PROBLEMA DEL TRANSPORTE O DISTRIBUCIÓN

El problema del transporte o distribución es un problema de redes especial en programación lineal que se funda en la necesidad de llevar unidades de un punto específico llamado Fuente u Origen  hacia otro punto específico llamado Destino. Los principales objetivos de un modelo de transporte son la satisfacción de todos los requerimientos establecidos por los destinos y claro está la minimización de los costos relacionados con el plan determinado por las rutas escogidas.

La programación lineal puede ser utilizada para la resolución de modelos de transporte, aunque no sea sensato resolver los modelos mediante el Método Simplex si puede ser de gran utilidad la fase de modelización, la programación carece de la practicidad de los métodos de asignación, pero puede ser de gran importancia dependiendo de la complejidad de las restricciones adicionales que puede presentar un problema particular.

El contexto en el que se aplica el modelo de transporte es amplio y puede generar soluciones atinentes al área de operaciones, inventario y asignación de elementos.

El procedimiento de resolución de un modelo de transporte se puede llevar a cabo mediante programación lineal común, sin embargo su estructura permite la creación de múltiples alternativas de solución tales como la estructura de asignación o los métodos heurísticos más populares como Vogel, Esquina Noroeste o Mínimos Costos.

Los problemas de transporte o distribución son uno de los más aplicados en la economía actual, dejando como es de prever múltiples casos de éxito a escala global que estimulan la aprehensión de los mismos. MÉTODOS DE SOLUCIONES INICIALES

Método de la esquina noroeste

El método de la esquina Noroeste es un algoritmo heurístico capaz de solucionar problemas de transporte o distribución mediante la consecución de una solución básica inicial que satisfaga todas las restricciones existentes sin que esto implique que se alcance el costo óptimo total. 

Este método tiene como ventaja frente a sus similares la rapidez de su ejecución, y es utilizado con mayor frecuencia en ejercicios donde el número de fuentes y destinos sea muy elevado.  Su nombre se debe al génesis del algoritmo, el cual inicia en la ruta, celda o esquina Noroeste. Es común encontrar gran variedad de métodos que se basen en la misma metodología de la esquina Noroeste, dada que podemos encontrar de igual manera el método e la esquina Noreste, Sureste o Suroeste.

Algoritmo de resolución de la esquina noroeste

Se parte por esbozar en forma matricial el problema, es decir, filas que representen fuentes y columnas que representen destinos, luego el algoritmo debe de iniciar en la celda, ruta o esquina Noroeste de la tabla (esquina superior izquierda).

PASO 1:En la celda seleccionada como esquina Noroeste se debe asignar la máxima cantidad de unidades posibles, cantidad que se ve restringida ya sea por las restricciones de oferta o de demanda. En este mismo paso se procede a ajustar la oferta y demanda de la fila y columna afectada, restándole la cantidad asignada a la celda.

PASO 2:En este paso se procede a eliminar la fila o destino cuya oferta o demanda sea 0 después del "Paso 1", si dado el caso ambas son cero arbitrariamente se elige cual eliminar y la restante se deja con demanda u oferta cero (0) según sea el caso.

PASO 3:Una vez en este paso existen dos posibilidades, la primera que quede un solo renglón o columna, si este es el caso se ha llegado al final el método, "detenerse".La segunda es que quede más de un renglón o columna, si este es el caso iniciar nuevamente el "Paso 1".

Método de aproximación de Vogel

El método de aproximación de Vogel es un método heurístico de resolución de problemas de transporte capaz de alcanzar una solución básica no artificial de inicio, este modelo requiere de la realización de un número generalmente mayor de iteraciones que los demás métodos heurísticos existentes con este fin, sin embargo produce mejores resultados iniciales que los mismos.

ALGORITMO DE VOGEL

El método consiste en la realización de un algoritmo que consta de 3 pasos fundamentales y 1 más que asegura el ciclo hasta la culminación del método.

PASO 1Determinar para cada fila y columna una medida de penalización restando los dos costos menores en filas y columnas.

PASO 2Escoger la fila o columna con la mayor penalización, es decir que de la resta realizada en el "Paso 1" se debe escoger el número mayor. En caso de haber empate, se debe escoger arbitrariamente (a juicio personal).

PASO 3

De la fila o columna de mayor penalización determinada en el paso anterior debemos de escoger la celda con el menor costo, y en esta asignar la mayor cantidad posible de unidades. Una vez se realiza este paso una oferta o demanda quedará satisfecha por ende se tachará la fila o columna, en caso de empate solo se tachará 1, la restante quedará con oferta o demanda igual a cero (0).

PASO 4: DE CICLO Y EXCEPCIONES

- Si queda sin tachar exactamente una fila o columna con cero oferta o demanda, detenerse. - Si queda sin tachar una fila o columna con oferta o demanda positiva, determine las variables básicas en la fila o columna con el método de costos mínimos, detenerse. - Si todas las filas y columnas que no se tacharon tienen cero oferta y demanda, determine las variables básicas cero por el método del costo mínimo, detenerse. - Si no se presenta ninguno de los casos anteriores vuelva al paso 1 hasta que las ofertas y las demandas se hayan agotado.

Método del costo mínimo

El método del costo mínimo o de los mínimos costos es un algoritmo desarrollado con el objetivo de resolver problemas de transporte o distribución, arrojando mejores resultados que métodos como el de la esquina noroeste, dado que se enfoca en las rutas que presentan menores costos. 

El diagrama de flujo de este algoritmo es mucho más sencillo que los anteriores dado que se trata simplemente de la asignación de la mayor cantidad de unidades posibles (sujeta a las restricciones de oferta y/o demanda) a la celda menos costosa de toda la matriz hasta finalizar el método.

ALGORITMO DEL COSTO MÍNIMO

PASO 1:De la matriz se elige la ruta (celda) menos costosa (en caso de un empate, este se rompe arbitrariamente) y se le asigna la mayor cantidad de unidades posible, cantidad que se ve restringida ya sea por las restricciones de oferta o de demanda. En este mismo paso se procede a ajustar la oferta y demanda de la fila y columna afectada, restándole la cantidad asignada a la celda.

PASO 2:En este paso se procede a eliminar la fila o destino cuya oferta o demanda sea 0 después del "Paso 1", si dado el caso ambas son cero arbitrariamente se elige cual eliminar y la restante se deja con demanda u oferta cero (0) según sea el caso.

PASO 3:Una vez en este paso existen dos posibilidades, la primera que quede un solo renglón o columna, si este es el caso se ha llegado al final el método, "detenerse".La segunda es que quede más de un renglón o columna, si este es el caso iniciar nuevamente el "Paso 1".

MÉTODO DE SALTO DE PIEDRA EN PIEDRA

El método de salto de piedra en piedra es una técnica iterativa para pasar de una solución factible inicial a una factible óptima. Este proceso consta de dos partes distintas: la primera implica someter a prueba la solución actual para determinar si es posible una mejora; por su parte, la segunda consiste en modificar la solución actual para obtener una solución mejorada. Este proceso continua hasta que se llega a la solución óptima.

Para aplicar el método de salto de piedra en piedra a un problema de transporte, primero se debe observar una regla sobre el número de rutas de envió utilizadas. El número de rutas ocupadas (o cuadros) siempre debe ser igual a la suma del número filas más el número de columnas menos uno. 

Para saber que tan factibles son todos los métodos anteriores se ha desarrollado la prueba de optimación que determina si el método es el que ofrece el menor costo de envío. La prueba se lleva a cabo mediante el cálculo de un solo número conocido como costo reducido, para cada celda vacía. Para calcular el costo reducido seleccione en orden los ceros que encuentre. 

El método de salto de piedra implica probar cada ruta no utilizada para ver si el envío de una unidad por esa  ruta incrementaría o disminuiría los costos totales. Los pasos a seguir son los siguientes:

1.- Seleccionar una celda o cuadro no utilizado que será evaluado.

2.- Comenzar en este cuadro, trazar un trayecto cerrado de regreso al cuadro original vía aquellos que actualmente se utilizan, y moverse sólo con desplazamientos horizontales y verticales.

3.- Iniciar con un signo más (+) en el cuadro no utilizado, colocar alternadamente signos menos (-) y signos más (+) en cada cuadro de esquina del trayecto cerrado que se acaba de trazar.

4.- Calcular un índice de mejora mediante la suma de las cifras de costo por unidad de cada cuadro que contiene un signo más y luego restar los costos por unidad de cada cuadro que contiene un signo menos.

5.- Repetir los pasos 1 a 4 hasta que se haya calculado un índice de mejora para todos los cuadros no utilizados. Si todos los índices calculados son más grandes que o iguales a cero, se llegó a una solución óptima. En caso contrario, es posible mejorar la situación actual y disminuir los costos totales de envío.

Reglas para el desarrollo de la prueba de optimalidad o salto de la piedra 

Las piedras serán las cantidades asignadas a cada casilla de la tabla. Se llamaran charcos las casillas vacías de la tabla.  Salto horizontal en piedra, es decir en forma vertical o en forma horizontal.  Realizar el mínimo de saltos posibles.  La casilla a evaluar comienza con un signo (+) positivo y a medida en que se

va posibles.  La casilla a evaluar comienza con un signo (+) positivo y a medida en que se

va recorriendo la ruta escogida se van alternando los signos.  Buscar un salto de línea cerrada (donde empieza termina). 

Si la ruta asignada es correcta, sumamos algebraicamente los costos y la respuesta debe dar positiva, es decir que los valores positivos sean mayores que los valores negativos. 

Si la ruta no es correcta se debe reasignar.  Reubicación: Tomamos las cantidades de las casillas negativas y elegimos el

valor más pequeño entre ellos, para restárselo a las cantidades negativas y sumárselo a las positivas. 

ALGORITMO DE TRANSPORTE (MINIMIZACION)

El algoritmo de transporte consta de cuatro pasos básicos.

1.- Preparar una tabla de transporte balanceada.

2.- Desarrollar una solución inicial con el método MAV o cualquier otro método.

3.- Calcular un índice de mejora para cada celda vacía con el método de salto de piedra en piedra o método MODI. Si todos los índices de mejora son no negativos, detenerse; la solución óptima ha sido encontrada. Si cualquier índice es negativo, se continúa con el paso 4.

4.- Seleccionar la celda con el índice de mejora que indica la disminución de costo más grande. Rellene esta celda con un trayecto de salto de piedra en piedra e ir al paso 3.  

CASOS RESUELTOS

PROBLEMA N° 1 - PL:Una empresa energética colombiana dispone de cuatro plantas de generación para satisfacer la demanda diaria eléctrica en cuatro ciudades, Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla. Las plantas 1, 2,3 y 4 pueden satisfacer 80, 30, 60 y 45 millones de KW al día respectivamente. Las necesidades de las ciudades de Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla son de 70, 40, 70 y 35 millones de Kw al día respectivamente.

 Los costos asociados al envío de suministro energético por cada millón de KW entre cada planta y cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla.Formule un modelo de programación lineal que permita satisfacer las necesidades de todas las ciudades al tiempo que minimice los costos asociados al transporte.

SOLUCIÓN:El modelo básico de transporte es el modelo en el cual la cantidad ofertada es igual a la cantidad demandada, como es el caso de este ejercicio, sin embargo trasladar esta suposición a la realidad es casi imposible por lo cual hace falta crear orígenes y/o destinos ficticios con el excedente de oferta y/o demanda. Como ya lo hemos planteado en módulos anteriores el primer paso corresponde a la definición de las variables, regularmente se le denomina a las variables de manera algebraica Xi,j donde i simboliza a la fuente y j simboliza al destino. En este caso i define el conjunto {Planta 1, Planta 2, Planta 3 y Planta 4}, y j define el conjunto {Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla}. Sin embargo es práctico renombrar cada fuente y destino por un número respectivo, por ende la variable X1,2 corresponde a la cantidad de millones de KW enviados diariamente de la Planta 1 a la ciudad de Bogotá.

El segundo paso corresponde a la formulación de las restricciones de oferta y demanda, cuya cantidad se encuentra determinada por el factor entre fuentes y destinos, en este caso 16 restricciones. Restricciones de oferta o disponibilidad, las cuales son de signo ≤: X1,1 + X1,2 + X1,3 + X1,4 ≤ 80X2,1 + X2,2 + X2,3 + X2,4 ≤ 30X3,1 + X3,2 + X3,3 + X3,4 ≤ 60X4,1 + X4,2 + X4,3 + X4,4 ≤ 45 Restricciones de demanda, las cuales son de signo ≥: X1,1 + X2,1 + X3,1 + X4,1 ≥ 70X1,2 + X2,2 + X3,2 + X4,2 ≥ 40X1,3 + X2,3 + X3,3 + X4,3 ≥ 70X1,4 + X2,4 + X3,4 + X4,4 ≥ 35 Luego se procede a formular la función objetivo, en la cual se relaciona el costo correspondiente a cada ruta. ZMIN = 5X1,1 + 2X1,2 + 7X1,3 + 3X1,4 + 3X2,1 + 6X2,2 + 6X2,3 + 1X2,4 + 6X3,1 + 1X3,2 + 2X3,3 + 4X3,4 + 4X4,1 + 3X4,2 + 6X4,3 + 6X4,4

Aquí están los resultados.

Este problema presenta una solución óptima alternativa, aquí los resultados.

PROBLEMA N° 2 – ESQUINA DE NOROESTE:

La empresa “químicos del caribe S.A” posee 4 depósitos de azufre  que deben ser usados para fabricar 4 tipos de productos diferentes (A, B, C, D), además por cada litro que se haga de los productos A, B, C, y D se utilizan un litro de azufre. Se sabe que las capacidades de cada depósito son  de  100L, 120L, 80L, 95L  respectivamente.  La empresa tiene un pedido de 125L de la sustancia A, 50L de la sustancia B, 130L de la sustancia C y 90L de la sustancia D.Los costos que reaccionan la producción de cada químico con cada depósito se presenta a continuación:

Tabla1

Formule una solución para este problema de manera que se cumpla el pedido y se minimice los costos:

De acuerdo a las especificaciones del problema podemos completar la tabla de la siguiente manera:

El siguiente paso será seleccionar el número de la esquina más al noroeste:

A B C D

deposito1 2 3 4 6

deposito2 1 5 8 3

deposito3 8 5 1 4

deposito4 4 5 6 3

En este punto se deberá asignar la mayor cantidad de unidades posibles, de manera que no sobrepase la capacidad de químicos en litros de cada depósito y los litros requeridos de cada químico. En este caso se deberá asignar el número 100.

Debido a que el deposito 1 se ha abastecido completamente se llega a una solución: A1=100, (es decir el deposito 1 suministrara 100 litros a la sustancia A), no obstante no es necesario tener en cuenta esa fila. Se procederá ahora a elegir nuestra siguiente esquina:

Nuestra nueva esquina será 1, como lo indica la tabla 5, además los litros requeridos para el deposito A serán 25 esto es porque A1=100, es decir ya se le han encargado 100 litros al depósito 1 y por lo tanto los litros restantes serán 25.Las unidades para nuestra nueva esquina serán 25. El procedimiento continúa como se hizo anteriormente.

Ahora el deposito 2 contiene 95 litros en total puesto que se le ha restado las 25 unidades de A2. Nuestro nuevo punto esquina será el 5:

La unidad que se tomara será 50:

Ahora que todos los litros requeridos por la sustancia B han sido completados por lo tanto no es necesaria esta columna. Presentaremos nuestra nueva esquina con su respectiva unidad se muestra a continuación:

La columna del depósito 2 ha sido completada por lo tanto no se tendrá en cuenta, el numero 85 resulta de la resta de 130-45. Nuestra nueva esquina con la respectiva unidad se muestra a continuación:

La columna del depósito 3 ha sido completada por tanto ya no se tendrá en cuenta, nuestra nueva esquina con nuestra nueva unidad será:

Nuestra última tabla queda como sigue:

El resultado final para las asignaciones será:A1: 100 (se le asigna 100 litros al depósito 1 para suministrarle al químico 2).A2: 25 (se le asigna 25 litros al depósito 2 para suministrarle al químico 2).B2: 50 (se le asigna 50 litros al depósito 2 para suministrar al químico B).C2: 45 (se le asigna 45 litros al depósito 2 para suministrar al químico C).C3:80 (se le asigna 80 litros al depósito 3 para suministrar al químico C).C4: 5 (se le asigna 5 litros al depósito 4 para suministrar al químico C).D4: 90 (se le asigna 90 litros al depósito 4 para suministrar al químico D).En tabla el resultado final será:

A B C D

deposito1 100 0 0 0 100

deposito2 25 50 45 0 120

deposito3 0 0 80 0 80

deposito4 0 0 5 90 95

125 50 130 90

PROBLEMA N° 3 - VOGEL:

Para el siguiente problema de transporte en el que se especifica la oferta y demanda, para los orígenes (almacenes) y destinos (ciudades) respectivamente, así como los costos de transporte por unidad, desde cada uno de los almacenes hacia cada una de las ciudades, y en el que se desea determinar la cantidad o número de artículos que se tiene que enviar desde cada almacén a  cada una de las ciudades, con un costo mínimo de transporte, se resuelve lo siguiente:

Ciudades I II III Oferta

Almacén 1 5 1 8 12

Almacén 2 2 4 0 14

Almacén 3 3 6 7 4

Demanda 9 10 11 30/30

Para iniciar el desarrollo del ejercicio identificaremos los costos más bajos por fila y por columna. Posteriormente se restan dichos valores y este resultado se denomina Penalización.

Ciudades I II III Oferta Penalización

Almacén 1 5 1 8 12 5 - 1= 4Almacén 2 2 4 0 14 2 - 0= 2

Almacén 3 3 6 7 4 6 - 3= 3

Demanda 9 10 11

Penalización 3 - 2 = 1 4 - 1= 3 7 - 0 =  7

El valor de la penalización siempre es positivo dado que se resta el valor mayor menos el menor.

2. Se identifica la fila o columna con la mayor penalización.De ese renglón o columna tomamos el menor costo y le asignamos la mayor cantidad posible de artículos que se necesita para cubrir nuestra demanda. Después de haber hecho esto tachamos toda la columna o fila indicando que ya se cumplió con la demanda. En este caso se tachó la columna de la ciudad #3 y  el almacén 2 cubrió la demanda de los 11 artículos. De esta manera entonces en el almacén 2 queda con 3 artículos.

3. Reducir la tabla de transporte sombreando las columnas o filas satisfechas; se repite el proceso desde el paso 1 y se calculan las nuevas penalizaciones, sin tener en cuenta la ciudad 3 (columna 3) pues ya se cubrió la demanda en su totalidad. Al cubrir la demanda de la ciudad número 2 el almacén 1 queda con 3 artículos.

4. Ya en este último paso no es necesario realizar la diferencia para encontrar la mayor penalización, simplemente se asignan las unidades o artículos que nos quedan en los almacenes 1,2 y 3 a la ciudad número 1;  por lo tanto surtimos a la ciudad 1 con los 2 artículos que nos quedan en el almacén 1, del almacén número 2 asignamos las 3 y por ultimo de almacén número 4 asignamos los artículos para cubrir la demanda de la ciudad número 1 en su totalidad.

Para saber cuántas celdas debimos haber llenado vamos a realizar la siguiente operación:

# Filas + # columnas – 1               (m+n-1)

Entonces: 3+3-1 =5 celdas ocupadas.Para calcular el costo total de envió se realiza la siguiente operación:Z= Unidades asignadas * costo unitariosZ= 2(5)+10(1)+3(2)+11(0)+4(3)Z= 38 es el costo mínimo total de envió

Informe:La distribución de los artículos a las ciudades para minimizar los costos de transporte se asignarían de la siguiente manera:El almacén 1 surtiría la ciudad 1 con 2 artículos a un costo mínimo de transporte de 5$El almacén 1 surtiría a la ciudad 2 con 10 artículos a un costo mínimo de transporte de 1$El almacén 2 surtiría a la ciudad 1 con 3 artículos a un costo mínimo de transporte de 2$El almacén 2 surtiría a la ciudad 3 con 11 artículos a un costo mínimo de transporte de 0$El almacén 3 surtiría a la ciudad 1 con 4 artículos a un costo mínimo de transporte de 3$. (En este caso el almacén 1, 2 y 3 surtieron a la ciudad 1 para cubrir la demanda de 9 artículos).

PROBLEMA N° 4- COSTO MINIMO:

Una empresa energética colombiana dispone de cuatro plantas de generación para satisfacer la demanda diaria eléctrica en cuatro ciudades, Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla. Las plantas 1, 2,3 y 4 pueden satisfacer 80, 30, 60 y 45 millones de KW al día respectivamente. Las necesidades de las ciudades de Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla son de 70, 40, 70 y 35 millones de Kw al día respectivamente.

Los costos asociados al envío de suministro energético por cada millón de KW entre cada planta y cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla.

SOLUCIÓN

Luego esa cantidad asignada se resta a la demanda de Bogotá y a la oferta de la "Planta 3", en un proceso muy lógico. Dado que Bogotá se queda sin demanda esta columna desaparece, y se repite el primer proceso.

Nuevo proceso de asignación

Nuevo proceso de asignación

Nuevo proceso de asignación

Una vez finalizado el cuadro anterior nos daremos cuenta que solo quedará una fila, por ende asignamos las unidades y se ha terminado el método.

El cuadro de las asignaciones (que debemos desarrollarlo paralelamente) queda así:

Los costos asociados a la distribución son: