Leccion 5Primeras nociones topológicas

Vamos a estudiar ahora algunas nociones topológicas elementales, trabajando en un espaciométrico arbitrario. Empezamos estudiando el interior de un conjunto y los entornos de un punto,dos nociones directamente relacionadas con los conjuntos abiertos.

Seguidamente estudiamos los conjuntos cerrados, que son los complementos de los abiertos,y ligadas a ellos, las nociones de cierre, punto adherente, punto de acumulación, punto aisladoy frontera de un conjunto. De esta forma catalogamos las posiciones relativas que puede tenerun punto con respecto a un subconjunto de un espacio métrico.

5.1. Interior y entornos

En lo que sigue, E será un espacio métrico, cuya distancia denotamos por d, y T será latopología generada por d. Las nociones que vamos a estudiar son topológicas, sólo dependende la topología T y no se alteran al sustituir la distancia d por otra equivalente.

Todo A ∈ P(E) contiene un abierto, pues al menos /0⊂ A. Se define el interior de A, que sedenota por A◦, como la unión de todos los abiertos incluidos en A:

A◦ =⋃ {

U ∈ T : U ⊂ A}

Claramente, A◦ es abierto y A◦ ⊂ A. De hecho A◦ es el máximo abierto incluido en A , puessi U ∈ T y U ⊂ A, se tiene obviamente U ⊂ A◦. Por tanto, A es abierto si, y sólo si, A = A◦.Cuando x ∈ A◦, decimos que x es un punto interior de A, o que A es un entorno de x, ydenotamos por U(x) al conjunto de todos los entornos de x.

Si x ∈ A◦, existe U ∈ T con x ∈U ⊂ A, pero entonces, por ser U abierto y x ∈U , existeε > 0 tal que B(x,ε) ⊂U ⊂ A. Recíprocamente, si existe ε > 0 tal que B(x,ε) ⊂ A, tenemosx ∈ A◦, pues B(x,ε) ∈ T y x ∈ B(x,ε)⊂ A. Quedan así caracterizados el interior de un conjuntoy los entornos de un punto, en términos de bolas abiertas:

x ∈ A◦ ⇐⇒ A ∈ U(x) ⇐⇒ ∃ ε > 0 : B(x,ε)⊂ A

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Cuando E = R , tenemos x ∈ A◦ si, y sólo si, existe ε > 0 tal que ]x − ε , x + ε [⊂ A,luego el concepto de interior en espacios métricos generaliza el que ya conocíamos en R .

Volviendo al caso general, destacamos algunas propiedades de la familia U(x) de todos losentornos de un punto x ∈ E. Es obvio que, si A ∈ U(x) y A ⊂ C ⊂ E , entonces C ∈ U(x) :contener un entorno de x es lo mismo que ser entorno de x. Además, si A1 , A2 ∈U(x) , existenU1 , U2 ∈ T tales que x ∈U1 ⊂ A1 y x ∈U2 ⊂ A2 , pero entonces tenemos U1 ∩ U2 ∈ T yx ∈U1 ∩ U2 ⊂ A1 ∩ A2 , luego A1 ∩ A2 ∈ U(x) . Por inducción, la intersección de cualquier

familia finita de entornos de x es un entorno de x. Finalmente, conocer los entornos de todoslos puntos de E, equivale a conocer la topología, pues un conjunto es abierto si, y sólo si, esentorno de todos sus puntos.

5.2. Conjuntos cerrados

Dado C ∈P(E), decimos que C es un subconjunto cerrado de E, o simplemente un cerradode E, cuando su complemento E \C es abierto. Si no es necesario enfatizar el espacio métricoE, podemos decir que C es un conjunto cerrado, o simplemente un cerrado. Las propiedades dela topología se traducen equivalentemente en términos de conjuntos cerrados. Concretamente,denotando por C a la familia de todos los subconjuntos cerrados de E , tenemos

(1) /0 , E ∈ C

(2) D ⊂ C =⇒ ∩D ∈ C

(3) C , D ∈ C =⇒ C ∪ D ∈ C

Resaltamos que (2) asegura la estabilidad de C por intersecciones arbitrarias, mientras de (3)sólo podemos deducir que la unión de cualquier familia finita de cerrados es un cerrado.

Todo A ∈ P(E) está incluido en un cerrado, al menos A ⊂ E. Se define el cierre de A, quese denota por A , como la intersección de todos los cerrados en los que A está incluido:

A =⋂ {

C ∈ C : A ⊂C}

Es claro que A es cerrado y A ⊂ A . De hecho A es el mínimo cerrado que contiene alconjunto A, pues si C es cerrado y A⊂C, se tiene obviamente A ⊂C. Por tanto, A es cerradosi, y sólo si, A = A . Las operaciones de cierre e interior están claramente relacionadas:

Para todo subconjunto A de un espacio métrico E , se tiene:

E \ A = (E \A)◦ y E \A◦ = E \A

La comprobación de la primera igualdad es inmediata:

E \ A = E \(⋂ {

C ∈ C : A ⊂C})

=⋃ {

E \C : C ∈ C , A ⊂C}

=⋃ {

U ∈ T : U ⊂ E \A}

= (E \A)◦

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Para la segunda igualdad, basta aplicar la primera al conjunto E \A en lugar de A:

E \ E \A =(E \ (E \A)

)◦ = A◦ , luego E \A = E \A◦ �

Usando el resultado anterior podemos caracterizar los puntos del cierre de un conjunto A.Para x ∈ E tenemos x ∈ A si, y sólo si, E \A no es entorno de x. Esto equivale a que E \Ano contenga ningún entorno de x, es decir, a que todo entorno de x contenga puntos de A. A suvez, esto equivale a que toda bola abierta de centro x contenga puntos de A. En resumen:

x ∈ A ⇐⇒ U ∩ A 6= /0 ∀U ∈ U(x) ⇐⇒ B(x,ε) ∩ A 6= /0 ∀ε ∈ R+

Cuando esto ocurre decimos que x es un punto adherente al conjunto A, así que A es elconjunto de todos los puntos adherentes al conjunto A.

La noción de punto adherente tiene un significado intuitivo muy claro. Podríamos decir que,cuando x ∈ A , tenemos puntos de A tan cerca de x como queramos, así que la distancia delpunto x al conjunto A debería ser cero, aunque pueda ocurrir que x /∈ A . Vamos a formalizaresta idea, excluyendo el caso A = /0, que es trivial: /0 = /0. Para x ∈ E y /0 6= A⊂ E, definimosla distancia del punto x al conjunto A como el número d(x,A) ∈ R+

0 dado por

d(x,A) = ınf{

d(x,a) : a ∈ A}

Si x ∈ A , para todo ε > 0 tenemos a ∈ A tal que d(x,a) < ε , luego d(x,A) < ε , y deducimosque d(x,A) = 0. Recíprocamente, la última igualdad implica claramente que, para cada ε > 0exsite a ∈ A tal que d(x,a) < ε . En resumen:

A ={

x ∈ E : d(x,A) = 0}

Deducimos claramente que, si A tiene un sólo punto, A = {x} con x ∈ E , entonces A escerrado: para y ∈ A se tiene 0 = d(y,A) = d(y,x) , luego y = x . En vista de las propiedadesde los conjuntos cerrados, deducimos:

En cualquier espacio métrico E, todo subconjunto finito de E es cerrado.

Como simple curiosidad, conviene comentar que, en un espacio topológico, puede ocurrir queun conjunto con un sólo elemento no sea cerrado.

5.3. Puntos de acumulación y puntos aislados

Los puntos adherentes a un conjunto A pueden ser de dos tipos excluyentes. Decimos que xes punto de acumulación de A, cuando x es adherente al conjunto A\{x} , es decir, x∈ A\{x} .Esto significa que todo entorno de x , o toda bola abierta de centro x, contiene puntos de Adistintos de x. Denotamos por A ′ el conjunto de todos los puntos de acumulación de A:

x ∈ A ′ ⇐⇒ U ∩(A\{x}

)6= /0 ∀U ∈ U(x) ⇐⇒ B(x,ε) ∩

(A\{x}

)6= /0 ∀ε ∈ R+

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De hecho, si x ∈ A ′, para todo ε > 0 se tiene que el conjunto Wε = B(x,ε) ∩(A \ {x}

)no sólo verifica que Wε 6= /0 , sino que es un conjunto infinito, lo que explica que llamemosa x punto de acumulación de A . En efecto, si para algún ε > 0, Wε es finito, basta tomarδ = mın{d(y,x) : y ∈Wε}> 0 para tener B(x,δ) ∩ (A\{x}) = /0 , luego x /∈ A ′ . Deducimosque si A es un subconjunto finito de E , entonces A ′ = /0 .

Pensemos ahora en los puntos adherentes a un conjunto que no sean puntos de acumulación.Tenemos x ∈ A \A ′ si, y sólo si, existe U ∈ U(x) tal que U ∩ A = {x}, o lo que es lo mismo,existe ε > 0 tal que B(x,ε) ∩ A = {x}, en cuyo caso decimos que x es un punto aisladode A , siendo claro entonces que x ∈ A . Por tanto, el conjunto de los puntos aislados de A esA \A ′ = A\A ′. Observamos también que A = A ′ ∪ A, luego A es cerrado si, y sólo si, A ′⊂A.

En el caso del espacio métrico E = R , para A ⊂ R y x ∈ R , tenemos x ∈ A ′ si, y sólosi, ]x− ε , x + ε [ ∩ (A \ {x}) 6= /0 para todo ε ∈ R+ , mientras que x es punto aislado de Acuando existe ε > 0 tal que ]x− ε , x + ε [ ∩ A = {x} . Vemos así que en R con la topologíausual, los puntos de acumulación y los puntos aislados de un subconjunto de R son los queya conocíamos, como ocurrió con los puntos interiores. Son las tres nociones que habíamosmanejado en R y hemos generalizado para poder usarlas en cualquier espacio métrico.

5.4. Frontera de un conjunto

Completemos ya la discusión de las posiciones relativas que puede ocupar un punto conrespecto a un subconjunto de un espacio métrico. Definimos la frontera de un conjunto A ⊂ E,que se denota por Fr(A), como el conjunto de todos los puntos adherentes al conjunto A queno sean interiores. Tenemos por tanto

Fr(A) = A\A◦ = A ∩ (E \A◦) = A ∩ E \A

donde, para la última igualdad, hemos usado la relación entre interior y cierre, ya conocida.Como consecuencia, Fr(A) es un conjunto cerrado y Fr(A) = Fr(E \A). Observamos tambiénque la topología de E queda determinada cuando conocemos la frontera de cada subconjunto,ya que A es abierto si, y sólo si, A ∩ Fr(A) = /0, mientras que A es cerrado si, y sólo si,Fr(A) ⊂ A. Por tanto, A es abierto y cerrado si, y sólo si Fr(A) = /0 , como ocurre cuandoA = /0 o A = E. En general, cada conjunto A ⊂ E da lugar a una partición del espacio E, másconcretamente:

E = A◦ ∪ Fr(A) ∪ (E \A)◦ con A◦ ∩ Fr(A) = A◦ ∩ (E \A)◦ = Fr(A) ∩ (E \A)◦ = /0

5.5. Intervalos en R

En R con la topología usual, tres de las nociones recién estudiadas eran ya conocidas y lasdemás se relacionan directamente con ellas, luego tampoco son nuevas, salvo la nomenclatura.No obstante, conviene hacer un breve repaso para motivar resultados que veremos después enotros espacios métricos. Empezamos por los subconjuntos más útiles de R , los intervalos.

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Si S es una semirrecta a la derecha y α = ınf S, tenemos claramente

S ◦ =]α , +∞[ , S = S ′ = [α , +∞ [ y Fr(S) = {α}

Análogamente, si S es una semirrecta a la izquierda y β = sup S, tenemos

S ◦ =] −∞ , β [ , S = S ′ =] −∞ , β ] y Fr(S) = {β}

Para α,β ∈ R , observamos que las semirrectas ]α , +∞ [ y ] −∞ , β [ son conjuntos abiertos,de ahí que las llamemos semirrectas abiertas, pero no son cerrados. Por su parte [α , +∞ [ y] −∞ , β ] son ejemplos de conjuntos cerrados que no son abiertos.

Si ahora J es un intervalo acotado no trivial y α = ınf J < sup J = β , tenemos

J ◦ =]α ,β [ , J = J ′ = [α , β ] y Fr(J) = {α , β}

Así pues, ]α , β [ es un conjunto abierto, de hecho una bola abierta como ya sabíamos, que noes cerrado. Por su parte, [α , β ] es, como su nombre indica, un conjunto cerrado, pero no esabierto. Finalmente los intervalos semiabiertos [α , β [ y ]α , β ] nos proporcionan ejemplos deconjuntos que no son abiertos ni cerrados.

Queda claro que un subconjunto de un espacio métrico puede ser a la vez abierto y cerrado,puede tener cualquiera de esas dos propiedades pero no la otra, y no tener ninguna. Pensar quecada una de esas propiedades es la contraria de la otra es, sencillamente, un disparate.

5.6. Bolas cerradas

Volviendo al caso general de un espacio métrico E, vemos algunos ejemplos inspirados enlos comentados para R . Empezamos por el ejemplo más típico de conjunto cerrado.

Para x ∈ E y r ∈ R+, la bola cerrada de centro x y radio r viene dada por

B(x,r) ={

y ∈ E : d(y,x) 6 r}

que ciertamente es un conjunto cerrado, como vamos a ver. Si z pertenece a su cierre, para todoε > 0 existe y ∈ B(z,ε) ∩ B(x,r) , con lo que d(z,x) 6 d(z,y) + d(y,x) < ε + r . Deducimosclaramente que d(z,x) 6 r , como se quería.

Como consecuencia, el conjunto

S(x,r) ={

y ∈ E : d(y,x) = r} = B(x,r)\B(x,r)

es cerrado, por ser la intersección de dos cerrados. Se dice que S(x,r) es la esfera de centro xy radio r , nomenclatura inspirada en el caso particular de R3 con la distancia euclídea.

Podría pensarse que el cierre de una bola abierta es la correspondiente bola cerrada y queel interior de una bola cerrada es la correspondiente bola abierta, pero enseguida veremos queen general, ambas afirmaciones son falsas. Por tanto, la notación que usamos para las bolascerradas no nos debe confundir: en general, B(x,r) no es lo mismo que B(x,r) .

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Ciertamente, para x ∈ E y r ∈ R+, de la inclusión obvia B(x,r) ⊂ B(x,r), siendo B(x,r)un cerrado y B(x,r) un abierto, deducimos que

B(x,r) ⊂ B(x,r) y B(x,r) ⊂[

B(x,r)]◦ (1)

pero ambas inclusiones pueden ser estrictas.

Basta pensar en un conjunto E con la distancia discreta, cuyos subconjuntos son todosabiertos, luego también son todos cerrados. En este caso, las dos inclusiones que aparecen en(1) se resumen en una, que además es obvia: B(x,r) ⊂ B(x,r) . Por tanto, si encontramos enE una esfera no vacía, ambas inclusiones serán estrictas. Pues bien, si E tiene al menos doselementos, para todo x ∈ E se tiene S(x,1) = E \{x} 6= /0.

Sin embargo, no todo está perdido, pues vamos a ver que, en todo espacio normado, lasdos inclusiones que aparecen en (1) son igualdades. Empiezan así a ponerse de manifiesto lasventajas de trabajar en un espacio normado, en vez de hacerlo en un espacio métrico arbitrario.

Si X es un espacio normado, para cualesquiera x ∈ X y r ∈ R+ se tiene:

B(x,r) = B(x,r) y B(x,r) =[

B(x,r)]◦

Por tanto: Fr(

B(x,r))

= Fr(

B(x,r))

= S(x,r) .

En vista de (1) basta probar dos inclusiones. Para la primera, dado y∈ B(x,r), debemos probarque y ∈ B(x,r) , cosa que es obvia si y ∈ B(x,r) , luego suponemos que ‖y − x‖ = r . Dadoε > 0 debemos encontrar un punto de B(x,r) ∩ B(y,ε) , y es natural buscarlo en el segmentoque va de y a x . Tomamos por tanto z = y + ρ(x − y) , donde ρ ∈ R se elige de forma que0 < ρ < mın{1 , ε/r}, y comprobamos que z ∈ B(x,r) ∩ B(y,ε) :

‖z − x‖ = (1 − ρ)‖y − x‖ < r y ‖z − y‖ = ρ‖x − y‖ = ρr < ε

Para la inclusión que queda, dado y ∈[

B(x,r)]◦, existe ε > 0 tal que B(y,ε) ⊂ B(x,r), de

donde queremos deducir que y ∈ B(x,r) , lo cual es obvio si y = x . En otro caso tomamosz = y + ρ(y − x) con 0 < ρ < ε/‖y − x‖ . Tenemos entonces,

‖z − y‖ = ρ‖y − x‖ < ε y ‖z − x‖ = (1 + ρ)‖y − x‖ > ‖y − x‖

La primera desigualdad nos dice que z ∈ B(y,ε) ⊂ B(x,r) , luego ‖z − x‖ 6 r , y entonces lasegunda nos da ‖y − x‖ < r , como queríamos. �

Consideremos ahora, siempre en un espacio normado X , un conjunto A verificando queB(x,r) ⊂ A ⊂ B(x,r) , donde x ∈ X y r ∈ R+ . Tenemos entonces claramente

B(x,r) = A◦ ⊂ A ⊂ A = B(x,r)

luego A sólo es abierto cuando A = B(x,r) , y sólo es cerrado cuando A = B(x,r) .

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5.7. Conjuntos discretos y conjuntos densos

Volvemos a inspirarnos en las propiedades topológicas de algunos subconjuntos destacadosde R . Pensemos por ejemplo en el conjunto N de los números naturales. Sabemos que

N◦ = N ′ = /0 , luego N = N = Fr(N)

Lo mismo podríamos decir de cualquier subconjunto finito de R , o del conjunto Z de losnúmeros enteros. En general, para un conjunto A ⊂ R , de ser A ′ = /0 se deduce obviamenteque todos los puntos de A son aislados. El recíproco no es cierto, tomando A = {1/n : n ∈N}sabemos que A ′ = {0} , luego todos los puntos de A son aislados, pero A ′ 6= /0 .

Pues bien, se dice que un subconjunto A de un espacio métrico E es discreto cuando todossus puntos son aislados, es decir, A ∩ A ′ = /0 . Nótese que A ′ = /0 si, y sólo si A es discretoy cerrado. Sea como siempre T la topología de E y TA la topología inducida en A . Entonces,A es discreto si, y sólo si, para cada x ∈ A , existe U ∈ T tal que U ∩ A = {x} , es decir,{x} ∈ TA . Como TA es estable por uniones arbitrarias, vemos que A es discreto si, y sólo si,TA es la topología discreta en A.

Un conjunto finito F ⊂ E es el ejemplo más sencillo de subconjunto discreto de E , quetambién es cerrado. Hemos visto que N es un subconjunto discreto y cerrado de R , mientras elconjunto A = {1/n : n ∈ N} es discreto pero no cerrado. La topología usual de cualquiera deestos conjuntos es la discreta, es decir, la distancia inducida en ellos por la distancia usual de Res equivalente a la distancia discreta.

La situación cambia drásticamente cuando consideramos el conjunto Q de los númerosracionales o el conjunto R\Q de los irracionales. Sabemos que

Q◦ = (R\Q)◦ = /0 pero Q ′ = (R\Q)′ = R

luego Q y R\Q no son abiertos ni cerrados. De hecho tenemos claramente

Q = R\Q = Fr(Q) = Fr(R\Q) = R

Como Q es numerable, vemos aquí un ejemplo de una familia numerable de cerrados cuyaunión no es un conjunto cerrado. Tomando complementos, R \Q es la intersección de unafamilia numerable de abiertos, pero no es abierto.

Para A ⊂ R , decir que A = R significa que B(x,ε) ∩ A 6= /0 para todo x ∈ R y para todoε > 0, pero esto equivale a que todo intervalo abierto acotado contenga puntos de A , que estanto como decir que A es denso en R . Vemos pues que la densidad de un conjunto en R ,que inicialmente se define usando el orden de R , es una propiedad topológica. Esto motiva lasiguiente definición.

Decimos que un subconjunto A de un espacio métrico E es denso en E cuando A = E .Esto equivale claramente a que todo abierto no vacío de E tenga intersección no vacía con A :

A = E ⇐⇒[U ∈ T , U 6= /0 ⇒ U ∩ A 6= /0

]

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Finalmente vamos a construir fácilmente subconjuntos discretos, y también subconjuntosdensos, de RN para cualquier dimensión N . Basta para ello considerar un producto cartesianode subconjuntos discretos o densos de R . Conviene previamente observar lo que ocurre con unproducto cartesiano de abiertos de R :

Si U1 , U2 , . . . , UN son abiertos de R , entonces el producto cartesiano U =N

∏k=1

Uk es un

abierto de RN . Además, todo abierto de RN se puede expresar como unión de productoscartesianos de abiertos de R .

Si x ∈U , para cada k ∈ IN tenemos x(k)∈Uk , luego por ser Uk abierto, existe rk ∈R+ tal que]x(k)− rk , x(k)+ rk [⊂ Uk . Tomando r = mın{rk : k ∈ IN} tenemos ]x(k)− r , x(k)+ r [⊂ Ukpara todo k ∈ IN . Por tanto, usando en RN la norma del máximo tenemos

B(x,r) =N

∏k=1

]x(k)− r , x(k)+ r [⊂N

∏k=1

Uk = U

y hemos probado que U es un abierto de RN . La segunda afirmación del enunciado es aúnmás clara: todo abierto de RN es unión de bolas abiertas para la norma del máximo, que sonproductos cartesianos de abiertos de R . �

Tenemos así una descripción de la topología usual de RN que no usa explícitamente ningunanorma o distancia concreta: los abiertos de RN son las uniones de productos cartesianos deabiertos de R . Usando esta descripción es ya inmediato comprobar lo siguiente:

Sean A1 , A2 , . . . , AN ⊂ R y sea A =N

∏k=1

Ak ⊂ RN . Se tiene:

(i) Si Ak es discreto para todo k ∈ IN , entonces A es un subconjunto discreto de RN .(ii) Si Ak es denso en R para todo k ∈ IN , entonces A es denso en RN .

(i) . Dado x ∈ A , para cada k ∈ IN , como x(k) ∈ Ak y Ak es discreto, existe un abierto Uk de

R tal que Uk ∩ Ak = {x(k)} , con lo que tomando U =N

∏k=1

Uk tenemos un abierto U ⊂ RN

tal que U ∩ A = {x} .

(ii) . Todo abierto no vacío V de RN contiene un conjunto de la forma U =N

∏k=1

Uk donde, para

cada k ∈ IN , Uk es un abierto no vacío de R . Al ser Uk ∩ Ak 6= /0 para todo k ∈ IN , deducimosclaramente que U ∩ A 6= /0 , luego V ∩ A 6= /0 . �

Así pues, ZN es un subconjunto discreto de RN , pero nótese que, en el resultado anterior,los conjuntos Ak con k ∈ IN no tienen por qué coincidir. Por ejemplo, Z×{0} y Z×N sonsubconjuntos discretos de R2 .

Análogamente, QN es denso en RN , luego tenemos un conjunto numerable que es densoen RN . Vemos también, por ejemplo, que Q× (R\Q) es denso en R2 .