September 30, 2015

PROBLEMA 2

tn tal que tn divida a t1 + t2 + ... + tn1 + tn

consideremos la suma de los numeros triangulareski=1 ti = t1 + t2 + ... + tn1 + tk

un numero triangular definido como

tn =n(n+1)

2

reescribiendoki=1 ti =

ki=1

i(i+1)2

simplificando

12 (k

i=1 i(i + 1)) =12 (k

i=1(i2 + i)) = 12 [

ki=1 i

2 +k

i=1 i]

de estas sumatoria ya se conoce el resultado parcial hasta algun kki=1 i =

k(k+1)2k

i=1 i2 = k(k+1)(2k+1)6

sustituimos

12 [k

i=1 i2 +k

i=1 i] =12 [

k(k+1)2 +

k(k+1)(2k+1)6 ]

Simplificando14 [

k(k+1)1 +

k(k+1)(2k+1)3 ] =

14 [3k(k+1)+k(k+1)(2k+1)

3 ] =14 (

k(k+1)[3+(2k+1)]3 ) =

14 (

k(k+1)(2k+4)3 ) =

14 (

2k(k+1)(k+2)3 ) =

12 (

k(k+1)(k+2)3 ) =

k(k+1)(k+2)6

segun la proposicion se tiene que k(k+1)2 divide ak(k+1)(k+2)

6entonces debe complir lo siguiente:k(k+1)(k+2)

6 = [k(k+1)

2 ] P para P enteromultiplicando por 2 ambos ladosk(k+1)(k+2)

3 = [k(k+1)

1 ] P = k(k + 1)(k + 2) = [3k(k + 1)] Pquitando el factor comun k(k+1)k + 2 = 3P k = 3P 2 con p > 0

1

la identidad tn tal que tn divida a t1 + t2 + ... + tn1 + tn funciona para nigual a:1,4,7,10,13,..., 3k-2

2