫∫D

|xyz| dx dy dz

si D es la regionx2

a2+y2

b2+z2

c2≤ 1.

Sugerencia: Haz x = au, y = bv y z = cw. Luego integra sobre unaregion apropiada del espacio uvw.

139. Calcula la integral siguiente pasando a coordenadas cilındricas.∫ 1

0

∫ √1−x2

−√1−x2

∫ x2+y2

−(x2+y2)

21xy2 dz dy dx.

140. Calcula la integral siguiente pasando a coordenadas esfericas.∫ 1

−1

∫ √1−x2

−√1−x2

∫ 1

√x2+y2

dz dy dx.

141. Establece una integral en coordenadas rectangulares equivalente a laintegral ∫ π/2

0

∫ √31

∫ √4−r2

1

r3 sin θ cos θ z2 dz dr dθ.

Coloca el orden de integracion en la forma dz dy dx.



142. Integrales triples que implican formas esfericas no siempre requierencoordenadas esfericas para su evaluacion apropiada. Algunos calculospueden llevarse a cabo mas facilmente con coordenadas cilındricas. Co-mo ejemplo de esto, encuentra el volumen de la region limitada arribapor la esfera x2 + y2 + z2 = 8 y abajo por el plano z = 2, usando

a) Coordenadas cilındricas.

b) Coordenadas esfericas.

143. Demuestra que si ~u,~v y ~w son funciones vectoriales diferenciables de tentonces

d

dt(~u · ~v × ~w) =

d~u

dt· ~v × ~w + ~u · d~v

dt× ~w + ~u · ~v × d~w

dt. (1)

Demuestra que la ecuacion (1) es equivalente a

d

dt

∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3v1 v2 v3w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣du1

dtdu2

dtdu3

dt

v1 v2 v3w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3dv1

dtdv2

dtdv3

dt

w1 w2 w3

∣∣∣∣∣∣+

∣∣∣∣∣∣u1 u2 u3v1 v2 v3dw1

dtdw2

dtdw3

dt

∣∣∣∣∣∣ .Donde por supuesto ~u = u1ı + u2 + u3k, ~v = v1ı + v2 + v3k y ~w =w1ı+ w2+ w3k

144. Encuentra la derivada, respecto del parametro t, del volumen del pa-ralelepıpedo construido sobre los tres vectores:

~u = ı+ t+ t2k; ~v = 2tı− + t3k; ~w = −t2ı+ t3+ k.

145. La ecuacion de un movimiento es

~r(t) = (3 cos t)ı+ (4 sin t),

donde t es el tiempo. Determina la trayectoria de este movimiento y suvelocidad. Construye la trayectoria de este movimiento y los vectoresde velocidad en los instantes t = 0, t = π

4y t = π

2.




~r(t) = (2 cos t)ı+ (2 sin t)+ 3tk.

Determina la trayectoria y velocidad de este movimiento.


~r(t) = (cosα coswt)ı+ (sinα coswt)+ (sinwt)k,

donde α y w son constantes y t es el tiempo. Determina la trayectoriay la direccion de la velocidad del movimiento.

148. Encuentra el vector tangente unitario a la curva. Encuentra tambien lalongitud de la porcion indicada de la curva.

a) ~r(t) = (cos3 t)+ (sin3 t)k, 0 ≤ t ≤ π2.

b) ~r(t) = (t sin t+ cos t)ı+ (t cos t− sin t),√

2 ≤ t ≤ 2.

149. Encuentra la longitud de los arcos de las curvas siguientes.

a) y = x2

2, z = x3

6desde x = 0 hasta x = 6.

b) y = a arcsin xa, z = a

4ln a+x

a−x desde el punto (0, 0, 0) hasta el punto(x0, y0, z0).

150. Encuentra el punto sobre la curva

~r(t) = (5 sin t)ı+ (5 cos t)+ 12tk

a una distancia de 26π unidades a lo largo de la curva desde el origenen la direccion de la longitud de arco creciente.

151. Encuentra la integral de lınea de f(x, y, z) = x+y+z sobre el segmentode recta de (1, 2, 3) a (0,−1, 1).

152. Integra f(x, y, z) = x+y+zx2+y2+z2 sobre la trayectoria ~r(t) = tı+ t+ tk, con

0 < a ≤ t ≤ b.

153. Encuentra∫C

xy ds, si C es la parte de la elipse x2

a2 + y2

b2= 1, situada en

el primer cuadrante.



154. Encuentra∫C

(x + y) ds, donde C es el lazo derecho de la lemniscata

r2 = a2 cos 2θ.

155. Encuentra∫C

(x + z) ds, donde C es un arco de la curva x = t, y =

3t2√2, z = t3 (0 ≤ t ≤ 1).

156. Encuentra∫C

dsx2+y2+z2 , donde C es la primera vuelta de la helice circular

x = a cos t, y = a sin t, z = bt.

157. Encuentra el centro de masa, los momentos de inercia y los radiosde giro respecto a los ejes coordenados de un alambre delgado que seencuentra a lo largo de la curva

~r(t) = tı+2√

2

3t3/2+

t2

2k, 0 ≤ t ≤ 2,

si la densidad es δ = 1t+1

.

158. Un aro circular de alambre de densidad constante δ se encuentra a lolargo del cırculo x2 + y2 = a2 en el plano xy. Encuentra el momento deinercia y el radio de giro del aro respecto del eje z.

159. Determina la masa del contorno de la elipse x2

a2 + y2

b2= 1, si su densidad

lineal en cada punto (x, y) es igual a |y|.

160. Da una formula ~F = M(x, y)ı + N(x, y), para el campo vectorial en

el plano que tiene la propiedad de que ~F senala hacia el origen conmagnitud inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de(x, y) al origen (el campo no esta definido en (0, 0)).

161. Encuentra el trabajo realizado por la fuerza ~F =√zı− 2x +

√yk de

(0, 0, 0) a (1, 1, 1) sobre cada una de las siguientes trayectorias:

a) ~r(t) = tı+ t+ tk, 0 ≤ t ≤ 1.

b) ~r(t) = tı+ t2+ t4k, 0 ≤ t ≤ 1.

c) La trayectoria que consiste en el segmento de recta de (0, 0, 0) a(1, 1, 0) seguido del segmento de (1, 1, 0) a (1, 1, 1).



162. Si ~F = (x−z)ı+xk es el campo de velocidades de un fluido, encuentrael flujo a lo largo de la curva ~r(t) = (cos t)ı+ (sin t)k, 0 ≤ t ≤ π, en ladireccion de t creciente.

163. Encuentra la circulacion y el flujo del campo ~F = xı + y alrededor ya traves de cada una de las siguientes curvas:

a) El cırculo ~r(t) = (cos t)ı+ (sin t), 0 ≤ t ≤ 2π.

b) La elipse ~r(t) = (cos t)ı+ (4 sin t), 0 ≤ t ≤ 2π.

164. Demuestra que los siguientes campos son conservativos y encuentra sufuncion potencial.

a) ~F = ey+2z (ı+ x+ 2xk).

b) ~F =(

y1+x2y2

)ı+

(x

1+x2y2 + z√1−y2z2

)+

(y√

1−y2z2+ 1

z

)k.

165. Demuestra que las formas diferenciales son exactas y evalua las inte-grales.

a)(1,2,3)∫(1,1,1)

3x2 dx+ z2

ydy + 2z ln y dz.

b)(1,π/2,2)∫(0,2,1)

2 cos y dx+(

1y− 2x sin y

)dy + 1

zdz.

166. Evalua ∫C

x2 dx+ yz dy + (y2/2) dz

a lo largo del segmento de recta C que une (0, 0, 0) con (0, 3, 4).

167. Usa el Teorema de Green para encontrar el flujo hacia el exterior y lacirculacion antihoraria del campo ~F a traves de la curva C:

a) ~F = (y2 +x2)ı+ (x2 +y2), y donde C es el triangulo limitado pory = 0, x = 3 y y = x.

b) ~F = (x+ ex sin y)ı+ (x+ ex cos y), y donde C es el lazo derechode la lemniscata r2 = cos 2θ.

168. Usando el Teorema de Green calcula las siguientes integrales.



a)∮C

y2 dx+ x2 dy, con C el triangulo limitado por x = 0, x+ y = 1,

y = 0.

b)∮C

xdy−ydxx2+y2 , con C cualquier curva cerrada simple en la que sea

valida el Teorema de Green.

c)∮C

(2x+y2) dx+(2xy+3y) dy, con C cualquier curva cerrada simple

en la que sea valida el Teorema de Green.

169. Si una curva cerrada simple en el plano y la region R que ella encierrasatisfacen las hipotesis del Teorema de Green, el area de R esta dadapor

Area deR =1

2

∮C

x dy − y dx. (2)

Usando la formula (2) encuentra las areas de las regiones encerradaspor las curvas siguientes.

a) La astroide x = a cos3 t, y = a sin3 t.

b) El lazo del folium de Descartes x3 + y3 − 3axy = 0 (a > 0).

170. Para los ejercicios siguientes encuentra una parametrizacion de la su-perficie (hay varias soluciones correctas).

a) El paraboloide z = 9− x2 − y2, z ≥ 0.

b) El casquete cortado de la esfera x2 + y2 + z2 = 9 por el conoz =

√x2 + y2.

c) La porcion del cilindro y2+z2 = 9 entre los planos x = 0 y x = 3.

d) La porcion del plano x+ y + z = 1

Dentro del cilindro x2 + y2 = 9.

Dentro del cilindro y2 + z2 = 9.

171. Encuentra las integrales de las funciones indicadas sobre la superficiecorrespondiente.

a) G(x, y, z) = x2 sobre la esfera unitaria x2 + y2 + z2 = 1.

b) F (x, y, z) = z sobre la porcion del plano x + y + z = 4 que seencuentra arriba del cuadrado 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, en el planoxy.



172. Encuentra∫∫S

√x2 + y2 dσ, donde S es la superficie lateral del cono

x2

a2+y2

a2− z2

b2= 0 (0 ≤ z ≤ b).

173. Demuestra que si f(x, y, z) es una funcion escalar con derivadas par-ciales continuas, entonces

rot∇f = 0.

174. Sea ~n la normal exterior unitaria (normal alejandose del origen) delcascaron parabolico

S : 4x2 + y + z2 = 4, y ≥ 0

y sea

~F =

(−z +

1

2 + x

)ı+ (arctan y)+

(x+

1

4 + z

)k.

Encuentra, usando el Teorema de Stokes, el valor de∫∫S

∇× ~F · ~n dσ.

175. Sea S el cilindro x2 + y2 = a2, 0 ≤ z ≤ h, junto con su parte superiorx2 +y2 ≤ a2, z = h. Sea ~F = −yı+x+x2k. Usa el Teorema de Stokespara calcular el flujo del rotacional de ~F hacia afuera a traves de S.

176. Evalua, usando el Teorema de Stokes,∫∫S

∇× (yı) · ~n dσ,

donde S es el hemisferio x2 + y2 + z2 = 1, z ≥ 0.

177. Sea f(x, y, z) = (x2 + y2 + z2)−1/2. Demuestra que la circulacion, en el

sentido antihorario, del campo ~F = ∇f alrededor del cırculo x2 + y2 =a2 en el plano xy es cero

a) tomando ~r(t) = (a cos t)ı + (a sin t), 0 ≤ t ≤ 2π e integrando~F · d~r sobre el cırculo, y



b) aplicando el Teorema de Stokes.

178. Usando el teorema de Stokes encuentra las siguientes integrales y com-prueba tus resultados calculandolas directamente.

a)∮C

(y+ z) dx+ (z+ x) dy+ (x+ y) dz, donde C es la circunferencia

x2 + y2 + z2 = a2, x+ y + z = 0.

b)∮C

(y−z) dx+(z−x) dy+(x−y) dz, donde C es la elipse x2+y2 = 1,

x+ z = 1.

179. Usa el Teorema de Gauss para encontrar el flujo hacia el exterior de ~Fa traves de la frontera de la region D.

a) ~F = yı + xy − zk y D es la region dentro del cilindro solidox2 + y2 ≤ 4 entre el plano z = 0 y el paraboloide z = x2 + y2.

b) ~F = x2ı−2xy+3xzk y D es la region cortada del primer octantepor la esfera x2 + y2 + z2 = 4.

c) ~F = (5x3 + 12xy2)ı+ (y3 + ey sin z)+ (5z3 + ey cos z)k y D es laregion solida entre las esferas x2 + y2 + z2 = 1 y x2 + y2 + z2 = 2.

180. Se dice que una funcion f(x, y, z) es armonica en una region D en elespacio si satiface la ecuacion de Laplace

∇2f = ∇ · ∇f =∂2f

∂x2+∂2f

∂y2+∂2f

∂z2= 0

en toda D.

a) Supongamos que f es armonica en toda una region D acotada yencerrada por una superficie suave S, y que ~n es el vector normalunitario escogido sobre S. Demuestra que la integral sobre S de∇f · ~n, es cero.

b) Demuestra que si f es armonica sobre D, entonces∫∫S

f ∇f · ~n dσ =

∫∫∫D

‖∇f‖2 dV.



181. Si ~F es un campo conservativo con funcion potencial f y si div ~F = 0,demuestra, usando el Teorema de Gauss, que∫∫∫

D

~F · ~F dV =

∫∫S

f ~F · ~n dσ.


Bibliografıa

[1] Demidovich B., Problemas y ejercicios de analisis matematico, 9a. edi-cion, editorial MIR, Moscu.

[2] Stewart J., Calculus, early trascendentals, third edition, editorialBrooks/Cole Publishing company.

[3] Swokowski Earl W., Olinick M., Pence D., Calculus, sixth edition, edi-torial PWS Publishing company.

[4] Thomas George B. and Finney Ross L, Calculo, varias variables, 9a.edicion, editorial Addison Wesley Longman/Pearson.

32

Problemario de Cálculo Multivariable

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