1

PROBLEMA 1

PROBLEMA 3

EXAMEN PRIMERA SEMANA. Febrero 2006

Magnetismo

Electricidad

y

2

Sobre un segmento rectilíneo de longitud a y una semicircunferencia de radio 2a y centro en el punto A (0, a, 0) se distribuye una densidad lineal de carga (véase figura). Calcular el campo eléctrico y el potencial en el punto A.

Z

Y

a

2a

A

PROBLEMA 1. Cálculo de campo eléctrico y potencial (aportaciones infinitesimales)

Pasos previos: cálculo del campo creado por una densidad lineal de carga (ver cálculo 1.1) y del campo creado por una densidad constante sobre una semicircunferencia (ver cálculo 1.2)

Campo del segmento rectilíneo:

Campo de la semicircunferencia:

zy uu

aE

1

5

1

5

2

4

0

a

uE z

02

Campo total en A:

zy uu

aE

1

5

1

5

2

4

0

Cálculo del potencial creado por una densidad lineal de carga (ver cálculo 1.3) y por una densidad lineal sobre una semicircunferencia (ver cálculo 1.4).

15ln4 0

V

04

V

Campo del segmento rectilíneo:

Campo de la semicircunferencia:

Potencial en A

15ln4 0

V

Magnetismo

Electricidad

y

3

PROBLEMA 3. Cálculo de campo magnético (aportaciones infinitesimales)

Z

Y

a/2

a

Por una espira, formada por una semicircunferencia y dos tramos rectos tal como indica la figura, circula la corriente I. Calcular el campo magnético en el origen de coordenadas.

Pasos previos: cálculo del campo magnético creado por un filamento rectilíneo que conduce la corriente I (ver cálculo 3.1) y del campo magnético creado por una corriente I sobre una semicircunferencia (ver cálculo 3.2)

Puesto que todos los elementos conductores están situados en el plano YZ, el campo magnético resultante en el origen tendrá la dirección del eje X (perpendicular al plano del esquema)

Bd

El campo magnético en origen de los tramos rectilíneos estará dirigido en sentido entrante (compruébese con la regla de la mano derecha). El del tramo semicircular está dirigido en sentido saliente. Puesto que la distancia de los elementos de corriente del tramo semicircular al origen es mayor, el campo neto debe ser de sentido entrante (se comprobará).

Magnetismo

Electricidad

y

4

Magnetismo

Electricidad

y

PROBLEMA 3. Cálculo de campo magnético (aportaciones infinitesimales, continuación)

xuh

IB

21

0 sensen4

A) Tramos rectilíneos

Según la orientación de la espira respecto a los ejes coordenados, el campo de cada tramo rectilíneo se expresa como

Z

Y

a/2

a

donde h = a/2 y los ángulos 1 y 2 son para el conductor superior 30º y 60º, y para el inferior 60º y 30º (véase que la contribución de cada uno de ellos es la misma porque en el resultado final figura la suma de los senos de los ángulos).

1

2

3

xua

IB

2

3

2

1

2/40

1

xua

IB

2

1

2

3

2/40

2

B) Tramo semicircular: su sentido es saliente xua

IB

40

3

X

xx ua

Iu

a

IBBBB

42

1

2

3

2/42 00

321

Campo total:

xx uu

a

I

2

1

2

34

40

xua

IB

1324

0

5

CÁLCULOSMagnetismo

Electricidad

y

6

h

Z

Y

L

Cálculo 1.1. Campo eléctrico debido a densidad lineal de carga en un punto arbitrario P.

Supongamos que la densidad de carga lineal está distribuida sobre un segmento de longitud L con la orientación mostrada en la figura.

dz

P1

2

z

sencos44 2

02

0zyzy uu

r

dzEdEd

r

dzEd

yEd

zEd

r

Ed

dzdq Calculemos el campo en P

Relación entre el ángulo y la coordenada z:

tghz (El signo negativo obedece a que cuando la coordenada z decrece, el ángulo aumenta, pues su sentido positivo es el sentido antihorario)

d

hdz 2cos

sencoscos/4

cos/22

0

2

zy uuh

dhEd

2

22

cos

hr

sencos4

0zy uu

h

d Límites de integración: -1 y 2

2

104

sencos

d

h

uuE zy

2

1cossen

4

0

zy uu

h 2112

0

coscossensen4

zy uuh

El ángulo es positivo en sentido antihorario y su línea de referencia es la horizontal que pasa por P; por tanto los ángulos por encima de la horizontal que pasa por P tienen una contribución negativa a Ez ya que su seno es negativo (esto es lo que se muestra en el dibujo, pues se ha pintado un elemento dz por encima de esa horizontal). Los elementos dz por debajo de esa horizontal tienen contribución positiva, pues su seno es positivo. Véase que todas las contribuciones a Ey son positivas, pues cos = cos (-).

Tomamos como origen este punto

Caso particular planteado en nuestro problema: Cuando h = a, L = 2a, cos1 = 1/5, sen1 = 2/5, 2 = 0

zy uu

aE

1

5

1

5

2

4

0

VOLVER

VOLVER Cálculo 3.1

Magnetismo

Electricidad

y

7

0

Cálculo 1.2. Campo eléctrico de arco de circunferencia (densidad lineal ) en su centro.

VOLVER

Rd

Z

Y

dR

yEd

zEd

Ed

Sea un arco de circunferencia de 0 radianes y radio R con densidad lineal C/m

El sentido positivo del ángulo es el antihorario.

sencos44 0

20

zyzy uuR

dEdEd

R

RdEd

Límites de integración: 0 y 0

0

00

sencos4

zy uuR

dE

0

00

cossen4

zy uuR

1cossen4

00

0

zy uuR

E

Caso particular planteado en nuestro problema: Cuando R = a, 0 = rad

a

uE z

02

Magnetismo

Electricidad

y

8

Cálculo 1.3. Potencial eléctrico debido a densidad lineal de carga en un punto arbitrario P.

h

Z

Y

L

dz

P1

2

z

dzdq

Tomamos como origen este punto

VOLVERSupongamos que la densidad de carga lineal está distribuida sobre un segmento de longitud L con la orientación mostrada en la figura.

r

dzdV

04

Calculemos el potencial en P

cos/4

cos/

0

2

h

dh rcos

hr

2

1

sec4 0

dV

tghz

dh

dz 2cos

cos4 0

d

d sec4 0

2

1tansecln

4 0

2

1tansecln

4 0

V 12120

tantansecsecln4

12120

tantansecsecln4

V

Caso particular planteado en nuestro problema: h = a, L = 2a, cos1 = 1/5, sec1 = 5, sen1 = 2/5, tan1 = 2

2 = 0, cos2 = 1, sec2 = 1, sen2 = 0, tan2 = 015ln

4 0

V

Magnetismo

Electricidad

y

9

Cálculo 1.4. Potencial eléctrico de arco de circunferencia (densidad lineal ) en su centro.

VOLVER

0

Rd

Z

Y

dR

El sentido positivo del ángulo es el antihorario.

00 44

d

R

RddV

Límites de integración: 0 y 0

0

004

d

V 00

04

0

0

4

V

Caso particular planteado en nuestro problema: Cuando R = a, 0 = rad

04

V

Sea un arco de circunferencia de 0 radianes y radio R con densidad lineal C/m

Magnetismo

Electricidad

y

10

Magnetismo

Electricidad

y

Cálculo 3.1. Campo magnético de un conductor rectilíneo en un punto arbitrario.

ldI

r

h

ru

Bd

90

sincos

20

4 r

ulIdBd r

El campo magnético debido a cada elemento de corriente en un punto como el indicado en el esquema tiene sentido entrante (a la derecha del conductor tiene sentido saliente, aunque esto no se muestra en la figura)

Cálculo del campo por Biot y Savart:

uIdlulId r sen

Vector unitario perpendicular al plano de la figura, entrante a la izquierda y saliente a la derecha de la misma

uIdl cos

ur

Idl

cos4 2

0

tghl

dh

dl 2cos

l

dh

hI

r

IdldB cos

cos/

cos/

4cos

4 22

20

20

cos

hr

dh

I

r

IdldB cos

4cos

40

20

Módulo dB

2

1

cos4

0

dh

IB

ldI

h

ru

Bd

r

1

2

Discusión de los signos en Cálculo 1.1.

120 sensen

4

h

I 210 sensen

4

h

I

VOLVER

CASO PARTICULAR: En nuestro problema h = a/2 y los ángulos 1 y 2 son, respectivamente, para el conductor superior 30º y 60º, y para el inferior 60º y 30º (véase que la contribución de cada uno de ellos es la misma porque en el resultado final figura la suma de los senos de los ángulos).

11

Cálculo 3.2. Campo magnético de un conductor semicircular en su centro.

VOLVERZ

Y

a

a

lId

d

ru

El campo magnético en el centro debido a cada elemento de corriente tiene sentido saliente (compruébese con la regla de la mano derecha)

20

4 r

ulIdBd r

Bd

ua

Idl 90sen4 2

0

Los vectores dl y ur son perpendiculares

El vector u es unitario y saliente

da

Ia

a

IdldB 2

02

0

44Módulo dB

da

IdB

40

Para calcular el campo en el origen producido por un arco de circunferencia de 0 radianes debemos integrar entre los límites = 0 y = 0 .

0

0

0

4

da

IB 0

0

4

a

I

Si se trata de una semicircunferencia 0 =

ua

IB

40

Magnetismo

Electricidad

y