“LA CONSTANTIFICACIÓN EN EL USO DE LOS DIFERENCIALES PARA EL PROCESO DE MATEMÁTIZACIÓN EN LOS CURSOS DE INGENIERÍAS

”

PresentaRogelio Romero Hidalgo

Directores de TesisDr. Francisco Javier Lezama Andalón-IPN

Dr. Ricardo Pulido Ríos-ITESM

Monterrey, Nuevo León, México Febrero 2016

Introducción

La presente investigación concierne a las dificultades que presentan los estudiantes cuando se desea que comprendan, apliquen o construyan nuevos conceptos relacionados con el cálculo diferencial e integral en una y varias variables, así como para identificar la importancia que tiene esta rama de las matemáticas como herramienta de la física e ingeniería.

“ …muchas de estas dificultades en los estudiantes son independientes de su

capacidad y del entusiasmo del profesor y se atribuyen al bajo nivel de articulación entre lo que se enseña en

los cursos de cálculo y la manera como este conocimiento participa en las

áreas de la ciencia, donde el cálculo debe ser el soporte” : Pulido (1998)

Artigue (2003), Lezama (2005), Cantoral R., Farfán R., Cordero F, Imaz (1990), Pulido (1998), Camarena (1999), Arcos (2004).

desarticulación curricular en la enseñanza y aprendizaje

- universitarias-

“… es una situación particularmente grave lo que sucede con los diferenciales: mientras que en la Física es una noción sumamente útil, en los libros de texto de Cálculo tradicionales se presenta dentro de un discurso contradictorio y confuso.” Pulido (1998)

Las investigaciones en este sentido han permitido aislar al concepto de diferencial como punto de conflicto para la coordinación entre las dos disciplinas en el contexto educativo universitario. Artigue, (1992b),

Introducción

… en la física escolar e ingenierías se recurre de manera significativa al uso de los argumentos infinitesimales con diferenciales para muchos de sus procesos de matematización, sin embargo, los estudiantes se ven rebasados cognitivamente hablando, ante esta situación, pues los argumentos que han recibidos de la enseñanza tradicional del cálculo son insuficientes para comprenderlos. …

es contradictorio que los estudiantes no encuentren los soportes matemáticos que se requieren para abordar las situaciones de modelación y práctica para su

desempeño en los cursos de física e ingenierías.

“Fuego Cruzado”

Matematización

Introducción

El uso de los diferenciales en la física e ingenierías ha conformado una práctica fundamental para la matematización de los fenómenos de la naturaleza, así como para la construcción y

definición de sus conceptos llamado Estilo diferencial , mismo que tiene se base epistemológica en el cálculo de Leibniz y se desarrolla a través de una estrategia práctica

llamada La toma del elemento diferencial, Pulido (1998)

Richard Feynman (1987) solamente con estas dos nociones: flujo y circulación, podremos describir de una vez las leyes de la electricidad y magnetismo.

Euler, Fourier, Ampere, Maxwell, Electricidad y Magnetismo, Termodinámica, Mecánica de Fluidos, Óptica,

La presente investigación está alineada con este esfuerzo de lograr la adecuada articulación curricular de las Matemáticas y la Física universitarias vía una innovación en la enseñanza-aprendizaje del Cálculo.

Introducción

análisis de la práctica de constantificación de ciertas magnitudes en los entornos infinitesimales como una componente normativa en su rol de matematización de conceptos y fenómenos de la física e ingeniería.

Matematización - Estilo diferencial - Toma del elemento diferencial

Propuesta didáctica del cálculo universitario llamada “Diseño Integral”, que ha sido desplegada por un equipo de profesores investigadores del Departamento de Matemáticas del ITESM, y presentada a través de los libros: Salinas, Alanís, Pulido et al (2003, 2011, 2012, 2013).

Hipótesis: El reconocimiento de la práctica de constantificación, dentro de la estrategia de la toma del elemento diferencial favorece el desarrollo del pensamiento infinitesimal en los estudiantes de ingenierías, así como la potencialidad de provocar la evolución de ideas y procedimientos matemáticos para que puedan establecerse como aprendizajes funcionales.

Objetivos de la investigación Analizar la regularidad de la constantificación en el uso de la estrategia de la

toma del elemento diferencial dentro del proceso de matematización en el contexto de la ingeniería.

Identificar el impacto en la resignificación del pensamiento infinitesimal Leibniziano en los estudiantes.

Identificar el impacto en la revaloración de las ideas y procedimientos matemáticos como herramientas para sus estudios.

¿Cuál es el impacto de la práctica de constantificación, en el uso de la toma del elemento diferencial, en favorecer la resignificación del pensamiento infinitesimal en los estudiantes de ingenierías, así como en la revaloración de las ideas y procedimientos matemáticos como herramientas para sus estudios?

Antecedentes

A. Paradigma tradicional de la enseñanza del cálculo

B. Deficiencias en el aprendizaje de conceptos relacionados con la Física

C. Renacimiento de los diferenciales

D. Acercamiento socioepistemológico de la enseñanza del cálculo

E. Propuesta de enseñanza del cálculo universitario: Diseño Integral

A. Paradigma tradicional de la enseñanza del cálculo

Artigue (2003) -repensar la manera en que el cálculo es enseñado pues la situación actual se caracteriza por un sentimiento general de crisis que parece trascender diferencias culturales.

Alanís (2003) - bajo el supuesto de que los estudiantes pueden entender y aplicar un concepto con sólo darle su definición o su demostración. - una práctica algorítmica y algebraica del cálculo.

Camarena (2003) - ha perdido la contextualización de origen y se presenta hoy como un conocimiento acabado. -demasiado abstracta para los estudiantes..

Cantoral, (2003) - se centran en los objetos matemáticos más que en la construcción del conocimiento matemático.- la ilusión de comunicar conceptos y procesos del cálculo. -al finalizar, el estudiante realice una síntesis e integración del conocimiento para ser usado en diferentes situaciones.

Salinas y Alanís (2001), “Modelo tradicional de la enseñanza del Cálculo”. -elevados índices de reprobación, aprendizaje sin comprensión y actitud negativa hacia el aprendizaje de las matemáticas.

Pulido (2001), libros de textos más usados para los cursos de cálculo: Cálculo Diferencial e Integral,

Cálculo en varias Variables así como en Ecuaciones Diferenciales. - Zill, Leithold, Thomas y Finney, Larson, Purcell y Stewart.

- ausencia de los significados reales asociados a las nociones y los procedimientos.- pretendida estructuración formal y rigurosa del contenido de aprendizaje - concluyendo con los ejercicios de aplicación.

En Cantoral (2013) el discurso Matemático Escolar debe rediseñarse, pues se trata de un sistema de razón de carácter hegemónico que legitima la imposición de significados, tanto a estudiantes como a docentes cuando reduce el saber al conocimiento segmentado, despersonalizado y descontextualizado.

B. Deficiencias en el aprendizaje de conceptos relacionados con la Física

Camarena (1990) la matemática se encuentra totalmente desvinculada de las asignaturas de la ingeniería, y la realidad del ingeniero reclama esta vinculación que en materia de educación está en tierra de nadie.

Viviana Acosta (2002) las carreras de ingenierías no se vinculan los conceptos del cálculo con los del contexto y no se atienden las necesidades particulares de los alumnos de esta carrera.

Igualmente Catalán (2010) “deficiencias matemáticas” los estudiantes tienen poca comprensión de los fenómenos propios del área de Electricidad y Magnetismo.

Álvarez (2010) se identifica al flujo y a la circulación de un campo vectorial como el objeto matemático, de cuyo concepto se pretende que se apropie el estudiante, antes de enfrentarlo a ley física en la que éste aparece involucrado.

Martín y Coleman (1994) se ha planteado que esta falta de dominio y comprensión de las matemáticas que se usan en la física ha obligado a los estudiantes a aplicar reglas y razonamientos que no comprenden por lo que afecta indudablemente a sus actitudes provocando con ello ansiedad, falta de confianza, rechazo, desinterés.

Pulido (1998) los actuales cursos de física universitaria han sido fuertemente influenciados por este paradigma tradicional de la enseñanza. - las dificultades que presentan los estudiantes en los cursos de ingenierías, proviene de esta enseñanza matemática no apropiada.

La 120 th conferencia Anual de la American Society for Engineering Education (ASEE) junio 2013, se ha eliminado el Cálculo en el primer año de estudios siendo sustituido por aplicaciones de matemáticas a la ingeniería donde la matemática se enseña en la modalidad Just in time.

C. Renacimiento de los diferenciales

A fines del siglo XIX se dio paso a la construcción del Análisis Matemático sin el uso de las cantidades infinitesimales y se introduce la noción de límite con épsilon y delta.

“ Como producto de continuos señalamientos sobre una supuesta falta de rigor, el Cálculo Infinitesimal fue sustituido gradualmente por la propuesta de Cauchy, que es la con algunas modificaciones, se enseñan actualmente en las aulas”. Arcos (2004)

Los físicos e ingenieros continuaron usándolos con el firme convencimiento de que son mucho más intuitivos, cómodos y funcionales.

Grattan-Guinnes (1984, p.152) “Así fue apareciendo un verdadero cisma entre la teoría y la práctica del cálculo, al mismo tiempo que el nivel de rigor en el propio cálculo iba subiendo: los que se dedicaban a cuestiones de fundamentos tenían un sistema de reglas y los aplicados otro.

Abraham Robinson, los 60’s con Análisis no Estándar, introduce el concepto de número hiperreal que unido a construcciones basadas en la teoría de conjuntos, logra dar un significado preciso a los “infinitamente pequeños”. Con ello es posible que los procesos de límite y de convergencia del análisis sean justificados con elementos de esa nueva teoría.

De esta manera son rehabilitados los infinitesimales en la Matemática, y así, cobra sentido el incorporar, “sin sentimiento de culpa”, el enfoque infinitesimal en la enseñanza.

D. Acercamiento socioepistemológico a la enseñanza del cálculo

Cantoral (2010), que el cálculo infinitesimal es un objeto cultural y tanto su enseñanza como su aprendizaje no pueden desvincularse de la práctica social que le dio sentido y significado.

Pulido (2010), privilegia la enseñanza de objetos matemáticos que no solo crean confusión en los estudiantes, sino que impiden apropiarse de un estilo de trabajo en la física-matemática, llamado Estilo Diferencial, que constituye una práctica fundamental dentro de las ciencias e ingenierías y el cual que se ha revelado fecundo para para describir los fenómenos de la naturaleza, así como para la construcción de conocimiento en ambas disciplinas.

Cantoral (2015) El desarrollo de una manera matemática de pensar entre la población exige de una descentración del objeto” y de la incorporación de las prácticas que le acompañan. Es Importante precisar en este sentido, que se debe asumir la legitimidad de toda forma de saber, sea este popular, técnico o culto, pues en su conjunto constituyen la sabiduría humana. .

E. Propuesta de enseñanza del cálculo universitario: Diseño Integral

Dr. Juan Antonio Alanís (1996) y el Dr. Ricardo Pulido (1998)- se enfatiza la necesidad de dotar al estudiante de herramientas matemáticas que le

ayuden a profundizar en el estudio de los fenómenos propios de su carrera.

- se plantea como premisa que los cursos de Matemáticas para ingenierías puedan realmente servir de soporte a los estilos de matematización de las materias de las carreras de Ingeniería, a la vez de propiciar el desarrollo de una actitud positiva hacia el aprendizaje de las matemáticas universitarias.

En el Tomo I se da tratamiento a la problemática de predecir el valor de una magnitud que está cambiando. Esta práctica de predicción conduce a construir y dar significado a nociones y procedimientos asociados a la razón de cambio y al cambio acumulado.

En Tomo II se centra la atención en la problemática de calcular el valor de una magnitud asociada a un todo, dividiéndolo en partes, dando lugar al surgimiento de la noción de diferencial como el valor de una magnitud infinitamente pequeña, junto con el de suma o integral. Aquí se utiliza la toma del elemento diferencial como estrategia de matematización, legitimando su uso para los cursos de Física e Ingeniería.

En Tomo III, se considera la problemática de matematizar dos nociones fundamentales de la Física flujo y circulación, y es de esta manera como se hace surgir los demás conceptos, procesos y resultados propios del Cálculo de varias variables.

Fundamentación Teórica

La Matemática Educativa

Cantoral (2013), que la Matemática Educativa es una disciplina que estudia los procesos de constitución, transmisión y adquisición de los diferentes contenidos matemáticos en situación escolar.

- no se reduce a la búsqueda de una “buena manera” de enseñar una cierta noción fijada previamente.

- permite asumir como objeto de estudio la organización de una actividad cuya intención declarada sea el aprendizaje de un cierto saber aunque este objetivo no sea alcanzado.

- es una disciplina académica que busca democratizar el aprendizaje de las matemáticas.

¿cómo lograr que disfruten y entiendan las matemáticas la mayoría de los estudiantes de una clase?

¿cómo hacerlo al nivel de la ciudadanía?

Fundamentación TeóricaLa Socioepistemología

Aproximación teórica de naturaleza sistémica que permite tratar los fenómenos de producción y difusión del conocimiento desde una perspectiva múltiple: epistemología del conocimiento, su dimensión socio cultural, los procesos cognitivos asociados y los mecanismos de institucionalización vía la enseñanza. Cantoral (2004).

/ Se ocupa de las prácticas sociales como normativas de la actividad humana y como base de la construcción de los sistemas conceptuales por parte del ser humano, problematizando las causas que lo conducen a hacer lo que hace. Covián (2005)

/ Se plantea el examen del conocimiento situado, aquél que atiende a las circunstancias y escenarios socioculturales particulares. El conocimiento, en este caso, se asume como el fruto de la interacción entre la epistemología y los diversos factores sociales. Lezama (2005)

En este sentido se pretende reconocer los usos de la constantificación en los distintos escenarios e identificar aquellos significados y procesos de significación que son propios al saber, que como se plantea en Montiel-Buendíal, (2012), se diluyen, se transforman o se pierden al configurar un discurso escolar, pero que lo caracterizan como un saber funcional en escenarios específicos.

resignificar como el proceso continuo de dar significado al saber matemático a través de sus usos que subyacen a la actividad y no exclusivamente al objeto matemático.

“Las curvas en el cálculo Leibniziano son consideradas como polígonos con un número infinito de lados” (Bos, 1974:14, tomado de Pulido, 1998).

y

f(x)

x x+dx

Recta tangente

f(x+dx)

dxdy

Pensamiento Leibniziano

La variable se concibe como una secuencia de valores infinitamente próximos y que al tomar la diferencia infinitamente pequeña, que existe entre cada dos valores sucesivos de la variable, se obtiene nuevamente una variable, que es precisamente el diferencial de la variable. El diferencial de la variable “y” se denota por “dy”. Esta operación puede aplicarse reiteradamente consiguiendo así: ddy, dddy

Si C es una curva asociada a una ecuación con variables x, y, entonces ds (diferencial de curva) se relaciona con dx y dy formando el llamado Triángulo característico.

dx

dyds

Estilo diferencial: Es el recurso de considerar una curva como un polígono con un número infinito de lados rectos infinitamente pequeños, y donde cada lado puede medirse con un diferencial de longitud. “dx” o donde una superficie está formado por un número infinito de superficies planas, y donde cada uno puede medirse con un diferencial de área. “dA” .

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