Problema 4:

Se lanza un objeto que desliza por

una superficie. La superficie está

inclinada hacia arriba un ángulo α

respecto a la horizontal.

¿Qué distancia recorrerá el objeto

antes de pararse?

Situación inicial: el objeto ha sido lanzado con

rapidez v0, por un plano que está inclinado un

ángulo α respecto a la horizontal

v0

α

Emisión de hipótesis y análisis

cualitativo

La distancia de frenado (D)

dependerá de…

La rapidez inicial (v0)

El coeficiente de rozamiento de la superficie (μ)

La masa del objeto (m)

La inclinación del plano (α)

La aceleración de la gravedad (g)

Para analizar la influencia de cada

variable sobre D, necesitamos

realizar un control de variables

Si (μ, m, α, g) permanecen

constantes, D depende de v0:

De forma creciente, pues a mayor rapidez inicial más

tiempo tardará en pararse y más distancia recorrerá

Si v0 tiende a cero, D tenderá a cero pues apenas subirá

Si v0 tiende a infinito, D tenderá a infinito pues tardará

un tiempo infinito en detenerse

Si (v0, m, α, g) permanecen

constantes, D depende de μ:

De forma decreciente, pues a mayor coeficiente de

rozamiento, mayor fuerza de rozamiento máxima, antes

se parará y menos D

Si μ tiende a cero, D tenderá a un valor máximo (pues

se encargará de pararlo tan sólo la atracción de la

Tierra)

Si μ tiende a infinito, D tenderá a cero pues tardará un

tiempo casi nulo en detenerse

Si (v0, μ, α, g) permanecen

constantes, D depende de m:

De forma decreciente, pues a mayor masa mayor

fuerza contraria al movimiento (aumenta la

componente tangencial del peso, y aumenta la fuerza de

rozamiento por estar más apretados el objeto y la

superficie), y menos D

Si m tiende a cero, D tenderá a infinito

Si m tiende a infinito, D tenderá a cero

Si (v0, μ, m, g) permanecen

constantes, D depende de α :

De forma decreciente, pues a mayor inclinación mayor

será la componente tangencial del peso, que es contraria

al movimiento. (Sin embargo, menor será la fuerza de

rozamiento pues estarán menos apretados el objeto y la

superficie)

Si α tiende a cero, D tenderá a un valor máximo (ver

solución del problema 3)

Si α tiende a 90º, D tenderá al valor de la altura máxima

en un tiro vertical.

Si (v0, μ, m, α) permanecen

constantes, D depende de g:

De forma decreciente, pues a mayor aceleración de la

gravedad y por tanto mayor fuerza contraria al

movimiento (aumenta la componente tangencial del

peso, y aumenta la fuerza de rozamiento por estar más

apretados el objeto y la superficie), y menos D

Si g tiende a cero, D tenderá a infinito (ni fuerza de

rozamiento ni peso)

Si g tiende a infinito, D tenderá a cero

Estrategia de resolución

Pasos para resolver el problema:

1. Realizar un análisis dinámico para obtener la aceleración

1. Dibujar, nombrar y calcular directamente las fuerzas que están

actuando sobre el objeto durante el movimiento

2. Dibujar la dirección tangencial y normal, y descomponer cada

una de las fuerzas

3. Sumar (o restar) las fuerzas en cada dirección, e igualar al

producto de la masa por la aceleración en esa dirección

2. Elegir sistema de referencia, determinar el signo de la

aceleración y escribir ecuaciones: vt, et.

3. Igualar vt=0, despejar t y sustituir en et.

1. Análisis dinámico: dibujar, nombrar y calcular…

α

FT,o=mo·g

Fuerza de atracción de la Tierra sobre el objeto

Fs,o

Fuerza que ejerce el suelo sobre el objeto, y

mide lo apretados que están

Frozs,o

Fuerza de rozamiento

por deslizamiento que

ejerce el suelo sobre el

objeto

1. Análisis dinámico: descomponer cada fuerza…

Fs,o

Frozs,o

dir tang

dir nor

1. Análisis dinámico: dibujar, nombrar y calcular…

α

FT,o

α

α

FT,o·cosα

FT,o·senα

1. Análisis dinámico: descomponer cada fuerza…

Fs,o

Frozs,o

dir tang

dir nor

FT,o·cosα

FT,o·senα

1. Análisis dinámico: Fres en dirección normal…

Fs,o

FT,o·cosα

nornorresamF ·)(

norosoTamFF ··cos

,,

Movimiento rectilíneo: anor=0

osoTFF

,,·cos

1. Análisis dinámico: Fres en dirección tangencial

Frozs,o

FT,o·senα

tgtgresamF ·)(

tgosoTamFrozsenF ··

,,

Como hay movimiento, la Froz toma el valor máximo: μ·Fs,o

osoTFF

,,·cos

tgamgmsengm ··cos····

)·cos·(sengatg

2. Elegir sistema de referencia…

)·cos·(sengatg

tavvtgt·

0

2

2

10

·· tatvetgt

v0

atg e0=0

3. Igualar vt a cero, despejar…

tg

frenafrenatga

vttav 0

0·0

20

2

1

2

0 )·(tg

tg

tg

tfrenaa

va

a

vDDe

)cos(22

2

0

2

0

seng

vD

a

vD

tg

Análisis de resultados

Análisis de resultados

La ecuación es dimensionalmente homogénea:

D tiene las mismas unidades que:

Algunas de nuestras hipótesis son ciertas, pero

no todas…

)cos(2

2

0

seng

v

Teniendo en cuenta que:

D depende de v0, es creciente y se cumplen

los casos límite (ver diapositiva 6)

D depende de μ, es decreciente, y se

cumplen los casos límite (si μ=0, D es

máxima:

)cos(2

2

0

seng

vD

seng

v

·2

2

0

Teniendo en cuenta que:

¡D no depende de m! Podríamos revisar nuestra

resolución, pero quizás nos hemos equivocado en

nuestros argumentos parea justificar la hipótesis. Como

tantas veces nos ha ocurrido en clase, hemos pensado

que el movimiento está relacionado con la fuerza

resultante, y no es así: está relacionado con la

aceleración. Por tanto, la influencia de m en la Fres

(directamente proporcional), desaparece al dividir entre

m para obtener la aceleración.

)cos(2

2

0

seng

vD

Teniendo en cuenta que:

Nuestro argumento contradictorio sobre la influencia

de α se reconoce en que aparece por dos veces en el

denominador de la expresión obtenida: por una parte, el

denominador es mayor cuanto mayor es α pues el seno

aumenta, pero por otra parte en ese caso el coseno

disminuye.

Cuando α=0, D tiende a un valor máximo:

Cuando α=90º, entonces:

)cos(2

2

0

seng

vD

·2

2

0

g

vD

g

vD

2

2

0

Teniendo en cuenta que:

D depende de g, es decreciente, y se cumplen los

casos límite (ver diapositiva 10)

)cos(2

2

0

seng

vD