211/10/2016

Dinámica de la partícula. Introducción .

Una vez que se ha estudiado el movimiento independientemente de lascausas que lo producen, el siguiente paso lógico consiste en estudiar cuales son lascausas de que se produzca el movimiento. Como adelantamos en temas anteriores, laparte de la mecánica encargada de esto es la dinámica que va a ser la que vamos apasar a desarrollar en este tema.

ESQUEMA DE DESARROLLO

1.- Introducción.

2.- Leyes de Newton.

2.1.- Primera ley de Newton. Concepto de Fuerza.

2.2.- Segunda ley de Newton. Masa inercial.

2.3.- Tercera ley de Newton. Ley de acción-reacción.

311/10/2016

Dinámica de la partícula. Introducción .

ESQUEMA DE DESARROLLO

3.- Fuerzas en la naturaleza.

3.1.- Fuerzas fundamentales en la naturaleza.

3.2.- Fuerza gravitatoria. Peso.

3.4.- Fuerza de contacto y fuerza normal.

3.3.- Fuerzas de rozamiento.

3.4.- Fuerzas elásticas.

4.- Sistemas inerciales y no inerciales.

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Dinámica de la partícula. Leyes de Newton. Primera ley de Newton. Concepto de fuerza.

Primera ley de Newton (ley de la inercia)

Todo cuerpo sobre el que no actúa una fuerza neta no altera su estado de movimiento,permaneciendo en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme, según fuera su estadoinicial.

La primera conclusión que podemos extraer de esta ley es que las fuerzas son lasresponsables del movimiento, y podríamos dar una definición de las mismas en elsiguiente sentido:

Fuerza: Causa capaz de modificar el estado de reposo o de movimiento rectilíneo yuniforme de un cuerpo o de deformarlo.

Necesariamente, las fuerzas tienen que ser magnitudes vectoriales puestoque tienen que indicar la dirección y sentido de la variación del movimiento odeformación.

Se pueden utilizar diferentes patrones de medida (o unidades) para la fuerza.En el sistema internacional el patrón se denomina Newton (N).

Es interesante hacer un especial énfasis en el hecho de que en la primera leyde Newton se habla de fuerza neta. En general sobre los cuerpos hay actuando unagran cantidad de fuerzas y sólo en el caso de que la suma vectorial de todas ellas seacero dicho cuerpo no modifica su estado de reposo o de velocidad constante rectilínea.

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Dinámica de la partícula. Leyes de Newton. Primera ley de Newton. Concepto de fuerza.

Atracción gravitacional del Sol sobre la Tierra 3.5·1022 N

Empuje de motores de propulsión (Boeing 747) 106 N

Fuerza de desaceleración de un automóvil durante el frenado 104 N

Fuerza entre dos protones en un núcleo 104 N

Fuerza de aceleración de un automóvil 6·103 N

Atracción gravitatoria de la Tierra sobre un hombre 7.8·102 N

Atracción gravitatoria de la Tierra sobre una manzana 2 N

Fuerza entre el electrón y el núcleo de un átomo (hidrógeno) 10-9 N

Valores aproximados de las fuerzas que se establecen en diferentes sistemas reales.

Como veremos en el apartado siguiente el peso de los objetos essimplemente la fuerza con la que un planeta (en nuestro caso la tierra) atrae ese objeto.Por lo tanto el peso de un determinado cuerpo depende del planeta que se encuentre oincluso dentro de un mismo planeta de la posición en la que se encuentre. Esto loveremos con más detalle en el apartado 3 de este tema.

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Dinámica de la partícula. Leyes de Newton. Segunda ley de Newton. Masa inercial.

Segunda ley de Newton

Si sobre un cuerpo actúa una fuerza neta , ,este sufre una aceleración dada por:

donde m es una magnitud característica del objeto, llamada masa inercial. La masainercial es la responsable de que un cuerpo sufra una aceleración mayor o menorcuando sobre el actúa una fuerza. Así, un cuerpo con una gran masa inercial seacelerará menos que un cuerpo de menor masa inercial cuando sobre ambos actúa unamisma fuerza.

La unidad (o patrón) de la masa inercial en el sistema internacional es elKilogramo (Kg). Puesto que la ecuación nos da la relación entre la fuerza, la masa, yla aceleración de un cuerpo, tenemos que el Newton o unidad de fuerza en el Sistemainternacional tiene que ser igual al producto del kilogramo, en el que se mide la masainercial, por el metro partido por segundo al cuadrado, en el que se mide laaceleración.

Fam

=

F

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Dinámica de la partícula. Leyes de Newton. Segunda ley de Newton. Masa inercial.

Notar que al contrario que lo que ocurría con el peso la masa de un objeto sies constante en todo el universo y no depende de la posición en la que se encuentra elobjeto. En vista de la segunda ley de Newton la relación entre el peso y la masa de unobjeto es igual a la aceleración con la que la tierra atrae a dicho objeto. En situacionesnormales se suele considerar que el valor aproximado de esa aceleración es constantee igual a 9.8 m/s2.

Masa del sol 2·1030 kg

Masa de la tierra 6·1024 kg

Masa de un automóvil 1.5·103 Kg

Masa del hombre 80 Kg

Masa de una manzana 0.2 Kg

Masa de un protón 1.7·10-27 Kg

Masa de un electrón 9.1·10-31 Kg

Valores aproximados de las masas inerciales de diferentes cuerpos.

811/10/2016

Dinámica de la partícula. Leyes de Newton. Segunda ley de Newton. Masa inercial.

Ejercicio.- Un pescador quiere tirar con su caña de pescar de un gran tiburón muertoque se enganchó en su anzuelo, en un hilo de pescar muy delgado. Si tira bruscamentedel hilo, éste se romperá; pero si se enrolla de forma gradual y uniforme, aguantará.Explique por qué.

Ejercicio.- Si un cuerpo choca con la superficie del agua a una gran velocidad, elimpacto es casi tan duro como si choca contra una superficie sólida. Explique porqué.

Ejercicio.- Cuando se estira una cuerda horizontalmente entre dos puntos fijos,siempre se comba un poco, a pesar de lo grande que sea la tensión. ¿Por qué?

Ejercicio.- Para una velocidad inicial dada, la distancia de detención de un tren esmucho mayor que la de un camión. ¿Por qué?

Ejercicio.- Un avión de combate tiene una masa de 16000 kg y sus motoresdesarrollan un empuje de 2.7·105 N a plena potencia. ¿Cuál, es la aceleraciónhorizontal máxima que este avión puede lograr? Ignore la fricción.

911/10/2016

Dinámica de la partícula. Leyes de Newton. Segunda ley de Newton. Masa inercial.

Ejercicio.- Una bola metálica de 3 kg gira en un plano vertical estando sujeta alcentro de la trayectoria por un alambre de 2 m de longitud. La velocidad de rotaciónse incrementa paulatinamente y en un momento dado el alambre se rompe saliendolanzada la bolita que va a caer a 500 m de distancia. Calcular la resistencia delalambre sabiendo que en el momento de la ruptura formaba con la vertical un ángulode 30°. Sol: v=75,21 m/s; T=8510,27N.

Ejercicio.- Un sistema tiene una ecuación de movimiento

donde la distancia se mide en metros y el tiempo en segundos. Si el sistema tiene unamasa de 1.7·10-27 kg (protón). ¿Cuáles son las componentes de la fuerza que actúasobre este sistema? ¿Cuál es la magnitud de la fuerza?

4 4 5 2 5 2ˆ ˆ ˆ5 10 2 10 2 10 4 10 x y zr t u t t u t u

1011/10/2016

Dinámica de la partícula. Leyes de Newton. Tercera ley de Newton. Principio de acción reacción.

Tercera ley de Newton. Principio de acción-reacción.

Si un cuerpo produce una fuerza determinada sobre otro, este ejerce sobre el primerouna fuerza igual, pero de sentido contrario a la original.

Una aplicación interesante del principio de acción y reacción es lapropulsión a chorro. Aparte de aplicaciones tecnológicas a las turbinas de aviación ylos cohetes propulsores de naves espaciales, este principio es utilizado, en lanaturaleza, por el calamar y el pulpo para realizar movimientos rápidos.

Ejercicio.- Cuando estamos parados sobre la Tierra, los pies ejercen una fuerza(empuje) contra la superficie. ¿Por qué la Tierra no se acelera alejándose denosotros?

Ejercicio.- Sobre la superficie de un cono de revolución de 30º que gira alrededor deeje vertical con una velocidad angular de 15 r.p.m., está situado un cuerpo de 2 kg demasa sujeto al vértice del cono por un hilo inextensible y sin masa de 4 m de longitud.Calcular: a) la velocidad lineal del cuerpo A tomando como sistema de referencia laTierra; b) la reacción de la superficie del cono sobre el cuerpo; c) la tensión del hilo;d) la velocidad angular a que debe girar el cono para anular su fuerza de reacciónsobre el cuerpo. Sol.: a) π m/s; b) N=1,25 N; c) T=21,9 N; d) ω=1,68 s-1.

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Dinámica de la partícula. Fuerzas en la naturaleza. Fuerzas fundamentales.

Fuerzas en la naturaleza. Fuerzas fundamentales.

Como hemos visto en el apartado anterior, las fuerzas son las responsables del movimientode los sistemas. La siguiente pregunta que nos deberíamos hacer sería ¿Cuales son losorígenes de las fuerzas? o lo que es lo mismo ¿Cuáles son las causas de que en la naturalezaaparezcan las fuerzas? En principio puede parecer complicado responder a esta preguntapuesto que en el apartado anterior hemos comentado muchos tipos de interacciones ofuerzas diferentes. Sin embargo, un análisis profundo de la naturaleza nos lleva a laconclusión de que todas las fuerzas o interacciones que observamos pueden explicarse enfunción únicamente de cuatro interacciones básicas:

1.- La fuerza gravitatoria.

2.- La fuerza electromagnética.

3.- La fuerza nuclear fuerte (fuerza hadrónica).

4.- La fuerza nuclear débil.

Las fuerzas cotidianas que observamos entre cuerpos macroscópicos son debidasa la fuerza gravitatoria o a la fuerza electromagnética. Las fuerzas nucleares fuertes ydébiles son las que permiten la formación de los núcleos atómicos y las partículaselementales. La fuerza gravitatoria la estudiaremos brevemente en el siguiente apartado, lafuerza electromagnética se estudiará en Física General II, y las fuerzas nucleares fuertes ydébiles no las estudiaremos por escapar a los contenidos básicos de este curso de Física.

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Tipo de interacción Intensidad relativa Alcance

Interacción fuerte 1 ≈1.4·10-15 m

Interacción electromagnética ∼10-2 ≈prácticamente ∞ (1/r2)

Interacción débil ∼10-13 ≈10-16 m

Intensidad Gravitatoria ∼10-38 ≈prácticamente ∞ (1/r2)

Comparación entre las diferentes fuerzas fundamentales.

Dinámica de la partícula. Fuerzas en la naturaleza. Fuerzas fundamentales.

1311/10/2016

Dinámica de la partícula. Fuerza gravitatoria. Peso.

La fuerza gravitatoria aparece como consecuencia de la masa inercial. Portanto no aparece sobre sistemas sin masa, como el caso de las ondaselectromagnéticas. La intensidad de la fuerza gravitatoria viene dada por la ley de laGravitación Universal de Newton publicada en 1687 en su libro “PhilosophiaeNaturalis Principia Mathematica”, donde se establece por primera vez una relacióncuantitativa (deducida empíricamente de la observación) de la fuerza con que se atraendos objetos con masa. Así, Newton dedujo que la fuerza con que se atraen dos cuerposde diferente masa únicamente depende del valor de sus masas y de la distancia que lossepara. También observó que dicha fuerza actúa como si toda la masa de cada uno delos cuerpos estuviese concentrada únicamente en su centro, es decir, es como si dichosobjetos fuesen puntuales. De forma general la ley de la Gravitación Universal puedeenunciarse como sigue:

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Dinámica de la partícula. Fuerza gravitatoria. Peso.

Ley de la Gravitación Universal:

Si consideramos dos cuerpos con masas inerciales m1 y m2 separados unadistancia r12, la fuerza con la que se atraen estos cuerpos es directamenteproporcional al producto de las masas e inversamente proporcional alcuadrado de la distancia entre ambos cuerpos, es decir,

donde G es una constante de proporcionalidad conocida con el nombre de constantede la gravitación Universal.

1 212 122

12

ˆm mF G rr

= −

211

2

N m6.67428 10 kg

G − ⋅= ⋅

1511/10/2016

Dinámica de la partícula. Fuerza gravitatoria. Peso.

1.- La ley de la Gravitación Universal cumple la tercera ley de Newton.

2.- El Peso de un objeto, es la fuerza con la que un planeta atrae a una masa

Si consideramos en concreto la tierra el Peso de un objeto de masa m sería:

Usando la segunda ley de Newton, la aceleración que adquiere un objeto sometido aun campo gravitatorio (o lo que es lo mismo sometido a su fuerza peso) será

que recibe el nombre de aceleración de la gravedad. Nótese que en general laaceleración de la gravedad no es constante y depende de la distancia del punto alcentro de la tierra (si consideramos el campo gravitatorio terrestre). Si consideramosun punto situado en la superficie de la tierra el valor de la aceleración de la gravedadsería:

2ˆTM mP G r

r= −

2 2ˆ ˆT TM m MPa g G r g G r

m mr r= = = − ⇒ = −

( )

2 2411 2

22

N m 5,9722 10 kg ˆ ˆ6.67428 10 9.8049 m/s kg 6376000 m

g r r− ⋅ ⋅= − ⋅ = −

1611/10/2016

Dinámica de la partícula. Fuerza gravitatoria. Peso.

Si consideramos un punto muy cercano a la superficie de la tierra podemos escribir laaceleración de la gravedad como un desarrollo en serie de Taylor alrededor del radioterrestre en cuyo caso

donde

Si consideramos puntos situados, por ejemplo, a un kilómetro del radio terrestre lamodificación de la aceleración de la gravedad sería:

2

2 2ˆ1 1T

TR

R R

M h hg G r gr R R

≈ − − = −

2 2 TT

T T

r Rhh r RR R

−= − ⇒ =

42 12 3,137 106376T

hR

−= ± = ⋅

Ejercicio.- Un satélite de 100 kg de masa se encuentra en una órbita circularalrededor de la tierra a una altura h=2RT. ¿Cuál es el periodo de este satélitealrededor de la tierra?

1711/10/2016

Dinámica de la partícula. Fuerzas de contacto y fuerzas normales. Fuerzas de contacto y fuerzas normales

En general se denominan las fuerzas de contacto a las interacciones que aparecen cuandoconsideramos dos sistemas mecánicos muy cercanos. Su origen está en las fuerzas electrostáticasde repulsión que los electrones de las capas exteriores de los átomos ejercen. Por tanto, el origende las fuerzas de contacto es fundamentalmente de tipo electromagnético.

1811/10/2016

Dinámica de la partícula. Fuerza de contacto y fuerza normal.

De lo dicho anteriormente se deduce que, en general, que en promedio la fuerzaresultante al poner en contacto dos cuerpos será normal a la superficie de contactoentre ambos.

Ejercicio.- Calcule la fuerza de contacto entre el cilindro y las dos rampas.

1 30º 2 60º

R=2 mm=2 kg

1911/10/2016

Dinámica de la partícula. Fuerzas de rozamiento.

Fuerzas de rozamiento

Las fuerzas de rozamiento aparecen cuando dos sistemas se mueven relativamente unorespecto a otro. Obviamente al igual que ocurría con las fuerzas de contacto sonfuerzas de origen fundamentalmente electromagnético que aparecen comoconsecuencia de las nubes electrónicas de los átomos que forman los materiales. Estasfuerzas son siempre tangentes a la superficie de separación entre los dos sistemasmecánicos y se oponen al movimiento relativo de dichos sistemas. Para cuantificar laimportancia de estas fuerzas hay que distinguir entre fuerzas de rozamiento sólido-sólido y fuerzas de rozamiento sólido-fluido.

Fuerza de rozamiento sólido-sólido

En este caso, la fuerza de rozamiento es proporcional a la fuerza normal o decontacto entre ambas superficies. La constante de proporcionalidad recibe el nombre decoeficiente de rozamiento entre ambas superficies.

En función de que los sistemas estén en movimiento relativo o no, hay quedistinguir coeficiente estático de rozamiento y coeficiente dinámico de rozamiento. Engeneral

rF N

estático dinámico

2011/10/2016

Dinámica de la partícula. Fuerzas de rozamiento.

Ejercicio- Dos masas de m1=1.5 kg y m2=3 kg están conectadas por una cuerda quecorre sobre una polea sin masa. La masa m2 cuelga de la cuerda; la otra se desliza enuna rampa de 35º con un coeficiente de fricción cinética igual a 0.4. ¿Cuál es laaceleración de las masas?

Ejercicio- Calcular la aceleración que tiene que tener el carretón de la figura paraque el bloque de masa m no caiga.

Ejercicio- Calcular el valor mínimo del radio que puede tener una curva de lacarretera, de ángulo de peralte θ, para que un automóvil que la recorre a la velocidadv no se deslice hacia el exterior, siendo μ el coeficiente de rozamiento dinámico.

2111/10/2016

Dinámica de la partícula. Fuerzas de rozamiento.

Fuerza de rozamiento sólido-fluido

En este caso, la fuerza de rozamiento depende de la velocidad relativa del sólidorespecto al fluido, es decir

haciendo un desarrollo en serie de Taylor tenemos:

Ejercicio.- Demuestre que la velocidad como función del tiempo de una partícula quecae partiendo del reposo bajo la influencia de la gravedad y una fuerza viscosa de laforma es

rF f v

2 31 2 3 .....rF b v b v b v

viscosaf bv

1 expmg b tvb m

2211/10/2016

Dinámica de la partícula. Fuerzas elásticas.

Fuerzas elásticas

Finalmente vamos a tratar de forma simple las fuerzas elásticas. En generalcuando hay una serie de fuerzas actuando sobre un sólido de tal manera que la fuerza netaes cero, el sólido en virtud de la segunda ley de Newton no se mueve pero las fuerzas lodeforman. Supongamos el caso más simple de dos fuerzas de igual magnitud, dirección, ysentidos contarios actuando tal y como se muestra en la figura.

0 0

0

ii

ii l

l g F

fF f l ll

f l

2 2

20 0

...2l l

f f lll l

F k l

l0 l0

2311/10/2016

Dinámica de la partícula. Fuerzas elásticas.

Ejercicio- Suponga que tiene un muelle de longitud L=0.25 m y que colgamos del mismouna masa de 1.5 kg. Si la longitud final del muelle es 0.5 m calcule la constante deelasticidad del mismo suponiendo que cumple la ley de Hooke

Ejercicio- Suponga que tiene un muelle de constante elástica k del que cuelga uncuerpo de masa m y lo aleja de su posición de equilibrio una distancia l. Calcule elmovimiento del muelle y la masa m si lo suelta.