Probabilidad

1. Introducción

La probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un determinado resultado

(suceso o evento) cuando se realiza un experimento aleatorio.

Para calcular la probabilidad de un evento se toma en cuenta todos los casos posibles de

ocurrencia del mismo; es decir, de cuántas formas puede ocurrir determinada situación.

La probabilidad toma valores entre 0 y 1 (o expresados en tanto por ciento, entre 0% y 100%):

El valor cero corresponde al suceso imposible; ejemplo: lanzamos un dado al aire y

la probabilidad de que salga el número 7 es cero.

El valor uno corresponde al suceso seguro, ejemplo: lanzamos un dado al aire y la

probabilidad de que salga cualquier número del 1 al 6 es igual a uno (100%).

El resto de sucesos tendrá probabilidades entre cero y uno: que será tanto mayor

cuanto más probable sea que dicho suceso tenga lugar.

Ejemplo

Un juego requiere lanzar un dado de 6 lados numerado del 1 al 6. ¿Cuál es la probabilidad de

que salga un número par?

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A= {2, 4, 6}

A=

2. Regla de Adición

La regla de la adición o regla de la suma establece que la probabilidad de ocurrencia de

cualquier evento en particular es igual a la suma de las probabilidades individuales, si es que

los eventos son mutuamente excluyentes, es decir, que dos no pueden ocurrir al mismo

tiempo.

Para conjuntos con Intersección

Esto se debe a que sumamos la probabilidad de A más la probabilidad de B

pero como ya habíamos sumado la intersección, entonces la restamos.

Para conjuntos con Mutuamente excluyentes

En este caso, no hay ningún problema en sumar ambas probabilidades.

P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente excluyente.

P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B) si A y B son no excluyentes.

Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A. P(B) = probabilidad de

ocurrencia del evento B. P(A y B) = probabilidad de ocurrencia simultánea de los

eventos A y B.

Ejemplo

Supongamos que se extrae una carta de una baraja de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de

que la carta sea o un rey o una figura negra? (Evento no mutuamente excluyente)

Solución: Hay 52 sucesos o eventos simples. Sean los sucesos o eventos

Hay 4 reyes. A = Que la carta sea un rey.

Hay 6 figuras negras B = Que la carta sea una figura negra

P ( A U B ) =P( A ) + P( B ) – P( A ∩ B )

P(A U B)= 4/52 + 6/52 – 2/52 = 8/52= 0.15

3. Regla de Probabilidad conjunta

La probabilidad condicional estudiada nos conduce a observar reglas de probabilidad para

sucesos conjuntos, es decir, la probabilidad de que dos o más sucesos aparezcan al mismo

tiempo.

Ejemplo

Al arrojar una moneda desequilibrada al aire, P(A)=1/3 y P(S)=2/3, en dos ocasiones, ¿cuál

es la probabilidad de que en las dos ocasiones sea águila.

4. Reglas de la Probabilidad Condicional

Es la probabilidad de obtener un suceso, dado que ya ocurrió otro. Es decir, si

tenemos los sucesos A y B que pertenecen a un mismo espacio muestral S, y si la P

(A) es diferente de cero, entonces esta probabilidad que esta designada por :

P(B/A) es (P/A)= (P(AnB)) / (P(A)) = P(BnA)/ P(A)

Importante: Para calcular esta probabilidad es necesario conocer tanto la probabilidad

marginal de uno de los sucesos (P(A)) como la probabilidad de la intersección de ambos (o

la probabilidad cando ocurran los dos sucesos a la vez)

Ejemplo

Se sabe por estudios previos que el 0,1% de la población tiene problemas vasculares. Un

estudio sobre individuos con problemas vasculares revela que el 20% de ellos son placas de

ateroma. Si el 10% de los individuos con placas de ateroma está expuestos a muerte súbita

⅓

A

S

A

S

A

S

A1

S1

A2

S2

A2

S2

⅓

⅓ ⅔

⅔

⅔

P(A1∩A2)=P(A1)P(A2|A1)=

P(A1∩A2)=1/3(1/3)= 1/9

por desprendimiento de trombos ¿qué probabilidad tiene un individuo cualquiera de estar

expuesto a muerte súbita por desprendimiento de trombos de una placa de ateroma?

Datos:

A1 = {problemas

vasculares};

A2 = {placas de

ateroma};

A3 = {expuesto a muerte

súbita por....}

Resolución

p(A1) = 0,001; p(A2|A1) = 0,20;p(A3|A1 Ç A2) = 0,1 p(A1 Ç A2 Ç A3) = 0,001 x 0,20 x

0,1 = 0,000002

5. Reglas de la Probabilidad Total

Sean A1, A2,…, An un conjunto completo de sucesos incompatibles entre sí. Sea B el

suceso del cual se conocen las probabilidades condicionadas P(B/Ai), entonces, la

probabilidad de ocurrencia de B se conoce como probabilidad total (completa) y su valor se

determina mediante la expresión:

P(B) = P(A1)*P(B/A1) + P(A2)*P(B/A2) + … + P(An)*P(B/An)

Es importante destacar que la probabilidad total puede entenderse como la suma de las

probabilidades compuestas P(Ai ∩ B).

Ejemplo

La prevalencia de infarto cardíaco para hipertensos es del 0,3% y para no hipertensos del

0,1%. Si la prevalencia de hipertensión en una cierta población es del 25% ¿Cuál es la

prevalencia del infarto en esa población?

Datos:

A1 = {ser hipertenso} A2 = {no serlo} estos

sucesos constituyen una

partición

B = {padecer infarto}

Resolución

p(B|A1) = 0,003; p(B|A2) = 0,001; p(A1) = 0,25 evidentemente

p(A2) =0,75 por la propiedad 1 p(B) = 0,003x0,25 + 0,001 x 0,75 = 0,0015

Bibliografía

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/ProbabilidadCalculo.htm

http://blade1.uniquindio.edu.co/uniquindio/ntic/trabajos/6/grupo3/probabilidad/pagi

nas/reglaspro.htm

https://padlet.com/camilalugo29/wallstreet23

http://www.hrc.es/bioest/Probabilidad_15.html

https://sites.google.com/site/623probabilidad/reglas-de-probabilidad

https://estadisticageneral.wordpress.com/probabilidad-total/