Presentaciónfinal

Leyes de la

Dinámica TEMAS10 Y 11

DINÁMICADINÁMICA

• Primera ley de Newton. Primera ley de Newton.

• Fuerza. Masa. Segunda ley de Newton. Fuerza. Masa. Segunda ley de Newton. Unidades de fuerza. Unidades de fuerza.

•Cantidad de movimiento lineal. Cantidad de movimiento lineal. Generalización de la segunda ley de Newton.Generalización de la segunda ley de Newton.

•Tercera ley de Newton. Tercera ley de Newton.

•Profundización en la leyes de la DinámicaProfundización en la leyes de la Dinámica

Mecánica de Mecánica de los cuerpos los cuerpos

macroscópicosmacroscópicos

Movimiento Movimiento mecánicomecánico

Cinemática Cinemática DinámicaDinámicaDinámicaDinámica

Investiga las causas Investiga las causas que provocan el que provocan el

movimiento mecánico.movimiento mecánico.

Problema Central de la Problema Central de la Mecánica ClásicaMecánica Clásica

1- Se tiene un 1- Se tiene un sistema físicosistema físico a estudiar, del a estudiar, del cual conocemos sus propiedades (masa, cual conocemos sus propiedades (masa, volumen, carga eléctrica, etc.)volumen, carga eléctrica, etc.)2- El sistema se halla inicialmente en una 2- El sistema se halla inicialmente en una posición conocidaposición conocida (ya se ha definido el SRI (ya se ha definido el SRI con observador)con observador), con una , con una velocidad conocidavelocidad conocida, , en en un entorno con el cual entra en un entorno con el cual entra en interaccióninteracción..

3- ¿Cómo será 3- ¿Cómo será el movimiento del sistemael movimiento del sistema en en instantes posteriores?instantes posteriores?

DinámicaDinámicaCinemáticaCinemática

entornoentorno

MasaMasaMM

CargaCargaQQ

VolumenVolumenVV

etc.etc.Leyes de Leyes de

Fuerzas:Fuerzas: a partir de a partir de las propiedades del las propiedades del

sistema y de su entornosistema y de su entorno

SS

0x

0y

0z

0V

0t

??

El problema de la Mecánica El problema de la Mecánica ClásicaClásica

Fue resuelto por Fue resuelto por Isaac NewtonIsaac Newton (1642-1727) bajo la óptica de la (1642-1727) bajo la óptica de la relatividad de Galileorelatividad de Galileo, cuando , cuando

promulgó sus promulgó sus leyes del leyes del movimientomovimiento y formuló la ley de y formuló la ley de

la gravitación universalla gravitación universal

Primera ley de NewtonPrimera ley de Newton

Suele llamarse Suele llamarse ley de la inercialey de la inercia. . InerciaInercia es la es la tendencia de los cuerpos a permanecer en reposo o tendencia de los cuerpos a permanecer en reposo o en movimiento rectilíneo y uniforme.en movimiento rectilíneo y uniforme.

Un cuerpo libre de la acción de Un cuerpo libre de la acción de otros cuerpos permanece en otros cuerpos permanece en

reposo o en movimiento reposo o en movimiento rectilíneo uniformerectilíneo uniforme

InerciaInercia es la es la oposición que presentan los oposición que presentan los cuerpos al cambio de su estado de cuerpos al cambio de su estado de movimientomovimiento..

Un cuerpo libre de la acción de Un cuerpo libre de la acción de otros cuerpos permanece en otros cuerpos permanece en

reposo o en movimiento reposo o en movimiento rectilíneo uniformerectilíneo uniforme

Presupone la existencia Presupone la existencia de los de los SRISRI

Teoría Especial de Teoría Especial de la Relatividad la Relatividad

Teoría de la Teoría de la Relatividad de GalileoRelatividad de Galileo

Válida la primera ley de Válida la primera ley de Newton o Principio de la Newton o Principio de la

InerciaInercia SRISRI

MasaMasa• Es la magnitud física que permiteEs la magnitud física que permite cuantificar la inerciacuantificar la inercia• La masa de un cuerpoLa masa de un cuerpo es una medida de es una medida de su inerciasu inercia• La masa es una medida de La masa es una medida de la oposiciónla oposición de un cuerpode un cuerpo a cambiar a cambiar su estado de su estado de movimientomovimiento

[kg][kg]

Es un escalar positivo o nulo m Es un escalar positivo o nulo m 0 0

Cantidad de Movimiento lineal Cantidad de Movimiento lineal de una partículade una partícula

Se define como el producto de la masa Se define como el producto de la masa por la velocidad de la partícula. por la velocidad de la partícula.

Tiene carácter vectorial, y como m es Tiene carácter vectorial, y como m es

un escalar, entonces p Vun escalar, entonces p V

mVp [kg m/s][kg m/s]

V p

FUERZA de interacciónFUERZA de interacción

Es la Es la magnitud físicamagnitud física que permite que permite cuantificar la cuantificar la acción del entorno acción del entorno materialmaterial sobre el sistema bajo estudio. sobre el sistema bajo estudio.

Esta acción depende de las Esta acción depende de las propiedades del sistema y del entornopropiedades del sistema y del entorno y en algunos casos del estado dey en algunos casos del estado dell movimiento del sistema.movimiento del sistema.

[N][N]

Tiene carácter vectorial FTiene carácter vectorial F

entornoentorno

cuerpocuerpo

Segunda ley de NewtonSegunda ley de Newton

La La fuerza resultantefuerza resultante que actúa sobre el que actúa sobre el cuerpocuerpo es igual al producto de la masa del es igual al producto de la masa del cuerpo por cuerpo por la aceleración la aceleración que adquiere.que adquiere.

2F

1F3F

3F2F1F

RF

RFa FFRR = = mm aa

[N=kg m/s[N=kg m/s22]]

Sistema: Cuerpo 1Sistema: Cuerpo 1

Entorno:Entorno: TierraTierra , Hilo tensionado, Hilo tensionado , Mesa, Mesa

1mF

a RRF


F1

F3F4

F2

FR = F1 + F2 + F3 + F4

La La aceleración delaceleración del cuerpocuerpo es es directamente directamente proporcional a la proporcional a la fuerza resultante que que

actúa sobre él e inversamente actúa sobre él e inversamente proporcional a su proporcional a su masa..

m

F

mF

a iR

xix maF yiy maF ziz maF


Si la Si la fuerza resultantefuerza resultante que actúa sobre la que actúa sobre la partícula se partícula se anulaanula, entonces el cuerpo se , entonces el cuerpo se

mueve con mueve con MRUMRU y se dice que está en y se dice que está en equilibrio (traslacional)equilibrio (traslacional)

m

F

mF

a iR 0 iR FF

0a cteV

Teoría de la Teoría de la Relatividad de GalileoRelatividad de Galileo Válida la segunda ley Válida la segunda ley

de Newtonde Newton

maF ctemm 0

observadordelnteindependie

am

dtmd

FR v

cv dtdp

FR



dtdp

F [N][N]

am

dtmd

F 0

v

cv



Válida la segunda ley Válida la segunda ley de Newtonde Newton

FUERZAFUERZASi en un SRI una partícula cambia su cantidad de Si en un SRI una partícula cambia su cantidad de

movimiento lineal, entonces existe movimiento lineal, entonces existe una causauna causa que provoca que provoca este cambio: este cambio: la acción de una fuerzala acción de una fuerza sobre dicha sobre dicha

partícula, la cual es igual al cambio de la cantidad de partícula, la cual es igual al cambio de la cantidad de movimiento en el tiempo. Esta expresión es válida para movimiento en el tiempo. Esta expresión es válida para cualquier SRI, independientemente de la velocidad del cualquier SRI, independientemente de la velocidad del

observador.observador.

1122

Tercera ley de NewtonTercera ley de NewtonLas fuerzasLas fuerzas con que dos cuerpos actúan con que dos cuerpos actúan

uno sobre otrouno sobre otro, son siempre de , son siempre de igual igual módulomódulo, están en la , están en la misma direcciónmisma dirección y en y en

sentido contrariosentido contrario..

Agente externoAgente externo FF12 12 = -= - FF2121

Esta ley sugiere que las fuerzas de interacción surgen Esta ley sugiere que las fuerzas de interacción surgen siempre por pares. Están aplicadas en cuerpos siempre por pares. Están aplicadas en cuerpos

diferentesdiferentes

Ejemplos

1. Si sobre un cuerpo de 10 kg de masa actúan las fuerzas: F1=100 i + 30j, F2= -30 i – 40 j y F3= -110 i - 20j, determine la aceleración que adquiere m.

2. Las coordenadas de posición de una partícula de 5 kg están dadas según:

x(t) = 2t2 – t + 5 y y(t) = t3 –2t2 –t +2.

Determine a) la fuerza que actúa sobre ella en el instante t = 2s, b) su at y aN en t = 2s, c) el ángulo que forma la velocidad con la aceleración en el instante t = 2s.

4. En el sistema mostrado determinese la tensión de los cables si el sistema se encuentra en equilibrio

m

53 37

m = 10kg

6. El bloque resbala sin fricción con velocidad constante v = 2,5 m/s sobre el plano inclinado. La polea es ideal. Determine:

a) el DCL de m

b) La tensión del cable

c) Si a mitad de camino se rompe el cable, halle la aceleración con la cual cae el bloque.

37o

Profundización y repaso de las Leyes

de la Dinámica

Cuerpos elásticos son aquellos que al cesar la fuerza, recuperan su forma inicial

Cuerpos plásticos son aquellos que al cesar la fuerza no la recuperan, sino que mantienen su última forma.

Al aplicar sucesivas fuerzas sobre un muelle de 20 cm de longitud, se obtienen los correspondientes alargamientos que recogemos en la tabla:

Fuerza (N) Longitud (m) Deformación (m)0 0 = 0,2 0

0,5 0,3 0,11 0,4 0,2

1,5 0,5 0,3

F (N)

0

(m)

0,5

0,1

1

0,2

1,5

0,3

La DINÁMICA es la parte de la mecánica que estudia las causas que originan el movimiento de los cuerpos, estas causas que producen movimiento son las FUERZAS.

FUERZA es toda causa capaz de alterar el estado de reposo o de movimiento de los cuerpos o producir deformación. Se miden en NEWTONS ( N ). Es una magnitud vectorial

FUERZA es toda causa capaz de alterar el estado de reposo o de movimiento de los cuerpos o producir deformación. Se miden en NEWTONS ( N ). Es una magnitud vectorial

Esta es la base del DINAMÓMETRO que sirve para medir fuerzas y es un muelle con una escala graduda que se va estirando según la fuerza que se ejerce

Por su forma de actuar las fuerzas se clasifican en:

-FUERZAS DE CONTACTO: son aquellas que se ejercen sólo cuando el cuerpo que ejecuta la fuerza está en contacto con el que la recibe. Por ejemplo cuando empujamos un objeto o la fuerza de rozamiento.

-FUERZAS DE ACCIÓN A DISTANCIA: actúan sin estar en contacto con el cuerpo que las recibe. Por ejemplo la fuerza de atracción gravitatoria que origina el peso de los cuerpos y las atracciones y repulsiones entre cargas eléctricas y magnéticas.

Según el intervalo de tiempo en que actúan las fuerzas se clasifican en:

INSTANTÁNEAS: si actúan en un intervalo de tiempo tan corto que resultan muy difíciles de medir, son fuerzas que inician movimientos pero enseguida dejan de actuar, es el caso de cuando lanzamos un cuerpo. No se tienen en cuenta al considerar las fuerzas que actúan sobre el cuerpo durante su movimiento ya que no actúan durante el mismo sino solamente al inicio.

CONTÍNUAS: actúan durante el movimiento del cuerpo, producen movimientos acelerados si van a favor del movimiento del cuerpo y decelerados si van en contra.

La dinámica se fundamenta en tres principios que formulados básicamente por Galileo fueron completados y corregidos por Newton (1642-1727) en su célebre libro Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, probablemente el libro más famoso de la historia de la física. Estos tres Principios de la dinámica no se demuestran, se admiten como verdaderos porque las consecuencias que de ellos se derivan están de acuerdo con los hechos observados en la naturaleza.

La fuerza es una magnitud vectorial

La fuerza es una magnitud vectorial

Composición de fuerzas

Las fuerzas son magnitudes físicas con carácter vectorial. Sus efectos dependen de su intensidad, dirección, sentido y punto de aplicación.

Sentido

Punto de aplicación

F

Intensidad

Dirección

F1

F1

F1

F2

F2

F2

F3

R

R

R

...fffR 321

En general:

Coordenadas cartesianas: componentes de una fuerza

X

Y

Se puede expresar de 3 formas:

A partir de consideraciones geométricas :

La suma de dos fuerzas:

F

Fx

Fy

FFF yx

jFiFF yx

),( FFF yx

Se puede escribir el vector como suma de otros dos dirigidos según los ejes X e Y

F

El módulo de un vector :F

| |F

F = FF 2y

2x =

jFiFF y1x11

jFiFF y2x22

j)FF(i)FF(FF y2y1x2x121

Fx = F cos Fy = F sen

i

j

Gráficas del movimiento y fuerzas

Gráficas del movimiento y fuerzas

v (m/s)

t (s)0 4 9 11

4

Entre t = 4 y t = 9 s se mantiene su velocidad 0F

Entre t = 9 y t = 11 s otra fuerza consigue parar el cuerpo )signo(vyF

F

De 0 a 4 s actúa = cte pasa de v = 0 a v = 4 m/s )signo(vyF

p

En general, conociendo sólo la fuerza resultante sobre un objeto, no podemos asegurar hacia dónde se moverá, sin embargo, de las gráficas del movimiento sí que puede obtener información sobre si actúan o no fuerzas.

Peso: fuerza con que la Tierra atrae a los objetos en el interios de ella, es siempre vertical y hacia abajo gmP

.

Fuerza que actúa en varias etapas diferentes:

Toda la mecánica clásica se basa en las tres leyes de Newton .Sin embargo estas leyes sólo son válidas para cuerpos que se mueven a velocidades inferiores a la luz y vistos desde sistemas de referencia inerciales (es decir desde sistemas de referencia en reposo o con movimiento uniforme). Si realizamos las medidas desde un sistema de referencia que posee aceleración, las leyes de Newton aparentemente no se cumplen pero esto se corrige fácilmente y se puede evitar cambiando de sistema de referencia.

PRIMER PRINCIPIO O PRINCIPIO DE INERCIA: si sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza o la resultante de las fuerzas que actúan es cero, el cuerpo permanece indefinidamente en su estado de reposo, si estaba en reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme si se estaba moviendo

PRIMER PRINCIPIO O PRINCIPIO DE INERCIA: si sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza o la resultante de las fuerzas que actúan es cero, el cuerpo permanece indefinidamente en su estado de reposo, si estaba en reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme si se estaba moviendo

Si no hay fuerzas no hay aceleración por lo que la velocidad que lleva el cuerpo se mantiene constante.

La primera parte del principio resulta evidente, si el cuerpo está parado y no actúan fuerzas sigue parado, la segunda parte es más difícil de comprobar porque sabemos que si lanzamos un cuerpo sobre una superficie acaba por pararse, pero si no existiera rozamiento el cuerpo no estaría sometido a ninguna fuerza y se movería indefinidamente con movimiento uniforme.

Si todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo en movimiento se igualan entre si y se anulan el cuerpo queda con movimiento uniforme, con velocidad constante, la que tenía en el momento que se igualaron.

La bola está en reposo La acción de la fuerza produce un movimiento

El efecto es un movimiento rectilíneo casi uniforme

Los frenazos bruscos ponen de manifiesto las fuerzas de inercia

La nave espacial se mueve en el espacio exterior debido a su inercia

Este Principio se llama Principio de Inercia porque indica la resistencia de un cuerpo a ponerse en movimiento a partir del reposo o a cambiar su velocidad. SE LLAMA INERCIA A LA TENDENCIA QUE TIENEN LOS CUERPOS A CONSERVAR SU ESTADO DE MOVIMIENTO O REPOSO.

EQUILIBRIO: se dice que un cuerpo está en equilibrio cuando su aceleración con respecto al sistema de referencia es nula, esto sucede cuando la resultante de las fuerzas que actúan es cero.

REPOSO: se dice que un cuerpo está en reposo cuando su velocidad respecto al sistema de referencia es nula, no se mueve.

Un choque frontal entre un coche circulando a 30 km/h y un árbol, provoca al conductor una fuerza de inercia de 5000 N contra el volante. Sus brazos no lo soportan.

k...a

F

a

F

a

F

3

3

2

2

1

1

La constante de proporcionalidad entre la fuerza que actúa y las aceleraciones que origina es la masa que mide la resistencia que cada cuerpo opone al movimiento. a mayor masa menor aceleración si la fuerza es la misma, cuanto mayor es la masa de un cuerpo más cuesta moverlo

Aunque se apliquen varias fuerzas sobre un cuerpo, la aceleración producida es única

SEGUNDO PRINCIPIO O LEY FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICA DE TRASLACIÓN cuando un cuerpo se somete sucesivamente a varias fuerzas adquiere aceleraciones proporcionales a dichas fuerzas de su misma dirección y sentido

la fuerza que aparece en la ecuación es la resultante de las fuerzas que actúan en el movimiento

SEGUNDO PRINCIPIO O LEY FUNDAMENTAL DE LA DINÁMICA DE TRASLACIÓN cuando un cuerpo se somete sucesivamente a varias fuerzas adquiere aceleraciones proporcionales a dichas fuerzas de su misma dirección y sentido

la fuerza que aparece en la ecuación es la resultante de las fuerzas que actúan en el movimiento

amF

.

Un cuerpo sometido a la acción de una fuerza constante adquiere un movimiento uniformemente acelerado cuya aceleración es constante en módulo y tiene la misma dirección y sentido que la fuerza aplicada.

Las fuerzas de acción y reacción no se anulan Las fuerzas nunca actúan solas

Las fuerzas que actúan sobre un cuerpo siempre son debidas a la presencia de otros cuerpos más o menos próximos

f BA

ff BAAB

A

B

f BA

Las fuerzas se ejercen sobre cuerpos diferentes, por eso no se anulan

Unidades de fuerza :en el Sistema Internacional de unidades es NEWTON (N) N =Kg .m /s2

En el Sistema Técnico la unidad es el KILOPONDIO (Kp) es la fuerza con que la Tierra atrae a una masa de 1 Kg (es decir el peso correspondiente a una masa de 1 Kg) P= m. g = 1. 9,8= 9,8 N luego 1Kp=9,8N

Unidades de fuerza :en el Sistema Internacional de unidades es NEWTON (N) N =Kg .m /s2

En el Sistema Técnico la unidad es el KILOPONDIO (Kp) es la fuerza con que la Tierra atrae a una masa de 1 Kg (es decir el peso correspondiente a una masa de 1 Kg) P= m. g = 1. 9,8= 9,8 N luego 1Kp=9,8N

TERCER PRINCIPIO O LEY DE ACCIÓN Y REACCIÓN : cuando un cuerpo ejerce sobre otro una fuerza (acción) el segundo ejerce sobre el primero otra fuerza igual y en sentido contrario (reacción)

TERCER PRINCIPIO O LEY DE ACCIÓN Y REACCIÓN : cuando un cuerpo ejerce sobre otro una fuerza (acción) el segundo ejerce sobre el primero otra fuerza igual y en sentido contrario (reacción)

reacción acción

acción peso ( )

reacciónfuerza normal ( )N

P

Lo que se llama fuerza normal es la reacción de una superficie al apoyo de un cuerpo o a cualquier otra fuerza que presione contra ella.

Para que exista normal debe haber alguna fuerza presionando la superficie, de lo contrario no hay reacción. Por la ley de acción y reacción la normal es igual a la fuerza de apoyo.

Las fuerzas de acción y reacción se aplican sobre cuerpos distintos y las ejercen cuerpos distintos entre sí, no sólo no impiden el movimiento sino que gracias a ellas el movimiento es posible.

Las fuerzas de acción y reacción se aplican sobre cuerpos distintos y las ejercen cuerpos distintos entre sí, no sólo no impiden el movimiento sino que gracias a ellas el movimiento es posible.

EQUILIBRIO DE FUERZASEQUILIBRIO DE FUERZAS

N

gmp

FLM

F TL

RF NLM

p F LM

p N

N

p

= 0Condición de equilibrio: La suma de todas las fuerzas que

actúan sobre un cuerpo debe ser nula.

Fuerza La ejerce La soporta

p = m

g La tierra El libro

FLT El libro La tierra

FLM El libro La mesa

La mesa El libro

-Condición de equilibrio entre dos fuerzas :que se apliquen sobre un mismo cuerpo, en la misma dirección y en sentidos contrarios y sean iguales.

-Condición de equilibrio para tres fuerzas: que se apliquen sobre un mismo cuerpo y una sea igual, de la misma dirección y sentido contrario a la resultante de las otras dos.

0F

Y

X

f = N P = 0 N = m giy

F

N

P = m g

ix x f = F = m a

El cuerpo adquiere un MRUA de aceleración

F : fuerza aplicada

Fuerzas en la dirección del eje X

Fuerzas en la dirección del eje Y

v

m

Fax

Y

X

F

N

P = m g

Fx

Fy

v

F : fuerza aplicada

Fx = F cos Fy = F sen f = m a F = m aix xx x

f = m a N + F P = m aiy yy y



m

Fax

mPFN

a yy

YXN

Px

P = m g

Py

v 00

La fuerza inicial impulsora no se contabiliza

f = m a P = m aix xx x

mg sen = m a x a = g sen x

f = m a N P = 0iy y y

Px = mg sen Py = mg cos



N = Py

Y

XN

Px

Py

P = m g

v o = 0


f = m a P = m aix xx x

mg sen = m a x a = g sen x

f = m a N - P = 0iy y y

v



N = Py

f = m a N P = 0iy y y N = Py

Luego la aceleración del cuerpo será:

YX

N

Px

Py

P = m g

v

F Para que el cuerpo suba, F Px


ix xx x

mg sen = m axF

f = m a F P = m a

F : fuerza aplicadaFuerzas en la dirección del eje X


sengmFm

1ax

Y

XN

Py

P = m g

v

F


F mg sen = m ax

fix = m ax F Px = m ax

fiy = m ay N Py = 0 N = Py

F : fuerza aplicada Fuerzas en la dirección del eje X


sengmFm

1ax

Px

FUERZA DE ROZAMIENTOFUERZA DE ROZAMIENTO

Cuando un cuerpo se mueve roza con la superficie sobre la que se produce el movimiento y esto crea una fuerza que se opone siempre al movimiento del cuerpo, paralela a la superficie sobre la que se mueve y que recibe el nombre de fuerza de rozamiento

1-No depende de la cantidad de superficie de contacto.Si la rugosidad de la superficie y el tipo de material es el mismo en todas las caras del cuerpo se comprueba experimentalmente que la fuerza de rozamiento es la misma para todas las caras.FR1=FR2

F

F

1rF

2rF

2-Depende de la naturaleza de las superficies en contacto. Se origina por contacto de unas superficies con otras, por adherencias entre diversos materiales y por la rugosidad de las superficies, a más rugosidad más rozamiento. Existen Tablas donde a cada material se le asigna un valor característico obtenido gracias a diversas medidas experimentales según el mayor o menor rozamiento observado al deslizar un objeto sobre ellos, este valor constante y característico de cada material se llama coeficiente de rozamiento .

3-Depende también de la fuerza normal, es decir de la resultante de las fuerzas perpendiculares a la superficie sobre la que se mueve el cuerpo. Cuanto mayor es la fuerza de apoyo del cuerpo sobre la superficie de movimiento mayor es el rozamiento con la misma, en cambio las fuerzas que tienden a levantar al cuerpo disminuyen su apoyo y por tanto su rozamiento.

NFR

. NFR

.

Y

X

Y

X

Y

X

N

P = m g

N N

P = m g P = m g

F Ffr fr

Fr =s N = 0 s = 0

Sin fuerza aplicada, no hay fuerza de rozamiento

El coeficiente de rozamiento estático, varía entre 0 s s, max

Una fuerza aplicada F s, max N , pone el cuerpo en movimiento

fr = s N = F

La fuerza de rozamiento equilibra a la fuerza aplicada

fr = s,max N = F

Fuerza aplicada máxima sin que el cuerpo se mueva

m g

N

F fr fr = µdN

µ µd s, max

F fr

a

F : fuerza aplicada

Fuerza de rozamiento dinámico

Coeficiente de rozamiento dinámico

El coeficiente de rozamiento estático es siempre mayor que el dinámico porque un cuerpo en movimiento roza menos con la superficie sobre la que se mueve que si está en reposo.

X

Y v

F

N P = 0 N = P = m g

F f = m ar

f = µ Nr

F µ N = m a x

P = m g

N

f r

F : fuerza aplicada



).(1

gmFm

a

YX

Px

Py

P = m g

v

Nfr

yN P = 0 N = P = m g cos y

f r= µ N

m g sen - f r= m a

m g sen - µ N = m a

µa = g sen - g cos



YX

N

Py

P = m g

v

fryN P = 0 N = P = m g cos

y

ma = ( F mg sen µ mg cos )1

rf = µm g cos F ( P + f ) = m ax r x

F P µm g cos = m ax

Px

F



v1

Fc

Fc

v2

v3

Fc

v4

Fc

Rvm

F2

c

La fuerza centrípeta sale simplemente de aplicar la segunda ley de Newton a un cuerpo que gira, F=m.a siendo la aceleración, puesto que hay cambio de dirección de la velocidad, aceleración normal o centrípeta.

CUERPOS ENLAZADOSCUERPOS ENLAZADOS Cuando varios cuerpos se unen mediante cuerdas, la fuerza que se aplica sobre uno de ellos se va transmitiendo a los otros tensando la cuerda que los une. La fuerza que ejerce una cuerda tensa al tirar de un cuerpo unido a ella se llama TENSIÓN y se dibuja siempre partiendo del cuerpo que en ese momento se estudia y sobre la cuerda.

Para aplicar las leyes de Newton a sistemas con varios cuerpos enlazados conviene seguir ordenadamente una serie de pasos:

1-Elegir un sentido lógico del movimiento. Si al final la aceleración obtenida es negativa significará que el sentido del movimiento es justo el contrario y se empezará de nuevo con el sentido correcto.

2-Dibujar todas las fuerzas que actúan descomponiendo aquellas que no sean ni paralelas ni perpendiculares al desplazamiento del cuerpo (los ejes se toman según la superficie de movimiento de cada cuerpo).Si hay alguna polea considerarla solamente como parte del dibujo pero despreciable a la hora de hacer los cálculos, por lo que la tensión a un lado y a otro de una polea es la misma ya que se trata de la misma cuerda, esto supone cometer algo de error, pero los resultados se aproximan bastante a los reales y en poleas pequeñas coinciden perfectamente.

3-Sólo actúan directamente en el movimiento de cada cuerpo aquellas fuerzas o componentes de fuerzas cuya dirección coincide con la del movimiento del cuerpo. Consideramos positivas las fuerzas que van a favor del movimiento y negativas las que van en contra.

4-Si hay varios cuerpos unidos se plantea la ecuación fundamental de la dinámica (2º ley de Newton) a cada cuerpo por separado con lo que se obtendrán tantas ecuaciones como cuerpos haya unidos, incluyendo en la ecuación de cada cuerpo solamente las fuerzas aplicadas directamente sobre él y que coinciden con la dirección en que se mueve dicho cuerpo.

5-Lo que resulta de todo ello es un sistema de ecuaciones de fácil resolución si se suman todas las ecuaciones obtenidas.

Presentaciónfinal

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