GAUSS

I.E.S. CALDERÓN DE LA BARCA CURSO 2.010/2.011

MMAACCSS 2. BTO A DISTANCIA PRIMERA EVALUACIÓN

CAL

NOMBRE

FECHA:

INSTRUCCIONES: Deberá responder a 4 ejercicios. El ejercicio 6) es obligado y deberá elegir otros tres entre los ejercicios 1, 2, 3, 4 y 5. 1) Dada la ecuación matricial . Se pide:

a) Resuelve matricialmente la ecuación. (0.75 puntos)

b) Si

calcula la matriz (0,5 puntos)

c) Siendo A la matriz anterior,

calcula la matriz X. (1.25 puntos)

Solución 2) Si empleo todas las monedas que tengo de 50, de 20 y de 10 céntimos de euro, respectivamente, puedo com-

prar un objeto cuyo precio es 2.30 euros. El número total de monedas de 50 y de 20 triplica al número de mo-nedas de 10. Además, se sabe que el número total de monedas de 50 y de 10 excede en 2 unidades al número de monedas de 20. Se pide: a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado. (1.5 puntos) b) Cuántas monedas tengo de cada una de las clases señaladas? (1 punto)

Solución

3) Dado el sistema de ecuaciones lineales

a) Resolverlo. (1 punto) b) Resolverlo sabiendo que además satisface que la suma de los valores correspondientes a cada una de las

incógnitas es 4. (1 punto) c) Añadir una tercera ecuación de manera que el sistema resultante sea incompatible. (0,5 puntos)

Solución

4) Teniendo en cuenta que

, calcular el valor de los siguientes determinantes

a)

(0.5 puntos)

b)

(1 punto)

c)

(1 punto)

Solución

5) Determine para que valores de la matriz

tiene inversa (1.25 puntos)

a) Calcule la matriz inversa cuando α=1 (1.25 puntos) Solución

6) Dado el sistema de ecuaciones lineales

a) Discútase según los valores del parámetro real m. (1.5 puntos) b) Resuélvase para m = 5 (1 punto)

Solución

Ejercicio 1. a)

b)

c) Una forma de hacerlo, calcular y para luego sustituir en la expresión del apartado a).

Por tanto

y entonces:

Otra forma de hacerlo es suponer que la matriz

, sustituir en la expresión inicial y resolver los dos site-

mas de dos ecuaciones que quedan.

Ejercicio 2. Sean Del enucniado se desperende: Si empleo todas las monedas que tengo de 50, de 20 y de 10 céntimos de euro, respectivamente, puedo comprar un objeto cuyo precio es 2.30 euros

El número total de monedas de 50 y de 20 triplica al número de monedas de 10

el número total de monedas de 50 y de 10 excede en 2 unidades al número de monedas de 20

Se trata de resolver el sistema:

Como

se trata de un sistema compatible determinado, cuya solución (por Cramer) es:

Ejercicio 3.

Como

se trata de un sistema compatible indeterminado porque rang(A) = rang (A/B) = 2 < 3 = nº de

incógnitas. Para resolverlo pasamos z al segundo miembro:

De la segunda ecuación se tiene que , que sustituido en la primera nos da . La solución es:

b) Con la condición adicional, el sistema será:

cuya solución es

c) Basta con añadir una ecuación incompatible con alguna de las dadas, por ejemplo:

Ejercicio 4. Teniendo en cuenta las propiedades de los determinantes:

Ejercicio 5. a) Para que la matriz A tenga inversa es necesario y suficiente que

Como

, la matriz tendrá inversa si

b) Si , la matriz es

, siendo , por tanto

Ejercicio 6.

La matriz de coeficientes es

, siendo

a) Discusión. Si SISTEMA COMPATIBLE

DETERMINADO. Si el sistema resultante será

que es un sistema incompatible (la 2ª y la 3ª ecuación no se pueden verificar simultáneamente). b) Para , el sistema queda:

, que, por el método de Gauss,

De la tercera ecuación obtenemos:

Sustituyendo en 2ª

Y sustituyendo en la 1ª