PROBABILIDADES

PROBABILIDADES

ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE

Ing. Leodan H. Condori Quispe 216/12/2014

¿QUÉ SON LAS PROBABILIDADES?

1. Miden cuantitativamentela posibilidad de que unsuceso o experimentoaleatorio produzca undeterminado resultado.

2. Mide la posibilidad deocurrencia de unfenómeno a partir devarios fenómenos quepodrían suceder conigual posibilidad


¿QUÉ ES UN EXPERIMENTO?

Es una actividad en laque conocemos losposibles resultados,pero que, en algunoscasos no podemospredecirlos conexactitud.


¿CUÁLES SON LOS TIPOS DE EXPERIMENTOS?

EXPERIMENTO

DETERMINISTICOS

DEFINICIÓN:

Son aquellos experimentos cuyos resultados yaestán predeterminados a través de fórmulasmatemáticas, físicas, químicas, y otros.

EJEMPLOS:

1. Soltar una piedra en el aire (formula deecuaciones de caida libre)

2. Lanzar una pelota en un tanque de agua y versi flota o se hunde (fórmula física)

NO DETERMINISTICOS

(ALEATORIOS)

DEFINICIÓN:

Son aquellos experimentos cuyos resultados nose pueden predecirse con exactitud antes derealizar el experimento

EJEMPLOS:

1. Lanzar una moneda y observar la carasuperior

2. Lanzar un dado y observar el número queaparece en la cara superior


¿QUÉ ES UN EXPERIMENTO O FENOMENO ALEATORIO?

Son los que puedendar a variosresultados, sin quepueda ser previsibleenunciar con exactitudo certeza, cuál deestos va a serobservado en larealización delexperimento.


EJEMPLOS DE EXPERIMENTOS ALEATORIOS

1. Lanzar una moneda y observar la cara superior

2. Lanzar un dado y observar la cara superior

3. Observar el tiempo de vida de un artefactoeléctrico

4. Identificar a la persona que toca a la puerta


¿QUÉ ES UN ESPACIO MUESTRAL?

Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimentoaleatorio, y se denota por Ω

1. Lanzar un dado y observar la cara superior

2. Observar el tiempo de vida (en años) de unartefacto eléctrico

Ω = 1,2,3,4,5,6

Ω = 0,1,2,3, …

3. Lanzar una moneda y observar la cara superior

4. Designar un delegado de un grupo de 50estudiantes

EJEMPLOS:

Ω = 𝐶, 𝑆

Ω = 𝐸1, 𝐸2, 𝐸3, … , 𝐸50


ESPACIO MUESTRAL DE EXPERIMENTOS

1. Se lanza dos monedas simultáneamente. Hallar el espacio muestral

EJEMPLOS:

C S

C C,C C,S

S S,C S,S

2da moneda

1ra moneda

∴ Ω = 𝐶, 𝐶 , 𝐶, 𝑆 , 𝑆, 𝐶 , (𝑆, 𝑆)

2. Se lanzan una moneda y un dado simultáneamente y se observan lascaras superiores. Hallar el espacio muestral

DadoMoneda 1 2 3 4 5 6

C C,1 C,2 C,3 C,4 C,5 C,6S S,1 S,2 S,3 S,4 S,5 S,6

∴ Ω = 𝐶, 1 , 𝐶, 2 , 𝐶, 3 , 𝐶, 4 , 𝐶, 5 , 𝐶, 6 , 𝑆, 1 , 𝑆, 2 , 𝑆, 3 , 𝑆, 4 , 𝑆, 5 , (𝑆, 6)



3. Se lanza dos dados simultáneamente y se observan las carassuperiores. Hallar el espacio muestral

EJEMPLOS:

1 2 3 4 5 6

1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6

3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6

4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6

5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6

6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6

Dado 2 Dado 1

∴ Ω =

1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5 , 1,6 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 2,4 , 2,5 , 2,63,1 , 3,2 , 3,3 , 3,4 , 3,5 , 3,6 , 4,1 , 4,2 , 4,3 , 4,4 , 4,5 , 4,65,1 , 5,2 , 5,3 , 5,4 , 5,5 , 5,6 , 6,1 , 6,2 , 6,3 , 6,4 , 6,5 , (6,6)



4. Se lanza tres monedas simultáneamente y se observan las carassuperiores. Hallar el espacio muestral

EJEMPLOS:

Moneda 1 Moneda 2 Moneda 3 Eventos

C

C C CCC

S CCS

S C CSC

S CSS

S

C C SCC

S SCS

S C SSC

S SSS

Ω = 𝐶, 𝐶, 𝐶 , 𝐶, 𝐶, 𝑆 , 𝐶, 𝑆, 𝐶 , 𝐶, 𝑆, 𝑆 , 𝑆, 𝐶, 𝐶 , (𝑆, 𝐶, 𝑆), (𝑆, 𝑆, 𝐶), (𝑆, 𝑆, 𝑆)


¿CÓMO SE CALCULA LA PROBABILIDAD DE UN EVENTO?

Sea A: Un evento o suceso de un experimento aleatorio.

La probabilidad de dicho evento se calcula con la fórmula:

𝐏 𝐀 =𝑵 𝑨

N Ω=

𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔

𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒔𝒐𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔

La probabilidad de un evento cualquiera (A) está comprendido

entre 0 y 1

P(A)=0, si A es un evento imposible

La probabilidad de ocurrencia de cualquier elemento del espacio

muestral es𝟏

𝒏, donde n es el total de elementos del espacio

muestral

PROPIEDADES DE UNA PROBABILIDAD :



1)Si se lanza tres monedas simultáneamente (o una moneda tres veces). Calcular la

probabilidad de que:

a) Ocurra dos caras

b) Ocurra al menos dos caras

c) Ocurra a lo más dos caras

EJERCICIOS DE APLICACIÓN:

SOLUCIÓN

1. Determinar 𝐍 Ω (total de casos posibles o espacio muestral)

Moneda 1 Moneda 2 Moneda 3 Eventos

C

CC CCC

S CCS

SC CSC

S CSS

S

CC SCC

S SCS

SC SSC

S SSS

Ω = 𝐶, 𝐶, 𝐶 , 𝐶, 𝐶, 𝑆 , 𝐶, 𝑆, 𝐶 , 𝐶, 𝑆, 𝑆 , 𝑆, 𝐶, 𝐶 , (𝑆, 𝐶, 𝑆), (𝑆, 𝑆, 𝐶), (𝑆, 𝑆, 𝑆)

∴ 𝑁(Ω) = 8



SOLUCIÓN(a)

Determinar la probabilidad de que:

a) Ocurra dos caras

a.1) Definir el evento y determinar el total de casos favorables

Sea A: El evento o suceso de que ocurra dos caras

Si Ω = 𝐶, 𝐶, 𝐶 , 𝑪, 𝑪, 𝑺 , 𝑪, 𝑺, 𝑪 , 𝐶, 𝑆, 𝑆 , 𝑺, 𝑪, 𝑪 , (𝑆, 𝐶, 𝑆), (𝑆, 𝑆, 𝐶), (𝑆, 𝑆, 𝑆)

Ω A = 𝑪, 𝑪, 𝑺 , 𝑪, 𝑺, 𝑪 , 𝑺, 𝑪, 𝑪

∴ 𝑁(𝐴) = 3

a.2) Reemplazar en la fórmula:


N Ω=𝟑

𝟖= 𝟎, 𝟑𝟕𝟓



SOLUCIÓN(b)


b) Ocurra al menos dos caras

b.1) Definir el evento y determinar el total de casos favorables

Sea B: El evento o suceso de que ocurra al menos dos caras

Si Ω = 𝑪, 𝑪, 𝑪 , 𝑪, 𝑪, 𝑺 , 𝑪, 𝑺, 𝑪 , 𝐶, 𝑆, 𝑆 , 𝑺, 𝑪, 𝑪 , (𝑆, 𝐶, 𝑆), (𝑆, 𝑆, 𝐶), (𝑆, 𝑆, 𝑆)

Ω B = 𝑪, 𝑪, 𝑪 , 𝑪, 𝑪, 𝑺 , 𝑪, 𝑺, 𝑪 , 𝑺, 𝑪, 𝑪

∴ 𝑁(B) = 4

b.2) Reemplazar en la fórmula:

𝐏 𝑩 =𝑵 𝑩

N Ω=𝟒

𝟖= 𝟎, 𝟓



SOLUCIÓN(c)


c) Ocurra a lo más dos caras

c.1) Definir el evento y determinar el total de casos favorables

Sea C: El evento o suceso de que ocurra a lo más dos caras

Si Ω = 𝐶, 𝐶, 𝐶 , 𝑪, 𝑪, 𝑺 , 𝑪, 𝑺, 𝑪 , 𝑪, 𝑺, 𝑺 , 𝑺, 𝑪, 𝑪 , (𝑺, 𝑪, 𝑺), (𝑺, 𝑺, 𝑪), (𝑺, 𝑺, 𝑺)

Ω C = 𝑪, 𝑪, 𝑺 , 𝑪, 𝑺, 𝑪 , 𝑪, 𝑺, 𝑺 , 𝑺, 𝑪, 𝑪 , (𝑺, 𝑪, 𝑺), (𝑺, 𝑺, 𝑪), (𝑺, 𝑺, 𝑺)

∴ 𝑁(C) = 7

c.2) Reemplazar en la fórmula:

𝐏 𝑪 =𝑵 𝑪

N Ω=𝟕

𝟖= 𝟎, 𝟖𝟕𝟓



2)En una caja hay 20 bolas numeradas del 1 al 20. Se extrae al azar una bola. ¿Cuál es la

probabilidad que el número de la bola extraída:

a) No exceda de 20?

b) Sea el 32?

c) Sea por lo menos 15?

EJERCICIOS DE APLICACIÓN:

SOLUCIÓN

1. Determinar 𝐍 Ω (total de casos posibles o espacio muestral del experimento aleatorio)

①, ②, ③, …, ⑳

Ω = ①,②,③,… ,⑳

∴ 𝑁(Ω) = 20



SOLUCIÓN(a)

Determinar la probabilidad de que el número de la bola extraída:

a) No exceda de 20?

a.1) Definir el evento y determinar el total de casos favorables

Sea A: El evento de que el número de la bola extraída no exceda de 20

∴ 𝑁(𝐴) = 20

a.2) Reemplazar en la fórmula:


N Ω=𝟐𝟎

𝟐𝟎= 𝟏

𝐒𝐢 Ω = ①,②,③,… ,⑳

Ω(𝐀) = ①,②,③,… ,⑳ (es decir, está conformado por las 20 bolas,

porque el evento no debe exceder de 20 bolas)



SOLUCIÓN(b)


b) Sea el 32?

b.1) Definir el evento y determinar el total de casos favorables

Sea B: El evento de que el número de la bola extraída sea el 32

∴ 𝐏 𝑩 = 𝟎

𝐒𝐢 Ω = ①,②,③,… ,⑳

Ω(𝐁) = 0 (es un evento imposible, porque no existe la bola 32)



SOLUCIÓN(c)


c) Sea por lo menos 15?

c.1) Definir el evento y determinar el total de casos favorables

Sea C: El evento de que el número de la bola extraída sea por los menos 15

∴ 𝑁(C) = 6

c.2) Reemplazar en la fórmula:

𝐏 𝑪 =𝑵 𝑪

N Ω=

𝟔

𝟐𝟎= 𝟎. 𝟑

𝐒𝐢 Ω = ①,②,③,… ,⑳

Ω(𝐂) = ⑮,⑯,⑰,⑱,⑲,⑳ (es decir, que la bola extraída debe ser por

lo menos (como mínimo) la bola 15, hasta la bola 20)


APLICACIONES DE REFORZAMIENTO

3. Suponga que una rifa consiste de 1000 boletos y en esta rifa un boleto se premia con $500,

dos con $250, cinco con $100, cien con $5, y los demás no se premian. Si usted adquiere

un boleto de la rifa, ¿qué probabilidad tiene de:

a) Ganar alguno de los premios?

b) Ganar a lo más $100?

c) No ganar premio alguno?

4. Una lotería consta de 10000 billetes. Un billete se premia con 100 soles, cuatro billetes con

50 soles, diez billetes con 20 soles, veinte billetes con 10 soles, 165 billetes con 5 soles y

400 billetes con 1 soles cada uno. Los demás billetes no se premian. Se compra un billete,

¿Cuál es la probabilidad de ganar:

a) Por lo menos 10 soles?

b) A lo más 5 soles?

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