primer parcial de algebra del cbc exactas e ingenieria

Primer Parcial – Álgebra – Exactas – CBC Pág. 1

Parciales resueltos para el CBC: http://soko.com.ar Si necesitas clases: 011-15-67625436

(1) Álgebra (27) – Primer Parcial: 2do Cuat. 96 Tema 2

1. Hallar los valores de a, b, c y d para que el conjunto de soluciones de S sea un plano que pasa por el

punto (1, – 2, 1) si S:

−=−++−−=+−=++

8)4()8(

3

2 2

321

321

321

dxacxbx

dcxbxx

axxx

2. Sea S = {x ∈ R2x2/ x11 + x22 = x21 = 0} Hallar un subespacio T de R2x2 tal que S + T = R2x2 y

S ∩ T = >

<

20

02

3. Si S: – x1 + x2 – x3 + 2 x4 = 0 y Π = <(– 2, 1, 0, 1); (– 5, 2, 1, 1); (– 5, 2, 1, 1)>. Hallar, si es posible, una base de S que contenga una base de Π Expresar v = (2, 2, 2, 1) en la base hallada.

4. En R3 sean P = (2, 1, 1) y Π : x1 + x2 – x3 = 0. Encontrar A y B en Π de modo que los vectores

v = →

PA y w = →PB sean ortogonales.


1. Sea L la recta que pasa por (0,–1, 2) y (2,1,1). Hallar dos rectas alabeadas, ambas perpendiculares a L y que además la corten. (Aclaración: dos rectas son alabeadas si no son paralelas, ni se cortan.)

2. Si

1

1

2

y

3

0

2

son soluciones de A . x =

1

1

4

y

−1

2

1

es solución de A . x =

2

3

1

. Hallar tres solu-

ciones de A. x =

3

4

5

.

3. Sean B = {(1, 1, – 1), (0, 1, 2), (2, 1, 0)} y B’ = {(–1, 3, 2), (1, 4, 2)}. Hallar v para que exista algún vector no nulo de R3 cuyas coordenadas en la base B’ coincidan con sus coordenadas en la base B.

4. Sean en R2x3 los subespacios S = {a ∈ R2x3/a11 + a22 = a12} y S’ = {a ∈ R2x3/a12 – a21 = a13 = 0}. Hallar un subespacio Π , tal que Π ⊂ S’ y S ⊕ Π = R2x3 .


1. Hallar los valores de a, b, c y d para el conjunto de soluciones de S, sea un plano que pasa por

(1,1,1) si:

−=+−−+=−+=+−

12)2()2(

3

6

:

321

321

321

dxcxnbx

dcxbxx

xaxx

S

2. Sea S = {x ∈ R2x2/ x11 + x12 + x21 = 0}. Hallar un subespacio Π de R2x2 y S ∪ Π = <

−00

22 >



3. Si S: x1 + x2 + x3 – 2x4 = 0 y Π = <(–1, 0, – 1, 1), (2, – 3, 2, 1)> hallar si es posible, una base de S que contenga una base de Π⊥. Expresar v = (2, 1, –1, 1) en la base hallada.

4. En R3 sean P = (1, – 1, 2) y Π : 2x1 – x2 + x3 = 0. Encontrar A y B en Π de modo que los vectores v

= →

PAy u = →

PBsean ortogonales.


1) Sean Π: 2x + y = 1 y L : x = t (1, 1, 1) + (1, 0, 0). Hallar los puntos P y Q ∈ L, tales que, L ∩ Π sea el punto medio del segmento PQ y la longitud del segmento PQ sea igual a 4 3

2) Si el sistema A. X = 0 (con A ∈ R3x3 y X ∈ R3x1) admite a la recta L: x = t (1,–1,0) como solución. Hallar tres soluciones no triviales del sistema A.B.X = 0 que no sean coloniales siendo B =

−−

−

103

011

112

3) Sean

=++=+−

=0

0

431

421

xkxx

xxxS y L: X = α (4, – 2, 1, 4). Hallar todos los valores de k ∈ R para los

cuales L ⊂ S⊥.

4) Encontrar una base de R4, B = {v1, v2, v3, v4} que verifique {v1, v2, v3} sea una base de {x ∈ R4: x4 = 0} ; {v2, v3, v4} sea base de {x ∈ R4: x2 = 0} y [(1,– 2, 1, 2)]B = (1, 0, 0, 1).

(5) Álgebra (27) – Primer Parcial: 1er Cuat. 96 Tema 1

1. a) Determinar la ecuación del plano Π cuyo punto más próximo al origen sea (-1, 2, 3) b) Determi-nar la ecuación de un plano Π’ que verifique: Π ∩ Π’ y d(Π’, 0) = d(Π ,0) donde 0 = (0,0,0)

2. Hallar los valores de a y b para que el conjunto de soluciones del sistema

=−++−=−+

=−+

122

5

0

321

321

321

xxx

axbxbx

xxx

sea igual a

=

∈

3

3

1

.

100

03

011

: xaRx

3. Si S = >(1,1,0,0); (0,1,1,0); (–1,0,1,0)> y v = (1, 3, 2, 1), hallar v1, v2 tales que v1 ⊥ v2 ,

v = v1 + v2, y v1 ∈ S.

4. Si B = {v1, v2, v3} y B’ = { v1 – v2, v1 + v2 + v3, w} son bases de un espacio vectorial V sobre R y: (w1)B’ = (1, 0, 0) (w2)B’ = (0, 1, 1) (w3)B’ = (1, 0, 3).

Hallar w si sabemos que (w1 – w2 + w3)B’ = (– 2, – 3, 2).




1) Sean L: x = (1,2, –1) + λ(1,1,1); P = (1,2,0) y Q = (0,1, –2). Encontrar todos los puntos A ∈ L tales que el triángulo PAQ sea rectángulo en A.

2) Sean

=−−=++

=++

1

12

1 2

:

31

432

321

xx

xxx

xxx

S y w = <(0, 1, – 1, 0); (1, 0, 0, – 1)>. Decidir si el conjunto de

soluciones de S está contenido en W. Justificar.

3) Sea S = <(1, – 2, 0); (– 2, 4, k2 – 1); (k, 2, 0)>. Determinar todos los valores de k para los cuales existe un subespacio W tal que: dim. W = 1 y S ⊕ W = R3. Para algunos de los valores de k hallados, encontrar W.

4) Sean B = {v1, v2, v3} y B` = { v1 – v2, 2v1 + v2, v3} bases de un espacio vectorial V y v ∈ V un vec-tor cuyas coordenadas en las base B con (1, 2, 4). Hallar las coordenadas de v en la base B’.


1. Las rectas L1: λ(2, 0, 1) + (1, 2, 1) y L2: λ(1, – 1, 2) + (1, – 2, a) están contenidas en un plano Π. Determinar el valor de a y hallar la ecuación del plano Π.

2. Dadas A =

−−

−

231

120

142

B =

−α−

701

10

3232 C =

α−3

2

1

, encontrar α para que existan al menos

dos vectores x ∈ R3 x 1 tales que A x = B x + C

3. Dados S = <(1, 0, 1, 2); (2, 1, – 1, 1)> y Π = <(1, 0, – 1, 0); (0, 1, 2, 1); (0, 1, 0, 1) >

Encontrar una base de R4 que contenga a una base de S ⊥ ∩ Π.

4. Hallar una base B = {v1, v2, v3} de R3 tal que para todo v = (x, y, z) ∈ R3. Las coordenadas de v en la base B son (x + y, x, y + 2z).

(8) Álgebra (27) – Primer Parcial: 2do Cuat. 97 (Recuperatorio – Diferido) Tema 2

1. Hallar todos los puntos P de R3 tales que dist.(P, Π) = dist.(P, Π’) siendo Π = x1 + 4x2 – x3 = 9 y Π’ = x1 + 4x2 – x3 = 11.

2. Hallar todos los puntos del plano P: 3x1 + x2 + x3 = 1 que son solución del sistema

=+−=+−

=+

42

3

2 2

32

321

31

xx

xxx

xx

3. Hallar, si existe, α ∈ R tal que B = {(2,–2,1,0); (1,–1,3,0)} sea base de (S ∩ Π) si

S: x1 + x2 – 3x3 = 0 y Π : < (3, – 3, 2α, 0); (–1, 1, 2, 0); (1, – 2, 1, – 2α)>

4. Si W = {(aij) ∈ R3x3/ aij = 0 si i < j} y S = {(aij) ∈ R3x3/∑=

=+2

123 0

jij aa }.

Buscar Π en R3x3 de modo que W + Π = S.




1. Sean las rectas L: λ(–1, 1, 2) + (2, 1, 3) y L’: t(2, –1, 1) +(0, 2, 3). Encontrar la ecuación de un pla-no Π que contenga a L y que todos los puntos de L ́estén a igual distancia de Π.

2. Determinar todos los valores de α y β para los cuales el sistema A. X =

βα0

tiene infinitas solucio-

nes siendo A =

−−

310

513

α

ααα

3. Hallar una base B de R3 de manera que las coordenadas del vector (–1,3,2) en la base B sean

(4,–1,0), y las coordenadas del vector (– 2, – 3, 1) en la base B sean (–1, 1, 0).

4. Sean W = {x ∈ R4/ x1 – 2x2 + 2x4 = x3 + x4 = 0} y Π = <(1,0,– 1,0); (2,1,1,–1); (2, 0, 1, – 3)>. Hallar dos subespacios de R4, S1 y S2, tales que S1 ⊂ W; S1 ⊕ S2 = Π y S1 ≠ 0


1. Sea Π el plano que pasa por los puntos A = (1, – 1, 2), B = (0, 1, 3) y C = (1, 1, 0). Determinar todos los puntos de R3 que están a una distancia de 11 de Π .

2. De todas las rectas de R3 que pasan por el punto (2, 1, 0), ¿Cuáles pueden ser el conjunto de solu-ción del sistema S, para algún valor de a y b?.

=−=−+=+−

252

3

222

zy

bzyx

zayx

S

3. Sean en R4 los subespacios S = {x ∈ R4/ x1 + x2 – x3 – x4 = 0} y Π = <(1,1,1,0); (2,3,2,1); (0,2,1,2)>.

Hallar una base de R4 que contenga simultáneamente a una base de S y una base de Π.

4. Sean B = {v1, v2, v3} y B’ = {v1 + v2 – v3, 2v2 – v3, v1 + v3}, bases de V. Sea S el subespacio de to-dos los vectores de V que tienen las mismas coordenadas en la base B y B’.

Decidir si S está contenido en <v1 – v2; v3>.


1. Sea Π el plano que contiene a los puntos A = (0, 3, 0); B = (2, 0, −1); C = (2, 1, 0) , hallar todos los x∈ Π que estén a igual distancia de A, de B y de C.

2. Sea en R2 x 2

=

10

13;

00

12S . Encontrar todas las matrices x de R 2 x 2 que verifiquen x . s = s .

x para toda matriz s de S.

3. Sean B = {(1,1,1,1);(1,1,1,0);(-1,1,0,0);(0,0,-1,1)} una base de R4 y v el vector cuyas coordenadas en la base B son (2,1,5,0). Encontrar un sistema de ecuaciones cuyas soluciones sean las cuatreñas (x1, x2, x3, x4) ortogonales a v.

4. Si S1: 2x1 + x2 + a x3 – x4 = 0 y S2: x1 + x2 + x3 + b x4 = 0 , hallar a y b para que los vectores v = (1, –1, 3, 0) y w = (2, 1, 0, 5) pertenezcan a S1 ∩ S2. Para los valores de a y b determinados extender (v, w) a una base de S1, a una base de S2 y a una base de S1 ∩ S2. Justificar.

Primer Parcial Álgebra: CBC (U.B.A.)

Si necesitas clases puedes llamar al 011-15-67625436 o ir a soko.com.ar por los cursos online.

(1) Primer Parcial: 1999 1. Hallar, si es posible, las ecuaciones de los planos con normal N = (4, - 2, 4) que están a 5 del pun-to P = (0, 1, -1) 2. Determinar los valores de k para los cuales el siguiente sistema tiene solución única:

=−+++

=++++=−+

0 )2()1(

0)1( )2(

0 2

321

321

321

xxkxk

xkxkxk

xxx

3. Sea S = {x ∈ R4 / x1 + 2 x2 – x3 = 0; x1 + x2 – x3 + x4 = 0} y sea B = {(-1, 1, 1, 1);(-3, 1, -1,-1); ;(1,-1,-3,-1);(-2, 1, 0, 1)}. Hallar, si es posible, un conjunto B´⊂ B tal que B´ sea base de S. Justificar. 4. Sea B = {v1, v2, v3} una base de R3. Si S = < v1 + 2 v2, v2 – v3, v1 + v2 + v3 > a) Hallar una base del subespacio Π ⊂ R3 tal que S ⊕ Π = R3. b) Si v1 = (1,-1, 1); v2 = (-1, 1, 0) y v3 = (1, 0, 0), dar las coordenadas de los elementos de la base hallada en a) en la base B y en la base ca-nónica.

Rta: 1) 2x – y +2z = 12; 2) k ∈ R – {– 1, 0}; 3) B’= <(– 1, 1, 1, 1);(– 1, – 1, – 3, – 1);( – 2, 1, 0, 1)> ; 4) a) Π = < v1 – 2 v2 , v2 + v3 , v3 – v1 – v2 >. b) ármenla.

(2) Primer Parcial: 1998 1) Sea S = {x ∈ R4 / 3x1 + x2 – x3 = 0 y x4 = 0}. Hallar un subespacio Π ⊂ R4 tal que (1, 0, – 1, 2) ∈ Π y R4 = S ⊕ Π. 2) Sea S ⊆ R3; S = < (a, 1, a); (3ª, a, – a)>. Hallar la dimensión de S ∀a ∈ R. Justificar la respuesta.

3) Hallar todas las matrices A ∈ R2 x 2 que verifican:

=

30

12.AA.

30

12

4) Sean L, la recta de dirección (1,2,– 2) que pasa por el punto P = (a, b, c) y sea Q el punto Q = (1,2,– 2) + (a, b, c). Si Π es el plano perpendicular a L que pasa por P, probar que d(Q,Π) = ||(1,2,– 2)||. Rta: 1) Π = {x ∈ R4/ x1 + x2 + x3 = 0 y x2 – 2x3 = x4}; 2) Dim: 2; 3) A es canónica; 4) Q es un punto de la recta L ⇒ d ||Q Π|| = d ||P Q|| = || Q – P || = || (1, 2, – 2) + (a, b, c) – (a, b, c) || = = ||(1, 2, – 2) ||.

(3) Primer Parcial: 1997 Tema 3 1. Sea Π en el plano que pasa por los puntos A = (1,−1,0), B = (2,0, −1) y C = (3,−2,1)

( )1,2,3 −=C y sea β = {(1,−1,1);(1,1,0);(−1,0,0)}. Encontrar un punto P del plano Π, cuyas coor-denadas en la base β sean de la forma: (P)β = (λ + 1, λ + 1, λ − 1), con λ ∈ R.

2. Si el determinante de la matriz

dc

ba es igual a 6, calcular el determinante de la matriz

−−

ba

dc

300

300

0011

0053

3. Sean S y T los subespacios de R4 definidos por

=++=+−

=++++−=+−

02)3(

02 )9(:T

0)2(2

0 2 :S

43

422

4321

321

xxa

xxaxxaxx

xxx

Calcular la dimensión de S ∩ T para todos los valores de a ∈ R. 4. En R4, sean S = <(1, -1,1,0);(1,-2,0,1)> y sea H = {x/x ∈ R, x1 – x2 + x3 = 0}. Hallar, si es posi-ble, una base de H que contenga a una base de ⊥S .

Respuestas: 1) ( )1,0,2=P ; 2) 126 ; 3) Dim S ∩ T = 0 ; 4) <(1,1,0,1);(-1,0,1,1);(0,0,0,1)>

Primer Parcial – Álgebra – Ingeniería – CBC Pág. 1

Si necesitas clases de apoyo puedes llamar al 011-15-67625436

Primer Parcial de Álgebra 03/10/01

1) Sean L: X : λ (1, 2, 1) + (1, – 1, 0) y Π1: plano que contiene el eje “y” y al eje “z”; Π2: plano que contiene el eje “x” y al eje “z”. Hallar todos los B ∈ R tales que d(B Π1) = d(B Π2).

Estamos buscando un punto de la recta, llamado B, que se encuentre a igual distancia de ambos planos. El plano Π1, y – z = 0; mientras que Π2, al tener coordenada y = 0, su ecuación es x – z = 0.

La recta posee ecuación (x, y, z) = λ (1, 2, 1) + (1, – 1, 0)

Desarrollándola paramétricamente tenemos:

λ=−λ=

+λ=

z

y

x

12

1

Aplicamos la ecuación para hallar la distancia entre un punto B a cada uno de los planos

d(B, Π1) = 2

1

)1(10

)(12

222

−λ=

−++

λ−−λ d(B, Π2) =

2

1

)1(01

)(1

222=

−++

λ−+λ

Las igualamos para hallar λ:

=λ⇒−=−λ=λ⇒=−λ

⇒=−λ

011

211

2

1

2

1

Si λ = 2, el punto es (3, 3, 2) (reemplazar en la recta).

Si λ = 0, el punto es (1, – 1, 0)

2) Dada

−−−=5111

3331

1211

A , sea T = {b ∈ R3x1/ el sistema de la matriz ampliada (A; b) es

compatible}. Hallar b1 y b2 ∈ T, no nulos, tales que b1 ⊥ b2.

b es un matriz de 3x1 así que podemos escribirlo como

=

z

y

x

b

( )

−−−=

zy

x

bA51113331

1211

, Triangulemos para hallar el valor de x, y, z.

B

Π 1

Π2



+−−− →

+−− →

−−−

=−

=+

=−

zyx

xy

x

xz

xy

x

z

y

x

210000

4120

1211

6120

4120

1211

5111

3331

1211

323

313

212

FFF

FFF

FFF

Para todo vector de T T: b = (x, y – x, 2x – y + z) (se elige la traspuesta por que es más fácil de trabajar).

Buscamos dos vectores perpendiculares, o sea que su producto escalar sea cero.

b1 . b2 = (x1, y1 – x1, 2x1 – y1 + z1) . (x2, y2 – x2, 2x2 – y2 + z2) = 0

x1. x2 + (y1 – x1).( y2 – x2) + (2x1 – y1 + z1).( 2x2 – y2 + z2) = 0

x1x2 + y1y2 – y1x2 – x1y2 + x1x2 + 4x1x2 – 2x1y2 + 2x1z2 – 2x2y1 + y1y2 – y1z2 + 2x2 z1– y2 z1 + z1z2 = 0

6 x1x2 + 2 y1y2 + z1z2 – 3 y1x2 – 3 x1y2 + 2x1z2 – y1z2 + 2x2 z1– y2 z1 + z1z2 = 0

x1 (6x2 – 3y2 + 2z2) + y1 (– 3x2 + 2y2 – z2) + z1 (2x2 – y2 + z2) = 0

Para facilitar la operación suponemos que x1 = 1, y1 = 1, z1 = 1

b1 = (1, 1 – 1, 2.1 – 1 + 1) = (1, 0, 2)

Queda

6x2 – 3y2 + 2z2 – 3x2 + 2y2 – z2 + 2x2 – y2 + z2 = 0

5x2 – 2 y2 + 2 z2 = 0

Hay varios puntos que dan cero:

a) x2 = 0, y2 = 1, z2 = 1 → b2 =

0

1

0

b) x2 = – 2, y2 = 0, z2 = 5 → b2 =

−

1

2

2

. . .

Queda en ustedes verificar que son perpendiculares (en el parcial es la verificación lo que te asegura que no te hayas equivocado).

3) Sean T = {A ∈ R3x3/ a11 + a22 + a33 = 0}; S ⊂ R3x3/ S = < I >, calcular dim. S + T.

Si B =

−−−

311

221

021

hallar: s∈ S y t ∈ T / B = s + t

Los elementos de T son matrices de 3x3 cuya diagonal principal debe dar cero, una base puede ser:



T =

−−

001

000

000

,

000

000

100

,

000

001

000

,

000

100

000

,

000

000

010

,

010

000

000

100

000

001

,

100

010

000

,

S =

100

010001

Para calcular la dimensión de S + T sumamos la cantidad de vectores, 1 de S y 8 de T, así que:

Dim. (S + T) = 9

+

λ=

−−−

−−

hgf

edc

bahd

100

010

001

311

221

021

(recordar que la diagonal debe dar cero).

+

λλ

λ=

−−−

−−

hgf

edc

bahd

00

00

00

311

221

021

+λ==−=−=+λ==−==−−λ=

hgf

edc

bahd

311

221

021

−− →

−−⇒

=++λ=++λ

=−−λ

11

1

100120

111

32

1

101011

111

3020

1ostriangulam

hdhd

hd

h = 1

2d + 1 = 1 → d = 0

λ – 0 – 1 = 1 → λ = 2

−−−−

+

=

−−−

111

201

021

200

020

002

311

221

021

t s

4) Sea B = {v1, v2, v3, v4} base de un espacio vectorial V. Sean S = < v1+ v2 – 2v3 + 2v4; v2 – v3 + v4>

T = < v1+ v2 +2 v3; v1 + v4>, hallar el subespacio W ⊂ V, tal que W ⊕ (S ∩ T) = V.

Busquemos un vector que pertenezca a la intersección de S y T.



S ∩ T = ( )

+λ++++γ=+−β++−+α=

)()2(

)(22

31321

4324321

vvvvvu

vvvvvvvur

r

α v1+ α v2 – 2 α v3 + 2 α v4+ β v2 – β v3 + β v4 = γ v1+ γ v2 +2 γ v3 + λ v1 + λ v4

v1 (α − γ − λ) + v2 (α+ β – γ ) + v3 (2α – β − 2 γ)+ v4 (2 α + β − λ) = 0

−−

−−

→

−−−−

−

⇒

=λ−β+α=γ−β−α

=γ−β+α=λ−γ−α

00000

02400

01010

01101

00112

02012

01011

00101

02

022

0

0

dotriangulan

− 4 λ − 2γ = 0 → γ = − 2λ

β = − λ

α − λ − γ = 0 → α − λ + 2λ = 0 → α = − λ

ur

= λ (v1 + v2 + 2v3) – 2 λ (v1 + v3) = λ ( − v1 + v2) intersección entre S y T.

Estamos buscando a W de manera que sumado a S ∩ T da V. Los vectores deben ser linealmente independientes.

W = {v2, v3, v4}

Si necesitas Ayuda para aprobar las materias que cursas o adeudas

Puedes llamar al 011-15-67625436 o ir a soko.com.ar

Algebra – Exactas – Primer parcial – Cátedra Gutiérrez

Si necesitas preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al 011–15–67625436

Jorge

Text Box

(Lujan)

primer parcial de algebra del cbc exactas e ingenieria

Education

Transcript of primer parcial de algebra del cbc exactas e ingenieria