“Métodos Avanzados de Cálculo de Estructuras Sismorresistentes

Utilizando Ordenadores”.

José María Ruiz Ruiz.

Universidad de OrienteFacultad de Construcciones

Departamento de Ingeniería Civil

FECHA Tema Objetivo Actividades de aprendizaje Indicador de logro.

E-1 Introducción. Historia de los programas de análisis y diseño de las estructuras. Conceptos básicos del análisis matricial de las estructuras.

Sistema de invariantes del proceso de modelación mecánica de las estructuras.

El software SAP 2000 características y potencialidades.

Definir los conceptos básicos del proceso de modelación mecánica de las estructuras como forma de obtención teórica del conocimiento.Definir el sistema de invariantes del proceso de modelación mecánica de las estructuras.

Conferencia problémica y trabajo en el laboratorio de computación, se aplica la teoría y las formulas en la solución y aplicación de problemas. Orientaciones del estudio independiente.

Resuelve el trabajo asignado sobre el modelo físico para el análisis de una estructura.

E-2 Modelación de la forma, elementos lineales planos, elementos lineales espaciales y elementos superficiales a través del Software. Características geométricas involucradas en el análisis. Opciones de edición del software.

Modelación de los materiales. Modelación de las condiciones

de apoyo y condiciones de compatibilidad de los desplazamientos.

Obtener el modelo geométrico para estructuras lineales planas y espaciales, así como elementos superficiales a través de elementos finitos. Definir el modelo de los materiales así como la modelación de las condiciones de apoyo y condiciones de compatibilidad de los desplazamientos.

Conferencia problémica y trabajo en el laboratorio de computación, se aplica la teoría y las formulas en la solución y aplicación de problemas. Orientaciones del estudio independiente.

Obtiene el modelo geométrico de una estructura plana y espacial, definiendo los materiales y las condiciones de apoyo.

E-3 Modelación de las cargas estáticas en estructuras lineales planas, lineales espaciales y superficiales.

Obtención de las características de la respuesta dinámica de las estructuras. Valores y formas propias.

Definir los estados de cargas estáticas sobre las estructuras lineales planas, lineales espaciales y superficiales.Definición de la masa de la estructura y obtención de las características dinámicas de los sistemas. Valores y formas propias.

Conferencia problémica y trabajo en el laboratorio de computación, se aplica la teoría y las formulas en la solución y aplicación de problemas. Orientaciones del estudio independiente.

Define los estados de cargas estáticas y se resuelve el problema de los valores propios de la estructura.

CALENDARIZACIÓN DE LA ASIGNATURA “CÁLCULO AUTOMATIZADO DE LAS ESTRUCTURAS”.Variante 6 encuentros.

E-4 Definición de estados de cargas sísmica a través del método del espectro de respuesta.

Introducción de la norma nicaragüense RNC-07.

Fórmulas de superposición modal.

Combinaciones de carga.

Definición de los estados de carga sísmica a través del método del espectro de respuesta y aplicación de la norma nicaragüense RNC-07. Uso de las fórmulas de superposición modal. Definición de las combinaciones de carga

Conferencia problémica y trabajo en el laboratorio de computación, se aplica la teoría y las formulas en la solución y aplicación de problemas.Orientaciones del estudio independiente.

Obtiene el modelo de la carga símica a través del método del espectro de respuesta haciendo uso de la norma RNC-07, así como las combinaciones de carga de la estructura.

E-5 Obtención de las características de la respuesta estructural, manejo de los resultados a través de herramientas informáticas.

Obtención y validación de los resultados, definición de las magnitudes de respuesta estructural

Conferencia problémica y trabajo en el laboratorio de computación, se aplica la teoría y las formulas en la solución y aplicación de problemas.Orientaciones del estudio independiente.

Obtiene las características de las magnitudes de respuesta estructural: reacciones, desplazamientos, fuerzas interiores, etc. Obtiene reportes y los vincula a otras herramientas informáticas.

E-6 Diseño asistido de elementos de hormigón armado.

Diseño asistido de elementos de acero.

Se obtienen los diseños de elementos de la estructura en hormigón armado y acero, en base a los códigos de diseño de la ACI y LRFD.

Conferencia problémica y trabajo en el laboratorio de computación, se aplica la teoría y las formulas en la solución y aplicación de problemas.Orientaciones del estudio independiente.

Realizan la revisión estructural de elementos estructurales de hormigón armado y acero de la estructura.

STRUCTURAL ENGINEERING IS

THE ART OF USING MATERIALSThat Have Properties Which Can Only Be Estimated

TO BUILD REAL STRUCTURESThat Can Only Be Approximately Analyzed

TO WITHSTAND FORCESThat Are Not Accurately Known

SO THAT OUR RESPONSIBILITY WITH RESPECT TO PUBLIC SAFETY IS SATISFIED.

My freshman Physics instructor dogmatically warned the class “do not use an equation you cannot derive.”

The same instructor once stated that “if a person had five minutes to solve a problem, that their life depended upon, the individual should spend three minutes reading and clearly understanding the problem."

With respect to modern structural engineering, one can restate these remarks as “do not use a structural analysis program unless you fully understand the theory and approximations used within the program” and “do not create a computer model until the loading, material properties and boundary conditions are clearly defined.”

Cualquier proyecto de estructuras, antes de ser analizado y

diseñado debe ser previamente modelado.

En la etapa de creación del modelo, se representa la

estructura real por medio de una representación simplificada

de los elementos que la conforman. Es muy importante que

se entienda el comportamiento de éstos a fin de evitar que

se utilicen más elementos de los que se necesitan mediante

refinamientos innecesarios que retrasan el análisis.

En general, los programas de análisis de estructuras

permiten desarrollar el modelo de una estructura a través de

una interface o editor gráfico, el procesamiento numérico de

los datos y el análisis de los resultados por medio de las

etapas de pre procesamiento, procesamiento y post

procesamiento, respectivamente.

Actualmente, el proceso de obtención del modelo de una

estructura por medio de estos programas no es

complicado, pues en su etapa de pre procesamiento se

cuenta con diversas herramientas que facilitan el dibujo y

la visualización del mismo.

Posteriormente a la fase de obtención del modelo físico, se

deben determinar y analizar las solicitaciones, los

desplazamientos y deformaciones en la estructura. Para

ello se utilizan técnicas de análisis matricial de las

estructuras (AME) y análisis por el método de elementos

finitos (MEF), que involucran una gran cantidad de

modelos matemáticos y métodos numéricos, para los

cuales han sido desarrollados las rutinas que constituyen

los programas de cómputo.

En vista de la importancia que tienen actualmente estos

programas en el análisis de las estructuras es que se ha

preparado este curso, el cual está sustentado en la Modelación

Mecánica de las Estructuras a través de Software Profesiones,

específicamente el SAP 2000, por medio de la explicación de

las facilidades que ofrece en sus etapas de pre procesamiento,

procesamiento y post procesamiento.

Este programa, está orientado al análisis y diseño de

estructuras en general y para ello presenta un entorno

especializado.

El curso se desarrollara a través de la solución de estructuras,

cuyo nivel de complejidad irá aumentando gradualmente, de

manera que vayan siendo incorporados los conceptos durante

el proceso de obtención del modelo para el análisis de la

estructura.

Antes del desarrollo de los software de análisis estructural,

los ingenieros analizaban las estructuras como un conjunto

de pórticos planos empleando métodos aproximados como

el de Cross, portal, voladizo o Muto, utilizando para las

operaciones numéricas manualmente, usando reglas de

cálculo o calculadoras de mano.

En 1970, el Dr. Edward L. Wilson, lanzó en EE.UU el

primer programa completo de análisis estructural, llamado

SAP, el cual representaba para su época el estado del arte

de los procedimientos numéricos para la ingeniería

estructural. En esa época, el programa era utilizado en

computadoras de gran tamaño, por lo que estuvo

restringido a las organizaciones gubernamentales y a las

grandes compañías.

Los programas elaborados a inicios de los 70s tenían una serie

de limitaciones, como: una capacidad muy reducida de análisis,

un complicado proceso de ingreso de datos (que se realizaba a

través de tarjetas perforadas, cintas perforadas y otras) y una

laboriosa lectura de los resultados, los cuales se obtenían en

papel impreso.

Estas desventajas iniciales, que demandaban un gran cuidado

en el ingreso de los datos y en la lectura de los resultados, se

fueron reduciendo con el tiempo debido al aumento en la

capacidad de almacenamiento de datos, memoria de las

computadoras, velocidad de los procesadores numéricos y

flexibilidad de los dispositivos periféricos de las nuevas

computadoras, la implementación de nuevos métodos

numéricos, la invención de nuevos algoritmos, lenguajes de

programación y sistemas operativos con entornos gráficos más

avanzados.

A finales de los años 70, aparecieron las computadoras

personales, lo cual hizo que los programas de análisis también se

volvieran populares en las pequeñas compañías y entre muchos

usuarios individuales.

En el año 1980, se desarrolló la primera aplicación para análisis

estructural en 3D para computadoras personales.

Actualmente, los programas de análisis y diseño de estructuras

permiten realizar rápidamente la creación del modelo de análisis a

través de interfaces gráficas por medio de opciones de dibujo de

un conjunto de objetos que poseen propiedades (dimensiones,

material, sección transversal, etc.) y que representan a los

elementos de la estructura. Éstos cuentan también con

herramientas de edición, como cortar, copiar y pegar; opciones

para obtener la geometría global de la estructura a través de

plantillas o mediante la importación de archivos de dibujo de CAD.

Asimismo, cuenta con opciones de visualización del

modelo (3d, planta, elevaciones), opciones de

visualización de resultados (en pantalla o archivos de

texto), los cuales pueden ser exportados a las diversas

aplicaciones de Windows (Excel, Word, Access, etc.).

En estos programas, el proceso de obtención del

modelo para el análisis, el procesamiento numérico de

los datos y la visualización de los resultados, se realiza

en entornos de trabajo perfectamente definidos, que

corresponden a las etapas de pre procesamiento,

procesamiento y post procesamiento, respectivamente.

La obtención del conocimiento científico es posible por dos

vías, la experimental y la analítica.

La vía experimental está sustentada en la observación y

procesamiento de experimentos a distintas escalas y

soportadas en la estadística como herramienta

matemática.

La vía analítica se fundamenta en el nivel de conocimiento

que sobre un determinado fenómeno se tiene en un

momento histórico concreto.

Esta vía analítica es la que caracteriza el modo de actuar

del ingeniero en la solución de los problemas del análisis y

diseño de las estructuras.

Se pude representar este procedimiento de obtención del

conocimiento por la vía analítica de la siguiente manera,

como se ve en el esquema.

Fenómeno Físico Real

Modelo Físico para el Análisis

Modelo Matemático

Método Matemático de Solución

Obtención de la Solución

Validación de los Resultados

El Fenómeno Físico Real: es el fenómeno en sí, con

todas sus características y propiedades que lo distinguen y

lo definen. Es una realidad objetiva que existe en el tiempo

y el espacio. Se destaca el hecho de que un fenómeno

físico observado como objeto de estudio en el caso

particular de la ingeniería, está vinculado a un proceso

mediante el cual el hombre pretende conocer para con ello

transformar, inventar, adaptar, perfeccionar y/o utilizar

dicho fenómeno para un fin dado.

Es importante recordar que el ingeniero es el hombre que

concibe y dirige, a través de las matemáticas aplicadas,

obras como los puentes, las carreteras, canales, edificios,

etc.

El Modelo Físico para el Análisis: es una

representación simplificada del fenómeno físico real,

en la cual se reflejan, dentro de las infinitas

propiedades del fenómeno, un número finito de ellas,

que son las que están más estrechamente ligadas al

objetivo del investigador y las que determinan las

magnitudes de respuesta del sistema desde el punto

de vista del campo de la ciencia en que se desarrolla

el análisis. Por supuesto que también está

condicionado por el grado de desarrollo de la ciencia

en un momento histórico dado.

El Modelo Matemático: es el conjunto de correlaciones que

describen los procesos que ocurren en el modelo físico y las

ecuaciones que determinan las condiciones de borde del

problema dado. A cada modelo físico pueden corresponder

varios modelos matemáticos. En el caso de los problemas de

la Ingeniería Civil, un modelo físico dado puede ser

matemáticamente descrito a través de modelos energéticos,

dinámicos, etc.

El Método Matemático de Solución: conjunto de procesos y

procedimientos con la ayuda de los cuales se pueden

obtener, a partir de modelo matemático, las funciones y/o

valores numéricos de las magnitudes de respuesta que

describen al modelo físico.

Obtención de la Solución: es el tránsito desde el

modelo matemático y a través del método matemático

seleccionado hasta los valores concretos de las

características y/o propiedades de respuestas

buscadas.

Validación de los Resultados: es importante esta

etapa, ya que es la que permite validar si las

características encontradas y que describen la

respuesta obtenida, como solución matemática del

modelo matemático, del modelo físico de análisis,

describen de manera satisfactoria lo observado en el

fenómeno físico real.

En el campo de ingeniería estructural existe lo que es

conocido como el sistema de invariantes del proceso

de modelación mecánica de las estructuras, que no

es más que el conjunto de propiedades del fenómeno

que son consideradas esenciales para el ingeniero,

estas son:

Forma o geometría. Materiales. Condiciones de A poyo. Cargas.

Forma o geometría. Establece la manera en que la geometría del

sistema debe ser tenida en cuenta en el análisis. Existen por la

forma, distintos tipos de modelos, como partícula o como cuerpo y

como sistema de partículas o sistema de cuerpos. Como partícula

significa que la forma y dimensiones del cuerpo no influyen

significativamente en le respuesta observada, sin embargo, como

cuerpo, significa que la forma y las dimensiones tienen influencia

significativa en la respuesta y, por tanto, tiene que ser considerada

ya sea de forma exacta o aproximada.

Los cuerpos pueden ser lineales, superficiales o volumétricos, en

dependencia de la relación existente entre las dimensiones que

determinan el volumen del cuerpo.

Los cuerpos lineales son aquellos que una de sus dimensiones el

significativamente mayor que las otras dos, en este caso el cuerpo

se modela como una línea cuya forma se corresponde con la

dimensión predominante y la influencia de las otras dos

dimensiones se mide a través de las características geométricas

de la sección transversal del cuerpo (área, centroide, momentos

de inercia, etc.)

Los cuerpos superficiales son aquellos en los que dos de sus

dimensiones son significativamente mayores que la tercera,

estos se modelan como una superficie media con las

dimensiones predominantes y se considera la influencia de la

otra dimensión a través del espesor de la pieza.

Materiales. Los materiales de los que están hechos los elementos

de las estructuras son decisivos en la forma en que estas se

desempeñan ante las acciones que se presentan durante su tiempo

de vida útil. Los modelos adoptados para los materiales dependerá

en esencia a la relación entre tensiones y deformaciones que estos

manifiestan, así se tiene: materiales elásticos, plásticos y elasto-

plásticos.

Los materiales elásticos son aquellos en los que existe una relación

lineal entre tensiones y deformaciones, es decir, cumplen con la ley

de Hooke. Los plásticos son los que a valores de tensiones dados,

las deformaciones ocurren sin recuperación posterior. Los elasto-

plásticos poseen ambos tipos de comportamiento en diferentes

intervalos de tensiones. Existen diversos modelos para los

materiales plásticos y elasto-plásticos.

- Condiciones de apoyo. A través de las condiciones de

apoyo se expresa en el modelo físico de la estructura la

manera en que están vinculados los elementos que la

componen y a su vez también la manera en que la

estructura es sustentada por el medio, es decir, los

apoyos a tierra. Los modelos de condiciones de apoyo

están asociados a los grados de libertad que están

restringidos y por tanto las fuerzas interiores que tienen

capacidad de ser desarrolladas y transmitidas entre los

elementos y a tierra según corresponda.

Las Cargas. Se entiende por carga a toda acción que sea capaz de

generar un estado tensional y/o deformacional en los elementos de la

estructura, es decir, las fuerzas, que son una medida de interacción

mecánica entre los cuerpos necesariamente son cargas, pero otras

acciones, que no son modeladas como fuerzas, también pueden

constituir cargas, como el caso de las variaciones de temperatura y los

corrimientos en los apoyos.

Las cargas que son modeladas como fuerzas podrán ser concentradas

o distribuidas y estas a su vez pueden ser linealmente superficialmente

distribuidas. El modelo adoptado dependerá de la relación existente

entre las dimensiones área a través de la cual se transmite la acción y

las dimensiones del cuerpo sobre el que actúa la misma. A su vez las

cargas distribuidas linealmente y superficialmente puedes responder a

diversas leyes matemáticas, como uniformemente distribuidas,

linealmente variables u otras funciones.

Resumiendo se puede decir que el modelo

físico de una estructura es la representación

simplificada de la misma, donde aparecen

todos los elementos del sistema de

invariantes, es decir, la forma o geometría,

los materiales, las condiciones de apoyo y las

cargas.

Requisitos de una Estructura Funcional:

Resistente.

Estable.

Suficientemente Rígida.

Duradera.

Económica.

Fundamentos del análisis matricial de las estructuras.

El análisis estructural es el estudio de las estructuras como sistemas

discretos. La teoría de las estructuras se basa esencialmente en los

fundamentos de la mecánica con los cuales se formulan los distintos

elementos estructurales. Las leyes o reglas que definen el equilibrio y la

continuidad de estructura se pueden expresar de distintas maneras, por

ejemplo ecuaciones diferenciales parciales de un medio continuo

tridimensional, ecuaciones diferenciales ordinarias que definen a una barra

o a las distintas teorías de vigas, o llanamente ecuaciones algebraicas

para una estructura discretizada. Mientras más se profundiza en la física

del problema, se van desarrollando teorías que más apropiadas para

resolver ciertos tipos de estructuras y que demuestran ser más útiles para

cálculos prácticos. Sin embargo, en cada nueva teoría se hacen hipótesis

acerca de cómo se comporta el sistema o el elemento. Por lo tanto,

debemos estar siempre conscientes de estas hipótesis cuando se evalúen

resultados fruto de las teorías que aplicamos o desarrollamos.

El análisis estructural puede abordarse utilizando dos

enfoques principales: los sustentados en el método de las

fuerzas y los basados en el método de los desplazamientos.

Estos últimos son los que mayor auge han tenido debido a

han dado la posibilidad de que sus formulaciones haya sido

posible su sistematización y formulación matemática

haciendo uso del algebra matricial, han permitido desarrollar

formulaciones algebraicas a problemas complejos del

análisis matemático, el uso de métodos numéricos para

resolver ecuaciones complejas y sobre todo, además, el

desarrollo de rutinas que han sido posibles de utilizar a

través de las modernas técnicas de la informática.

Principio de continuidad: en todo elemento o estructura, los

desplazamientos deben poder representarse por funciones continuas.

Se expresan a través de las relaciones entre los desplazamientos y

las deformaciones:

Donde u, v y w son los corrimientos o desplazamientos en el punto

en el espacio y las y son las deformaciones unitarias.

Ecuaciones que pueden ser escritas matricialmente de la siguiente manera:

De forma más general, las ecuaciones de continuidad se pueden expresar

matricialmente como:

Donde los vectores y , que representan las deformaciones y los

desplazamientos, respectivamente, están relacionados por la matriz , que es

la matriz continuidad.

Modelos constitutivos: Son las ecuaciones que expresan la

relación entre las tensiones y las deformaciones en base a un

modelo constitutivo adoptado de la respuesta del material, que

puede ser elástico o inelástico y para este último en

dependencia de la las características de las cargas, si estáticas

o dinámicas, si son de corta o larga duración. Acá se ilustra el

modelo constitutivo más empleado en la práctica de la

ingeniería que corresponde a un material elástico, conocido

como Ley de Hooke.

Ecuaciones físicas o constitutivas del

estado tensional 3D

Matricialmente pueden ser escritas de la siguiente manera:

De forma más general, las ecuaciones constitutivas se pueden escribir

como:

Donde los vectores y , que representan las deformaciones y las tensiones,

respectivamente, están relacionados por la matriz , que es la matriz

constitutiva de flexibilidad, la cual es no singular, y, por tanto, existe .

Luego:

Donde la matriz es conocida como la matriz rigidez y se demuestra que:

[𝑘 ]= 𝐸(1+𝑣 )(1−2𝑣) [

(1−𝑣) 𝑣 𝑣 0 0 0𝑣 (1−𝑣 ) 𝑣 0 0 0𝑣 𝑣 (1−𝑣) 0 0 0

0 0 0(1−2𝑣)2

0 0

0 0 0 0(1−2𝑣)2

0

0 0 0 0 0(1−2𝑣 )2

]Donde la matriz es conocida como la matriz rigidez y se demuestra

que:

Principio del equilibrio: Expresan el estado de equilibrio

necesario en la estructura en su conjunto y en cada punto de ella

entre las fuerzas interiores y las acciones externas que actúan

sobre la misma.

Donde las componentes Fx, Fy y Fz son las fuerzas de cuerpo en

las direcciones X, Y y Z, respectivamente.

Estas ecuaciones matricialmente pueden ser escritas como:

En forma compacta se puede escribir como:

Formulación Matricial del problema en 2D

1. Formación del vector de fuerzas aplicadas en los nudos o vector

de fuerzas nodales. Expresado en sistema de coordenadas

generales X, Y y Z. Donde

2. Formación del vector de desplazamientos de los nudos o vector

de desplazamientos nodales. Donde

3. Formación del vector de fuerzas interiores en los extremos

de los elementos. Expresadas en ejes locales. Para cada

una de las barras de la estructura.==

4. Formación del vector de desplazamientos en los

extremos de los elementos. Expresadas en ejes locales.

Para cada una de las barras de la estructura.

==

 

 

 

 

5. Formación de la matriz rigidez de cada una de las barras expresadas en ejes locales.

 

 

  

Que puede entenderse que tiene la siguiente estructura:

La matriz rigidez de la barra prismática y plana, empotrada – empotrada

es como sigue:

En la que el término:

Donde: y dx

6. Los, vectores desplazamientos y fuerzas interiores que están

expresados en ejes locales de las barras, al igual que la matriz rigidez

de cada barra, es necesario expresarlos respecto a los ejes generales

de referencia, para lo cual se define la matriz rotación de cada barra,

en base a los cosenos directores de los ejes locales respecto a los ejes

generales de referencia, que definen la matriz rotación de la barra, ,

dada como:

De forma que en coordenadas globales, el vector de fuerzas en los

extremos de las barras y los desplazamientos en los extremos de las

barras son:

Y para expresar la matriz rigidez de la barra en coordenadas globales, se

tiene que:

Donde:

Coseno director del eje local con el eje global X

Coseno director del eje local con el eje global Y

Coseno director del eje local con el eje global Z

Coseno director del eje local con el eje global X

Coseno director del eje local con el eje global Y

Coseno director del eje local con el eje global Z

Coseno director del eje local con el eje global X

Coseno director del eje local con el eje global Y

Coseno director del eje local con el eje global Z

De forma que en coordenadas globales, el vector de fuerzas en los

extremos de las barras y los desplazamientos en los extremos de

las barras son:

Y para expresar la matriz rigidez de la barra en coordenadas

globales, se tiene que:

7. Una vez obtenida la matriz rigidez de cada barra expresadas

respecto al sistema global, se procede al ensamblaje de la matriz

rigidez de la estructura, proceso que se realiza garantizando la

compatibilidad de la geometría de la estructura, asegurando que

en cada nudo estén acumulados todos los componentes de la

matriz rigidez de cada una de las barras que concurren a cada

uno de los nudos de la estructura.

8. Solución del sistema de ecuaciones del problema dado por:

9. Una vez obtenidos los desplazamientos en los nudos se

procede a obtener los valores de las fuerzas interiores en los

elementos de la estructura.

Ejemplo de Cálculo.

La estructura es una armadura simple en 2D, considere: las barras

son iguales, con A=5x10-3m2 y E=2x1011N/m2. La geometría es la

que se muestra.

Obtenga las fuerzas interiores en las barras, el desplazamiento del

nudo libre y las reacciones en los apoyos producidas por el

sistema de fuerzas exteriores mostrado.

Obtención de la matriz rigidez de cada barra para el caso de la

barra con solo carga axial (en ejes locales):

Para la barra 1:

Para la barra 2:

Obtención de la matriz rotación de cada una de las barras:

Para la barra 1:

Para la barra 2:

Obtención de la matriz rigidez de cada una de las barras expresadas en

ejes generales:

Para la barra 1:

Desarrollando:

     

 

   

   

 

     

     

 

   

   

 

     

Para la barra 2:

Desarrollando:

Ensamblaje de la matriz rigidez para toda la estructura:

Nudo 1 Nudo2 Nudo 3

Desarrollando queda la matriz rigidez de la estructura como sigue:

 

 

 

 

Formación del vector de fuerzas en los nudos y del vector de

desplazamientos en los nudos.

Vector de fuerzas en los nudos.

 

Nudo 1 

Nudo 2

Nudo3 

Vector de desplazamientos en los nudos.

 

Nudo 1 

Nudo 2

Nudo3 

Planteamiento de la ecuación general del método de los desplazamientos:

Sustituyendo:

 

x =103x

 

 

 

Solución del sistema de ecuaciones:

que son las reacciones en los apoyos del sistema.

que son las componentes del desplazamiento del nudo libre.

Cálculo de los desplazamientos en los extremos de las barras, en ejes

locales:Barra1:

Barra 2:

Cálculo de las fuerzas interiores en los extremos de las barras, en ejes

locales:

Barra 1:

Barra 2:

Fuerzas en los extremos de las barras de la estructura:

Desplazamientos del nudo libre y reacciones en los apoyos:

Desplazamientos en el nudo libre.

Fuerzas interiores en las barras

Reacciones en los apoyos

Trabajo Independiente.Resolver el ejemplo anterior para las condiciones siguientes:1. Considere que los elementos son del mismo material y

sección transversal.2. Considere como cargas una horizontal de 2500N hacia la

derecha y una vertical de 1000N hacia abajo.3. La geometría dada a continuación.