PROBABILIDAD CPR. JORGE JUAN Xuvia-Narón

probabilidad Departamento Matemáticas – CPR Jorge Juan – Xuvia 553 Leopoldo E. Álvarez

PROBABILIDAD CPR. JORGE JUAN Xuvia-Narón

Para determinar la cantidad de grupos que se pueden formar que cumplan determinadas condiciones existen los siguientes métodos de recuento: Diagrama de árbol

Variaciones ordinarias

Dados, m elementos, tomados de, n, en, n, n m, son los distintos grupos que se pueden formar con los, m, elementos de manera que:

En cada grupo entren, n, elementos distintos. Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento ó en el orden de colocación de éstos.

El número de grupos que se pueden formar que cumplan las condiciones anteriores viene dado por , .( 1).( 2).....( 1)n

m n mV V m m m m n

¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, sin que se repita ninguna cifra?.

9,3 9.8.7 504V números La bandera de un país está formada por tres franjas horizontales de igual anchura y distinto color. ¿Cuántas banderas distintas se podrán formar con los siete colores del arco iris?.

7,3 7.6.5 210V banderas distintas ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar, 12, alumnos en los cuatro asientos de la primera fila de la clase?. ¿Y si el primer puesto está siempre reservado para el delegado?. 12,4 12.11.10.9 11880V formas

12,3 12.11.10 1320V formas

Variaciones con repetición

Dados, m elementos, tomados de, n, en, n, n m, son los distintos grupos que se pueden formar con los, m, elementos de manera que:

En cada grupo entren, n, elementos repetidos ó no. Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento ó en el orden de colocación de éstos.

El número de grupos que se pueden formar que cumplan las condiciones anteriores viene dado por


, . . ... ..n n nm n mVR VR m m m m m

Resolver, VRx,2 + 5.VRx-2,2= 244

VRx,2 + 5.VRx-2,2= x2 + 5.(x-2)2= 244 x= 8

x= 143

no tiene sentido

En el alfabeto Morse se utilizan dos símbolos, el punto y la raya. ¿Cuántos caracteres diferentes es posible obtener tomando, 1, 2, 3, ó, 4, símbolos?. caracteres formados por un solo símbolo, VR2,1= 21= 2 caracteres formados por dos símbolos, VR2,2= 22= 4 caracteres formados por tres símbolos, VR2,3= 23= 8 caracteres formados por cuatro símbolos, VR2,4= 24= 16 caracteres diferentes en total: 2+4+8+16= 30 ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, pudiéndose repetir las cifras?. VR10,3= 103= 1000 números de estos, 1000 números habrá que eliminar los que empiecen por, 0, pues estos no serían de tres cifras VR10,3 - VR10,2= 103 – 102= 1000-100= 900 números Se lanzan tres dados de distintos colores un vez. ¿Cuántos resultados distintos se pueden obtener?. VR6,3= 63= 216 resultados

Permutaciones ordinarias

Dados, n elementos, tomados de, n, son los distintos grupos que se pueden formar con los, n, elementos de manera que:

En cada grupo entren los, n, elementos. Dos grupos son distintos si se diferencian en el orden de colocación de éstos elementos.

El número de grupos que se pueden formar que cumplan las condiciones anteriores viene dado por Pn= Vn,n= n.(n-1).(n-2).....(n-n+1)= n.(n-1).(n-2).....3.2.1= n! se verifica n!= n.(n-1).(n-2).....3.2.1 0!= 1!= 1


V,n= !

( )!m

m n

Pn= n! PCn= Pn-1

Las permutaciones circulares si se desplazan en un mismo sentido los elementos el grupo que resulta es idéntico al anterior.

De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en un banco?. P8= 8.7.6.5.4.3.2.1= 40320 formas La primera división de fútbol de la liga española la componen, 20 equipos. ¿Ce cuántas formas se pueden clasificar al final del campeonato?. P20= 20.19.18.17.....3.2.1= 2432902008176640000 formas ¿Cuántas palabras se pueden formar con ocho letras de forma que dos de ellas estén siempre juntas y guardando el mismo orden?. P7= 7.6.5.4.3.2.1= 5040 palabras ¿De cuántas formas se pueden sentar ocho personas en una mesa circular?. hay que tener en cuenta que una vez sentadas, si se traslada cada persona un asiento a la izquierda se obtiene una posición idéntica a la anterior. Por ello se fija una persona y se permuta al resto de todas las formas posibles P7= 7.6.5.4.3.2.1= 5040 formas Permutaciones con repetición Dados, n elementos, donde el primer elemento se repite, a, veces, el segundo elemento se repite, b, veces, ..., el último elemento se repite, k, veces, de forma que a+b+c+...+k= n son los distintos grupos que se pueden formar de manera que:

En cada grupo de, n, elementos, el primer elemento está, a, veces, el segundo elemento está, b, veces,.... Dos grupos son distintos si se diferencian en el orden de colocación de éstos elementos.


, ,..., !!. !.... !

a b kn

nPa b k


De cuántas formas se pueden alinear ocho signos, +, y seis signos, -.

8,614

14! 30038!.6!

P

Un jugador habitual de quinielas tiene la corazonada de que la próxima jornada ganarán, 9, equipos en casa, empatarán, 3, y ganarán en campo contrario, 2. ¿Cuántas quinielas deberá de rellenar para asegurarse un pleno de, 14?. el elemento, 1, aparece, 9 veces el elemento, x, aparece, 3 veces el elemento, 2, aparece, 2 veces

9,3,214

14! 200209!.3!.2!

P quinielas

Combinaciones ordinarias

Dados, m elementos, tomados de, n, en, n, nm, son los distintos grupos que se pueden formar con los, m, elementos de manera que:

En cada grupo entren los, n, elementos distintos. Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento pero no en el orden de colocación de éstos.


,,

.( 1)....( 1) .( 1)... (.( 1). !! !. ( )!

)!( )! . !

m nnm n m

n

mV m m m n m m m n mC CnP n n m nm n

m nn

Como respuesta a un anuncio de trabajo se presentan, 12, personas para cubrir tres plazas de administrativo. ¿Cuántos grupos de tres personas se pueden formar?.

12,312,3

3

12.11.10 2203.2.1

VC

P grupos

¿Cuántos triángulos se pueden formar con ocho puntos en el plano sit res de ellos nunca están alineados?.

8,38,3

3

8.7.6 563.2.1

VC

P

Resolver la ecuación, 3.Cx,3 – 5.Cx-2= 8.Cx,1

.( 1).( 2) .( 1)3. 5 86 2

x x x x x x

3 2 2

08 9 0 .( 8 9) 0 9

1

xx x x x x x x

x

solución, x= 9, pues ha de ser positiva


A la expresión, mn

, se le conoce como número combinatorio y tiene las siguientes propiedades

referidas al triángulo de Tartaglia :

Todas las filas empiezan y acaban en, 1.

10m

1mm

Todas las filas son simétricas.

m mn m n

Cada número de cada fila se obtiene sumando los dos que tiene encima de la fila anerior, excepto los extremos que son, 1.

1

1m m m

n n n

La suma de todos los numerous de la fina, n es, 2n.

... 20 1 2 2 1

nm m m m m mn n n

Un experimento aleatorio es aquel que repetido en idénticas condiciones produce resultados diferentes. En un experimento aleatorio es imposible saber de antemano el resultado del mismo. En otro caso se dirá que es determinista. Se definen los siguientes conceptos: Prueba

Es toda realización de un experimento aleatorio. Muestra

Es un conjunto de pruebas de un experimento aleatorio. Universo o espacio muestral

Es el conjunto de todos los resultados posibles a que puede dar lugar un experimento aleatorio. Este conjunto se designa por, E, y a sus elementos se les llama puntos muestrales. La cantidad de elementos que contiene este conjunto se le conoce por cardinal de E, Card (E).


Si a cada uno de los elementos del espacio muestral, E, se le asigna un número real entonces lo que se ha hecho ha sido definir una función, X, denominada variable aleatoria desde el espacio muestral, E, sobre el conjunto de los números reales, ℝ, de forma que se escribe

X: E ℝ

Dependiendo del número de elementos que contiene el conjunto imagen, Im(X), de esta función las variables aleatorias pueden ser: Discreta ó Finita La variable aleatoria, X, tan solo puede tomar unos ciertos valores reales. Card (E)= N

En un experimento aleatorio en el que la variable aleatoria, X, es discreta se definen los siguientes conceptos:

Suceso aleatorio

Es cada uno de los posibles resultados que se pueden obtener en un experimento aleatorio.

Suceso elemental

Es aquel que está formado por un solo resultado.

Suceso compuesto

Es aquel que está formado por más de un resultado. Está formado por dos ó más sucesos elementales.

Suceso seguro

Es aquel que ocurre ó se presenta siempre. Se representa por, E. Suceso imposible

Es aquel que no ocurre ó no se presenta nunca. Se representa por, . Suceso contrario ó complementario, A , del suceso, A

Dado el suceso, A, el suceso contrario, A , es aquel que está formado por todos los sucesos elementales del espacio muestral que no están incluidos en el suceso, A. El suceso contrario, A , se realiza siempre que no se presente el suceso, A.

Dado el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado y anotar la puntuación obtenida. Espacio muestral y definir sus sucesos elementales. Indicar dos sucesos compuestos. E={1,2,3,4,5,6} los sucesos elementales son: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} dos sucesos compuestos son: obtener un número par, A= {2,4,6} obtener un divisor de, 6, B= {1,2,3,6}


Con los sucesos se pueden realizar las siguientes operaciones:

Diferencia de sucesos Se llama diferencia, A - B, de dos sucesos, A, y, B, al suceso obtenido por la intersección del primer suceso, A, con el suceso contrario al segundo suceso, B A - B= A B

Unión de sucesos, A B

Dados dos sucesos, A, y, B, de un mismo experimento aleatorio, se llama suceso unión de, A, y de, B, y se representa por, A B, al suceso formado por los sucesos elementales que hay en el suceso, A, y en el suceso, B. El suceso unión se realiza cuando se realiza el suceso, A, ó el suceso, B. Cualquier suceso compuesto se puede expresar como unión de sucesos elementales. Intersección de sucesos, A B

Dados dos sucesos, A, y, B, de un mismo experimento aleatorio, se llama suceso intersección de, A, y de, B, y se representa por, A B, al suceso formado por los sucesos elementales comunes que hay en el suceso, A, y en el suceso, B. El suceso intersección se realiza cuando se realizan simultáneamente los sucesos, A, y, B. Sucesos incompatibles

Dos sucesos, A, y, B, de un mismo experimento aleatorio son incompatibles si no pueden ocurrir simultáneamente. Se caracterizan porque su intersección es el conjunto vacío.

A B= Sucesos compatibles

Dos sucesos, A, y, B, de un mismo experimento aleatorio son compatibles si pueden ocurrir simultáneamente. Se caracterizan porque su intersección no es el conjunto vacío.

A B

La operación con sucesos tiene las siguientes propiedades: A B A B A B A B

A A


En el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado y observar la puntuación obtenida, hallar dos sucesos compatibles, dos sucesos incompatibles, un suceso seguro y un suceso imposible. sean los sucesos:

sacar número par, A= {2,4,6} salir múltiplo de, 3, B= {3,6} salir potencia de, 2, C= {1,2,4} salir número menor que, 10, D salir, 7, F

los sucesos, A, y, B son compatibles porque si sale el número, 6, se verifican ambos. los sucesos, B, y, C, son incompatibles porque ninguno de esos números puede ser al mismo tiempo múltiplo de, 3, y potencia de, 2. el suceso, D, es un suceso seguro. el suceso, F, es un suceso imposible.

Una técnica muy utilizada para obtener el especio muestral de un experimento aleatorio es:

Diagrama de árbol

a (1,a) Si un suceso se puede obtener por más de un camino del diagrama 1 b (1,b) de árbol, su probabilidad se obtiene sumando las probabilidades de a (2,a) todos los caminos de ese suceso. 2 b (2,b) a (3,a) 3 b (3,b) Producto cartesiano

Dados dos conjuntos, A, y, B, se denomina producto cartesiano de A por B, AxB, al conjunto de todos los pares ordenados, (a,b), definido de la forma:

AxB= (a,b) / aA, bB Se verifica:

(a,b) (b,a)

Gráficamente el producto cartesiano, AxB, de los conjuntos, A, y, B, se puede representar mediante el diagrama rectangular f (1,f) (2,f) (3,f) e (1,e) (2,e) (3,e) d (1,d) (2,d) (3,d) c (1,c) (2,c) (3,c) b (1,b) (2,b) (3,b) a (1,a) (2,a) (3,a) 1 2 3

Si en un experimento aleatorio se realizan, n-pruebas, y de ellas, r-veces, se presenta el suceso, A, se define:


Frecuencia absoluta del suceso, A

Al número de veces que se presenta dicho suceso.

F(A)= r

Frecuencia relativa del suceso, A Al cociente entre la frecuencia absoluta y el número de veces que se realiza el experimento aleatorio.

( ) rf An

Las frecuencias relativas tienen las siguientes propiedades:

La frecuencia relativa de un suceso, A, es un número comprendido entre, 0, y, 1. F(A)= r es evidente que, r < n, por lo que se deduce 0 < r < n dividiendo todos los términos por, n

0 r nn n n

de donde, 0 < f(A) < 1

La frecuencia relativa del suceso seguro, E, es, 1

( ) 1nf En

La frecuencia relativa del suceso imposible, , es, 0

0( ) 0fn

La frecuencia relativa de la unión de dos sucesos incompatibles es igual a la suma de las frecuencias relativas de estos sucesos. A, B incompatibles AB= f(A)= nA f(B)= nB se verifica f(AB)= nA+nB dividiendo los dos miembros por el número de veces que se repitió el experimento aleatorio, n, se


tiene

( ) A B A Bf A B n n n n

n n n n

f(AB)= f(A) + f(B)

Cuando un experimento aleatorio se realiza un número muy grande de veces, tanto su frecuencia absoluta como su frecuencia relativa tienden a aproximarse a ciertos números fijos, que se asocian con la probabilidad del suceso. Esta tendencia se conoce como ley del azar.

Se define la probabilidad como una aplicación que asocia a cada suceso, A, de un experimento aleatorio un número entre, 0, y, 1, que mide la facilidad de que ocurra ese suceso. 0 P(A) 1 Cuanto más se acerque la probabilidad del suceso, A, al valor, 1, mayor es la facilidad de que éste ocurra. Recíprocamente, cuanto más se acero la probabilidad del suceso, A, al valor, 0, más difícil es que ocurra. La probabilidad del suceso seguro, E, vale, 1. P(E)= 1 La probabilidad del suceso imposible, , vale, 0, P()= 0 La función probabilidad así definida P: P(E) ℝ verifica los siguientes axiomas:

La probabilidad de un suceso, A, es un número comprendido entre, 0, y, 1 AP(E), 0 P(A) 1

La probabilidad del suceso seguro, E, es la unidad P(E)= 1 Para todo par de sucesos, A, y, B, incompatibles Dos sucesos son incompatibles cuando un suceso está formado por otros varios de modo que:

Se excluyan mutuamente. Si se presente uno de ellos se presenta el suceso original.

entonces la probabilidad del suceso original es la suma de las probabilidades de los sucesos que lo forman. P(AB)= P(A) + P(B)

La aplicación probabilidad así definida tiene las siguientes propiedades:

La probabilidad de la unión de sucesos incompatibles dos a dos

P(A1A2...An)= P(A1) + P(A2) + ... + P(An)


Regla de Laplace Si el espacio muestral, E, está compuesto por los puntos muestrales a1, a2, ... , an que dan lugar a los sucesos elementales A1, A2, ... , An y si todos estos sucesos tienen la misma probabilidad, se dicen regulares P(A1)= P(A2)= ... = P(An)= p entonces se verifica 1= P(E)= P(A1A2...An)= P(A1) + P(A2) + ... + P(An)= p + p + ..n .. + p= n.p la probabilidad, p, de un suceso elemental es pues

1pn

Si un suceso, A, es unión de sucesos incompatibles A= A1A2...Ak se tiene entonces

P(A)= P(A1) + P(A2) + ... + P(Ak)= 1 1 1... ...k kn n n n

expresión de la que se deduce la Regla de Laplace:

Cuando los resultados de un experimento aleatorio tienen todos la misma probabilidad de ocurrir, la probabilidad de un suceso, P(A), viene dada por el cociente entre el número de casos favorables al mismo, y el número de casos posibles

( ) número de casos favorables al suceso AP Anúmero de casoso e s s l o

o e sposibles

Probabilidad del suceso contrario, A , al suceso, A

Sean A, Ā sucesos contrarios e incompatibles E= A Ā = A Ā se verifica 1= P(E)= P(A) + P(Ā)


de donde P(Ā)= 1 - P(A)

La probabilidad del suceso imposible, , es cero

E, son sucesos contrarios incompatibles E= E = E

se verifica 1= P(E)= P(E) + P()= 1+ P() de donde P()= 1 – 1= 0

Probabilidad de la unión de sucesos compatibles Sean A, B sucesos incompatibles, AB A B

se verifica: A-B AB B-A AB= (A-B) (AB) (B-A) A= (A-B) (AB) B= (B-A) (AB) como los conjuntos, A-B, B-A, y, AB, son incompatibles se verifica P(AB)= P(A-B) + P(AB) + P(B-A) esto mismo ocurre por un lado con los conjuntos, A-B, y, AB, y por otro con los conjuntos, B-A, y, AB, por lo que se puede escribir P(A)= P(A-B) + P(AB) P(B)= P(B-A) + P(AB) expresiones de las que se pueden despejar respectivamente P(A-B)= P(A) - P(AB) P(B-A)= P(B) - P(AB) resultados que sustituidos en la expresión de la probabilidad de la unión de los sucesos P(A B)= P(A) - P(AB) + P(AB) + P(B) - P(A B)= P(A) + P(B) - P(AB)


La probabilidad de que una persona use lentes es, 0’6, la probabilidad de que tenga los ojos claros es, 0’6, y la probabilidad de que use lentes y tenga los ojos claros es, 0’52. Hallar la probabilidad de que elegida una persona al azar: No use lentes. Use lentes ó tenga los ojos claros. No use lentes y no tenga los ojos claros. se consideran los siguientes sucesos: A, usar lentes A , no usar lentes B, tener los ojos claros B , no tener los ojos claros A B , usar lentes y tener los ojos claros

P( A )= 1-P(A)= 1-0’6= 0’4

( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B 0’6 + 0’6 – 0’52= 0’68 la probabilidad de no usar lentes ó no tener os ojos claros es

( ) ( ) 1 ( )P A B P A B P A B 1 - 0’52= 0’48 Probabilidad condicionada La probabilidad de un suceso, B, cuando se sabe que ocurre el suceso, A, se denomina probabilidad del suceso, B, condicionada al suceso, A, y se escribe, P(B/A). Al usar la regla de Laplace para determinar el valor de esta probabilidad se ha de tener en cuenta que el nuevo espacio muestral, E’, coincide con el suceso, A. E

( ) número de casos deo e s so

BP Bnúmero de casose Esdee

B AB A Cuando esta probabilidad está condicionada a, A B/A A= E’

'( / )

' 'número de casos de B en E número de casos en A BP B A

número de casos en E númeroo e s s e n o e s s

o e de casoss e o e s een E

En una clase hay, 11, niños y, 14, niñas. De ellos, 7, niños y, 10, niñas utilizan internet habitualmente. Si se escoge un estudiante al azar, hallar la probabilidad de los sucesos: Ser niña sabiendo que utiliza internet No utilizar internet siendo niño. dado que todos los alumnos tienen la misma probabilidad de ser escogidos el experimento es regular y se puede aplicar la regla de Laplace. se consideran los siguientes sucesos: A, ser niña B, ser niño C, utilizar internet D, no utilizar internet ser niña condicionada a utilizar internet, A/C


int 10( / ) 0'59int 17

número de niñas que utilizan ernetP A Cnúmero de estudiantes que utilizan ernet

d n q u id n q u i

no utilizar internet condicionado a ser niño, D/B

int 11 7( / ) 0'3611

d n q u inúmero de niños que utilizan ernetP D Bnú d nmero de niños

Probabilidad de sucesos independientes

Dos sucesos, A, y, B, son independientes cuando la realización del suceso, A, no influye en la realización del suceso, B, y recíprocamente. Cuando un suceso depende de que se presenten conjuntamente otros varios que son independientes, la probabilidad a la que dan lugar se denomina compuesta y es igual al producto de las probabilidades de dichos sucesos.

P(AB)= P(A).P(B) Como caso particular el segundo suceso puede venir condicionado por el primero, los sucesos se dicen dependientes, en cuyo caso la probabilidad final viene dada por la regla del producto

P(A B)= P(A).P(B/A)

Esta regla del producto se utilizar para obtener la probabilidad condicionada conocidas las otras probabilidades que entran en su expresión. Si los sucesos son independientes, P(B/A)= P(B). Probabilidad de un suceso, A, contenido en otro suceso, B

Dado que B A B B-A se escribe A B= A (B-A), = A (B-A) como los conjuntos, A, y, (B-A), son incompatibles se tiene P(B)= P(A) + P(B-A) expresión de la que se deduce que, P(A) P(B).


En una clase hay, 8, niños y, 12, niñas. De ellos, 5, niños y, 8, niñas leen el jornal. Eligiendo un estudiante al azar hallar la probabilidad de que sea niño y lea el jornal. Se sacan dos cartas de una baraja española, hallar la probabilidad de que ambas cartas sean de oros. si el experimento se realiza con reemplazamiento de la carta sacada

P(0roOro)= P(Oro).P(Oro)= 10 10 1.40 40 16

si el experimento se realiza sin reemplazamiento de la carta sacada

P(0roOro)= P(Oro).P(2º Oro/1º Oro)= 10 9 3.40 39 52

Para hallar la probabilidad de sucesos compuestos a veces se organizan los datos en tablas de doble entrada denominada tabla de contingencia En tres grupos de 1º de Bachillerato, A, B, y, C, el número de aprobados y suspensos en una materia se distribuye según la tabla. Hallar: La probabilidad de que un alumno apruebe y sea del grupo, A. La probabilidad de que un alumno apruebe si es del grupo, A.

15( ) 0 '275

P aprobar y grug Aaoy p

15( / ) 0 '62524

P aprobar grupy g Aao

Teorema de probabilidad total Si se tiene una serie de sucesos, A1, A2,...,An, tales que:

Son incompatibles entre si , i ji j A A

Su unión da el espacio total, E 1 2 ... nA A A E

15 13 14 429 13 11 3324 26 25 75

A B CAprobadoSuspenso


entonces se puede hallar la probabilidad de cualquier suceso, B, a través de la expresión

1

( ) ( ). ( / )n

i ii

P B P A P B A

Una empresa elabora sus productos en tres factorías. El porcentaje de piezas defectuosas en el total de producción de cada factoría viene dada por la tabla F1 F2 F3 Producción 60% 25% 15% Defectuosas 1% 4% 2% Hallar la probabilidad de que una pieza escogida al azar sea defectuosa. sea el suceso, Fi, pieza fabricada en la factoría, i. Se verifica F1F2F3= E cualquier pieza se fabrica en una de las tres factorías. FiFj= cualquier pieza se fabrica en una sola de las tres factorías. sea el suceso, B, pieza defectuosa. por el teorema de probabilidad total se escribe:

3

1 1 2 2 3 31

( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ( ). ( / )i ii

P B P F P B F P F P B F P F P B F P F P B F

0’6.0’01 + 0’25.0’04 + 0’15.0’02= 0’019 la probabilidad de escoger una pieza defectuosa es del, 1’9%. Se dispone de una urna verde y otra azul. La verde contiene, 3, bolas blancas y, 2, bolas negras y la azul contiene, 4, bolas blancas y, 1, bola negra. Se lanza una moneda y si sale cara se toma una bola de la urna verde y si sale cruz se toma una bola de la urna azul. Hallar la probabilidad de que la bola extraída sea blanca. sea el suceso, F1, urna verde, el suceso, F2, urna azul, y el suceso, B, bola blanca. por otro lado se tiene que, P(cruz)= P(cara)= 0’5

2

1 1 2 21

3 4( ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) 0 '5. 0 '5. 0 '75 5i i

iP B P F P B F P F P B F P F P B F

la probabilidad de escoger una bola blanca es del, 70%.

Teorema de Bayes

Si se tiene una serie de sucesos, A1, A2,...,An, tales que:

Son incompatibles entre si , i ji j A A


Su unión da el espacio total, E 1 2 ... nA A A E sabiendo que sucedió el suceso, B, se comprueba que:

1

( ). ( / )( / )

( ). ( / )

j jj n

i ii

P A P B AP A B

P A P B A

Una empresa elabora sus productos en tres factorías. El porcentaje de piezas defectuosas en el total de producción de cada factoría viene dada por la tabla F1 F2 F3 Producción 60% 25% 15% Defectuosas 1% 4% 2% Si se observa una pieza defectuosa hallar la probabilidad de que proceda de la factoría, 2.

sea el suceso, Fi, pieza fabricada en la factoría, i. Se verifica F1F2F3= E cualquier pieza se fabrica en una de las tres factorías. FiFj= cualquier pieza se fabrica en una sola de las tres factorías. sea el suceso, B, pieza defectuosa. por el teorema de Bayes se escribe

la probabilidad de que la pieza proceda de la factoría, 2, es del, 53%.

Se realiza el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda y un dado y anotar el resultado obtenido. Hallar el espacio muestral de este experimento.

los espacios muestrales de los experimentos simples son: lanzar una moneda= {C,+} lanzar un dado= {1,2,3,4,5,6} se realiza una tabla de doble entrada y en ella se escriben los sucesos elementales de cada experimento, lo escrito en sus casillas constituye el espacio muestral del experimento aleatorio. 1 2 3 4 5 6 C C1 C2 C3 C4 C5 C6 + +1 +2 +3 +4 +5 +6

E= {C1,C2,C3,C4,C5,C6,+1,+2,+3,+4,+5,+6}

2 22

1 1 2 2 3 3

( ). ( / ) 0 '25.0 '04 0 '01( / ) 0 '53( ). ( / ) ( ). ( / ) ( ). ( / ) 0 '6.0 '01 0 '25.0 '04 0 '15.0 '02 0 '019

P F P B FP F BP F P B F P F P B F P F P B F


Hallar el número total de sucesos posibles del experimento aleatorio lanzar un dado. el especio muestral de este experimento es, E= {1,2,3,4,5,6} el número de sucesos que contiene, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ó, 6, sucesos elementales de este experimento son: 0 1 que es el conjunto vacío,

1 C6,1= 6

61

3 C6,3= 6

203

5 C6,5= 6

65

2 C6,2=c6

152

4 C6,4= 6

154

6 C6,6= 6

16

, el conjunto, E

sumando todas estas cantidades se tiene 1 + 6 + 15+ 20 + 15 + 6 + 1= 64= 26 Hallar el número de posibilidades al: Elegir, 4, personas de, 10. El rellenar una quiniela de, 14, partidos. Al sentar, 9, personas en, 9 asientos. Al elegir claves de tres letras con las letras de la palabra, SOLAR. en el grupo de personas el orden en que se tomen no influyen en la constitución del grupo, por ello

C10,4=

10 10! 2104 4! 10 4 !

grupos diferentes de 4 personas.

al rellenar la quiniela el orden de los elementos influye. Se determina si éstos se pueden repetir ó no, y de hacerlo cuantas veces pueden repetirse. VR3,14= 314= 4782969 quinielas diferentes. al sentarse en una mesa el orden influye y los elementos no se pueden repetir. Se determina si intervienen en un grupo todos los elementos ó no, es decir, si en un grupo intervienen el número máximo de elementos disponibles. P9= 9!= 362880 formas distintas de sentarse el orden influye, los elementos no se repiten y no se toma el número máximo de elementos al mismo tiempo V5,3= 5.4.3.= 60 claves distintas.


Para hacer un estudio se decide segmentar la población con respecto a su edad en mayores ó menores de, 30, años y en su estado civil, casado ó soltero. Se consideran los siguientes sucesos: A= mayor de, 30, años B= casado ¿Qué sucesos se pueden formar con ellos?. los sucesos que se pueden operar con ellos son: A no mayor de, 30, años B soltero A B mayor de, 30, años ó casado A B mayor de, 30, años y casado A B mayor de, 30, años y soltero A B mayor de, 30, años y soltero B A casado y menor de, 30, años A A mayor de, 30, años ó menor de, 30, años. La población entera, E.

Se lanza un dado de seis caras. Sean los sucesos, A= número par, y, B= múltiplo de, 3. Comprobar las leyes de Morgan. los sucesos elementales que intervienen son: A= {2,4,6} A = {1,3,5} A B {2,3,4,6} A B {1,5} B= {3,6} B = {1,2,4,5} A B {6} A B {1,2,3,4,5} A B A B {1,5}= {1,3,5}{1,2,4,5}= {1,5} A B A B {1,2,3,4,5}= {1,3,5}{1,2,4,5}= {1,2,3,4,5}

En la prensa aparece la noticia: En la ciudad el, 55%, de sus habitantes es mayor de, 30, años, el, 45%, está casado y el, 60%, está casado ó es mayor de, 30, años. Hallar la probabilidad de los sucesos: Ser mayor de, 30, años y estar casado. No estar casado. se expresa el enunciado en términos de sucesos y se determina su probabilidad: A= mayor de, 30, años P(A)= 0’55 B= casado P(B)= 0’45 AB= mayor de, 30, años ó casado P(AB)= 0’6 se escriben los sucesos en función de éstos otros: ser mayor de, 30, años y estar casado= AB no estar casado, B se verifica: P(AB)= P(A)+ P(B)-P(AB) P(AB)= P(A)+ P(B)- P(AB)= 0’55+0’45-0’60= 0’40 El, 40%, de la población está casada y es mayor de, 30, años. P( B )= 1-P(B)= 1-0’45= 0’55 El, 55%, de la población no está casada.


Hallar la probabilidad de obtener cada puntuación al lanzar un dado trucado si se sabe que las puntuaciones pares tienen el doble de probabilidad de salir que las puntuaciones impares. el espacio muestral es, E= {1,2,3,4,5,6}. Se verifica: P(1)= P(3)= P(5)= x P(2)= P(4)= P(6)= 2x como la suma de todas las probabilidades ha de dar la unidad se escribe

1= P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6)= x + 2x + x + 2x + x + 2x= 9x x= 19

En un hospital el, 35%, de los enfermos padece la enfermedad, A, eñ, 20%, padece la enfermedad, B, y el, 10%, padece ambas enfermedades. Elegido un paciente al azar hallar: Probabilidad de que no padezca ninguna enfermedad. Si padece le enfermedad, B, cuál es la probabilidad de que no padezca le enfermedad, A. se expresa el enunciado en términos de sucesos y se determina su probabilidad:

A= padecer la enfermedad, A P(A)= 0’35 B= padecer la enfermedad, B P(B)= 0’20 AB= padecer ambas enfermedades P(AB)= 0’10

si se organizan los datos en una tabla de doble entrada se escribe, 25

10 55 65

10 35

20 80 100

B BA

A

de donde

55( ) 0 '55100

10( / ) 0'520

P A B

P A B

Se lanza un dado rojo y otro blanco. Si la suma de puntos obtenida es, 6, hallar la probabilidad de que en algún dado salga un, 4. se expresa el enunciado en términos de sucesos: A= obtener una suma de, 6, puntos B= sacar un, 4, en alguno de los dados se sabe que ocurre el suceso, A, por lo que hay que hallar, P(B/A).

A= {(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)} P(A)= 5

36

AB= {(2,4),(4,2)} P(AB)= 2

36

( ) 2( / ) 0 '4( ) 5

P A BP B AP A


Sea el experimento aleatorio consistente en extraer, 3, cartas sin reemplazamiento de una baraja. Hallar la probabilidad de que la primera carta sea un rey, la segunda un caballo y la tercera una figura. los suceso simples que componen este experimento son: R1= Sacar un rey en la primera extracción C2= Sacar un caballo en la segunda extracción F3= Sacar una figura en la tercera extracción R1C2F3= suceso del que se quiere obtener su probabilidad al hacerse la extracción con reemplazamiento los sucesos son independientes y se puede aplicar la regla del producto

P(R1C2F3)= P(R1).P(C2).P(F3)= 4 4 12 3. . 0 '00340 40 40 1000

La urna, X, contiene, 10, bolas numeradas del, 1, al, 10. La urna, Y, contiene, 5, bolas numeradas del, 1, al, 5, y la urna, Z, contiene, 3, bolas numeradas con los múltiplos de, 3, que son menores que, 10. Se elige una urna al azar y se extrae una bola. Hallar la probabilidad de los sucesos: Salir puntuación par. Salir puntuación impar. Salir múltiplo de, 3. se buscan sucesos del espacio muestral tales que su unión sea el espacio muestral y que sean incompatibles entre sí. este experimento está compuesto de otros dos experimentos: elegir una urna de tres extraer una bola de la urna elegida se toman los sucesos elementales de elegir una urna U1= urna X U2= urna Y U3= urna Z U1U2U3= E

P(U1)= P(U2)= P(U3)= 13

se comprueba que estos sucesos son incompatibles entre sí U1U2= U1U3=

U2U3= se aplica el teorema de la probabilidad total

3

1

1 5 1 2 1 1 37( ) ( ). ( / ) . . . 0 '413 10 3 5 3 3 90i i

IP par P U P par U

3

1

1 5 1 3 1 2 53( ) ( ). ( / ) . . . 0 '593 10 3 5 3 3 90i i

IP impar P U P impar U

3

1

1 3 1 1 1 3 15( 3) ( ). ( 3 / ) . . . 0 '53 10 3 5 3 3 30i i

IP múltiplo P U P múltiplo U


La urna, X, contiene, 10, bolas numeradas del, 1, al, 10. La urna, Y, contiene, 5, bolas numeradas del, 1, al, 5, y la urna, Z, contiene, 3, bolas numeradas con los múltiplos de, 3, que son menores que, 10. Se elige una urna al azar y se extrae una bola. Si ésta tiene puntuación par, hallar: ¿Qué probabilidad tiene de que sea de la urna, X?. ¿Qué probabilidad tiene de que sea de la urna, Y?. ¿Qué probabilidad tiene de que sea de la urna, Z?. se determina si se puede aplicar el teorema de Bayes, para lo cual es necesario que el experimento se haya realizado. En este caso es así pues se sacó una bola y su puntuación resultó ser par. se buscan sucesos del espacio muestral tales que su unión sea el espacio muestral y que sean incompatibles entre sí. Entre estos sucesos ha de estar el suceso del que se quiere determinar su probabilidad. U1= urna X U2= urna Y U3= urna Z B= salir puntuación par se hallan las probabilidades necesarias para aplicar el teorema de Bayes P(U1)= P(U2)= P(U3)= 1 P(B/U1)= 5 P(B/U2)= 2 P(B/U3)= 1 3 10 5 3

3

1

1 5 1 2 1 1 37( ). ( / ) . . .3 10 3 5 3 3 90i i

iP U P B U

se aplica el teorema de Bayes y se tiene

1 11

1

1 5.( ). ( / ) 153 10( / ) 37 37( ). ( / )90

n

i ii

P U P B UP U BP U P B U

2 22

1

1 2.( ). ( / ) 123 5( / ) 37 37( ). ( / )90

n

i ii


3 33

1

1 1.( ). ( / ) 103 3( / ) 37 37( ). ( / )90

n

i ii


La variable aleatoria, X, es una función que hace corresponder a cada suceso elemental de un experimento aleatorio un número y viene definida por la expresión X: E ℝ

por ser discreta, el conjunto imagen, Im(X), contiene un número finito de elementos

Im(X)= {x1, x2, ... , xn} quiere ello decir que entre cada dos valores dados la variable aleatoria sólo toma un número finito de valores. Se deduce que si xiIm(X) entonces el conjunto


[X= xi]= {aE / X(a)= xi}P(E) es un elemento del conjunto, P(E), y por lo tanto se puede hallar la probabilidad de que la variable aleatoria, X, tome el valor, xi P[X= xi]= pi La función P: Im(X) ℝ xi P(xi)= P[X= xi]= pi se llama función de probabilidad de la variable aleatoria, X, y es una aplicación que asocia a cada valor, xi, de esta variable su probabilidad. Esquemáticamente esta función se puede expresar en forma de tabla según:

X pi= P(X= xi)

x1 p1 x2 p2

.... ... xn pn pi= 1

Gráficamente la función probabilidad se representa por un diagrama de barras en la que los valores que toma la variable, X, están ordenados de menor a mayor. 1 p3 p2 pn-1 p1 pn-2 pn x1 x2 x3 .... xn-2 xn-1 xn Definir dos variables aleatorias sobre el experimento aleatorio que consiste en lanzar, 3, monedas y hallar la probabilidad de obtener cada valor. el espacio muestral del experimento aleatorio es E= {CCC,CC+,C+C,C++,+CC,+C+,++C,+++} la función, X, que indica el número de caras que hay en cada suceso elemental es una variable aleatoria: X(CCC)= 3 X(C+C)= 2 X(C++)= 1 X(++C)= 1 X(CC+)= 2 X(+CC)= 2 X(+C+)= 1 X(+++)= 0 la función, Y, que asigna a cada suceso elemental el valor, 0, si no cae ninguna cara y, 1, si aparece alguna cara es una variable aleatoria X(CCC)= 1 X(C+C)= 1 X(C++)= 1 X(++C)= 1 X(CC+)= 1 X(+CC)= 1 X(+C+)= 1 X(+++)= 0 como las variables aleatorias se definen sobre un experimento aleatorio, se puede determinar la probabilidad de que tomen un cierto valor


[X=0]= {+++} P(X=0)= P({+++})=18

= 0’125

[X=1]= {C++,+C+,++C} P(X=1)= 38

= 0’375

[X=2]= {CC+,C+C,+CC} P(X=2)= 38

= 0’375

[X=3]= {CCC} P(X=3)= 18

= 0’125

[Y=0]= {+++} P(Y=0)= 18

= 0’125

[Y=1]= {C++,+C+,++C,CC+,C+C,CC+,CCC} P(Y=1)= 78

= 0’875

al igual que las variables estadísticas los datos relativos a una variable aleatoria se pueden representar por medio de una tabla ó gráficamente 0’4 0’3 0’2 0’1 0 1 2 3 La forma de asignar la probabilidad a cada valor que toma la variable aleatoria, X, se conoce como distribución de probabilidad. Una distribución discreta queda determinada si se conoce cualquiera de las siguientes funciones:

Función de probabilidad, f(x), que asigna a cada valor de la variable su probabilidad.

Función de distribución, F(x), que asigna a cada valor la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores menores o iguales que él.

1 1

( ) ( ) ( ) ( )i i

i i i jj j

F x P X x P X x f x

Si los datos están colocados en una tabla y a ésta se le añade la columna de probabilidades acumuladas, entonces se define la función de distribución, F(x), de la variable estadística, X, como aquella que asocia a cada valor de la variable aleatoria la probabilidad acumulada hasta ese valor.

1

( ) 0( ) ( )

( ) 1

in

i ii

i

f xf x P X x

f x

( ) ( )0 0 '125 0 '1251 0 '375 0 '52 0 '375 0 '8753 0 '125 1

1

i iX P X x P X x

Total


1

1 1 2

1 2 2 3

1 2 1 1

1 2 1

0

...... 1

n n n

n n n

x xp x x x

p p x x x

p p p x x xp p p p x x

F(x)= P(Xx)=

Esquemáticamente esta función se puede expresar en forma de tabla según: X pi= P(X= xi) F(x)= P(Xx)

x1 p1 p1 x2 p2 p1+p2 .... ... ........ xn pn p1+p2+...+pn= 1 pi= 1

La función de distribución tiene las siguientes propiedades:

Por ser, F(x), una probabilidad, 0F(x)1. F(x), es constante entre cada dos valores consecutivos, xi, y, xi+1, de la variable estadística. Por ello que su representación gráfica se corresponde con una función escalonada.

1 p1+p2+...+pn-1 p1+p2 p1

x1 x2 x3 .... xn-2 xn-1 xn F(x)= 0, para todo valor, x, de la variable estadística anterior al menor valor de la variable aleatoria. F(x)= 1, para todo valor, x, de la variable estadística posterior al mayor valor de la variable aleatoria. F(x), es una función creciente.


Describir la distribución de probabilidad de una variable aleatoria que asigna a cada suceso elemental el número obtenido al lanzar un dado. Comprobar las propiedades de las funciones de probabilidad y de distribución. la probabilidad que tiene cada puntuación es:

P(X= 1)= 16

P(X= 2)= 16

P(X= 3)= 16

P(X= 4)= 16

P(X= 5)= 16

P(X= 6)= 16

la función de probabilidad es:

a partir de ella se obtiene la función de distribución, la cual es constante en cada intervalo y en los puntos en los que, f(x) 0, presenta saltos de altura, 1/6. Sobre una variable aleatoria discreta, X, se definen los siguientes parámetros probabilísticos:

Media ó esperanza matemática, Se llama media de una variable aleatoria, X, que toma los valores discretos, x1, x2,...,xn, cada uno con la probabilidad, p1, p2,...,pn, al valor de la expresión

= x1.p1+ x2.p2+...+ xn.pn= 1

.n

i ii

x p

Varianza, 2

Se llama media de una variable aleatoria, X, que toma los valores discretos, x1, x2,...,xn, cada uno con la probabilidad, p1, p2,...,pn, al valor de la expresión

2= x12.p1+x2

2.p2+...+ xn2.pn - 2= 2 2

1

n

ii

x

también puede escribirse la varianza con esta expresión

1 1, 2,3,4,5,6( ) 6

0

xf x

resto

0 11 1 262 2 363( ) 3 464 4 565 5 661 6

x

x

x

F x x

x

x

x


2= (x1-).p1+(x2-).p2+...+(xn-).pn= 1( ).

n

i ii

x p

Desviación típica,

Es la raíz cuadrada positiva de la varianza Tanto la varianza como la desviación típica son medidas de dispersión que cuanto menor es el valor de estos parámetros mas agrupados se encuentran los valores de la distribución en torno a los valores centrales. Por el contrario cuando estos valores son grandes los datos de la distribución se encuentran muy dispersos, es decir, poco agrupados en torno a los valores centrales.

Dentro de los experimentos aleatorios con distribución discreta se estudia por su importancia los experimentos de Bernouilli ó de distribución binomial, B(n,p), siendo, n, y, p, los parámetros de la distribución. Estos experimentos son aquellos que se corresponden con un experimento aleatorio que tiene las siguientes características:

En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados incompatibles, el suceso, A, (éxito) y el suceso contrario, Ā, (fracaso). A Ā= El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados anteriores. La probabilidad del suceso, A, es constante y de valor, p, por lo que no varía de una prueba a otra. P(A)= p En consecuencia la probabilidad del suceso contrario, Ā, también es constante y de valor P(Ā)= q= 1-p= 1-P(A) pues P(A)+ P(Ā)= p+q= 1 La variable aleatoria, X, cuenta el número de veces que ocurre el suceso, A, al realizar el experimento aleatorio, n, veces. Es una variable discreta pues únicamente toma los valores, 0, 1, 2,..., n. Este valor depende de dos factores: n número de veces que se realiza el experimento aleatorio. p probabilidad de que suceda el suceso, A. La función de probabilidad es

( ) ( ) .(1 )i n ii i

nf x P X x p p

i

Para definir la función de probabilidad de una distribución binomial se supone que se realizan, n, pruebas del experimento aleatorio y que se desea conocer la probabilidad de obtener, r, éxitos en la mismas.


Se considera uno de los casos en los que se obtienen, r, éxitos en las, n, pruebas. Sea éste el suceso

r éxitos n-r fracasos

B= AA...AĀĀ...Ā

La probabilidad de este suceso dada la independencia de las pruebas sucesivas es r veces n-r veces

P(B)= P(A).P(A).....P(A).P(Ā).P(Ā).....P(Ā)= pr.qn-r

Se tiene ahora en cuenta todas las maneras posibles de obtener, r, éxitos y, n-r, fracasos, cuya cantidad viene dado por el número combinatorio.

nr

Si, X, es la variable aleatoria binomial que representa el número de éxitos se tiene

P(obtener, r, éxitos)= P(X= r)= nr

. pr.qn-r

Esta expresión recibe el nombre de función de probabilidad de la distribución binomial ó función de probabilidad de la distribución de Bernouilli. Esta función escrita en forma de tabla viene dada por:

r 0 1 2 ... n

p 0n

qn 1n

p.qn-1 2n

p2.qn-2 ... nn pn

los cálculos de estas tablas son laboriosos, por esta razón se han construido tablas que proporcionan para los distintos valores de, n, y de, r, la probabilidad de que la variable, X, tome los distintos valores de, 0, a, n.


El espacio muestral de un experimento de Bernouilli de, n, pruebas es un conjunto que contiene tantos elementos como variaciones con repetición de los sucesos, A, y, Ā, tomados en grupos de, n, elementos. Car(E)= 2

nVR = 2n Una marca de tabacos ha calculado que el número de fumadores en una ciudad es del, 35%. Se escoge al azar una muestra formada por, 10, personas. Comprobar si la variable que expresa el número de fumadores dentro de la muestra es una distribución binomial. En caso afirmativo, señalar los parámetros de la distribución. en cada prueba sólo son posibles dos resultados: A individuo fumador Ā individuo no fumador el resultado obtenido de la pregunta FUMA ó NO FUMA en cada individuo de la muestra es independiente de los otros. la probabilidad del suceso, A, es, p(A)= 0’35, y es constante. la variable que representa el número de individuos fumadores en la muestra es una variable aleatoria que puede tomar los valores, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. los valores, n= 10, y, p= 0’35, son los parámetros de la distribución que se representa por, B(10,0’35).

Un caso particular es el de aquella distribución binomial en el tan solo se realiza una prueba en lugar de, n. A esta variable se la denomina variable aleatoria de Bernouilli. La función de probabilidad de esta variable es: Valor de la variable 1 0 Probabilidad p q= 1-p La media ó esperanza matemática = 1.p+0.q= p La varianza 2= (1-p)2.p + (0-p)2.q= (1-2p+p2).p + p2.q= p-2p2+p3 + p2.(1-p)= p-2p2+p3+p2-p3= p-p2= p.(1-p)= p.q La desviación típica .p q Si esta distribución binomial se repite, n, veces sólo se tiene que multiplicar por, n, los resultados anteriores, verificándose: Media = n.p Varianza 2= n.p.q= np.(1-p) Desviación típica . .n p q


Hallar la probabilidad de que la variable aleatoria, X, que cuenta las caras obtenidas al lanzar tres veces una moneda sea menor que, 2.

la variable aleatoria, X, sigue una distribución binomial de parámetros, n= 3, p= 12

, B(3,0’5)

la condición de que el número de caras sea menor que, 2, x<2, equivale a:

P(x<2)= P(X=0)+P(X=1)= 0 3 1 2 33 30 '5 .0 '5 0 '5 .0 '5 4.0 '5 0 '5

0 1

la probabilidad de obtener al menos dos caras es del, 50%. En una ferretería quedan, 100, bombillas de las que se sospecha que el, 2%, están fundidas. ¿Cuál es el valor esperado de bombillas fundidas?. Hallar su varianza y su desviación típica. sólo hay dos resultados: bombilla fundida y bombilla no fundida. el estado de cada bombilla es independiente del estado de las otras. la probabilidad de que una bombilla esté fundida es constante. se trata pues de una distribución binomial de parámetros, n= 100, y, p= 0’02, es decir, B(100,0’02). el valor esperado de bombillas fundidas el la media aritmética de esta distribución media aritmética, = n.p= 100.0’02= 2 bombillas. varianza, 2=n.p.q= 100.0’02.0’98= 1’96 desviación típica, = . . 1'96 1'4n p q Una prueba de inteligencia está compuesta de, 10, preguntas y cada una de las cuales tiene, 4, respuestas siendo sólo una de ellas correcta. Un alumno tiene prisa por acabar la prueba y decide contestar a lo loco, es decir, aleatoriamente. Hallar: Probabilidad de acertar exactamente, 4 preguntas. Probabilidad de no acertar ninguna pregunta. Probabilidad de acertar todas las preguntas. Probabilidad de acertar al menos, 8, preguntas. Probabilidad de acertar a lo sumo, 3, preguntas. Probabilidad de acertar, 7, preguntas Probabilidad de aprobar la prueba Probabilidad de obtener sobresaliente Probabilidad de no llegar al notable Media y varianza. se define la variable aleatoria discreta, X, como el número de aciertos en el examen. se tienen los sucesos: A= contestar bien, p(A)= 0’25 Ā= no contestar bien, p(Ā)= 0’75 se trata de una distribución binomial de parámetros, B(10,0’25), siendo, X, la variable aleatoria que representa el número de preguntas contestadas correctamente, se verifica:


P(acertar, 4)= P(X= 4)= 4 4100'25 .0 '75 0 '1460

4

P(no acertar ninguna)= P(X= 0)= 0 10100'25 .0 '75 0 '0563

0

P(acertar todas)= P(X= 10)= 10 0100 '25 .0 '75 0

10

P(acertar al menos, 8)= P(X8)= P(X= 8)+P(X= 9)+P(X=10)= P(acertar a lo sumo, 3)= P(X3)= P(X= 0)+P(X= 1)+P(X= 2)+P(X= 3)=

P(acertar, 7)= P(X= 4)= 7 3100'25 .0 '75 0 '0030899948

7

P(aprobar)= P(X5)=10

10

5

100 '25 .0 '75 0 '0197277069i i

i i

P(sobresaliente)= P(X9)=10

10

9

100 '25 .0 '75 0 '0000295639i i

i i

P(no llegar notable)= P(X<7)= P(X6)= 6

10

0

100 '25 .0 '75 0 '9802722931i i

i i

= n.p= 10.0’25= 2’5 2= n.p.q= 10.0’25.0’75= 1’875

8 2 9 1 10 010 10 100 '25 .0 '75 0 '25 .0 '75 0 '25 .0 '75 0 '005

8 9 10

0 10 1 9 2 8 3 710 10 10 100 '25 .0 '75 0 '25 .0 '75 0 '25 .0 '75 0 '25 .0 '75 0 '7759

0 1 10 3


Un miembro del Consejo de Administración de una empresa ha comprobado que, si bien todos los años tienen una junta, ha habido años que tienen hasta cinco. Por la experiencia acumulada durante años sabe que el número de juntas anual se distribuye con arreglo a la tabla Número de juntas al año Probabilidad Hallar: Función de probabilidad y su representación. Función de distribución y su representación. Media. Varianza y desviación típica. Probabilidad de que en un año elegido al azar se celebren más de tres juntas. la función de probabilidad viene dada por: 0’6 0’5 0’4 0’3 0’2 0’1 1 2 3 4 5 la función de distribución es: 1 1 0’9 0’8 0’7 0’6 0’5 0’4 0’3 0’2 0’1 1 2 3 4 5 para los siguientes cálculos se realiza la tabla:

media: = 47 3'1315

varianza: 2= 2179 3'13 2'1315

desviación típica: = 2'13 1'46

p(X>3)= p(X= 4)+p(X= 5)= 3 4 7 0'46615 15 15

15 15 15

1 2 3 4 52 5 1 3 4

15 15 15 15 15

( )21

1552

1513

1534

1545

15

i i ix p P X x

( ) ( )1 0

21 21572 3

1583 4

15114 515

5 1

x F x P X xx

x

x

x

x

x

2. .

2 2 2115 15 155 10 202

15 15 151 3 93

15 15 153 12 484

15 15 154 20 1005

15 15 1547 179115 15

i i i i i ix p x p x p


Un examen consta de, 8, preguntas y cada una de las cuales tiene, 5, respuestas siendo sólo una de ellas correcta. Si se contesta al azar hallar: Probabilidad de acertar, 7, preguntas. Probabilidad de aprobar el examen. Probabilidad de fallar todas las respuestas. Probabilidad de acertar menos de, 6, preguntas. los parámetros de la distribución son, B(8,0’2) n= 8

p= P(acertar una pregunta)= 1 0'25

para utilizar las tablas es necesario analizar tres datos: n número de experimentos. Indica el bloque de filas de la tabla que se ha de mirar. p probabilidad de acierto. Indica la columna de esa fila que se ha de tener en cuenta. r número de aciertos. Indica la probabilidad que se ha de hallar P(X= 7)= 0’0001 P(X4)= P(X= 4)+P(X= 5)+P(X= 6)+P(X= 7)=0’0459+0’0092+0’0011+0’0001=0’0563 P(X= 0)= 0’1678 P(X<6)= P(X= 0)+P(X= 1)+P(X= 2)+P(X= 3)+P(X= 4)+P(X= 5)= 0’1678+0’3355+0’2936+0’1468+0’0459+0’0092= 0’9988 Continua ó infinita

La variable aleatoria, X, puede tomar todos los valores dentro de un cierto intervalo de la recta real.

Card (E)= La probabilidad de que esta variable aleatoria sea igual a un valor concreto es nula P(X= xi)= 0 La función de distribución de probabilidad también es continua y queda determinada si se conoce cualquiera de estas funciones:

Función de densidad, f(x)

Esta función verifica: , ( ) 0x R f x

El área encerrada entre esta función y el eje de abscisas es, 1. 1

( ). 1f x dx

2


Función de distribución, F(x)

Es la función que se obtiene integrando la función densidad. Esta función asigna a cada valor la probabilidad de que la variable tome valores menores o iguales que él.

( ) ( ) ( ).x

F x P X x f x dx

1 Esta función verifica:

Su recorrido es 2

Im F(x)= [0,1]

Es una función creciente

P(Xa) Es el área comprendida entre la curva y el eje, X, desde, -, hasta, a. P(aXb) Es el área comprendida entre la curva y el eje, X, en el intervalo, [a,b]. P(Xa) Es el área comprendida entre la curva y el eje, X, desde, a, hasta, .

La media y la varianza de una variable aleatoria continua, X, se definen utilizando las sumas de Rieman que determinan la integral definida y que son una generalización de las sumas finitas que definen estos parámetros

1

n

i ii

x x h

1

n

i ii

x p

. ( ).b

ax f x dx

2 2

1( ) .

n

i ii

s x x h

2 2

1( ) .

n

i ii

x p

2 2( ) . ( ).b

ax f x dx

Hallar la media, la varianza y la desviación típica de una variable aleatoria, X, cuya función de densidad es

media: 3

3 2

00

1 1 9. . 1̀ 53 6 6

x dx x

varianza: 32 2

0

1( 1'5) . . 0 7̀53

x dx

desviación típica: 0 7̀5 0 '866

0 01( ) 0 330 3

x

f x x

x


Una variable aleatoria continua, X, sigue una distribución de probabilidad normal, XN(,), si:

La variable aleatoria continua, X, depende de dos parámetros:

media de la variable aleatoria desviación típica de la variable aleatoria

La variable aleatoria toma valores sobre la recta real en el intervalo, (-,) La función de densidad que le corresponde es simétrica respecto a la media, , y viene dada por la expresión

2121( )

2

x

f x e

La función de densidad tiene las siguientes características:

Dominio: ℝ Simetrías: La función es simétrica respecto a la recta, x= Corte con los ejes:

Eje Y: x= 0,

2

2212

y e

Eje X: y= 0, No tiene puntos de corte Asíntotas: Asíntota vertical: no tiene Asíntota horizontal: el eje, X

Es importante destacar que la ordenada de la función, f(x), se aproxima al valor, 0, para valores situados a la izquierda de, -3, y para valores situados a la derecha de, +3.

Asíntota oblicua: no tiene Crecimiento y decrecimiento:

Crece: (-,) Decrece: (,) Máximos y mínimos:

Máximo: x= Mínimo: No tiene Puntos de inflexión: x1= - x2= +


El área encerrada bajo la curva y el eje d abscisas es igual a la unidad. Por ser simétrica esta función con respecto al eje, x= , dicho eje deja un área de, 0’5, a su izquierda y otra igual a su derecha.

N(,), representa una familia de distribuciones normales en la que en todas se verifica que el área encerrada bajo la curva es la unidad. De las infinitas distribuciones existentes tiene especial interés la distribución, N(0,1), llamada distribución normal, es decir aquella que tiene: Media cero, = 0 Desviación típica la unidad, = 1 Esta distribución normal se encuentra tabulada, lo que permite un cálculo rápido de las probabilidades asociadas a la misma y tan solo da probabilidades de valores de la variable aleatoria positivos, La transformación de la variable, X, que sigue la distribución, N(,), a la variable, Z que sigue la distribución normal, N(0,1), recibe el nombre de tipificación de la variable. Para tipificar la variable, X, se ha de:

Centrar, es decir, trasladar la media de la distribución al origen de coordenadas, lo que equivale a hacer, = 0 Reducir la desviación típica a, 1, = 1. Esto contrae o dilata la gráfica de la distribución de modo que coincida con la estandar.

Estos dos pasos se consiguen mediante el cambio:XZ

se le resta a la variable aleatoria, X, la media de la variable y ese resultado se divide por su desviación típica. Este proceso es necesario cuando se quiere:

Utilizar las tablas de valores, N(0,1), para determinar las probabilidades. Para hallar la probabilidad de una variable aleatoria continua que se distribuye según una normal, N(,), se tipifica la variable a la variable, Z, y a continuación se usa la tabla de probabilidades de distribución normal, N(0,1). Por ser esta última distribución simétrica respecto al eje de ordenadas, Y, se verifica:

P(Z -a)= P(Z a) P(Z > a)= 1-P(Z a)

P(a<Z<b)= P(Z<b)-P(Za)


0 4( )

0k x

f xresto

Sea, Z, una variable aleatoria que sigue la distribución, N(0,1). Hallar: P(Z1’45)= 0’9265 P(Z-1’45)= P(Z>1’45)= 1-P(Z1’45)= 1-0’9265= 0’0735 P(1’25<Z2’57)= P(Z2’57)- P(Z1’25)= 0’9949-0’8944= 0’1005 P(-2’57<Z-1’25)= P(1’25<Z2’57)= 0’1005 P(-0’53<Z2’46)= P(Z2’46)-P(Z-0’53)= P(Z2’46)-P(Z0’53)= P(Z2’46)-[1-P(Z<0’53)]= 0’9931-(1-0’7019)= 0’695

Se quieren comparar elementos que pertenezcan a distintas poblaciones.

Los ebanistas tienen un salario medio en su primer empleo de, 1280 €, con una desviación típica de, 200 €. Los fontaneros tienen un salario de, 1060 €, con una desviación típica de, 180 €. Si a un ebanista le ofrecen, 1320 €, y a un fontanero un sueldo de, 1100 €, ¿cuál de los dos recibe una mejor oferta?. ebanistas, N(1280,200) fontaneros, N(1060,180) al comparar las ofertas individualmente recibe una mejor oferta el ebanista pues, 1320 > 1100. pero al comparar cada oferta con la media de su grupo profesional se observa que serían iguales pues en ambos casos están, 40 €, por encima de la media. Sin embargo si se tipifican los dos sueldos y se compara

ebanista, 1320 12801320 0'2

200

fontanero, 1100 10601100 0'22

180

el fontanero recibe una mejor oferta dentro de su grupo profesional.

Dada la función,

Hallar el valor de, k, para que sea una función de densidad. Hallar la función de distribución.

4 4

00

11 ( ). . 4 0 44

f x dx k dx kx k k k

la función de distribución es

0

0 4

0

0 4

0 4

0. 0 0

1( ) 0. . 0 44 4

10. . 0. 1 44

dx x

xF x dx dx x

dx dx dx x


Las calificaciones de un grupo de alumnos sigue una distribución normal de media, 4, y desviación típica, 0’5. Hallar: La probabilidad de que al escoger un alumno al azar este aprobase. La probabilidad de que un alumno obtenga menos de, 3’25. puntos. se definen los parámetros de la variable aleatoria, N(4,0’5) las probabilidades que se preguntan son: P(X5), P(X<3’25) se tipifica la variable para utilizar la tabla de distribución normal, ZN(0,1)

P(X5)= 4 5 4 ( 2)

0 '5 0 '5XP P Z

P(X<3’25)= 4 3'25 4 ( 1'5)

0 '5 0 '5XP P Z

la tabla de probabilidades de la distribución normal, ZN(0,1), mide la probabilidad de que sea menor ó igual que un cierto número, P(Z a), y en ella sólo aparecen números positivos. Por esta razón se transforman las probabilidades y los valores hasta que éstos aparezcan en la tabla. P(Z 2)= 1-P(Z<2)= 1 – 0’9772= 0’0228 P(Z<-1’5)= P(Z>1’5)= 1-P(Z1’5)= 1-0’9332= 0’0668 Cuando el número de pruebas, n, es suficientemente grande una distribución binomial se puede aproximar a una distribución normal de: Media, = n.p Desviación típica, (1 )npq np p Cuanto mayor es, n, mejor es la aproximación de la distribución binomial a normal. Cuando, n > 10, no se pueden encontrar las probabilidades en la tabla de distribución binomial, por lo que se ha de comprobar si la variable se puede aproximar a una distribución normal.


De Moivre demostró que si se verifican condiciones: np > 5 n.(1-p)> 5 la variable aleatoria, X, de distribución, N(n,p) se puede aproximar mediante tipificación a la variable, X,

de distribución normal, N(np, (1 )np p ), y ésta por tipificación a la variable, (1 )

X npZnp p

, de

distribución, N(0,1). Al pasar de una distribución binomial a una distribución normal, un valor de la binomial se convierte en un intervalo en la normal.

1 1,2 2

a a a

1 1( )2 2

P X a P a X a

1( )2

P X a P X a

1( )2

P X a P X a

Un examen consta de, 100, preguntas cada una de las cuales tiene, 4, respuestas de las que sólo una es correcta. Si se contesta al azar hallar: Probabilidad de aprobar el examen. Probabilidad de acertar menos de, 20, preguntas. la variable aleatoria sigue una distribución binomial con parámetros, B(100,0’25). Claramente, n>8. se comprueba si se puede aproximar a una distribución normal np= 100.0’25= 25 > 5 n.(1-p)= 100.0’75= 75 > 5 dado que se puede, se hallan los parámetros de la distribución normal, X, que la aproxime = np= 100.0’25= 25 = . .(1 ) 100.0 '25.0 '75 4 '33n p p XB(100,0’25) N(25,4’33) se determinan las probabilidades pedidas tipificando la variable para usar la distribución normal, ZN(0,1). probabilidad de aprobar el examen


49 '5 25( 50) 1 (49 '5) 1 1 ( 5 '66)4 '33

P X P P Z P Z

probabilidad de acertar menos de, 20, preguntas

19 '5 25( 20) ( 19 '5) ( 1'27) 1 ( 1'27)4 '33

P X P X P Z P Z P Z

Un experimento aleatorio consiste en lanzar un dado cuyas caras están marcadas con los números, 0,1,2,3. Definir una variable aleatoria y obtener sus parámetros. el espacio muestral es, E= {0,1,2,3} se define una variable aleatoria asignando un número a cada suceso elemental. X= sumar los puntos de las caras visibles. X(0)= 1+2+3= 6 X(1)= 0+2+3= 5 X(2)= 0+1+3= 4 X(3)= 0+1+2= 3 se determina la probabilidad de que la variable aleatoria tome cada uno de los valores y se organizan en una tabla

( ) ( )3 0 '25 0 '254 0'25 0 '55 0 '25 0 '756 0'25 1

1

i iX P X x p P X x

Total

sus parámetros son:

4

1. 0 '25.3 0 '25.4 0 '25.5 0 '25.6 4 '5i i

ip x

4

2 2 2 2

1. 0 '25.9 0 '25.16 0'25.25 0'25.36 4 '5 1'25i i

ip x

4

2 2

1. 1'25 1'118i i

ip x


0 00 '1 0 1

( )0 '7 1 21 2

xx

F xxx

En una distribución normal, N(0,1), hallar, P(Z>1’33) se transforma el signo de la desigualdad de manera que su probabilidad se pueda encontrar en la tabla de la distribución normal. P(Z>1’33)= 1-P(Z1’33)= 1-0’9082= 0’0918 Se considera la variable aleatoria, X, que cuenta el número de bolas blancas al sacar, 2, bolas sin remplazamiento de una urna que contiene, 3, bolas blancas y, 2, bolas rojas. Hallar y representar la función de probabilidad y la función de distribución. se comprueba que la variable, X, es una variable aleatoria. al sacar dos bolas, puede ocurrir que ninguna sea blanca, que sea una ó que sean las dos blancas. los valores que toma son, 0,1,2, por lo que se trata de una variable discreta. para determinar la probabilidad de estos sucesos se ha de tener en cuenta que el número total de posibilidades es, 10, de los cuales, 1 se corresponde con que salgan, 2, bolas rojas, 6, casos en que una de las bolas es blanca y, 3, casos en que ambas bolas son blancas.

( ) ( )10 0 '1 0 '1

1061 0 '6 0 '7

1032 0'3 1

101

i iX P X x p P X x

Total

se hallan las funciones de probabilidad y de distribución teniendo en cuenta que la función de probabilidad es nula en todos los valores menos en, 0,1, 2, y que la función de distribución presenta un salto en cada uno de esos valores.

0'1 00 '6 1

( )0 '3 20

xx

f xxresto


0 2( ) 2

0

x xf x

resto

En una distribución normal, N(0,1), hallar, P(Z<-1’33) se transforma el signo de la desigualdad de manera que su probabilidad se pueda encontrar en la tabla de la distribución normal. P(Z<-1’33)= P(Z>1’33)=1-P(Z1’33)= 1-0’9082= 0’0918 La función de densidad de una variable aleatoria continua, X viene dada por la expresión Hallar la función de distribución y utilizarla para determinar, P(0’5<X<1’5). se escribe la función de densidad como una función definida a trozos indicando su valor en cada intervalo se determina el valor de la función de distribución en cada intervalo

P(0’5<X<1’5)= P(X<1’5)-P(X<0’5)= F(1’5)-F(0’5)= 2 21'5 0 '5

4 4 = 0’5

En una distribución normal, N(0,1), hallar, P(Z>-1’33) se transforma el signo de la desigualdad de manera que su probabilidad se pueda encontrar en la tabla de la distribución normal. P(Z>-1’33)= 1-P(Z -1’33)= 1-(1-P(Z 1’33))= P(Z<1’33)= 0’0918 En una distribución normal, N(0,1), hallar, P(0’5<Z<1’1). se transforma la expresión en una resta de probabilidades. P(0’5>Z<1’1)= P(Z<1’1)-P(Z0’5)= 0’8643-0’6915= 0’1728

0 0

( ) 0 220 2

xxf x x

x

0

2 20 2

0

0 2

0 0

0. 0 0

( ) 0. . 0 0 22 4 4

0. . 0. 0 1 0 1 22

dx x

x x xF x dx dx x

xdx dx dx x


Hallar, a, y, b, sabiendo, P(Z<a)= 0’975, y, P(Z<b)= 0’1587 se transforman las probabilidades para poder buscarlas en la tabla dado que en ella las probabilidades tienen que ser mayores que, 0’5. P(Z<a)= 0’975 P(Z<b)= 0’1587 se transforma en: P(Z<-b)= 1-0’1587= 0’8413 se buscan estos valores en la tabla y si no aparecen se busca el valor más aproximado:ç p= 0’975 z= 1’96 a= 1’96 p= 0’8413 z= 1 -b= 1 b= -1 Un estudio afirma que el peso medio de los acabados de nacer es, 2’8 kg, y que sólo el, 20%, de ellos sobrepasa los, 3 kg. ¿Cuál es la desviación típica de esta variable?. se identifican los parámetros de esta distribución normal X= Peso de los acabados de nacer. = 2’8 ? P(X>3)= 0’2 se tiene

0’2= P(X>3)= 3 2'8P Z

se transforma la expresión para encontrar su probabilidad dentro de la tabla, pues ésta ha de ser mayor que, 0’5.

3 2'8 3 2 '80 '2 0 '8P Z P Z

se busca el valor correspondiente a esta probabilidad en la tabla y se determinar el parámetro. El valor más aproximado a, 0’8, que aparece en la tabla es, 0’7995, que se corresponde con, 0’84 3 2 '8 3 2 '80 '84 0 '238

0 '84

Se sabe que, P(A’B’)= 0’7, P(A’)= 0’2, P(B)= 0’4. Hallar, P(AB), y, P(A’B).

P(A)= 1-P(A’)= 1-0’2= 0’8

E 0’7= P(A’B’)= P[(AB)’]= 1- P(AB); P(AB)= 0’3

P(AB)= p(A) + P(B) - P(AB)= 0’8 + 0’4 – 0’3= 0’9 B AB A

B-A A-B P(A’B)= P(B-A)= P(B) - P(AB)= 0’4 – 0’3= 0’1


En unas oposiciones el, 35%, de los presentados obtuvo una calificación superior al, 6, y el, 40%, obtuvo una calificación inferior al, 4. Si las notas siguen una distribución normal, hallar su media y su desviación típica. se escriben los datos del problema en función de la probabilidad: X= Calificación obtenida N(,) P(X>6)= 0’35 P(X<4)= 0’4 se tipifican los datos, de esta manera la probabilidad permanece constante, y se transforman para buscar la probabilidad dentro de la tabla de distribución normal, dado que ésta ha de ser mayor que, 0’5.

6 6( 6) 0 '35 0 '65P X P Z P Z

4 (4 )( 4) 0 '4 0 '6P X P Z P Z

se buscan en la tabla los valores que se correspondan con esas probabilidades

p= 0’65 z= 0’39 6

= 0’39

p= 0’6 z= 0’25 (4 )

= 0’25

se establece un sistema de ecuaciones que resolviéndolo se obtienen los parámetros pedidos 6 0 '39

(4 ) 0 '

6 0 '39

4 0 '25

6 0 '394 0 '25

2 0 '64

= 3’125 = 4+0’25= 4’78125 Se sabe que, P(AB)= 0’6, P(A’)= 0’6, P(AB’)= 0’2. Hallar, P(AB), y, P(B)

E

P(A)= 1-P(A’)= 1-0’6= 0’4

0’2= P(AB’)= P(A-B)= P(A) - P(AB)= 0’6 - P(AB) B AB A B-A A-B

P(AB)= 0’6 – 0’2= 0’4 P(AB)= p(A) + P(B) - P(AB) de donde P(B)= P(AB) + P(AB) - p(A)= 0’6 + 0’4 – 0’4= 0’6


Para acceder a un puesto ejecutivo de una empresa una de las pruebas que deben realizar los aspirantes es responder a, 100, preguntas para las que se ofrecen, 5, respuestas posibles. Si uno de los aspirantes contesta al azar, hallar: La probabilidad de acertar más de, 25, preguntas. La probabilidad de acertar más de, 30, preguntas. se identifican los parámetros de la distribución binomial. X= Número de respuestas acertadas, X B(100,0’2) p= 0’2 probabilidad de acertar cada pregunta. se comprueba si cumplen las condiciones para que se pueda aproximar a una distribución normal: n.p= 100.’2= 20 > 5 n.(1-p)= 100.0’8= 80 > 5

la distribución binomial, B(n,p), se aproxima a la distribución normal, , . .(1 )N np n p p .

. .(1 ) 100.0'2.(1 0'2) 4n p p np(1-p)= 100.0’2.(1-0’2)= 4 B(100,02) N(20,4) se determinan las probabilidades teniendo en cuenta que se pasa de una variable discreta a una variable continua

25'5 20( 25) 1 ( 25'5) 1 1 ( 1'38) 1 0 '9161 0'08384

P X P X P Z P Z

30 '5 20( 30) 1 ( 30) 1 ( 30'5) 1 1 ( 2 '63) 1 0'9957 0 '00434

P X P X P X P Z P Z

PROBABILIDAD CPR. JORGE JUAN Xuvia-Narón

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