UNIVERSIDAD LA SALLE

FACULTAD DE INGENIERIA

Teora Electromagnetica y Antenas

Examen Parcial 1

Profesor: Dr. Humberto Hjar

Instrucciones: resuelva los siguientes ejercicios de acuerdo con el equipoal que pertenece.

1. Dado un vector ~B = 2ex 6ey + 3ez, encuentre

la magnitud de ~B;

la expresion del vector unitario en la direccion de ~B, aB;

los angulos que forma ~B con los ejes x, y y z.

2. Escriba la expresion del vector que va desde el punto P1 (1, 3, 2) hasta elpunto P2 (3,2, 4) en coordenadas cartesianas. Determine la longitudde la lnea P1P2. Encuentre la distancia perpendicular desde el origenhasta esa lnea.

3. Dados dos puntos P1 (4, 2, 0) y P2 (3, 4, 0), en coordenadas cartesianascon origen O, calcule:

la longitud de la proyeccion de ~OP2 sobre ~OP1, y

el area del triangulo OP1P2.

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4. Determine un vector unitario perpendicular al plano formado por losvectores ~A = 2ex 6ey + 3ez y ~B = 4ex + 3ey ez.

5. Encuentre el area del triangulo cuyos vertices estan en los puntosP (1, 3, 2), Q (2,1, 1) y R (1, 2, 3).

6. Demuestre que las diagonales de un rombo son perpendiculares.

7. Las coordenadas cilndricas de dos puntos son: P1 (4, 60, 1) y P2 (3, 180

,1).Dibuje estos puntos y determine la distancia entre ellos.

8. Transforme las coordenadas cartesianas x = 4, y = 6 y z = 12, encoordenas esfercias R, y .

9. Exprese el vector de posicion que va del origen al punto P con coorde-nadas cartesianas (3, 4, 5), en coordenadas cilndricas y esfericas.

10. Dos puntos, P1 y P2, tienen coordenadas cilndricas(4,

3, 1)y (3, ,1),

respectivamente. Calcule la distancia entre ellos.

11. Dados los tres vectores siguientes

~A = 6ex + 2ey 3ez,

~B = 4ex 6ey + 12ez,

y~C = 5ex 2ez,

verifique la regla BAC-CAB del triple producto vectorial, segun la cual,

~A(~B ~C

)= ~B

(~A ~C

) ~C

(~A ~B

).

12. Dados los siguientes campos vectoriales

~F = xyex + yzey + zxez,

en coordenadas cartesianas, y

~F =12

R2eR,

en coordenadas esfericas, calcule su divergencia y su rotacional.

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13. Obtenga la formula de la superficie de una esfera de radio R0, inte-grando el area superficial diferencial en coordenadas esfericas.

14. Denote con ~R el vector de posicion de un punto P (x, y, z). Determine~ (1/R)

en coordenadas cartesinas,

en coordenadas cilndricas, y

en coordenadas esfericas.

15. Dado el campo escalar V = 2xy yz + xz,

determine el vector que representa la direccion y la magnitud dela razon de incremento maxima de V en el punto P (2,1, 0), y

determine la razon de incremento de V en el punto P en la di-reccion hacia el punto Q (2, 1, 0).

Hint: Recuerde que la derivada direccional de un campo escalar a lolargo del vector unitario el, es el ~V .

16. Calcule la divergencia de los siguientes campos radiales:

~f1

(~R)= RnaR,

~f2

(~R)= k

R2aR, donde k es una constante.

17. Para un campo escalar f y un campo vectorial ~A, demustre que

~ (f ~A

)= f ~ ~A+ ~A ~f, (1)

en coordenadas cartesianas.

Nota: la igualdad es de hecho valida independientemente del sistemade coordenadas que se utilice para representarla.

18. Para un campo escalar f y un campo vectorial ~A, demustre que

~(f ~A

)= f

(~ ~A

)+(~f

) ~A, (2)

en coordenadas cartesianas.

Nota: la igualdad es de hecho valida independientemente del sistemade coordenadas que se utilice para representarla.

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19. Dadas dos cargas puntuales q1 = 10C en (2, 0,4) y q2 = 60C en(0,1,2), determine

el campo electrico, ~E, en la posicion de q1 debido a q2, y

la magnitud de la fuerza experimentada por q1.

Notas. Todas las distancias estan dadas en metros. El valor de lapermitividad dielectrica del vaco, 0, es tal que 1/(40) = 910

9m/F.

20. Una lnea de carga de densidad uniforme l forma un crculo de radiob que yace en el plano xy, con su centro en el origen.

Encuentre el potencial electrico, V , en el punto de coordenadascartesianas (0, 0, h).

Encuentre el campo electrico, ~E, en el punto de coordenadas carte-sianas (0, 0, h).

Con que valor de h en el apartado anterior se obtendra el valormaximo de la magnitud del campo, E? (Hint: para encontrar elmaximo de E, calcule la derivada dE/dh, e iguale el resultado acero.)

21. Demuestre que el campo electrico de un un plano de carga infinito condensidad superficial de carga uniforme s, colocado sobre el plano xy,es

~E =

{s20ez, si z > 0

s20ez, si z < 0

. (3)

Sugerencia: Utilice la ley de Gauss.

22. Considere el campo electrostatico producido por una nube esferica deelectrones con densidad volumetrica de carga

v =

{0, si 0 R b

0, si R > b, (4)

siendo ambos, 0 y b, positivos. Demuestre que dicho campo esta dadopor

~E =

{eR

030

R, si 0 R b

eR0b

3

30R2, si R > b

. (5)

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Grafique la intensidad de este campo como funcion de la coordenadaradial R.

23. Calcule el potencial electrico producido por la distribucion de cargadel ejercicio anterior (unicamente en la region R > b). Demuestre queeste potencial produce el mismo campo que el que usted encontro en elproblema previo.

24. Obtenga la formula para la intensidad del campo electrico en el eje deun disco circular de radio b, que tiene una densidad superficial de cargauniforme.

25. Calcule el campo electrico sobre el eje de un anillo circular de cargauniforme.

26. Dos placas infinitamente extensas estan frente a frente como se muestraen la Fig. 2, y tienen densidades superficales de carga uniformes +S yS. Calcule ~E en puntos

a la izquierda de las placas,

a la derecha de las placas y

en la region entre las placas.

27. La Fig. 3 muestra en seccion dos largos cilindros concentricos de radiosa y b. Los cilindros llevan cargas iguales y opuestas por unidad delongitud +l y l. Encuentre ~E en puntos

con r < a,

con r > b

con a < r < b.

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Figure 1: Ejercicio

Figure 2: Ejercicio

Figure 3: Ejercicio

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