Principios deelectricidad y

electrnicaTomo III

Amigo lector:La obra que usted tiene en sus manos posee un gran

valor. En ellla, su autor, ha vertido conocimientos, expe-riencia y mucho trabajo. El editor ha procurado una pre-sentacin digna de su contenido y est poniendo todo suempeo y recursos para que sea ampliamente difundida, atravs de su red de comercializacin.

Usted puede obtener fotocopias de las pginas del libropara su uso personal. Pero desconfe y rehse cualquierejemplar pirata o fotocopia ilegal del mismo porque, delo contrario, contribuira al lucro de quienes, consciente oinconscientemente, se aprovechan ilegalmente del esfuerzodel autor y del editor.

La reprografa indiscriminada y la piratera editorial,no solamente son prcticas ilegales, sino que atentan con-tra la creatividad y contra la difusin de la cultura.PROMUEVA LA CREATIVIDADRESPETE EL DERECHO DE AUTOR

Principios de electricidad y electrnica

TOMO III

Antonio Hermosa Donate

Profesor de electricidad y electrnicaEscuela Tcnica Profesional del Clot (Barcelona)

Antonio Hermosa, 2003Reservados todos los derechos depublicacin, reproduccin, prstamo,alquiler o cualquier otra forma decesin del uso de este ejemplar en cualquier idioma porMARCOMBO, S.A.Gran Via de les Corts Catalanes, 59408007 Barcelona (Espaa)

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorizacin de los propietarios del Copyright,bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproduccin total o parcial de esta obra porcualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografa y el tratamiento informtico,y la distribucin de ejemplares de ella mediante alquiler o prstamo pblicos, as como laexportacin e importacin de esos ejemplares para su distribucin en venta, fuera del mbitode la Unin Europea.

Printed in Spain

Principios de electricidad y electrnica. Tomo III

Impreso en Espaa

Composicin: Kikero - Gran Via, 594 - 08007 BarcelonaImpresin: Publicaciones Digitales, S.A.www.publidisa.com (+34) 95.458.34.25. (Sevilla)

Depsito Legal: SE-869-2003 (III)ISBN: 84-267-1357-2

Introduccin ...................................................................................IX

Captulo 1. Conceptos y anlisis de circuitos bsicos encorriente alterna .........................................................1

1.1 Resistencia puramente hmica ...................................................................11.2 La bobina en corriente alterna. Reactancia inductiva (XL) ........................11.3 El condensador en corriente alterna. Reactancia capacitiva (XC) ..............61.4 Anlisis de los circuitos elementales en corriente alterna..........................8

1.4.1 Anlisis del circuito puramente resistivo.........................................81.4.1.1 Potencia elctrica desarrollada...........................................12

1.4.2 Anlisis del circuito puramente inductivo .....................................151.4.2.1 Potencia elctrica desarrollada...........................................17

1.4.3 Anlisis del circuito puramente capacitivo....................................211.4.3.1 Potencia elctrica desarrollada...........................................23

1.5 Conceptos sobre potencia en corriente alterna (activa, reactiva,aparente y cos ).......................................................................................27

1.5.1 Potencia activa (P) .........................................................................271.5.2 Potencia reactiva (Q) .....................................................................271.5.3 Potencia aparente (S).....................................................................281.5.4 Factor de potencia (cos ) .............................................................29

1.6 Ejercicios desarrollados ............................................................................331.6.1 Clculo de las potencias en el circuito inductivo..........................331.6.2 Clculo de las potencias en el circuito capacitivo.........................34

1.7 Ejercicios propuestos ................................................................................34

Captulo 2. Introduccin al clculo de circuitos mediantenmeros complejos...................................................37

2.1 Introduccin a los nmeros complejos .....................................................372.2 El operador j (unidad imaginaria) ...........................................................38

2.2.1 El operador j hace girar un vector 90...........................................382.3 Concepto de nmero complejo.................................................................41

ndice general

2.4 Formas de expresin de un nmero complejo..........................................442.4.1 Forma binmica.............................................................................442.4.2 Forma trigonomtrica ....................................................................442.4.3 Forma polar ...................................................................................452.4.4 Ejercicio de ejemplo: Representacin en la forma binmica,

polar y trigonomtrica: ..................................................................462.5 Ejercicios desarrollados ............................................................................482.6 Operaciones bsicas con los nmeros complejos.....................................51

2.6.1 Aplicacin de la calculadora .........................................................512.6.1.1 Ejemplo de operaciones de conversin mediante

calculadora..........................................................................512.6.2 Suma de nmeros complejos.........................................................53

2.6.2.1 Ejercicio de aplicacin .......................................................552.6.3 Resta de nmeros complejos .........................................................58

2.6.3.1 Ejemplo de aplicacin ........................................................592.6.4 Operacin de multiplicar ...............................................................60

2.6.4.1 Multiplicacin en la forma binmica.................................612.6.4.2 Multiplicacin en la forma polar........................................61

2.6.5 Operacin de dividir ......................................................................622.6.5.1 Divisin en la forma binmica...........................................62

2.6.5.1.1 Conjugado de un complejo .....................................622.6.5.2 Divisin en la forma polar .................................................65

2.7 Aplicacin de la notacin compleja a los circuitos de electricidad y electrnica..............................................................................................66

2.8 Ejercicios propuestos ................................................................................71

Captulo 3. Circuitos serie con resistencia, inductancia ycapacidad (R - L - C) ...............................................73

3.1 Circuito serie R L ..................................................................................733.1.1 Impedancia.....................................................................................763.1.2 Potencia .........................................................................................813.1.3 Ejercicio de ejemplo anlisis.........................................................84

3.2 Circuito serie R-C.....................................................................................853.2.1 Impedancia.....................................................................................893.2.2 Potencia .........................................................................................893.2.3 Ejemplo de ejercicio de anlisis ....................................................91

3.3 Circuito serie R-L-C .................................................................................933.3.1 Principios bsicos generales..........................................................933.3.2 Ejemplo de clculo ........................................................................983.3.3 Circuito R- L - C de carcter inductivo.......................................1013.3.4 Circuito R-C-L de carcter capacitivo.........................................101

3.4 Resonancia en el circuito serie ...............................................................1033.4.1 Principios bsicos ........................................................................1033.4.2 Ejemplo de ejercicio....................................................................106

VI ndice general

3.5 Ejercicios desarrollados ..........................................................................1093.5.1 Circuito R - L ..............................................................................1093.5.2 Circuito R - C ..............................................................................1143.5.3 Circuito R-L-C.............................................................................116

3.6 Ejercicios propuestos ..............................................................................120

Captulo 4. Circuitos paralelo R-L-C: Principios bsicos,resonancia y compensacin de potencia reactiva. ...................................................................121

4.1 Introduccin ............................................................................................1214.1.1 Generalidades sobre suma de intensidades y potencias ..............123

4.2 Circuito paralelo R-C..............................................................................1264.2.1 Susceptancia y admitancia...........................................................1284.2.2 Ejemplo de ejercicio de clculo de un circuito R-C ...................1324.2.3 Ejemplo de aplicacin de las admitancias...................................134

4.3 Circuito paralelo R-L..............................................................................1354.3.1 Ejemplo de ejercicio de clculo de un circuito R-L....................137

4.4 Circuitos paralelo R-L-C ........................................................................1394.4.1 Circuito de carcter capacitivo ....................................................1394.4.2 Circuito de carcter inductivo .....................................................1424.4.3 Impedancia...................................................................................1424.4.4 Ejemplo de ejercicio de clculo de un circuito R-L-C................143

4.5 Resonancia en el circuito paralelo..........................................................1494.6 Factor Q ..................................................................................................1564.7 Compensacin de la potencia reactiva....................................................158

4.7.1 Calculo de los condensadores de compensacin.........................1614.8 Ejercicios desarrollados ..........................................................................167

4.8.1 Montaje paralelo de un motor y una resistencia calefactora.......1674.8.2 Circuito serie paralelo ..............................................................1714.8.3 Compensacin de reactiva ...........................................................1764.8.4 Clculo del cos en funcin del consumo de P y Q..................179

4.9 Ejercicios propuestos ..............................................................................180

Captulo 5. Introduccin a la electrnica y sus componentes bsicos ............................................183

5.1 Introduccin ............................................................................................1835.2 Qu es la electrnica? ..........................................................................1835.3 Introduccin a los componentes semiconductores .................................185

5.3.1 NTC-PTC (termistores) ...............................................................1865.3.2 LDR (Ligth Dependent Resistor) ................................................1885.3.3 Fotodiodo y Fototransistor ..........................................................1885.3.4 LED (Light Emitting Diode) .......................................................189

ndice general VII

5.3.4.1 Displays de 7 segmentos ..................................................1895.3.5 VDR (Voltaje Dependent Resistor) .............................................1905.3.6 El diodo y el transistor bipolar ....................................................191

5.3.6.1 El transistor bipolar ..........................................................1925.3.6.2 El transistor de efecto de campo (MOS)..........................193

5.3.7 Tiristores ......................................................................................1945.3.7.1 Tiristor SCR .....................................................................1945.3.7.2 Triac y Diac ......................................................................194

5.3.8 Circuitos integrados (CI) ............................................................1955.4 Conceptos sobre fsica de los semiconductores ....................................197

5.4.1 Semiconductor intrnseco ............................................................1975.4.2 Enlace covalente ..........................................................................1995.4.3 Portadores de carga: Electrones y Huecos ..................................1995.4.4 Semiconductores N y P ...............................................................201

5.4.1.1 Semiconductor N..............................................................2025.4.1.2 Semiconductor P ..............................................................203

5.5 La unin PN: El diodo............................................................................2055.5.1 Polarizacin de la unin PN (diodo) ...........................................206

5.5.1.1 Polarizacin directa ..........................................................2075.5.1.2 Polarizacin inversa..........................................................208

Respuestas a los ejercicios propuestos ....................................211

VIII ndice general

La materia que se expone en esta serie de libros constituye los principiosfundamentales de la electricidad y de la electrnica. En este tomo (III), se explican,de forma detallada y prctica, los principios bsicos sobre los circuitos de corrientealterna tales como reactancia, impedancia, desfases, factor de potencia (Cos ),potencias activas y reactivas, resonancia, etc., as como una introduccin al clculomediante nmeros complejos.

Todo ello se explica combinando adecuadamente los conceptos tericos con lautilidad prctica, y apoyado por diversos ejercicios desarrollados. Tambin se dedicaun captulo completo para explicar los principios conceptuales de la electrnica yproporcionar una visin global sobre los componentes electrnicos bsicos, ascomo la base fsica que soporta a la electrnica; los materiales semiconductores, enespecial el silicio.

El nivel tcnico es basico-medio, procurando un mximo didactismo y unenfoque prctico. Estas caractersticas hacen que resulte de especial inters en losestudios de formacin tcnica profesional en general (ciclos formativos), as como atodo aquel interesado en las bases de la electricidad y electrnica.

Dado las necesidades de los estudios profesionales (ciclos formativos) y a laformacin autodidacta a que se ven obligados los tcnicos en ejercicio, as como elinters mostrado por los lectores, se ha considerado ampliar esta coleccin connuevos tomos para poder as tratar todos los temas fundamentales de la electricidady electrnica con el nivel y enfoque adecuado a los estudios profesionales ynecesidades de la industria. Por ello, se ha hecho una reestructuracin de la seriepara dar lugar a nuevos tomos. A partir del tomo IV, todos los temas sernexclusivamente de electrnica, siguiendo la misma lnea didctica que en losanteriores tomos. Se iniciar partiendo de la base electrnica que se explica en elcaptulo 5 del presente tomo, cuyos componentes sern tratados de forma detalladay, sobre todo, con circuitos prcticos de aplicacin. En sucesivos tomos se tratarntodos los dems componentes y sistemas de mayor inters de la electrnica aplicada,dentro de las ramas de amplificacin de sonido (audio), electrnica industrialy tcnicas digitales.

EL AUTOR

Introduccin

1.1 RESISTENCIA PURAMENTE HMICA

Se entiende por resistencia hmica pura, aquella cuyo valor viene dado espec-ficamente por sus caractersticas fsicas materiales, siendo su valor constante eindependiente de la frecuencia. Dicho valor viene determinado por el parmetroresistividad, , caracterstico de cada material. As, pues, el valor resistivo de unhilo conductor (por ejemplo, cobre) de una cierta longitud y seccin viene dadoexclusivamente por la conocida expresin:

Y el valor de la resistencia (R) es igual tanto en c.c. como en c.a.; de hecho, enla frmula no aparece el factor frecuencia. En el caso de los componentes denomi-nados resistores (o simplemente, resistencias) es su valor caracterstico. As, porejemplo, una resistencia pura de 100 debe producir el mismo efecto de oposicinal paso de la corriente tanto con una tensin continua como con una tensin alterna;el valor de corriente queda determinado por los 100 , como se representa grfica-mente en la figura 1.1.

1.2 LA BOBINA EN CORRIENTE ALTERNA. REACTANCIAINDUCTIVA (XL)

Antes de pasar a explicar el comportamiento y caractersticas que presenta labobina cuando se le aplica corriente alterna, veamos un breve repaso sobre el com-portamiento de la bobina en corriente continua.

Comportamiento de la bobina en corriente continua:

Cuando se le aplica una tensin continua a la bobina sta genera un campomagntico mientras circule corriente por ella; o sea, se comporta como un imn(fig.1.2). Adems, se producen unos retrasos en la corriente en los instantes de laconexin y desconexin (fig.1.3), que hace que se tarde un cierto en alcanzar los

SlR =

Captulo1

Conceptos y anlisis de circuitosbsicos en corriente alterna

Figura 1.1.

Figura 1.2.

Figura 1.3. Variacin de la corriente y pulsos de f.e.m. en la bobina en los instantes de laconexin y desconexin.

valores permanentes. (Esto es debido al efecto de autoinduccin; las variaciones decorriente dan lugar a que se genere una f.e.m. cuya polaridad es siempre tal que seopone a que la corriente aumente o disminuya ley de Lenz). Asimismo, en los ins-tantes de la desconexin, debido al efecto de autoinduccin y a la gran rapidez conse puede extinguir la corriente, se pueden generar unos impulsos de f.e.m. de muyelevado voltaje.

A nivel resistivo, todo se limita a la resistencia hmica del hilo; por ello, en laprctica, a veces se dice que la bobina en corriente continua se comporta como sifuera un hilo conductor

Cuando la bobina recibe corriente alterna, adems de la resistencia puramentehmica determinada por el hilo, aparece otro factor de oposicin a la circulacin dela c.a. que se denomina reactancia inductiva, que se representa por XL y se mide en. Esto es debido al efecto de autoinduccin, que se da de forma continua y con unarapidez determinada por la frecuencia.

La reactancia es el valor resistivo que normalmente se tiene en cuenta en lasbobinas; de hecho, en la bobina ideal (o pura) se supone una resistencia hmica (ladel hilo) de 0 .

El valor de reactancia de una bobina depende de su valor de inductancia y dela frecuencia de la corriente alterna aplicada. Se basa en la frmula:

XL = 2 - f - L = L

XL = Reactancia inductiva ()2 = 6,283f = Frecuencia (Hz)L = Inductancia de la bobina (H)

Ejemplo 1.1: Una bobina de 2 H conectada a una tensin de 2 kHz presenta una reactancia de:

XL = 2 - f - L = 6,283 2.000 2 = 25132

As, a dicha frecuencia equivale a una resistencia de 25132 .

Aunque la bobina equivale a dicho valor resistivo, en la realidad, no es equiva-lente totalmente a una resistencia del mismo valor hmico, ya que, como ms ade-lante se explica, no disipa potencia elctrica como la resistencia.

La oposicin que presenta una bobina al paso de la corriente alterna, como sededuce, aumenta pues con la frecuencia; la reactancia es mayor conforme aumentala frecuencia. Y cuanto mayor sea el valor de la inductancia (L) mayor ser tambinel efecto de la reactancia (fig.1.4); el factor 2 L es una constante que determina lapendiente de la recta. De hecho, la expresin XL = 2 f L se corresponde con la ecua-cin de una recta, y = a x + b, siendo: b = 0, a = 2 L y x = f.

A muy elevada frecuencia, como se deduce, su reactancia tiende a infinito; osea, la bobina tiende a comportarse como un circuito abierto. Por otra parte, a fre-

cuencias muy bajas la reactancia ser muy baja; o sea, la bobina se comporta casicomo un cortocircuito.

El efecto de oposicin al paso de la corriente alterna que presenta la bobina,reactancia inductiva, aparece como consecuencia del fenmeno de la autoinduccin.Que, como ya debe saberse (tomo 2), consiste en que la bobina se autoinduce unaf.e.m. cuando se producen variaciones de corriente; y la polaridad de dicha f.e.m. estal que siempre se opone a dichas variaciones (ley de Lenz). En resumen, presentaresistencia a las corrientes variables. El valor de f.e.m. (E) autoinducida viene dadopor la frmula de Faraday:

Cuanto mayor se la frecuencia mayor ser la velocidad de variacin de la inten-sidad (I/t) y mayor ser tambin entonces el valor de la f.e.m. autoinducida (E).Y este efecto ser asimismo mayor cuanto mayor sea el valor de la inductancia (L).

O sea, la corriente alterna de entrada se encuentra una oposicin (originada porla f.e.m.) que es mayor cuanto mayor sea la frecuencia. Y, por este mismo motivode oposicin a las variaciones de corriente, la intensidad circula por la bobina conun retraso (terico) de 90 con respecto a la tensin.

En cambio en corriente continua, la resistencia nicamente se debe a la pura-mente hmica del hilo; por ello, en la prctica, a veces se dice que la bobina en c.c.se comporta como si fuera un simple hilo conductor, y que slo tiene resistencia encorriente alterna. De hecho, la frmula de la reactancia tambin indica que en c.c. elvalor de la reactancia vale cero:

Corriente continua f = 0 Hz XL = 2 f L = 2 0 L = 0 Como se explicar ms delante de una forma ms detallada, en la prctica, los

t

ILE

=

Figura 1.4. La reactancia inductiva es directamente proporcional a la frecuencia y a lainductancia.

componentes no son puros y por ello tampoco aparecen circuitos puramente resisti-vos ni inductivos. Por ejemplo, en las bobinas la resistencia del hilo puede llegar ainfluir notablemente en las caractersticas del circuito; y, por otra parte, hasta en loscables de conexin y componentes resistores, a ciertas frecuencias, el efecto induc-tivo puede ser notable.

Cuando se consideran la accin combinada de la resistencia hmica y de lareactancia aparece otro concepto muy importante, que se denomina impedancia (Z);es el efecto resultante (suma vectorial) de los dos tipos de oposiciones (o resisten-cias). (Se explica en el captulo siguiente).

1.3 EL CONDENSADOR EN CORRIENTE ALTERNA. REACTANCIACAPACITIVA (XC)

Tal como se explica detalladamente en el tomo 2, el condensador almacena car-ga elctrica (culombios). Y slo da lugar a una circulacin de corriente por el cir-cuito mientras se est cargando o descargando. As, pues, el condensador en c.c. nopermite una circulacin de corriente de forma permanente; nicamente la permitecuando existen variaciones de tensin, lo cual sucede en los tiempos que se carga odescarga.

En el condensador, la corriente toma el valor mximo en el instante inicial dela carga o descarga, y despus va disminuyendo conforme se va cargando o descar-gando. As, pues, si le aplica una tensin alterna, puesto que sta vara constante-mente de polaridad y de valor, el condensador se va cargando y descargando conti-nuamente con una rapidez dependiente de la frecuencia; de lo cual resulta unacorriente alterna permanente de un determinado valor medio, que ser mayor cuan-to ms alta sea la frecuencia. As, pues, se puede decir que el condensador en c.a. secomporta como una resistencia, cuyo valor depende de la frecuencia y de la capaci-dad del condensador.

Figura 1.5. La reactancia capacitiva es inversamente proporcional a la frecuencia y a lacapacidad.

Y a este tipo de resistencia se denomina reactancia capacitiva, que se repre-senta por XC y se mide en . Su valor viene dado por la frmula:

Como se observa en ella, la oposicin que presenta el condensador al paso dela corriente alterna, XC, es inversamente proporcional a la frecuencia y a la capaci-dad. As, cuanto mayor sea la frecuencia (f) y la capacidad (C) menor ser la reac-tancia, como se representa en la figura 1.5.

Ejemplo 1.2:Un condensador de 4,7 F conectado a una tensin alterna de frecuencia 50 Hzpresenta una reactancia de:

As, a dicha frecuencia realiza el mismo efecto resistivo que una resistencia de677 .

Al igual que ocurre con la bobina, como ms adelante se explicar, la reactan-cia capacitiva tampoco disipa potencia elctrica, por lo que nicamente es equiva-lente a una resistencia en cuanto al valor hmico.

Adems del factor reactancia, el condensador presenta otra caracterstica muyimportante: produce un desfase de 90 de la tensin con respecto a la intensidad.Como se sabe, el condensador tarda un cierto tiempo en cargase y descargarse, esdecir, presenta una cierta oposicin a los cambios de tensin; pues dicha caracters-tica es la que da lugar, adems de a la reactancia, ha que la tensin quede retrasada90 con respecto a la corriente. Esto equivale a decir que la onda de la corriente enel condensador se adelanta 90 con respecto a la onda de la tensin.

As, pues, segn se deduce, el condensador se comporta de forma contraria a labobina.

Un resumen sobre ambos componentes es:

Bobina:La onda de la intensidad va retrasada 90 con respecto a la onda de la tensin

Si aumenta la inductancia (L) aumenta la reactancia (XL)Si la frecuencia aumenta aumenta la reactancia

En c.c. (f = 0 Hz) XL = 2 f L = 0 (Muy baja resistencia)A muy alta frecuencia (f ) XL = L (Muy alta resistencia)

Condensador:La onda de la intensidad va adelantada 90 con respecto a la onda de la tensin

Si aumenta la capacidad (C) disminuye la reactancia (XC)

==

677107,45014,32

12

16CfX C

CfCX C 211

==

Si la frecuencia aumenta disminuye la reactancia

En c.c. (f = 0 Hz) = (Muy alta resistencia)

A muy alta frecuencia (f ) 0 (Baja resistencia)

1.4 ANLISIS DE LOS CIRCUITOS ELEMENTALES EN CORRIENTEALTERNA

Una vez explicado los conceptos bsicos relativos a los componentes elemen-tales, a continuacin pasamos a hacer una anlisis de los circuitos basados en dichoscomponentes.

1.4.1 Anlisis del circuito puramente resistivo

Como ya se ha indicado al principio, son circuitos resistivos puros aquellos enlos cuales el valor de resistencia no depende de la frecuencia. En ellos no existeefecto inductivo ni capacitivo, y no existe por tanto desfase entre las ondas de ten-sin y de corriente.

Hay que tener en cuenta que, en la prctica, no existen circuitos resistivospuros, ya que siempre existe algo de efecto capacito e inductivo, aunque su efectopuede ser despreciable. Un ejemplo de cargas (receptores) que, en la prctica, seconsideran totalmente resistivas son: Bombillas de incandescencia, estufas elctri-cas, soldadores, etc.

Ejemplo de anlisis 1.1:

Supongamos el circuito de la figura 1.6. A una resistencia de 100 se aplicauna tensin alterna de VP = 20 V y f = 50 Hz.

El valor instantneo de la tensin del generador se puede expresar, pues:

v = 20 sen t

O bien, puesto que la velocidad angular (rad/s) es = 2 f = 2 3,14 50 =314,16:

v = 20 sen 314,16 t

CfX C 21

=

CfX C 21

=

El valor de pico y eficaz de la intensidad se obtiene aplicando la ley de Ohm:

As, la expresin analtica de la corriente alterna que circula por la resistencia es:

i = 0,2 sen 314,16 t

Y, como ya se sabe, las ondas de tensin y de corriente varan de la mismamanera, alcanzan los valores mximo y mnimo en los mismos instantes; no existe

mAAII Prms 141141,0414,12,0

2====mAA

RVI PP 2002,0100

20===

!" #

Figura 1.6.

desfase alguno entre ellas, lo cual ya queda reflejado en las expresiones analticasde la tensin y corriente.

En la notacin compleja (como se explicar en el captulo 2), el clculo de laintensidad (eficaz) y desfase se expresa de la manera:

Poniendo valores:

En la prctica, la onda de la intensidad en los circuitos se puede representarmediante el osciloscopio poniendo una resistencia de bajo valor en serie con la car-ga, y aplicando la cada de tensin que se produce en dicha resistencia a uno de loscanales del osciloscopio, como se muestra en la figura 1.7. Como es obvio, la cadade tensin ser proporcional a la intensidad que circule por el circuito, y ser larepresentacin de la intensidad, cuyo valor viene dado por: IP = VP/RS.

Para que la resistencia sensora (RS) influya mnimamente en el circuito stadebe ser de un valor bajo en comparacin con la resistencia de carga (RL), al menosdiez veces menor ( RS < RL/10). En este caso (fig.1.7) se ha utilizado una resisten-cia 100 veces menor, por lo cual la resistencia sensora casi no afecta al valor de laintensidad.

Sin la resistencia sensora:

Con la resistencia sensora:

As, la cada de tensin en la resistencia sensora ser de: VP = IP Rs = 0,198 1= 0,198 V. Esta tensin representar a la onda de intensidad en el osciloscopio; cadamV representa un mA. Si se ajusta la sensibilidad del osciloscopio a 0,1 V por divi-sin (0,1V/DIV), la onda de la intensidad alcanzar una amplitud de casi 2 divisio-nes para representar la intensidad de pico de (casi) 200 mA, que es ms que sufi-ciente para poder observarla y compararla con la onda de tensin en la resistenciade carga (RL = 100 ). Ajustando el canal para la tensin de RL a 5 V/DIV, la ondade tensin alcanzar casi 4 divisiones en el valor de pico ( 20 V).

mAARR

VISL

PP 198198,01100

20==

+=

+=

mAARVI

L

PP 2002,0100

20====

0141,00100

02

20

02

00 =

=

= A

R

V

I

P

==

=

RV

RV

RV

I 00

$%

!" $$

Figura 1.7. Circuito puramente resistivo. a) Representacin prctica del montaje paravisualizar las ondas de tensin y corriente mediante osciloscopio. b) Caractersticas

calculadas de las ondas de tensin y corriente del circuito.

1.4.1.1 Potencia elctrica desarrollada

En los circuitos puramente resistivos, la potencia consumida, o sea, el efectotrmico desarrollado en el total del valor de resistencia, es la media aritmtica detodos los valores instantneos de la potencia en un ciclo. De una forma grfica, sepuede hallar la curva de potencia multiplicando punto a punto la onda de tensin porla onda de la corriente. Se obtiene as una onda de frecuencia doble a la de la ten-sin, y que se encuentra siempre por encima del eje de cero (todos sus valores sonpositivos), como se muestra en la figura 1.8. La media de los valores instantneosde la onda de potencia es la potencia real consumida por el circuito. La potencia ins-tantnea viene dada por el producto, en cada instante, de la tensin por la corriente(Pi = Vi Ii), y puede tomar valores positivos (encima del eje cero) o negativos (pordebajo del eje cero), dependiendo del instante que se considere. Por potencia posi-tiva se considera una transferencia de energa desde el generador hacia el receptor(carga); una potencia negativa significara que existe una transferencia de energadesde el receptor hacia el generador, lo cual slo se da en los circuitos con efectoreactivo (bobinas y condensadores).

Cuando las ondas de tensin y corriente estn en fase, como en este caso, todoslos valores instantneos de la onda de potencia resultan positivos, estn por encimadel eje cero. Durante el semiciclo positivo, se multiplican siempre dos valores posi-tivos y, claro, el resultado es tambin un valor positivo. Durante el semiciclo nega-tivo se multiplican siempre dos valores negativos, lo cual da tambin valores posi-tivos (menos por menos es igual a ms: - - = +).

Por otra parte, el sentido de circulacin de la corriente no afecta al desarrollode potencia; durante el semiciclo positivo se desarrolla la misma potencia que en elsemiciclo negativo. Por ello, en la onda de potencia aparece un pulso positivo depotencia por cada semiciclo de las onda de tensin y corriente; la onda de potenciaaparece pues con una frecuencia doble a las ondas de tensin y de corriente(fig.1.8a).

Potencia instantnea:

Puesto que la onda de potencia es el resultado de multiplicar los valores ins-tantneos de las ondas de tensin y corriente entre s, matemticamente se puedeponer:

v = VP sen tp = (VP sen t) (IP sen t) = VP IP sen2 t

i = IP sen t

Y, como que:

2)2cos1()2cos1(

21

sen 2tIVpxx PP

==

$ $

!" $

Figura 1.8. a) Ondas de tensin, corriente y potencia que aparece en el circuitopuramente resistivo (b) .

El dato 2t de la frmula significa que la velocidad angular () de la onda depotencia es el doble de la velocidad angular de la onda de tensin o de corriente (t).

Potencia de pico PP = VP IP

Potencia media (eficaz)

As, en la onda de potencia de la figura 1.8, la potencia mxima, de pico, desa-rrollada en la resistencia de 2 es:

Pp = VP IP = 4 2 = 8 W

La potencia efectiva, eficaz, (Prms

) se obtiene utilizando los valores eficaces dela tensin y corriente:

Y, como se deduce, dicho valor coincide con el valor medio de la onda depotencia, lo cual se verifica tambin grficamente (fig.1.8):

As, en general se puede poner:

Ejercicio de ejemplo 1.1:Supongamos que a una resistencia de 200 se le aplica una tensin alterna cuyaexpresin analtica es:

40 sen (377 t + 20)

Se trata de una tensin alterna de VP = 40 V, con un desfase inicial (en adelanto)de 20 y de frecuencia:

Hzf 6014,32

3772

=

==

rmsrmsPPP

rms IVPIVP ===22

WPIVIVIVP PPPPPrmsrmsrms 428

2222======

WIVP rmsrmsrms 441,182,2 ===AII

VVV

Prms

Prms

41,1414,12

2

82,2414,14

2

===

===

PPmed IVP 21

=

$& $&

Esta tensin alterna se puede representar tambin (notacin polar) de la manera:

Es el valor eficaz de la tensin junto con su ngulo de desfase. (En este modo derepresentacin normalmente se opera con valores eficaces).El valor de la intensidad, aplicando la ley de Ohm es:

Esto indica un valor de intensidad (eficaz) de 0,14 A con un desfase de 20.

La expresin analtica de la intensidad es:

i = 0,14 2 sen (377 t + 20) = 0,2 sen (377 t + 20)Como el desfase de la tensin y corriente es el mismo (20), no existe ningn des-fase entre dichas magnitudes.En cuanto a la potencia disipada, tenemos:

Potencia mxima, de pico:

PP = IP VP = (Irms2) VP = (0,14 2) 40 = 8 WPotencia media, eficaz:

Prms

= Vrms

Irms

= 28,28 0,14 = 4 W

Como se comprueba, el valor eficaz coincide con la mitad de la potencia de pico:

1.4.2 Anlisis del circuito puramente inductivo

Un circuito es puramente inductivo si nicamente consta de efecto de induc-tancia, no existe efecto resistivo ni capacitivo; debe basarse pues en una bobina ide-al. En la prctica se pueden dar circuitos que, aunque los componentes no son idea-les, se pueden considerar puros, debido a que los efectos no deseados son despre-ciables.

WPIV PPP 42

2,04022

=

==

2014,0020

2028,280

=

=

= ARVI

0

2028,2820414,140

2== VVV P

!" $

Ejemplo de anlisis 1.2:

Supongamos el circuito que se muestra en la figura 1.9. Se basa en una bobinade 0,5 H, que se considera que no tiene efecto resistivo (resistencia del hilo = 0 ),a la cual se le aplica una tensin alterna de f = 50 Hz y VP = 20 V. La expresinanaltica de la tensin del generador es, pues:

v = 20 sen t = 20 sen (2 f) t = 20 sen (2 3,14 50) t v = 20 sen 314,16 t

El valor de reactancia es:

XL = 2 f L = 2 3,14 50 0,5 = 157

El valor de pico y eficaz de la intensidad se obtiene aplicando la ley de Ohm:

AII Prms 09,0414,1

127,02

===AXVI

L

PP 127,0157

20==

$

Figura 1.9. Circuito puramente inductivo.

$

La expresin analtica de la corriente alterna que circula por la bobina, tenien-do en cuenta que sta va retrasada 90, es:

i = 0,127 sen (314,16 t - 90)

Como se sabe, en las bobinas, debido al efecto de autoinduccin, la onda de lacorriente se retrasa 90 con respecto a la onda de la tensin.

La representacin de la onda de corriente mediante el osciloscopio se puedehacer de la manera que se indico con el circuito resistivo; poniendo una resistenciaen serie con la bobina, cuyo valor debe ser lo suficiente bajo para que el error intro-ducido sea mnimo. Por ejemplo, se puede poner una resistencia del valor normali-zado de 6,8 , que es 23 ms bajo que la XL, con lo cual se obtendr una cada detensin de: RS I = 6,8 0,127 0,86 V; esta cada de tensin representar la inten-sidad de 0,127 A que circular por el circuito (fig.1.10).

1.4.2.1 Potencia elctrica desarrollada

La onda de potencia en el circuito inductivo viene dada de la misma maneraque el caso del circuito resistivo; es el producto de la onda de tensin por la onda decorriente. Aplicando una tensin instantnea v se obtiene una corriente de valor ins-tantneo i, siendo la potencia instantnea: p = v i. Su desarrollo matemtico es:

v = VP sen t p = (VP sen t) (IP sen t - /2) = VP IP (sen t) [sen (t - /2)]

i = IP sen (t - /2)

sen (t - /2) = - cos t VP IP (sen t) (- cos t)

(sen x) (cos x) = 1/2 sen 2 x p = -1/2 VP IP (sen 2 t)

Grficamente, se puede obtener multiplicando las ondas de tensin y corriente entre s,punto a punto; aparece una onda cuyo valor medio es cero (fig.1.11). Durante el semiciclopositivo de la onda de potencia existe una transferencia de energa desde el generador haciala bobina, que es la creadora del flujo magntico. Y durante el semiciclo negativo, la bobi-na (debido a la f.e.m. que genera por el efecto de autoinduccin) devuelve al generador laenerga que antes le haba suministrado.

As, pues, en el circuito puramente inductivo no se consume potencia elctrica, puestoque la potencia absorbida es igual a la devuelta, por ello el valor medio de la onda de poten-cia es cero.

Este sera el caso de la bobina ideal (resistencia del hilo igual a cero). Pero, en la prc-tica, todas las bobinas poseen un cierto valor resistivo debido a la resistencia del hilo, por locual cierta potencia suministrada por el generador siempre se disipa en dicha resistenciatransformada en calor, y que resulta en una perdida. Aunque dicho valor puede ser muy bajo,y poder despreciarse.

Aunque (en teora) la potencia cedida por el generador y devuelta por la bobina no esuna potencia gastada, si da lugar a una circulacin de corriente por el circuito. Pues a estapotencia en circulacin se denomina potencia reactiva, que se expresa por Q y se mide envoltio-amperios reactivos (VAr). Viene dada pues, por:

!" $

$ $

Figura 1.10. Circuito puramente inductivo. a) Montaje para obtener una representacingrfica de las ondas de tensin y corriente mediante osciloscopio y poder as observar el

desfase. b) Ondas de tensin y corriente del circuito calculadas.

Y, en general, se puede hallar tambin por: Q = V I sen .

LL

XIXVIVQ 2

2

===

Figura 1.11. Ondas de tensin, corriente y potencia que aparece en el circuito puramenteinductivo.

Q es la potencia desarrollada en el elemento reactivo. En el caso del circuito anterior(fig.1.9), dicha potencia vale:

Q = I2 XL = 0,092 157 = 1,27 VA r

Que es la potencia que est en trasiego desde el generador y la carga.En general, en los circuitos donde existe un cierto desfase () entre la corriente y ten-

sin, se puede hallar el valor de potencia activa (la disipada) aplicando la frmula:

Por ejemplo, en el caso de una bobina ideal, como el desfase es = 90 y el coseno de90 vale cero, tenemos que efectivamente aparece un valor de potencia igual a cero:

Ejercicio de ejemplo 1.2:Supongamos una bobina de L = 5,3 mH por la cual circula una intensidad cuyo valor ins-tantneo viene dado por: i = 0,2 sen (377 t + 45). Hallar la expresin de la tensin ins-tantnea en la bobina.

Desarrollo:

El valor de la reactancia es:

XL = L = 377 0,0053 = 2

La tensin de pico en la bobina ser, pues:

VP = IP XL = 0,2 2 = 0,4 V

Como en la bobina la tensin siempre va adelantada 90 respecto a la corriente yla intensidad ya lleva un adelanto de 45 (respecto a la referencia), la tensin ir135 adelantada respecto a la referencia, que se puede expresar por:

vL = 0,4 sen (377 t + 135)

O bien, puesto que 135 = 3 /4:

vL = 0,4 sen (377 t + 3 /4)

O sea, la tensin en la bobina va adelantada 135 = 3 /4 rad respecto a la refe-rencia de tiempos (fig.1.12). Aplicando la notacin compleja, en la forma polar, la cuestin de desfases apare-ce ya explcita en los clculos:

VP = IP XL 90 = 0,2 45 2 90 = 0,4 135

WIVP rmsrmsrms 090cos ==

cos2

cos PPrmsrmsrmsIVIVP ==

!" $

En la multiplicacin de valores en forma polar se multiplican los mdulos y sesuman los argumentos (ngulos). Esta forma de clculo es muy conveniente cono-cer ya que resulta muy eficaz, al menos cuando aparecen diversos datos sobrengulos o los circuitos revisten cierta complejidad.

1.4.3 Anlisis del circuito puramente capacitivo

Un circuito es puramente capacitivo si nicamente consta de efecto de capaci-dad, no existe efecto resistivo ni inductivo; debe basarse pues en un condensadorideal. Pero, en la prctica, no existen componentes ideales, puros. As, por ejemplo,en los condensadores siempre existe algo de efecto resistivo e inductivo, aunque, enla prctica, sus valores son despreciables.

Figura 1.12. Con respecto a una referencia (punto 0 del eje de coordenadas), la onda detensin va adelantada 135 y la onda de corriente 45; entre ellas, el desfase es de 90 (la

corriente va en retraso).

Ejemplo de anlisis 1.3:

Supongamos un circuito puramente capacitivo (fig. 1.13). Un condensador delvalor normalizado de 0,47 F al cual se le aplica una tensin alterna de f = 5 kHz yVP = 10 V. La tensin del generador se puede expresar, pues, por:

v = 10 sen t = 10 sen 2 f v = 10 sen 31416 t

Figura 1.13. Circuito puramente capacitivo.

El valor de reactancia es:

Y el valor de pico y eficaz de la intensidad que circular por el circuito:

La expresin analtica de la corriente, teniendo en cuenta que el condensadorproduce un desfase de 90, es:

i = 0,147 sen (31416 t + 90)

Como se sabe, debido al efecto de la capacidad, la corriente circula adelantada90 con respecto a la tensin (es como decir que la tensin va retrasada 90).

La representacin de la onda de corriente mediante el osciloscopio se puede hacerde la manera ya explicada; poniendo una resistencia en serie con el condensador de unvalor lo suficientemente bajo para que el error introducido sea mnimo. Por ejemplo,con una resistencia del valor normalizado de 3,3 , que es un valor 20 veces ms bajoque la XC, se obtendr una cada de tensin de: RS IP = 3,3 0,147 0,48 VP; esta ca-da de tensin representar la intensidad que circular por el circuito (fig.1.14).

1.4.3.1 Potencia elctrica desarrollada

La onda de potencia en el circuito capacitivo viene dada de la misma maneraque el caso del circuito inductivo; es el producto de la onda de tensin por la ondade corriente. La expresin analtica de la onda de potencia viene dada, pues, por:

v = VP sen t p = (VP sen t) (IP sen t + /2) = VP IP (sen t) [sen (t + /2)]

i = IP sen (t + /2)

sen (t + /2) = cos t VP IP (sen t) (cos t)

(sen x) (cos x) = 1/2 sen 2 x p = 1/2 VP IP (sen 2 t)

Se obtiene, al igual que el circuito inductivo, una onda cuyo valor medio escero (fig.1.15). Durante el semiciclo positivo de la onda de potencia existe unatransferencia de energa desde el generador hacia el condensador, el cual se carga.Y durante el semiciclo negativo, el condensador se descarga y devuelve al genera-dor la energa que antes le haba suministrado.

AII Prms 104,0414,1147,0

2==A

XVI

C

PP 147,07,67

10==

=

===

7,670147,01

1047,010514,321

211

63CfCX C

!"

& &

Figura 1.14. Circuito puramente capacitivo. a) Montaje para obtener una representacingrfica de las ondas de tensin y corriente mediante osciloscopio, y poder as observar el

desfase. b) Ondas de tensin y corriente del circuito calculadas.

As, pues, en el circuito puramente capacitivo tampoco se consume potenciaelctrica, puesto que la potencia absorbida es igual a la devuelta, por ello el valormedio de la onda de potencia es cero.

!"

Figura 1.15. Ondas de tensin, corriente y potencia que aparece en el circuito puramentecapacitivo. Al igual que en el circuito puramente inductivo, no existe potencia consumida.

Y, como se puede observar, la onda de potencia es inversa a la del circuito capacitivo.

La potencia cedida por el generador y devuelta por el condensador no es unapotencia gastada, pero si da lugar a una circulacin de corriente por el circuito y enconsecuencia a una potencia reactiva (Q). En el caso del ejemplo anterior, se tiene:

Q = I2 XC = 0,1042 67,7 = 0,732 VA r

Que es la potencia que est en trasiego desde el generador y el condensador.Matemticamente, el valor de potencia gastada, disipada, se obtiene por:

En el caso del condensador, como = 90, tenemos que efectivamente apareceun valor de potencia igual a cero:

Si observamos las ondas de potencia del circuito inductivo (fig.1.11) y capaci-tivo (fig.1.15), se ve que stas van de forma inversa. Cuando en la onda de potenciadel circuito inductivo aparece el semiciclo positivo, en la onda de potencia del cir-cuito capacitivo aparece un semiciclo negativo, y viceversa. Por ello, existe unaaplicacin muy importante en la industria que se llama compensacin de potenciareactiva, que se basa en utilizar condensadores para reducir la potencia reactiva cau-sada por las cargas inductivas (motores); el trasiego de potencias se da entoncesentre las cargas inductivas y los condensadores utilizados para compensacin, y selogra as reducir la intensidad que circula por las lneas de la instalacin.

Ejercicio de ejemplo 1.3:Supongamos un condensador de 4,7 F al cual se le aplica una tensin de VP =20 V y de f = 1000 Hz . Determinar la expresin analtica de la corriente que cir-cular por el circuito.

Desarrollo:

Valor de la reactancia:

La expresin polar de la tensin aplicada es:

V = 20/2 0 = 14,14 V 0

=

===

86,330295,01

107,41014,321

211

63CfCX C

WIVP rmsrmsrms 090cos ==

cos2

cos PPrmsrmsrmsIVIVP ==

Es el valor eficaz de la tensin con su ngulo de desfase; en la notacin comple-ja se opera con los valores eficaces de la tensin y corriente.Por ley de Ohm:

As, la expresin de la corriente en el dominio del tiempo ser:Como: IP = 0,417 2 0,59 A y = 2 f 6283 y 90 = /2, se tiene:

i = IP sen ( t + 90) = 0,59 sen (6283 t + /2)

1.5 CONCEPTOS SOBRE POTENCIA EN CORRIENTE ALTERNA(ACTIVA, REACTIVA, APARENTE Y COS )

Aunque este tema se ha tratado en el captulo 4 de una forma ms detallada yapoyada con diversos ejercicios prcticos, por razones didcticas, se hace ahora unaintroduccin a dicho tema.

1.5.1 Potencia activa (P)

Como se ha visto anteriormente, en el circuito puramente resistivo (fig.1.8) laonda de potencia tiene una valor medio, que es la potencia eficaz, que viene dado por:

Solo existe consumo de potencia (transformacin en calor, gasto energtico)cuando la tensin y corriente van en fase. Y a esto se denomina potencia activa, quese representa por P y se mide en vatios (W).

En un sistema elctrico donde pueden haber componentes resistivos, inductivosy capacitivos, la potencia activa es la disipada nicamente por los componentesresistivos: P = I VR

Cuando la tensin y corriente no van en fase, entonces, la potencia activa resul-ta menor a la aparente (V I), pudiendo llegar a ser nula si el desfase es de 90. Es elcaso de los circuitos inductivos o capacitivos.

1.5.2 Potencia reactiva (Q)

Como se representa grficamente en las ondas de potencia del circuito inducti-vo y capacitivo (figuras 1.11 y 1.15), cuando el desfase entre la tensin y la corrien-te es de 90 aparece una onda de potencia cuyo valor medio es cero; la potencia posi-

rmsrmsPPP

rms IVPIVP ===22

90417,09086,33

014,1490

=

=

= AX

VIC

tiva (cedida por el generador) es igual a la potencia negativa (recibida por el gene-rador). Este es el caso de los circuitos puramente inductivos o capacitivos. A estapotencia que est en trasiego entre el generador y la carga (que no es consumida) sedenomina potencia reactiva, que se representa por Q y se mide voltio-amperiosreactivos (VAr). Es una potencia devuelta al generador como consecuencia de ladescarga de condensadores o de la transformacin de energa magntica en corrien-te (f.e.m.) en las bobinas.

En un sistema elctrico, la potencia reactiva viene dada nicamente por la poten-cia desarrollada en los componentes reactivos (bobinas o condensadores); Q = I2 X.

1.5.3 POTENCIA APARENTE (S)

Es la potencia total (aparente) que entrega el generador (fig.1.16); o sea, la queda el producto S = V I. Prcticamente, se puede hallar midiendo la tensin e inten-sidad del generador. Se expresa por S y se mide voltio-amperios (VA). Es una poten-

Figura 1.16.

cia aparente porque, si hay cargas reactivas, parte de dicha potencia es reactiva, osea, devuelta al generador.

La potencia aparente es la suma vectorial de la potencia activa y la reactiva. Sepuede expresar por:

siendo su mdulo (S) y argumento (desfase) ():

1.5.4 FACTOR DE POTENCIA (COS )

Es la relacin que hay entre la potencia activa y la aparente:

potencia activaFactor de potencia = potencia aparente

Es un indicativo del porcentaje de potencia aparente que se transforma enpotencia activa. En el caso que no exista potencia reactiva, circuito puramente resis-tivo, el valor de la potencia activa es igual al de la aparente (P = S), y el factor depotencia es 1. Y en el caso de circuitos puramente inductivos (o capacitivos), don-de no existe potencia activa (P = 0), el valor de la potencia aparente es igual al de lapotencia reactiva (S = Q), el factor de potencia es entonces 0.

As, pues el factor de potencia es un valor que varia entre 0 y 1. Y, como msadelante se explica, este valor coincide con el coseno del ngulo de desfase () quehay entre la tensin y la corriente:

PFactor de potencia = S = cos

= 0 cos = 1 (Circuito puramente resistivo) = 90 cos = 0 (Circuito puramente capacitivo o inductivo)

El desarrollo de las frmulas fundamentales de la potencia en c.a. se puedehacer como a continuacin, resumidamente, se indica.

Como se sabe, las ondas senoidales se pueden ver como magnitudes vectoria-les, y todo vector se puede descomponer en dos componentes perpendiculares (des-fasadas 90 entre si). As, una intensidad (I) con un cierto desfase () respecto a latensin (V), vectorialmente, equivale a dos componentes de intensidad desfasadasentre si 90 (fig.1.17). A la componente en fase con la tensin se llama intensidadactiva, y viene dada por:

Iactiva = I cos

PQ

tan 1=22 QPS +=

QPS +=

'' #

% %

Figura 1.18. La suma vectorial de la potencia activa (P) y la reactiva (Q) da lugar a lapotencia total cedida por el generador: potencia aparente (S).

Figura 1.17. Una intensidad I con un desfase , al ser una magnitud, vectorial, se puededescomponer en dos componentes de intensidad perpendiculares; uno en fase con la

tensin (intensidad activa) y el otro desfasado 90 (intensidad reactiva).

Y a la componente desfasada (90) se llama intensidad reactiva, que es

Ireactiva = I sen

Y, obviamente, la suma vectorial de dichas componentes es la intensidad total:

Como se deduce de los grficos de ondas de las figuras 1.8, 1.11 y 1.15, nica-mente se produce una potencia activa cuando las ondas de tensin y corriente vanen fase. As, pues, solo producir potencia activa la componente de la corriente queest en fase con la tensin, cuyo valor se deduce que es:

P = V I cos

La componente de la intensidad desfasada 90 es la que da lugar a la potenciareactiva, cuyo valor es:

Q = V I sen

Y, en base a este desarrollo, como la potencia aparente es la suma vectorial dela potencia activa y la reactiva, se obtiene lo que se denomina tringulo de poten-cias (fig.1.18). Si en vez de tomar a la tensin como referencia (eje x) se toma a laintensidad, entonces, es el vector tensin el que se puede descomponer en una com-ponente activa y otra reactiva, y el tringulo de potencias sale al revs. A veces serepresenta de dicha forma.

Un resumen sobre este muy importante tema se muestra en la figura 1.19.

22reativaactiva III +=

Figura 1.19. Resumen sobre potencia en c.a.

1.6 EJERCICIOS DESARROLLADOS

1.6.1 Clculo de las potencias en el circuito inductivo

En el caso del circuito puramente inductivo de la figura 1.9, tenemos:

XL = L = 314,16 0,5 = 157

Tngase en cuenta que, normalmente, si no se especifica nada, los valores detensin y corriente son eficaces.

Potencia aparente (S):

S = V I = 14,14 0,09 = 1,27 VA

Potencia activa (P):

Al ser un circuito puramente inductivo, como ya se sabe por concepto, la poten-cia activa es cero, lo cual se verifica tambin por clculo. Como el ngulo de desfa-se entre la tensin y la corriente es 90, y cos 90 = 0, se obtiene:

P = V I cos = 14,14 0,09 cos 90 = 0 W

El factor de potencia del circuito puramente inductivo, como es obvio, es cero:

Esto indica de que no existe potencia activa (consumida); toda la potencia apa-rente es reactiva, como se verifica a continuacin.

Potencia reactiva (Q):

Q = V I sen = 14,14 0,09 sen 90 = 1,27 VAr

Como se comprueba, este valor coincide con el de la potencia aparente, y es lapotencia desarrollada en la bobina:

Q = I2 XL = 0,092 157 = 1,27 VAr

0=== CosSP

potenciadeFactor

AXVI

L

09,0157

14,14===

VVVtv P 14,142

202

16,314sen20 ===

(

1.6.2 Clculo de las potencias en el circuito capacitivo

En el caso del circuito puramente capacitivo de la figura 1.13, tenemos:

Potencia aparente (S):

S = V I = 7,07 0,104 = 0,738 VA

Potencia activa (P):

Al ser el circuito puramente capacitivo el ngulo de desfase entre la tensin yla corriente es 90, y como cos 90 = 0:

P = V I cos = 7,07 0,104 cos 90 = 0 W

El factor de potencia del circuito, como es obvio, es cero:

No existe potencia activa; toda la potencia aparente es reactiva.

Potencia reactiva (Q):

Q = V I sen = 7,07 0,104 sen 90 = 0,738 VAr

Como se comprueba, este valor coincide con el de la potencia aparente, y es lapotencia desarrollada en el condensador:

Q = I2 XL = 0,1042 67,7 = 0,738 VAr

1.7 EJERCICIOS PROPUESTOS

1.1 Dar una breve explicacin sobre el concepto de resistencia puramentehmica.

0cos === SPpotenciadeFactor

AXVI

L

104,07,67

07,7====

==

7,671047,0416.31

116C

X C

VVVtv P 07,72

102

416.31sen10 ===

1.2 A una resistencia de 20 W se le aplica una tensin alterna de f = 1000 Hzy de 10 V de pico. Hallar:

a) El valor eficaz de la intensidad que circular por la resistencia.b) El valor de pico y eficaz de la potencia disipada.c) La expresin de la corriente en el dominio del tiempo.

1.3 Explicar resumidamente el concepto de reactancia inductiva.

1.4 Calcular el valor de reactancia de una bobina de L = 3 H cuando se leaplica una tensin de f = 5 kHz.

1.5 Explicar resumidamente el concepto de reactancia capacitiva.

1.6 Cul ser el valor de reactancia de un condensador de 4,7 F a la fre-cuencia de 50 Hz.

1.7 A una bobina de 2 H se le aplica una tensin dada por: v = 24 sen 31.416 t.a) Calcular el valor eficaz de la intensidad que circular.b) Determinar la expresin de la intensidad en el dominio del tiempo.d) Calcular el valor de la potencia reactiva.

1.8 A un condensador de C = 470 nF se le aplica una tensin cuya expresinen el dominio del tiempo es v = 170 sen 314,16 t.

a) Determinar la expresin de la intensidad instantnea.b) Calcular el valor eficaz de la intensidad.c) Calcular el valor de la potencia reactiva.

1.9 Si en un aparato elctrico, con cargas inductivas, alimentado a 220 V, semide una intensidad de 12 A y se sabe que la potencia consumida (acti-va) es 2,2 kW, hallar:

a) El factor de potencia.b) El valor de potencia reactiva.c) Dibujar el tringulo de potencias.

2.1. INTRODUCCIN A LOS NMEROS COMPLEJOS

Aunque la denominacin de nmeros complejos o notacin compleja puedeindicar lo contrario, es un procedimiento de clculo sencillo y de elevado inters enlos circuitos de corriente alterna (c.a.) y, en general, cuando se tiene que operar conmagnitudes de tipo vectorial. Aunque si es cierto que si, en un principio, se le da unenfoque abstracto y matemtico (cosa que ocurre en muchos textos, y que se inten-tar que no sea este el caso) puede resultar una materia ardua y exasperante; quizpor ello hasta muchos profesionales siguen sin saber utilizar est elegante y prcti-ca tcnica de clculo, e incluso la rehuyen.

Bien, sera un logro pues si mediante esta introduccin el estudiante (o aque-llos profesionales interesados) es capaz de entender y aplicar la notacin compleja,o al menos interesarse por el tema.

Como ya se ha dicho, sta es una forma de clculo muy conveniente conocerya que su aplicacin resulta muy eficaz cuando se tienen que hacer operaciones convalores que llevan asociado un cierto ngulo, como es caso de las reactancias, impe-dancias y tensiones e intensidades de c.a.

Normalmente se opera con los valores eficaces de las tensiones e intensidades(que se deben representar en maysculas, V e I), y se pueden utilizan los mismosmtodos que en los circuitos de corriente continua (Ohm, Kirchoff, Thevenin)teniendo en cuenta tambin en los clculos los ngulo de desfase.

De esta manera, en los resultados de las operaciones nos aparecen tambin losvalores de desfases resultantes. Las operaciones donde aparecen valores vectorialesse pueden desarrollar entonces de una forma algebraica, sin necesidad de realizargrficos. Bueno, de no utilizar la notacin compleja, otras alternativas posibles son:

- Por el mtodo grfico de dibujar y operar con los vectores (u ondas) a escala;una labor casi artesanal, que requiere una cierta dosis de arte.

- Operar con los vectores aplicando trigonometra (teorema de los senos, teore-ma del coseno, etc.); una mezcla de procedimiento grfico y matemtico.

- O bien, algo que da buen resultado y es similar al calculo por complejos; apli-car la descomposicin de los vectores en sus dos componentes (horizontal y verti-cal), y hacer las operaciones siempre con vectores en la misma direccin o perpen-diculares.

Captulo 2

Introduccin al clculo decircuitos mediante nmeroscomplejos

Para terminar con esta introduccin, tngase en cuenta que las operaciones conlos nmeros complejos, que en un principio pueden parecer complicadas, se puedenrealizar de una forma muy rpida y sencilla por medio de las calculadoras (que dis-pongan de esta funcin, siendo as la mayora (del tipo cientficas sencillas) y cuyoprecio es muy asequible.

2.2 EL OPERADOR J (UNIDAD IMAGINARIA)

El smbolo j se denomina unidad imaginaria, y se puede definir como un enteabstracto al que se atribuye la propiedad de que j2 = 1, por lo que . Se ori-gina en el mundo de las matemticas para resolver ecuaciones donde aparecen ra-ces cuadradas de nmeros negativos, tales como: X2 + 1 = 0 X = -1. Por ello,su representacin original es i (que viene de imaginario); pero en su aplicacin a laelectricidad se representa por j, para evitar confusiones con la i de intensidad.

Para simplificar esta introduccin, desde el punto de vista geomtrico, el ope-rador j hace que una magnitud puede girar una ngulo de 90. Si se multiplica unvalor por el operador j hace que dicho valor gire un ngulo de 90 hacia la izquier-da (positivo, en el sentido trigonomtrico). Y si se multiplica por j, entonces el giroes de 90 pero en sentido inverso, o sea, hacia la derecha (sentido horario). Y en basea esta propiedad, adems de en la resolucin de ecuaciones matemticas, su aplica-cin se ha extendido hacia las operaciones donde aparecen magnitudes con un ngu-lo asociado, como es el caso de los vectores. Y como las tensiones e intensidadesalternas se pueden ver como magnitudes vectoriales (fasores), entonces se puedeaplicar este mtodo de clculo tambin a los circuitos de alterna, lo cual se conocepor: clculo por nmeros complejos o simplemente notacin compleja. Ello nos per-mite representar y operar con las magnitudes elctricas y sus ngulos de desfase aso-ciados.

En la definicin de nmero complejo aparece la suma de dos componentes; unoque se llama componente real (no tiene desfase) y otro componente imaginario (quesi tiene desfase); de ah la denominacin de complejo. Es, por ejemplo, la suma deuna resistencia (R) y una reactancia inductiva (XL) , lo cual da lugar a lo que se deno-mina impedancia (Z); en la notacin compleja se representa por: Z = R + j XL.

Veamos a continuacin cmo opera geomtricamente el operador j y cmo sededuce que su valor es .

2.2.1. El operador j hace girar un vector 90

En la figura 2.1 se muestra dos vectores (de mdulo a) en sentido contrario, osea, desfasados 180.

1=j

1=j

Figura 2.1.

Si el valor +a se multiplica por -1 se obtiene el valor a. Y si lo que se multi-plica por -1 es el valor a se obtiene +a.

O sea:

As, al multiplicar por -1 se pasa a la cantidad contraria, lo cual equivale a ungiro de 180 (media vuelta). Se puede decir pues que multiplicar por -1 es una for-ma algebraica de hacer que un vector gire 180.

Si en vez de multiplicar por -1 se hace por el operador j, entonces los giros sonde 90. Tenemos as que:

- 1 es el operador algebraico que hace girar un vector 180j es el operador algebraico que hace girar un vector 90

Observemos el diagrama siguiente (figura 2.2.).

Al multiplicar +a por j se obtiene j a (vector OC):

+a j = j a El vector OA gira 90 hacia la izquierda (sentido antihorario)

Al multiplicar el vector +a por - j se obtiene j a (vector OD):

+a ( -j ) = - j a El vector OA gira 90 hacia la derecha (sentido horario)

horario)sentidoen180de(GiroOA a OBdepasa Se)1(o)antihorarisentidoen180de(GiroOB aOAdepasa Se)1(

+=

=+

aa

aa

Figura 2.2.

Al multiplicar 3 veces +a por j se obtienen 3 giros de 90 hacia la izquierda; seobtiene el vector OD:

+a (j j j ) = +a j3 El vector OA gira 3 90 = 270 hacia la izquierda.

Y si OA se hubiera multiplicado 4 veces por j se llegara a la posicin de ini-cio, ya que recorrera un ngulo de 360 (una vuelta completa):

As, est claro que el paso del valor +a (vector OA) al valor a (vector OB) sepuede expresar por:

(+a j) j = +a j2 = -a

Si dividimos por a se obtiene que:

a j2 = -- a Y esto tambin se puede hallar simplemente pensando que al multiplicar por j2

se produce un giro de 180 (sentido antihorario), que es equivalente a multiplicar por-1; de lo cual se deduce que: j2 = - 1 y por tanto: .

La denominacin de nmero imaginario se basa en que no es calculable(cualquier nmero negativo elevado al cuadrado da un valor positivo).

Normalmente, se pone el operador j delante de la variable y no se ponen ni lospuntos de multiplicacin ni los signos +.

Algunos clculos interesantes sobre el operador j, son:

De ellos, en especial, conviene recordar de cara a la prctica:

1

1

1

4

3

2

=

=

=

=

jjj

jj

( )

1111

111

11

11

1

2

2

234

23

22

=

=

=

===

====

===

==

=

j

jjjj

jj

jj

jjjjjjjjjjj

jj

1

1=j

112 == jj

Ya, aplicando la propiedad que tiene el operador j de poder hacer que una mag-nitud gire un ngulo de 90, la resistencia y reactancias se pueden representar de lamanera siguiente (fig.2.3):

Dichos desfases son de la tensin respecto a la intensidad. Y esto coincide conlas representaciones vectoriales tpicas de estos componentes, como ya se puede irintuyendo y se ver en captulos siguientes.

2.3 CONCEPTO DE NMERO COMPLEJO

Se define como nmero complejo a la suma de un valor real con un imaginario,siendo el smbolo j lo que da origen a dicha a la denominacin, y se utiliza para dis-tinguir entre las componentes denominadas real (eje horizontal) e imaginaria (ejevertical). Los nmeros complejos los representaremos en negrita (por ejemplo, Z)para distinguir entre el mdulo (longitud del vector, Z), y la magnitud vectorial(mdulo ms argumento), como se muestra en la figura 2.4.

Segn el sentido trigonomtrico, los ngulos se consideran positivos () si elsentido de rotacin (que se indica por una flecha curvada) es contrario al de las agu-jas del reloj (sentido antihorario); si es al revs (sentido horario), el ngulo es nega-tivo (- ).

abajohacia vector retraso;en90deDesfase:puraCapacidadarribahaciartical vector veadelanto;en90deDesfase:pura aInductanci

horizontal vector desfasa;No:pura aResistenci

C

L

XjXj

R

Figura 2.3. Ilustracin sobre la representacin en la notacin compleja de la resistencia,reactancia inductiva y reactancia capacitiva.

Los vectores (fasores, en el caso de la c.a.), al ser magnitudes con un valor yun sentido, se pueden representar por tanto como nmeros complejos. En la figura2.5 se muestra un ejemplo. Se trata de un vector cuyo mdulo es 5 y desfasado unngulo (argumento) de 53,1 (respecto al eje horizontal, en sentido antihorario). Estoaplicado a la electricidad, puede ser una intensidad (eficaz) de 5 A con una desfasede 53,1, cuya expresin analtica es:

La expresin del vector en la forma compleja es Z = 3 + j4, que equivale a unmdulo 5 y argumento 53,1, como vemos a continuacin.

Como la parte imaginaria (que vale 4) y la real (que vale 3) forman un tringu-lo rectngulo, aplicando Pitgoras se obtiene que el valor (mdulo) del vector es:

)1,53(25 += tSeni

Figura 2.4. Ilustracin sobre las componentes de un nmero complejo.

Figura 2.5. Ejemplo de un nmero complejo.

Y el ngulo, por trigonometra, es el arco tangente (tan 1):

De hecho, lo que se ha mostrado aqu es la representacin de un vector en susdos formas ms utilizadas; la polar y la binmica.

Un ejemplo de varias cantidades en notacin compleja (que pueden ser vecto-res) se muestra en la figura 2.6. A un eje de coordenadas de este tipo, donde apare-ce el operador j, se llama plano complejo.

1,535 =43 j+=Z

1,5334

tan 1 ==

54343 22 =++= jZ

Figura 2.6. Representacin grfica de varios nmeros complejos.

2.4. FORMAS DE EXPRESIN DE UN NMERO COMPLEJO

Bsicamente, nos resultan interesantes tres formas de expresin de los nmeroscomplejos, que son la Binmica, Polar y Trigonomtrica, en especial las dos pri-meras.

2.4.1. Forma binmica

Consiste en representar el nmero complejo mediante sus componentes real eimaginaria:

O sea, se basa en el diagrama de coordenadas (plano complejo), que se ha mos-trado anteriormente (fig. 2.6).

Esta forma de expresin tiene especial inters porque es de la nica manera enque se pueden hacer las operaciones de suma y resta de los nmeros complejos. (Ytambin se pueden hacer las operaciones de multiplicar y dividir).

2.4.2. Forma trigonometrica

Se basa en descomponer un vector en sus componentes vertical y horizontal, yrepresentar dicho vector por expresiones trigonomtricas. Como se muestra en lafigura 2.7, el vector representado por su mdulo (Z) y argumento () se puede des-componer en sus dos componentes, que vienen dadas por:

bja +=Z

Figura 2.7. Ilustracin sobre las partes de un nmero complejo, representado en la formabinmica y trigonomtrica.

a = Z Cos

b = Z Sen

Y como: Z = a + j b Z = Z Cos + j Z Sen = Z (Cos + j Sen )

Siendo Z el mdulo y el argumento, cuyo valor se deduce que es:

2.4.3. Forma polar

Es la forma de representacin ms importante en la prctica, junto con la for-ma binmica.

El vector se representa dando su valor (mdulo) y desfase (argumento), de lamanera:

A continuacin se muestran unos ejemplos (fig.2.8).

En la forma polar es como ms fcilmente se realizan las operaciones de mul-tiplicar y dividir, como veremos posteriormente. Y como la nica forma de realizarlas operaciones de suma y resta es en la forma binmica, dichas formas de expre-sin son las ms usuales en la prctica.

Mdulo Argumento

= ZZ

a

bbaZ

1

22

tan =

+=

Figura 2.8. Nmeros complejos representados en la forma polar.

La aplicacin de la notacin compleja a los componentes resistencia, inductan-cia y capacidad da lugar a la representacin que se muestra en la figura 2.9. Comola resistencia no produce desfase, se puede representar como un nmero complejocuya parte imaginaria es nula, o sea:

Resistencia: R 0 = (R + j0) No hay desfase

Pero la inductancia y capacidad pura, puesto que producen una desfase de 90entre la tensin e intensidad, se representan por:

2.4.4. Ejercicio de ejemplo: Representacin en la formabinmica, polar y trigonomtrica

Como resumen de estas tres formas de representacin de los nmeros comple-jos, veamos a continuacin un ejercicio de expresin de las tres formas que se hanexplicado. Partimos de la expresin en forma binmica: Z = 6 + j5

Figura 2.9. Ilustracin sobre las formas usuales de representacin en la notacincompleja de la resistencia, reactancia inductiva y reactancia capacitiva.

90deRetrasocapacitivaReactancia

90deAdelantoinductivaReactancia

)0(90 :)0(90 :

=+=

CC

LL

XjXXjX

Expresin en forma polar:

Esto se muestra grficamente en la figura 2.10.

Expresin en forma trigonomtrica:

Conociendo el mdulo y argumento, la expresin en forma trigonomtrica essencilla de obtener:

De donde a su vez se comprueba que coincide con la expresin en forma bin-mica:

6 j 5

56408,7408,7 jSenjCos +=+=Z

=++= 408,7408,7 SenjCosSenZjCosZ Z )4040(8,7 SenjCos +

8,756 22 =+=Z

Argumento tan=

!" #

Figura 2.10. Ejemplo de nmero complejo representado en la forma binmica y polar.

Mdulo

Argumento 4065

tan 1 =

408,7 =Z

Argumento

j 5

Se obtienen as tres expresiones diferentes del mismo vector:

En la prctica, normalmente slo se utilizan la forma binmica y polar; por ello,se tiene que tener claro la conversin entre dichas formas de expresin. Teniendo encuenta la figura 2.7 (vista anteriormente), la conversin se basa en las operaciones:

Como complemento a esto, conviene tener en cuenta que cuando aparezcan lasexpresiones ( a + j b) ( a j b), el vector se encuentra en el segundo o tercer cua-drante de la circunferencia (ngulo de desfase entre 90 y 270); entonces, se tieneque sumar 180 al valor del ngulo dado por: (teniendo en cuenta lossignos de a y b). Es decir, el ngulo (argumento) del vector vendr dado entonces

por: .Otra consideracin a tener en cuenta es que el coseno sale igual tanto si el ngu-

lo es positivo como negativo; por ello, cuando se hace un coseno se puede prescin-dir del signo del ngulo. En cambio, el seno sale con el mismo signo del ngulo, porlo cual se debe tener en cuenta dicho signo. O sea, que:

Sen (- ) = - Sen

Cos = Cos (- )

2.5 EJERCICIOS DESARROLLADOS

Conversin de las siguientes expresiones binmicas a polares: a) 3 + j 4b) 2 j 6c) 3 + j 4d) - 3 j 4

180tan 1 += a

b

a

b1tan

Binmica Polar Trigonomtrica

56 j+=Z 408,7 = = )4040(8,7 SenjCos +

Respuestas:

a)

b)

c)

d)

Estos dos ltimos ejemplos (c y d) se han puesto para hacer que aparezca elcaso de vectores en el segundo y tercer cuadrante (ngulos de 90 a 270); en dichocaso, para obtener el ngulo de desfase respecto al punto de referencia (0), se tieneque sumar 180 al valor que nos de (teniendo en cuenta los signos de a y b).

Por otra parte, hay que tener en cuenta que un ngulo positivo (sentido antiho-rario) es equivalente a otro ngulo negativo (sentido horario), por lo cual nos pode-mos encontrar con expresiones con valores de ngulo diferentes pero que equivalena lo mismo. Por ejemplo, en el ejercicio anterior (d) los 233,1 positivos (desfase enadelanto) son equivalente a 126,9 negativos (desfase en retraso); en ambos casos,el vector se encuentra en la misma posicin (fig.2.11d). Se puede poner pues: 5 233,1 = 5 -126,9

a

b1tan

1,2331,531801,5334

tan

52543

1

22

=+==

==+=

Z 5 233,1 = -3 - j 4

9,126)1,53(1801,5334

tan

52543

1

22

=+==

==+=

Z 5 126,9 = -3 + j 4

5,7126

tan

32,64062

1

22

=

=+=

Z 6,32 -71,5 = 2 j 6

1,5334

tan

52543

1

22

==

==+=

Z 5 53,1 = 3 + j 4

En la figura 2.11 se muestran los resultados de los ejercicios de forma grfica.

Conversin de las siguientes expresiones polares a binmicas:

$

Figura 2.11. Resultados de los ejercicios propuestos.

a) 220 30

b) 24 -50

a) 11030220

5,19030220=

=

SenCos

190,5 + j 110 = 220 30

2.6 OPERACIONES BSICAS CON LOS NMEROS COMPLEJOS

Utilizando los nmeros complejos se pueden realizar las operaciones bsicascomo suma, resta, multiplicacin, etc., de la misma manera que se realiza con lascantidades normales; aunque, en este caso, se opera con magnitudes vectoriales,como pueden ser fuerzas, tensiones y corrientes alternas, etc.

Aunque pueden realizarse otras operaciones, nos basaremos slo en la suma,resta, multiplicacin y divisin por ser las ms usuales en la prctica.

2.6.1. Aplicacin de la calculadora

Es conveniente saber que las operaciones con nmeros complejos se puedenrealizar de una forma muy rpida y sencilla por medio de las calculadoras. Obvia-mente, tienen que ser calculadoras que dispongan de esta funcin, que son lamayora (del tipo cientficas) y son muy baratas (por ejemplo, la Casio fx-100W, quees una de las que ms se ven en el aula). De esta manera, las conversiones entre lasformas polar y binmica resultan muy sencillas y rpidas, y tambin se pueden rea-lizar muy fcilmente todas las operaciones bsicas como suma, resta, multiplica-cin, etc. En este libro, por cuestiones didcticas, se prefiere poner el desarrollocompleto de las operaciones, aunque en algunos casos se supondr la utilizacin decalculadora, en especial, en las conversiones binmica-polar. Es conveniente saberque la forma de expresin binmica tambin se conoce por forma rectangular, y ases como suele representarse en las calculadoras.

2.6.1.1 Ejemplo de operaciones de conversin mediantecalculadora

A modo de ejemplo, la conversin entre las formas binmica y polar con cal-culadora (Casio fx-100W, que es una de las ms usuales), que son las operacionesms frecuentes que se tienen que hacer, es de la forma (fig.2.12 y 2.13):

Hay que considerar que los nmeros complejos se pueden presentar tambinincompletos, o sea, con algunos de sus factores (real o imaginario) nulo. Se puedetener:

bjbjaja

=+==

=+==

00realValor00 imaginarioValor

ZZ

%& $

b) 38,18)60(24

42,155024=

=

SenCos

15,42 - j 18,38 = 24 -50

Es el caso, por ejemplo, de una inductancia pura o resistencia pura; en dichocaso, la expresin de la impedancia, que es una cantidad compleja (suma de resis-tencia y de reactancia), es:

LLL XXjXjRRjRXjR

=+=+=

=+=+=

0purainductivaReactancia0pura aResistenci

ZZ

Figura 2.12. Ejemplo de la secuencia para la conversin de complejos de la formabinmica a polar con la calculadora (Casio, fx 100W).

2.6.2 Suma de nmeros complejos

En principio, hay que saber que las operaciones de suma y resta slo se puedenrealizar en la forma binmica. As, si se tienen expresiones en forma polar y se tie-ne que hacer una suma (o resta), se tiene que convertir la expresin polar a la expre-sin binmica (y, despus, si interesa, el resultado se vuelve a la forma polar).

La suma se lleva a cabo sumando por separado las componentes reales e ima-

Figura 2.13. Ejemplo de la secuencia para la conversin de complejos de la forma polar abinmica con la calculadora (Casio, fx 100W).

ginarias de los operandos; el resultado de dichas sumas ser el nmero complejoresultante. En general, esto es:

Ejemplo 2.1

En la figura 2.14 se representa de forma grfica el resultado de dicha suma..

Adems de el resultado dado por la suma de los nmeros complejos, por sim-ple observacin grfica (por la regla de completar el paralelogramo) tambin sededuce el resultado. No se debe olvidar el significado geomtrico que tiene unnmero complejo; lo que se ha hecho es sumar dos vectores; vemos, pues, quemediante los nmeros complejos se pueden efectuar operaciones geomtricas de unaforma algebraica.

=+=+ )43()26(21 jjZZ 63 j

4326

2

1

jj=

=

ZZ

)()()()( 2121221121 bbjaabjabja +++=+++=+ ZZ

222

111

bjabja

+=

+=

ZZ

$

Figura 2.14. Representacin grfica de la suma de dos nmeros complejos.

2.6.2.1 Ejemplo de aplicacin

A modo de ejemplo de aplicacin, vamos a ver el desarrollo para sumar las tresondas senoidales que se muestran en la figura 2.15. Este es un ejercicio que seencuentra tambin en el tomo II (apartado 6.2.1.4), desarrollado aplicando la des-composicin vectorial. De esta manera, adems, esto nos vale tambin para compa-rar entre el calculo por complejos y por descomposicin de vectores.

Estas tres ondas representadas en su forma analtica es:

Como se sabe, el valor que multiplica al Seno es la tensin de pico de la onda(VP) y t representa su frecuencia. El ngulo de desfase, para facilitar su compren-sin, se expresa en grados, pero a fines de clculo se tendra que pasar a radianes (yaque = 2 f rad/s).

Pues dichas ondas se pueden expresar en la forma polar sencillamente por:

)90(10)45(5

20

3

2

1

+=

+=

=

tSenvtSenvtSenv

9010455020

3

2

1

==

=

VVV

)90(10)45(5

20

3

2

1

+=

+=

=

tSenvtSenvtSenv

%& $$

Figura 2.15. Tres ondas senoidales con diferente desfase para realizar su suma.

Cuya representacin grfica se muestra en la figura 2.16.

Una observacin, es que normalmente en la notacin compleja se opera con losvalores eficaces de las ondas y en este caso, por simplificacin, se har con los valoresde pico. Se recuerda que el valor eficaz se obtiene por: .

Puesto que la suma slo se puede hacer en la forma binmica, haciendo la con-versin de polar a binmica (lo cual resulta sumamente sencillo con la calculadora),tenemos:

Realizando la suma se obtiene:

Pasando a la forma polar, tenemos:

O sea, la suma de las ondas representadas en la figura 2.15 da lugar a una ondaresultante con un valor de pico de 27,14 V y con un desfase de 29,9. Su expresinanaltica es:

)9,29(14,27 += tSenT v

9,2914,2753,1353,23 =+= jTV

53,1353,23 jT +=V

+++=+++++=++= )1053,3()53,320()100()53,353,3()020(321 jjjjT VVVV

100901053,353,3455

020020

3

2

1

jj

j

+==+==

+==

VVV

2P

RMS

VV =

$'

Figura 2.16. Representacin vectorial de las tres ondas de la figura anterior.

Puesto que hemos operado con los valores de pico de las tensiones en vez decon los eficaces, no ha sido necesario convertir la tensin resultante a valor de pico.

En la figura 2.17 se representa el grfico de ondas, resaltando la onda resultan-te y el diagrama vectorial correspondiente.

%& $#

Figura 2.17 . a) Diagrama de ondas con la onda resultante de la suma. b) Diagramavectorial resultante de la suma de las tres ondas. (Para facilitar la comprensin del

desarrollo, las tensiones estn en valor de pico (para que coincidan con los valores depico de las ondas).

2.6.3 Resta de nmeros complejos

La resta de los nmeros complejos se realiza de la misma manera que la suma,cambiando la operacin suma por la resta; se restan por separado las componentesreales e imaginarias de los operandos, siendo el resultado de dichas restas el nme-ro complejo resultante. De forma general, esto es:

Esto, puesto que una resta tambin se puede ver como una suma: A - B = A +(-B), es equivalente a sumar el sustraendo con signo contrario, por lo cual:

Ejemplo 2.2:

En la figura 2.18 se representa de forma grfica el resultado de dicha resta.

=++=+++=+= )42()25()42()25()42()25(21 jjjjjjZZ 63 j+

4225

2

1

jj

=

+=

ZZ

)()()()()()()( 221221122112121 bbjaabjabjabjabja +=++=+++= ZZZZ

)()()()( 2121221121 bbjaabjabja +=++= ZZ222

111

bjabja

+=

+=

ZZ

$

Figura 2.18. Representacin grfica de la resta de dos nmeros complejos.

Como se observa, el vector del complejo a restar (sustraendo) aparecen con sig-no contrario, por lo cual est en sentido contrario al original. Cuando en un nmerocomplejo se cambian los signos de la partes real e imaginaria se obtiene un complejode signo contrario, que equivale a un vector opuesto. Ejemplo, el opuesto de (1 - j4) es (-1 + j 4); grficamente, corresponde a dos vectores de igual mdulo pero ensentido contrario.

2.6.3.1 Ejemplo de aplicacin

Al igual que se ha hecho en el caso de la suma, veamos un ejemplo de aplica-cin a la electricidad.

Supongamos el nudo del circuito siguiente (fig.2.19), en el cual se tiene quehallar la intensidad i1 sabiendo que:

Aplicando Kirchhoff se sabe que el valor de i1 se obtiene por:

Para obtener i1 se tiene que efectuar pues una operacin de resta. Las expresiones analticas de iT e i2 anteriores nos dan el valor instantneo de

la intensidad (intensidad en funcin del tiempo), cuyo significado es: iT es una inten-sidad de 12 A de pico, de desfasada 90; en el caso de i2,se trata de una intensidad de 6 A de pico, tambin de f = 50 Hz, con un desfase de 45.

Hzf 50283,6

16,3142

===

+= 21 iiiT 21 iii T =

)4516,314(6)9016,314(12

2 +=

+=

tSenitSeniT

%& $

Figura 2.19. Circuito del ejercicio.

Primeramente pasaremos dichas expresiones a la forma polar, para lo cual loprimero que haremos es pasar los valores de la intensidad a su valor eficaz. Obte-nemos as:

Estas expresiones en forma polar nos indican que: la intensidad IT tiene unvalor eficaz de 8,48 A y su desfase es de 90. De forma anloga, I2 es de 4,24 A efi-caces y su desfase es 45. Dichas intensidades, como es obvio, son fasores, por loque tambin se puede decir que la intensidad IT tiene por mdulo 8,48 y por argu-mento 90.

Puesto que la resta, al igual que la suma, slo se puede realizar en la formabinmica, convertimos las expresiones polares en binmicas (aconsejablementemediante calculadora, dado su sencillez), obtenindose:

Efectuando la operacin de resta, tenemos:

Pasando el resultado a la forma polar:

As, la onda de intensidad I1 tiene un valor (eficaz) de 6,25 A y un desfase de118,7. Expresada en su forma analtica, esto es:

Como en las expresiones analticas tiene que ponerse el valor de pico y en la ondasenoidal es , siendo I el valor eficaz, en la expresin aparece .

2.6.4 Operacin de multiplicar

La multiplicacin de los nmeros complejos se hace al igual que los binomiosalgebraicos, teniendo en cuenta que cuando aparezca j2 (lo cual es muy probable) sesustituya por 1. Puesto que al multiplicar pueden aparecer potencias del operadorj, se tiene que tener en cuenta que : j2 = - 1, j3 = - j, j4 = 1, etc.

La operacin de multiplicar puede realizarse en la forma binmica o polar,siendo ms sencillo en la forma polar como veremos posteriormente.

225,62II P =

)7,11816,314(225,61 += tSeni

7,11825,648,53 =+= j1I

=+=+== 348,83)33(48,8121 jjjjT IIII 48,53 j+

334524,448,89048,8

22 jIjITT+==

==II

AI

AIT

24,426

48,82

12

2 ==

==

4524,49048,8

2 ==

IIT

'

2.6.4.1 Multiplicacin en la forma binmicaEn general, se tiene:

Como que j2 = - 1, el trmino j2 b1 b2 = - b1 b2. Por lo cual se puede poner:

Ejemplo 2.3:

Puesto que el trmino que: j 3 (- j 2) = j2 (-3 2 = (- 1 ) (-6) = 6, se obtiene que:

2.6.4.2 Multiplicacin en la forma polar

En la forma polar la multiplicacin resulta ms sencilla que en la forma bin-mica, como vamos a ver. Por ello, cuando se tienen expresiones binmicas y se tie-ne que multiplicar a veces puede resultar mejor pasar a la forma polar para hacer lasoperaciones y, despus, si conviene, el resultado se vuelve a la forma binmica.

La multiplicacin en la forma polar consiste en multiplicar los mdulos de lasexpresiones y sumar los argumentos (ngulos); el mdulo resultante es el productode los mdulos, y el argumento resultante la suma de los ngulos. Esto es, en gene-ral:

Ejemplo 2.4:

451830220

==

2

1

ZZ

153960)4518()30220( == 21 ZZ

22

11

==

ZZ

2

1

ZZ

21212211 ) +== ZZZZ21 ZZ

=++=++= )106()610(66101021 jjjjZZ 416 j

)2(323)2(525)22()35(21 jjjjjj +++=++= ZZ

2235

2

1

jj

=

+=

ZZ

)()()()()()( 122121212112212121 babajbbaabbbjabjaaa ++=++=ZZ

212

122121

21212121221121 )()()()()()(bbjbjabjaaa

bjbjabjbjaaabjabja+++=

=+++=++= ZZ

222

111

bjabja

+=

+=

ZZ

As, la multiplicacin de (5 + j3)(2 j2), realizada anteriormente en la formabinmica, podramos realizarla tambin pasndola a la forma polar y despus vol-vindola a la forma binmica. Esto es:

Dicho resultado, pasado a la forma binmica es:

Como es de esperar, el resultado es el mismo que el obtenido hacindolo en laforma binmica.

2.6.5 Operacin de dividir

La operacin de dividir, al igual que la multiplicacin, puede realizarse en laforma binmica o polar, resultando ms sencillo en la forma polar. Veamos los doscasos.

2.6.5.1 Divisin en la forma binmica

En la divisin de esta manera, adems de las operaciones tpicas de divisin depolinomios algebraicos, se requiere una operacin de simplificacin que se llamaracionalizar; consiste en multiplicar el numerador y el denominador