Presentación de PowerPoint -...

“Herramientas estadísticas para el

Aseguramiento de la Calidad en ensayo

de materiales y mecánica de suelos con

Excel y MINITAB”

MSc. Alí E. Díaz Cama

INTRODUCCIÓN

• El objetivo de la estadística en el aseguramiento de la

calidad es analizar e interpretar los resultados de ensayos

de laboratorio sujetos a variabilidad mediante el manejo

de herramientas estadísticas para ser implementadas en

los sistemas de gestión que nos permita tomar decisiones

adecuadas en el control de calidad de laboratorios.

¿QUÉ ES ESTADÍSTICA?

Según Murray R. Spiegel “La Estadística estudia

métodos científicos para recoger, organizar, resumir y

analizar datos, así como para sacar conclusiones válidas

y tomar decisiones razonables basadas en tal análisis”

RAMAS DE LA ESTADÍSTICA

CLASIFICACIÓN

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA ESTADÍSTICA INFERENCIAL

MEDIA

MEDIANA

MODA

MEDIDAS DE

TENDENCIA

CENTRAL

MEDIDAS DE

DISPERSIÓN

MEDIDAS DE

POSICIÓN

- RANGO

- VARIANZA

- DESVIACIÓN ESTANDARD

- DESVIACIÓN ESTÁNDAR RELATIVA

- COEFICIENTE DE VARIACIÓN

CUANTILES

- PRUEBAS DE HIPÓTESIS

- TEST DE STUDENT

- TEST DE FISHER

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Las principales medidas son:

Media Aritmética

Mediana

Moda

Media Geométrica

Media aritmética ponderada

TENDENCIA CENTRAL

MEDIA ARITMÉTICA

La media aritmética poblacional se denota como μ

La media aritmética muestral es el promedio de los

datos.

En Excel Opción 2: función PROMEDIO

1

n

i

i

x

xn

TENDENCIA CENTRAL

MEDIANA

Se define como el valor central.

Es el número que se encuentra en medio de un

conjunto de números

El valor que delimita al 50% de los datos .

En Excel Opción 2: función MEDIANA

TENDENCIA CENTRAL

MODA

• Es el valor más frecuente, el que se observa mayor número de veces

Pueden existir varios o ningún valor de moda para un solo conjunto de datos, la distribución puede ser:

Amodal cuando ningún valor se repite

Unimodal cuando un solo valor es el más frecuente

Bimodal cuando dos valores son los más frecuentes

trimodal,...., polimodal

En Excel Opción 2: función MODA

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Las principales medidas son:

Rango

Varianza

Desviación Estándar

Desviación Estándar Relativa

Coeficiente de Variación

DISPERSIÓN

RANGO

Es la diferencia que existe entre el valor mas grande y el

mas pequeño.

minmaxrango

DISPERSIÓN

VARIANZA POBLACIONAL

La varianza poblacional se denota como σ²

Es el promedio de los cuadrados de las distancias de

los datos a su media aritmética.

En Excel Opción 2: función VARP

n

i

i xxn 1

22 1

DISPERSIÓN

VARIANZA MUESTRAL

La varianza muestral se denota como S²

Se calcula igual que la varianza poblacional,

dividiendo entre n-1.

En Excel Opción 2: función VAR

n

i

i xxn

s1

22

1

1

DISPERSIÓN

DESVIACIÓN ESTÁNDAR

Mide la variación de los datos en términos absolutos.

Se interpreta como la distancia promedio de los datos

a su media aritmética.

Se expresa en las mismas unidades que las empleadas

en los datos.

Se calcula tomando la raíz cuadrada positiva de la

varianza.

DISPERSIÓN

DESVIACIÓN ESTÁNDAR

• Desviación Estándar Poblacional:

En Excel: función DESVESTP

• Desviación Estándar Muestral:

En Excel: función DESVEST

2

2S=S

DISPERSIÓN

COEFICIENTE DE VARIACIÓN

Mide la variación relativa de la variable con respecto a

su promedio.

Cuando deseamos comparar la dispersión de dos

distribuciones, necesitamos medir la magnitud de la

desviación estándar en relación con la magnitud de la

media

Expresa a la variación de los datos como porcentaje de

su promedio.

X

S=CV

MEDIDAS DE POSICIÓN

Las medidas de posición son:

Cuartiles: Son tres y delimitan al 25%, 50% y 75%

de los datos acumulados.

Deciles: Son nueve y delimitan al 10%, 20%, ... ,

90% de los datos acumulados.

Percentiles: Son noventa y nueve y delimitan al 1%,

2%, ... , 99% de los datos acumulados.

Siempre acumulamos de izquierda a derecha.

En Excel: función PERCENTIL

TALLER: CÁLCULOS ESTADÍSTICOS SIMPLES CON EXCEL

• Microsoft Excel ofrece un conjunto de herramientas para el

análisis de los datos (Herramientas para Análisis) lo que

permite efectuar análisis estadístico de una manera simple.

• Para usar el análisis de datos, vaya ahora a datos, y allí

seleccione 'Análisis de Datos‟ (Datos / Análisis de datos).

• Aparecerá la lista de opciones en donde seleccionamos

Estadística Descriptiva:

CÁLCULOS ESTADÍSTICOS SIMPLES CON

EXCEL

En el cuadro de diálogo de Estadística descriptiva, lo

único que es "obligatorio" suministrar son los datos a

analizar (Rango de entrada) y el lugar en donde se

desea escribir los resultados (Rango de salida).

EJEMPLO

La siguiente información corresponde a resultados del “Método de ensayo

para determinar el material que pasa el tamiz Nº 200 (75 µm) – NTP

339.132 (1999)”, calcular las estadísticas descriptivas

A B C D E F

1 50.93 50.80 41.23 48.42 48.81 50.20

2 51.25 51.30 41.30 47.84 50.46 50.32

3 50.54 50.10 42.38 48.09 48.77 50.53

4 50.59 51.00 42.14 48.03 49.28 49.87

5 51.06 51.80 41.10 48.29 46.70 50.00

6 51.29 51.60 42.28 47.25 48.46 50.55

7 51.24 50.70 41.05 47.79 48.38 49.59

8 51.05 50.70 41.13 48.00 48.42 49.90

9 50.81 50.30 41.05 48.12 48.82 49.87

10 51.09 50.00 41.02 48.13 48.02 50.00

Comenzaremos calculando la estadística descriptiva del

analista “B”. El "Rango de entrada" es $D$6:$D$16, es decir

seleccionando los títulos como primera observación, de modo

que se debe activar la opción 'Rótulos en la primera fila'. A

continuación debemos activar la selección del rango de salida,

por ejemplo la celda $L$6, como se muestra a continuación:

El resultado es el siguiente:

CÁLCULOS ESTADÍSTICOS SIMPLES CON MINITAB

INICIO DE MINITAB

Inicie Minitab 1 En la barra de tareas de Windows, elija Inicio

Todos los Programas Minitab Solutions Software

estadístico Minitab 15 Español, o simplemente se inicia en

Minitab 15 Español del acceso directo del escritorio.

Minitab se abre con dos ventanas principales visibles:

La ventana Sesión muestra los resultados de su análisis en

formato de texto. Además, en esta ventana puede ingresar

comandos en lugar de usar los menús de Minitab.

La ventana Datos actual contiene una hoja de trabajo abierta,

que es similar en aspecto a una hoja de cálculo. Puede abrir

varias hojas de trabajo, cada una en una ventana Datos actual

distinta.

EJEMPLO 1.MPJ


Presentación de estadísticas descriptivas

Elija Estadísticas Estadísticas básicas Mostrar estadísticas

descriptivas.

Ejemplo

La siguiente información corresponde al “Método de ensayo para determinar

el pH de las aguas usadas para elaborar morteros y hormigones”- (NTP

339.073). El producto es agua para concreto.

Repeticiones A B C

1 7.95 7.97 7.94

2 7.95 7.96 7.95

3 7.96 7.96 7.94

4 7.96 7.95 7.94

5 7.95 7.95 7.94

6 7.95 7.96 7.95

7 7.95 7.95 7.94

8 7.96 7.94 7.94

9 7.96 7.96 7.94

10 7.96 7.95 7.94


Solución:

Estadísticas Estadísticas básicas Mostrar estadísticas

descriptivas

En Variables, ingrese A, B y C

En Por variables (no escriba nada),

Haga clic en Estadísticas.

Demarque media, desviación estándar, varianza, coeficiente de

variación, primer cuartil, mediana Tercer cuartil, moda, mínimo,

máximo, rango.

Marque Número de valores presentes, Número de valores faltantes y

Número de valores totales.

Haga clic en Aceptar en cada cuadro de diálogo.

MANEJO DE BUSQUEDA DE DATOS ¿Cómo buscar datos en una tabla de Excel?

La función BUSCARV rastrea un valor específico desde

columnas mas a la izquierda de una columna especificada, y

devuelve el valor en la misma fila de la Matriz. La V de

BUSCARV significa “Vertical”. Del mismo modo existe una

función BUSCARH (horizontal).

MANEJO DE BUSQUEDA DE DATOS

Elija Insertar función (fx) Búsqueda y referencia

BUSCARV.

Seguidamente Aceptar

MANEJO DE BUSQUEDA DE DATOS

En el siguiente argumento.

Valor_buscado: representa el valor a buscar

Matriz_buscar_en: representa la matriz donde se busca el valor

Indicador_columnas: columna donde se encuentra el valor buscado

Ordenado: es opcional, se coloca por defecto 2 o verdadero

Seguidamente Aceptar

DETERMINACIÓN DE CONSISTENCIA Y

VALORES ATÍPICOS

TECNICA GRAFICA DE

CONSISTENCIA

Existen diferentes técnicas estadísticas para la evaluación de la consistencia de datos, las más conocidas son: h y k de Mandel.

Estas técnicas prueban si el dato evaluado es consistente con el promedio de las mediciones y/o con la dispersión de las mismas.

La evaluación de los datos consiste en evaluar Si el valor de prueba es menor que el valor límite se considera un dato consistente, y si el valor de prueba es mayor que el valor límite se considera como valor inconsistente

1. Calcular el estadístico de consistencia entre laboratorios h de

Mandel.

2. Graficar los valores de hij para cada celda.

Si hij calculado < hij critico, entonces el conjunto de valores es

consistente.

3. Calcular el estadístico de consistencia dentro de laboratorio k de

Mandel.

4. Graficar los valores de kij para cada celda

Si kij calculado < kij critico, entonces el conjunto de valores es

consistente.

jp

i

jij

j

jij

ij

yyp

yyh

1

2

1

1

2

ij

jij

ij

s

psk

p

y

y

p

i

ij

j1

PASOS PARA LA TECNICA GRAFICA DE

CONSISTENCIA

Tabla 1. Indicadores para h de Mandel y estadístico k a 1% de nivel de confianza K

n

P h 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 1.15 1.71 1.64 1.58 1.53 1.49 1.46 1.43 1.41 1.39

4 1.49 1.91 1.77 1.67 1.60 1.55 1.51 1.48 1.45 1.43

5 1.72 2.05 1.85 1.73 1.65 1.59 1.55 1.51 1.48 1.46

6 1.87 2.14 1.90 1.77 1.68 1.62 1.57 1.53 1.50 1.47

7 1.98 2.20 1.94 1.79 1.70 1.63 1.58 1.54 1.51 1.48

8 2.06 2.25 1.97 1.81 1.71 1.65 1.59 1.55 1.52 1.49

9 2.13 2.29 1.99 1.82 1.73 1.66 1.60 1.56 1.53 1.50

10 2.18 2.32 2.00 1.84 1.74 1.66 1.61 1.57 1.53 1.50

p = número de laboratorios ó analistas a un nivel dado

n = número de réplicas en cada uno de los laboratorios ó cada uno de los analistas a ese nivel

Para un mayor número de laboratorios ó analistas, consultar la tabla 6 de ISO 5725-2:1994

Tabla 2. Indicadores para h de Mandel y estadístico k a 5% de nivel de confianza K

n

p h 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3 1.15 1.65 1.53 1.45 1.4 1.37 1.34 1.32 1.3 1.29

4 1.42 1.76 1.59 1.5 1.44 1.4 1.37 1.35 1.33 1.31

5 1.57 1.81 1.62 1.53 1.46 1.42 1.39 1.36 1.34 1.32

6 1.66 1.85 1.64 1.54 1.48 1.43 1.4 1.37 1.35 1.33

7 1.71 1.87 1.66 1.55 1.49 1.44 1.41 1.38 1.36 1.34

8 1.75 1.88 1.67 1.56 1.5 1.45 1.41 1.38 1.36 1.34

9 1.78 1.90 1.68 1.57 1.5 1.45 1.42 1.39 1.36 1.35

10 1.80 1.90 1.68 1.57 1.5 1.46 1.42 1.39 1.37 1.35

p = número de laboratorios o analistas a un nivel dado

n = número de réplicas en cada uno de los laboratorios a ese nivel

Para un mayor número de laboratorios, consultar la tabla 7 de ISO 5725-2:1994

EJEMPLO

Se realizaron 60 análisis de una misma muestra, determinando

el Contenido de Humedad de un Suelo – NTP 339.132 (1999):

¿Existe consistencia de datos entre analistas? Comprobar con h

y k de Mandel

CONTENIDO DE HUMEDAD DE UN SUELO

A B C D E F

1.01 0.86 0.88 0.61 1.06 0.82

1.05 0.87 0.88 0.64 1.04 0.82

1.03 0.83 0.93 0.63 1.03 0.78

1.02 0.83 0.92 0.61 1.08 0.76

1.05 0.84 0.87 0.60 1.00 0.86

1.06 0.86 0.91 0.63 0.99 0.85

1.03 0.85 0.89 0.61 0.99 0.85

1.03 0.84 0.92 0.62 1.06 0.84

1.05 0.84 0.93 0.60 1.03 0.82

1.07 0.84 0.90 0.60 0.98 0.80

SOLUCIÓN ANALITICA PARA H DE MANDEL

. ANALISTA PROMEDIO

(PROM-

PROM)

(PROM-

PROM)^2 hij PRUEBA hij

A 1.04 0.165 0.027225 1.055111447 CONSISTENTE

B 0.846 -0.029 0.000841 -0.18544383 CONSISTENTE

C 0.90 0.028 0.000784 0.179049215 CONSISTENTE

D 0.62 -0.26 0.0676 -1.662599856 CONSISTENTE

E 1.03 0.151 0.022801 0.965586839 CONSISTENTE

F 0.82 -0.055 0.003025 -0.351703816 CONSISTENTE

PROMEDIO 0.875 Σ= 0.122276

h de Mandel C critico 5% C critico 1%

P = 6 1.66 1.87

SOLUCIÓN GRÁFICA PARA H DE MANDEL

.

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

1 2 3 4 5 6

h de Mandel

hij C critico 5% C critico 1%

SOLUCIÓN ANALITICA PARA K DE MANDEL

. Desvest Varianza

Sij S2ij kij PRUEBA kij

A 0,018856181 0,000355556 0,782710425 CONSISTENTE

B 0,013498971 0,000182222 0,56033539 CONSISTENTE

C 0,022135944 0,00049 0,918851701 CONSISTENTE

D 0,014337209 0,000205556 0,595130206 CONSISTENTE

E 0,034705107 0,001204444 1,440591242 REZAGADO

F 0,032317866 0,001044444 1,341498082 REZAGADO

0,003482222

h de Mandel C critico 5% C critico 1%

P = 6 1,33 1,47

n = 10

SOLUCIÓN GRÁFICA PARA K DE MANDEL

.

1.47 1.47 1.47 1.47 1.47 1.47

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1 2 3 4 5 6

K de Mandel

hij C critico 5% C critico 1%

PRUEBAS NUMÉRICAS DE VALORES

ATÍPICOS

Existen diferentes técnicas estadísticas para la evaluación de valores atípicos, las más conocidas son: test de Cochran y Grups.

Estas técnicas prueban si el dato evaluado es atípico con el promedio de las mediciones y/o con la dispersión de las mismas.

La evaluación de los datos consiste en evaluar Si el valor de prueba es menor que el valor límite se considera un dato consistente, y si el valor de prueba es mayor que el valor límite se considera como valor inconsistente

VALORES CRITICOS PARA LA PRUEBA DE COCHRAN

TABLA 4 - Valores crìticos para prueba de Cochran

P N= 2 n= 3 n= 4 n= 5 n= 6

1% 5% 1% 5% 1% 5% 1% 5% 1% 5%

2 - - 0,995 0,975 0,979 0,939 0,959 0,906 0,937 0,877

3 0,993 0,967 0,942 0,871 0,883 0,798 0,834 0,746 0,793 0,707

4 0,968 0,906 0,864 0,768 0,781 0,684 0,721 0,629 0,676 0,590

5 0,928 0,841 0,788 0,684 0,696 0,598 0,633 0,544 0,588 0,506

6 0,883 0,781 0,722 0,616 0,626 0,532 0,564 0,480 0,520 0,445

7 0,838 0,727 0,664 0,561 0,568 0,48 0,508 0,431 0,466 0,397

8 0,794 0,68 0,615 0,516 0,521 0,438 0,463 0,391 0,423 0,360

9 0,754 0,638 0,573 0,478 0,481 0,403 0,425 0,358 0,387 0,329

10 0,718 0,602 0,536 0,445 0,447 0,373 0,393 0,331 0,357 0,303

11 0,684 0,570 0,504 0,417 0,418 0,348 0,366 0,308 0,332 0,281

12 0,653 0,541 0,475 0,392 0,392 0,326 0,343 0,288 0,310 0,262

13 0,624 0,515 0,450 0,371 0,369 0,307 0,322 0,271 0,291 0,243

14 0,599 0,492 0,427 0,352 0,349 0,291 0,304 0,255 0,274 0,232

15 0,575 0,471 0,407 0,335 0,332 0,276 0,288 0,242 0,259 0,220

16 0,553 0,452 0,388 0,319 0,316 0,262 0,274 0,230 0,246 0,208

17 0,532 0,434 0,372 0,305 0,301 0,250 0,261 0,219 0,234 0,198

18 0,514 0,418 0,356 0,293 0,288 0,240 0,249 0,209 0,223 0,189

19 0,496 0,403 0,343 0,281 0,276 0,230 0,238 0,200 0,214 0,181

20 0,480 0,389 0,330 0,270 0,265 0,220 0,229 0,192 0,205 0,174

21 0,465 0,377 0,318 0,261 0,255 0,212 0,220 0,185 0,197 0,167

22 0,450 0,365 0,307 0,252 0,246 0,204 0,212 0,178 0,189 0,160

23 0,437 0,354 0,297 0,243 0,238 0,197 0,204 0,172 0,182 0,155

24 0,425 0,343 0,287 0,235 0,230 0,191 0,197 0,166 0,176 0,149

25 0,413 0,334 0,278 0,228 0,222 0,185 0,190 0,160 0,170 0,144

26 0,402 0,325 0,270 0,221 0,215 0,179 0,184 0,155 0,164 0,140

Valores críticos para la prueba de Grubbs

TABLA 5: Valores crìticos para prueba de Grubbs

P Uno más grande o uno más pequeño Dos más grandes o dos más

pequeños

Superior 1% Superior 5% Inferior 1% Inferior 5%

3 1,155 1,155 - -

4 1,496 1,481 0,0000 0,0002

5 1,764 1,715 0,0018 0,0090

6 1,973 1,887 0,0116 0,0349

7 2,139 2,020 0,0308 0,0708

8 2,274 2,126 0,0563 0,1101

9 2,387 2,215 0,0851 0,1492

10 2,482 2,290 0,1150 0,1864

11 2,564 2,355 0,1448 0,2213

12 2,636 2,412 0,1738 0,2537

13 2,699 2,462 0,2016 0,2836

14 2,755 2,507 0,2280 0,3112

15 2,806 2,549 0,2530 0,3367

16 2,852 2,585 0,2767 0,3603

17 2,894 2,620 0,2990 0,3822

18 2,932 2,651 0,3200 0,4025

19 2,968 2,681 0,3398 0,4214

20 3,001 2,709 0,3585 0,4391

21 3,031 2,733 0,3761 0,4556

22 3,06 2,758 0,3927 0,4711

23 3,087 2,781 0,4085 0,4857

24 3,112 2,802 0,4234 0,4994

25 3,135 2,822 0,3376 0,5123

PRUEBA DE COCHRAN

p

iiL

L

i

s

sC

1

2

,

2

max

Evalúa el valor más alto en un grupo de desviaciones

estándar y es por lo tanto una prueba sesgada.

La prueba estadística de Cochran se realiza mediante el

estadístico Ci que es calculado según la expresión:

PRUEBA DE GRUBBS Evalúa si la observación más grande es un valor atípico.

Evalúa si la observación más pequeña es un valor atípico.

( )p

p

x xQ

s

( )ll

x xQ

s

EJEMPLO

Continuado con el mismo ejemplo en la determinación de Contenido

de Humedad de un Suelo – NTP 339.132 (1999), se procede con la

eliminación de los analistas E y F por presentar valores rezagados:

¿Existe valores atípicos entre analistas? Comprobar con pruebas de

Cochran y Grubbs


A B C D

1,01 0,86 0,88 0,61

1,05 0,87 0,88 0,64

1,03 0,83 0,93 0,63

1,02 0,83 0,92 0,61

1,05 0,84 0,87 0,60

1,06 0,86 0,91 0,63

1,03 0,85 0,89 0,61

1,03 0,84 0,92 0,62

1,05 0,84 0,93 0,60

1,07 0,84 0,90 0,60

DISTRIBUCIÓN NORMAL

LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

Puede tomar cualquier valor (- , + )

Hay más probabilidad para los valores cercanos a

la media

Conforme nos separamos de , la probabilidad va

decreciendo de igual forma a derecha e izquierda

(es simétrica).

Conforme nos separamos de , la probabilidad va

decreciendo dependiendo la desviación típica

La ecuación de la curva viene dada por la expresión:

La función F(X)

x

dxx

XF2

2

2exp

2

1)(

F(X) ES EL ÁREA BAJO LA CURVA,

REPRESENTADA POR LA REGIÓN

SOMBREADA DE LA SIGUIENTE GRÁFICA

PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN NORMAL:

La forma de la campana de Gauss depende de los parámetros μ y σ.

Tiene una única moda que coincide con su media y su mediana.

La curva normal es asintótica al eje de x.

Es simétrica con respecto a su media μ . Según esto, para este tipo de variables existe una probabilidad de un 50% de observar un dato mayor que la media, y un 50% de observar un dato menor.

PRUEBA DE NORMALIDAD

Para probar la normalidad de datos, se pueden

utilizar los siguientes métodos:

• TEST DE ANDERSON DARLING

• TEST RYAN-JOINER

• TEST KOLMOGOROV-SMIRNOV

En los método de Anderson Darling o Ryan

Joiner, si el valor de probabilidad P de la

prueba es mayor a 0.05, se considera que los

datos son normales.

EJEMPLO

Se cuentan con 40 análisis de una misma muestra, resultantes

de las pruebas de consistencia y atipicidad, correspondiente al

Contenido de Humedad de un Suelo – NTP 339.132 (1999):

Realizar prueba de normalidad, Comprobar con test de Ryan

Joiner con MINITAB


A B C D

1,01 0,86 0,88 0,61

1,05 0,87 0,88 0,64

1,03 0,83 0,93 0,63

1,02 0,83 0,92 0,61

1,05 0,84 0,87 0,60

1,06 0,86 0,91 0,63

1,03 0,85 0,89 0,61

1,03 0,84 0,92 0,62

1,05 0,84 0,93 0,60

1,07 0,84 0,90 0,60

PRUEBA DE VERIFICACIÓN DE

NORMALIDAD CON MINITAB

En este caso se verifica la normalidad usando

residuales mediante la prueba de Shapiro Wild

que es similar a Ryan-Joiner

Es necesario conocer que es una Hipótesis

Estadística

HIPÓTESIS ESTADÍSTICA

Hipótesis Estadística es una afirmación que se hace

acerca de un parámetro poblacional.

Hipótesis nula es una afirmación que está

establecida y que se espera sea rechazada después

de aplicar una prueba estadística. Se representa por

Ho.

Hipótesis alternante, es la afirmación que se

espera sea aceptada después de aplicar una prueba

estadística y se representa por H1.


En nuestro caso es:

Ho: Los residuales del contenido de humedad de un

suelo siguen una distribución normal.

H1: Los residuales del contenido de humedad de un

suelo no siguen una distribución normal.

Para la verificación de la normalidad es necesario

llevarlo a residuales, el procedimiento en Minitab es:

Apilar:

Datos ➤ Apilar ➤Columnas

En Apilar las siguientes columnas ingrese A, B, C y D (no se

olvide de cliquear al seleccionar en cada caso)

En Nueva hoja de trabajo (no escriba nada),

Marque en columna de hoja de trabajo actual

Seleccione HUMEDAD en Columna de hoja de trabajo

actual

Seleccione ANALISTAS en Almacenar subíndices

Haga clic en Aceptar.

Procedimiento para apilar columnas con Minitab

PROCEDIMIENTO PARA APILAR COLUMNAS CON MINITAB

PROCEDIMIENTO PARA RESIDUALES

Estadísticas ➤ ANOVA ➤Un solo factor

Seleccione HUMEDAD en Respuesta

Seleccione ANALISTAS en Factor

Haga clic en Almacenar residuos

Haga clic en Aceptar

PROCEDIMIENTO PARA RESIDUALES

Cuadro de diálogo final

PRUEBA DE NORMALIDAD

Estadísticas ➤ Estadísticas básicas ➤Normalidad

Escriba RESID 1 en Variable

En valores de y (no escriba nada),

En valores de datos (no escriba nada),

Marque en Ryan-Joiner (Similar a Shapiro-Wilk),

Haga clic en Aceptar.

PROCEDIMIENTO PARA NORMALIDAD

Cuadro de diálogo final

PROCEDIMIENTO PARA NORMALIDAD

Respuesta

Conclusión: De Acuerdo a esta gráfica P valor > 0.100 y α = 0,05 lo que se

concluye que ,implica que no se rechaza Ho; por lo

que se concluye que los residuales de los datos de humedad de

suelos se ajustan a una distribución normal.

05,0Pvalor

HOMOGENEIDAD DE VARIANZAS

Uno de los pasos previos a la comprobación de si

existen diferencias entre las medias de varias muestras

es determinar si las varianzas en tales muestras son

iguales (es decir, si se cumple la condición de

homogeneidad de varianzas), ya que de que se cumpla

o no esta condición dependerá la formulación que

empleemos en el contraste de medias.

Existen varias pruebas que permiten comprobar la

igualdad de varianzas (prueba de Bartlett, Levene,

etc), en Minitab se utilizará la prueba de Bartlett


• Uno de los posibles contrastes para la homocedasticidad es la prueba de Barlett propuesta por Barlett en 1937. Esta prueba presupone que los datos provienen de variables con distribución normal.

• Consiste en evaluar las varianzas de la prueba F (test de Fisher), para probar si estas varianzas (σ1², σ2², … σn²) son iguales.


2

1

2

2

C

SF

S21 ss

criticoc FF

Test de F

Evalúa igualdad de varianzas para dos muestras

PRUEBA DE HOMOGENEIDAD DE VARIANZAS


Para este caso es:

Ho: σ1² = σ2² = σn² (no se rechaza la hipótesis Ho, existe homogeneidad de varianza).

H1: σ1² ≠ σ2² ≠ σn² (se rechaza la hipótesis Ho, no existe homogeneidad de varianza).

TIPOS DE ERRORES

Rechazar una hipótesis no significa que ésta sea falsa, como

tampoco el no rechazarla significa que sea verdadera. La

decisión tomada no esta libre de error.

Error tipo I, que se comete cuando se rechaza una hipótesis

nula que realmente es cierta.

Error tipo II, que se comete cuando se acepta una hipótesis

nula que realmente es falsa.

NIVEL DE SIGNIFICACION

es la Probabilidad de cometer un Error tipo I. Se llama Nivel de significación. Es la probabilidad de rechazar la Ho cuando es verdadera es la probabilidad de cometer un Error tipo II Es deseable que estas dos probabilidades de error sean pequeñas.

NIVEL DE SIGNIFICACION Y

NIVEL DE CONFIANZA

En la práctica, es frecuente un nivel de significación de 0,05 ó 95% de NIVEL DE CONFIANZA Si por ejemplo se escoge el nivel de significación 0,05 (ó 5%), entonces hay unas cinco (05) oportunidades entre 100 de rechazar la hipótesis cuando debiera haberse aceptado; Es decir, tenemos un 95% de confianza de que hemos adoptado la decisión correcta. En tal caso decimos que la hipótesis ha sido rechazada al nivel de significación 0,05, lo cual quiere decir que tal hipótesis tiene una probabilidad 0,05 de ser falsa.

NIVELES DE SIGNIFICACION

Contraste de Una y Dos colas. Cuando estudiamos ambos valores estadísticos es decir, ambos lados de la media lo llamamos contraste de una y dos colas. En tales situaciones, la región crítica es una región situada a un lado de la distribución, con área igual al nivel de significación.

http://www.monografias.com/trabajos901/praxis-critica-tesis-doctoral-marx/praxis-critica-tesis-doctoral-marx.shtml

Para una distribución normal el 95 % de los datos cae dentro

de los límites z=-1,96 a z=1,96

Los promedios de las muestras también se distribuyen normalmente

INTERVALOS DE CONFIANZA

(1 ) (1 )2 2

;x Z x Zn n


El procedimiento para probar la homogeneidad de

varianzas para dos muestras con Minitab es:

Estadísticas Estadísticas básicas 2 varianzas

Nota: para todos los casos el nivel de significación es del

5 %


El procedimiento para probar la homogeneidad de

varianzas para mas de dos muestras con Minitab es:

Estadísticas Anova Varianzas iguales

Nota: para todos los casos el nivel de significación es del

5 %

ANALISIS DE VARIANZA

El análisis de la varianza (ANOVA) es una potente herramienta estadística, de gran utilidad tanto en el control de procesos, como en el laboratorio de análisis, para el control de métodos analíticos. Los ejemplos de aplicación son múltiples, pudiéndose agrupar, según el objetivo que persiguen, en dos principalmente: la comparación de múltiples columnas de datos y la estimación de los componentes de variación de un proceso. Compara medias de diversos conjuntos a través de sus varianzas


Para utilizar el ANOVA de forma satisfactoria

deben cumplirse tres tipos de hipótesis:

1. Los resultados obtenidos para cada conjunto deben

seguir una distribución normal.

2. Deben probarse homogeneidad de varianzas.

3. Las medias poblacionales de un conjunto de datos

deben evidenciar o no la diferencia significativa

entre analistas o laboratorios.

Nota:

El ANOVA no nos indica cuantos analistas o

laboratorios difieren entre si, ni cuales son.

Si los resultados no siguen una distribución normal

de acuerdo al ítem 1, es necesario aplicar la prueba

de Kruskal-Wallis


PARA DOS MUESTRAS (Test

de t) Condición σ1² = σ2² Donde es la varianza ponderada para Grados de libertad

En Minitab para probar si dos medias poblacionales difieren significativamente, se utiliza: Estadísticas ➤ Estadísticas básicas ➤t de 2 muestras

2

)1()1(

21

2

22

2

112

nn

snsns

críticot

nns

xxt

21

21

11

2s221 nn

ANÁLISIS DE VARIANZAS PARA MAS DE DOS

MUESTRAS

El procedimiento para probar la no existencia de diferencias significativas entre medias poblacionales con Minitab es:

• Estadísticas ANOVA 1 solo factor

Nota: para todos los casos el nivel de significación es del 5 %

PRUEBA DE HIPOTESIS PARA

ANÁLISIS DE VARIANZA:

1 2: ...o tH

1 : iH al menos un es diferente

EJEMPLO PARA DOS MUESTRAS

• La siguiente tabla muestra resultados de la máxima

densidad seca de un suelo del método de ensayo para

la compactación del suelo en laboratorio utilizando

una energía modificada (2700 kN-m/m3) - NTP

339.141 (1999)

a) Verifique la normalidad de residuales usando la

prueba de Shapiro Wild con nivel de significancia

del 5%

b) Probar la homogeneidad de varianza usando la

prueba F.

c) Probar si existen diferencias significativas entre

analistas. Usar nivel de significancia del 5%

TABLA: MÉTODO DE ENSAYO PARA DETERMINAR LA

MÁXIMA DENSIDAD - NTP 339.141 (1999):

NOTA: DE ACUERDO A LA DETERMINACIÓN DE CONSISTENCIA Y

ATIPICIDAD SE ELIMINÓ AL ANALISTA C, POR LO QUE SOLO SE

CONSIDERARÁ EN LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA LOS

RESULTADOS DE LOS ANALISTAS A Y B

A B C

1 1.911 1.907 1.892

2 1.910 1.901 1.913

3 1.913 1.908 1.911

VERIFICACIÓN DE NORMALIDAD USANDO

RESIDUALES MEDIANTE LA PRUEBA DE SHAPIRO

WILD

VERIFICACIÓN DE NORMALIDAD USANDO

RESIDUALES MEDIANTE LA PRUEBA DE SHAPIRO

WILD

De Acuerdo a esta gráfica P valor > 0.100 y α = 0.05 lo

que se concluye que , implica que no se

rechaza Ho; por lo que se concluye que los residuales de

los datos de densidad seca NTP 339.141 de un suelo se

ajustan a una distribución normal.

05.0Pvalor


Conclusión:

De Acuerdo a la gráfica usando la prueba F, P valor = 0.280 y

α = 0.05 lo que se concluye que , implica

que no se rechaza Ho; por lo que se concluye que existe

homogeneidad de varianza

280.005.0 Pvalor

PRUEBA DE COMPARACIÓN DE ANALISTAS

Conclusión:

• De los resultados de T de dos muestras, P = 0.064 y α = 0,05, lo

que se concluye que , implica que no se

rechaza Ho: µA= µB,; por lo que se concluye que no existen

diferencias significativas entre los dos analistas.

05,0064.0Pvalor

EJEMPLO PARA MAS DE DOS MUESTRAS

• Continuando con el procedimiento de ANOVA del

ensayo: Contenido de Humedad de un Suelo – NTP

339.132 (1999) y habiendo verificado y comprobado

la normalidad de residuales usando la prueba de

Shapiro Wild con nivel de significancia del 5%

a) Probar la homogeneidad de varianza usando el test

de Bartlet y comentar

b) Probar si existen diferencias significativas entre

analistas. Usar nivel de significancia del 5%


Conclusión:

De Acuerdo a la gráfica usando el test de Barttet, P valor =

0.423 y α = 0.05 lo que se concluye que ,

implica que no se rechaza Ho; por lo que se concluye que

existe homogeneidad de varianza

423.005.0 Pvalor

PRUEBA DE DIFERENCIAS SIGNIFICATIVAS

ENTRE ANALISTAS

PRUEBA DE DIFERENCIAS SIGNIFICATIVAS ENTRE

ANALISTAS

Conclusión:

De la tabla de ANOVA, P = 0.000 para humedad de suelos,

indica que hay suficiente evidencia que hay al menos un

analista cuyos resultados son significativamente diferentes

cuando α se establece en 0,05.

HERRAMIENTAS ESTADÍSTICAS CON EXCEL

ANOVA DE UN FACTOR

Cuando hay una sola variable que proporciona condiciones

experimentales distintas, el análisis recibe el nombre de

ANOVA de un solo factor

• Esta prueba se basa en la comparación de las sumas de

cuadrados medias debidas a la variabilidad entre grupos y la

debida a la variabilidad dentro de los grupos. Ambas sumas son

estimaciones independientes de la variabilidad global, de

manera que, si el cociente entre la primera y la segunda es

grande, se tendrá mayor probabilidad de rechazar la hipótesis

nula. Este cociente sigue una distribución F.

• Donde: “a” es el número de niveles de factor (en ocasiones se

les llama “tratamientos”), cada tratamiento tendrá “n” réplicas

u observaciones.

ANOVA DE UN FACTOR La elaboración de ANOVA de un factor en Excel es usando el

análisis de datos, vaya ahora a datos, y allí seleccione „Análisis

de Datos‟ y seguidamente “Análisis de varianza de un solo

factor”

ANOVA DE UN FACTOR Cuando se acepta aparece el siguiente diálogo, se realizan los siguientes

pasos:

En rango de entrada: se selecciona datos agrupados por columnas o filas.

Seleccionar “rótulos en la primera fila”

Alfa: 0,05

Seleccionar rango de salida

Aceptar

ANOVA DE UN FACTOR TABLA DE ANÁLISIS DE VARIANZA

Donde:

a = Numero de Tratamientos

N = an = Numero de Observaciones

El análisis de la tabla es:

Si F(Calculado)< Fcrítico, se podrá concluir que no existen diferencias significativas entre analistas u laboratorios. (o mediante Pvalor > 0,05)

Fuente de

variación

Suma de

cuadrados

Grados

de

libertad

Cuadrado

medio F Probabilidad

Valor

crítico

para F

Tratamientos SSTratamientos a -1 MSTratamientos MSTRATAMIENTOS/

MSE P FC

error SSE a(n-1) MSE

Total SST an-1

ANOVA DE UN FACTOR SUMA DE CUADRADOS

1) Tratamientos

2) Error

3) Total

a

i

iOSTRATAMIENT xxnSS1

2

a

j

ij

n

i

E xxSS1

2

1

EOSTRATAMIENTT SSSSSS

ANOVA DE UN FACTOR GRADOS DE LIBERTAD

1) Tratamientos

2) Error

3) Total

1a

aNna )1(

11 Nan

ANOVA DE UN FACTOR CUADRADO MEDIO

1) Tratamientos

2) Error

1a

SSMS OSTRATAMIENT

OSTRATAMIENT

)1(na

SSMS E

E

ANOVA DE UN FACTOR F (calculado)

1) Tratamientos

E

OSTRATAMIENT

MS

MSF

TALLER

La siguiente información corresponde a resultados de ensayos Intralaboratorio para evaluar el desempeño de los analistas correspondiente al ensayo: Contenido de Sulfatos en las aguas usadas en la elaboración de hormigones y morteros (NTP 339.074). Evaluar si existen diferencias significativas entre analistas

A B C

1 160,90 156,37 159,25

2 160,49 155,96 158,84

3 161,31 156,37 158,53

4 160,49 158,43 159,66

5 160,49 158,02 157,60

6 158,84 156,37 158,02

7 160,49 156,37 158,02

8 160,07 156,78 159,66

9 159,66 158,43 158,43

10 160,90 158,02 159,25

SOLUCIÓN DEL EJEMPLO 1) Tratamientos

2) Error

3) Total

a

i

iOSTRATAMIENT xxnSS1

2

52,878485,287848*10

17,89801

2

1

a

j

ij

n

i

E xxSS

70,776528980,1787848,52TSS

SOLUCIÓN DEL EJEMPLO GRADOS DE LIBERTAD

1) Tratamientos

2) Error

3) Total

2131a

27)110(3)1( aNna

29110*311 Nan

SOLUCIÓN DEL EJEMPLO CUADRADO MEDIO

1) Tratamientos

2) Error

43924,262

8990,17OSTRATAMIENTMS

0,662890427

8990,17EMS

SOLUCIÓN DEL EJEMPLO

F (calculado)

1) Tratamientos

39,8847850,6628904

43924,26F


p valor

Sintaxis DISTR.F(x;grados_de_libertad1;grados_de_libertad2) X es el valor en el que se desea evaluar la función, en nuestro caso es: F = 39,8847851 Grados_de_libertad1 es el número de grados de libertad del numerador, en nuestro caso es: 2 Grados_de_libertad2 es el número de grados de libertad del denominador, en nuestro caso es: 27 P valor=8,697E-09


F crítico

Buscando en la tabla del estadístico F, para = 0.05, y 2 y 27 grados de libertad

tenemos que F ;a-1;N-a = F 0,05;2;27 = F = 3,3541312 ,

RESULTADOS EN TABLA DE ANOVA DE UN

FACTOR Análisis de varianza de un factor (cálculos manuales)

Resumen

Grupos Cuenta Suma Promedio Varianza

A 10 1603,64 160,36 0,49307

B 10 1571,12 157,11 0,97364

C 10 1587,26 158,73 0,52196

Fuente de

variación

Suma de

cuadrados

Grados

de

libertad

Cuadrado

medio F

Probabilida

d

Valor

crítico

para F

Tratamientos 52,87848 2 26,43924 39,8847851 8,697E-09 3,3541312

error 17,8980 27 0,66289037

Total 70,77652 29

RESULTADOS CON ESTADÍSTICO ANOVA DE UN

FACTOR CON EXCEL

Análisis de varianza de un factor

RESUMEN

Grupos Cuenta Suma Promedio Varianza

A 10 1603,64 160,364 0,493071111

B 10 1571,12 157,112 0,97364

C 10 1587,26 158,726 0,52196

ANÁLISIS DE VARIANZA

Origen de las variaciones

Suma de

cuadrados

Grados de

libertad

Promedio

de los

cuadrados F Probabilidad

Valor crítico

para F

Entre grupos 52,87848 2 26,43924 39,88478515 8,697E-09 3,354130829

Dentro de los grupos 17,89804 27 0,66289037

Total 70,77652 29

Conclusión:

• De la tabla de ANOVA de un factor, F calculado =

39,88478515 mayor que F crítico = 3,354130829 para

contenido de sulfatos, indica que se rechaza la Ho, por lo que

hay diferencias significativas entre analistas cuyos resultados

son significativamente diferentes, además p valor = 8,697E-09

es menor que α = 0,05.

A B D E F

1 10,00 11,00 11,00 8,00 10,00

2 10,00 11,00 10,00 8,00 10,00

3 10,00 11,00 11,00 8,00 10,00

4 9,00 12,00 11,00 8,00 10,00

5 10,00 11,00 10,00 7,00 10,00

6 9,00 12,00 10,00 8,00 10,00

7 9,00 11,00 12,00 8,00 9,00

8 10,00 11,00 11,00 8,00 9,00

9 10,00 10,00 11,00 7,00 10,00

10 10,00 11,00 10,00 8,00 10,00

TALLER: La siguiente

información

corresponde a

resultados de ensayos

Intralaboratorio para

evaluar el desempeño

de los analistas

correspondiente al

ensayo:

Índice Plástico de

Suelos – NTP 339.129

Evaluar si existen

diferencias

significativas entre

analistas?

ANOVA DE DOS FACTORES

Cuando hay varias muestras

por grupo o una sola muestra

por grupo

GRÁFICOS DE CONTROL

118

Gráficos de Control

Es una técnica del monitoreo del proceso, que

proporciona información útil para mejorar, estimar

los parámetros del proceso o método analítico

3020100

0.07

0.06

0.05

Observation Number

Indiv

idual V

alu

e

I Chart for Shaft_OD

X=0.05978

3.0SL=0.06745

-3.0SL=0.05211

TIPOS DE

GRAFICOS DE

CONTROL

• Gráficos de Shewhart

• Gráficos de Recorrido

• Gráficos de Diferencias

• Gráficos de CUSUM

Parámetro

medido

Limite de actuación inferior

Limite de aviso inferior

Valor medio muestra de control

Limite de aviso superior

Limite de actuación superior

nsx /3

nsx /2

x

nsx /2

nsx /3

n° de muestra de control

PASOS PARA UNA GRAFICA DE

CONTROL POR VARIABLES

Definir la característica de Calidad

Escoger el subgrupo racional

Reunir los datos

Calcular los limites de control y la línea central

Revisar los limites de control y la línea central

Lograr el objetivo

GRÁFICA X-Bar & R

Gráfica X-Bar

4LCS D R

3LCI D R

LC R

2LCI X A R

2LCS X A R

LC X

Gráfica R

Tamaño muestra ( n) 2 3 4 5 6 10

Eficiencia relativa 1.000 0.992 0.975 0.955 0.930 0.850

GRÁFICA X-Bar & S

Gráfica X-Bar

SBLCS 4

SBLCI 3

SLC

SAxLCI 3

SAxLCS 3

xLC

Gráfica S

CARTAS DE CONTROL

Las cartas de control son la herramienta más poderosa

para analizar la variación en la mayoría de los procesos.

Las cartas de control enfocan la atención hacia las causas

especiales de variación cuando estas aparecen y reflejan la

magnitud de la variación debida a las causas comunes.

Las causas comunes o aleatorias se deben a la variación

natural del proceso.

Se dice que un proceso está bajo Control Estadístico

cuando presenta causas comunes únicamente. Cuando

ocurre esto tenemos un proceso estable y predecible.

Cuando existen causas especiales el proceso está fuera

de Control Estadístico; las gráficas de control detectan la

existencia de estas causas en el momento en que se dan, lo

cual permite que podamos tomar acciones al momento.

PATRONES FUERA DE CONTROL

CONSTANTES PARA LAS GRÁFICAS DE CONTROL

# de A A2 A3 A6 B3 B4 B5 B6 c4 d2 d3 d4 D1 D2 D3 D4 D5 D6 E2

observaciones Gráfico X Gráfico S

Gráfic

o R

2 2,121 1,880 2,659 0 3,267 0 2,606 0,7979 1,128 0,853 0,954 0 3,686 0 3,267 0 3,865 2,660

3 1,732 1,023 1,954 1,187 0 2,568 0 2,279 0,8862 1,693 0,888 1,588 0 4,358 0 2,574 0 2,745 1,772

4 1,500 0,729 1,628 0 2,266 0 2,088 0,9213 2,059 0,880 1,978 0 4,698 0 2,282 0 2,375 1,457

5 1,342 0,577 1,427 0,691 0 2,089 0 1,964 0,9400 2,326 0,864 2,257 0 4,918 0 2,114 0 2,179 1,290

6 1,225 0,483 1,287 0,030 1,970 0,029 1,874 0,9515 2,534 0,848 2,472 0 5,078 0 2,004 0 2,055 1,184

7 1,134 0,419 1,182 0,509 0,118 1,882 0,113 1,806 0,9594 2,794 0,833 2,645 0,204 5,204 0,076 1,924 0,078 1,967 1,109

8 1,061 0,373 1,099 0,185 1,815 0,179 1,751 0,9650 2,847 0,820 2,791 0,388 5,306 0,136 1,864 0,139 1,901 1,054

9 1,000 0,337 1,032 0,412 0,239 1,761 0,232 1,707 0,9693 2,970 0,808 2,915 0,547 5,393 0,184 1,816 0,187 1,850 1,010

10 0,949 0,308 0,975 0,284 1,716 0,276 1,669 0,9727 3,078 0,797 3,024 0,687 5,469 0,223 1,777 0,227 1,809 0,975

11 0,905 0,285 0,927 0,350 0,321 1,679 0,313 1,637 0,9754 3,173 0,787 3,121 0,811 5,535 0,256 1,744

12 0,866 0,266 0,886 0,354 1,646 0,346 1,610 0,9776 3,258 0,778 3,207 0,922 5,594 0,283 1,717

13 0,832 0,249 0,850 0,382 1,618 0,374 1,585 0,9794 3,336 0,770 3,285 1,025 5,647 0,307 1,693

14 0,802 0,235 0,817 0,406 1,594 0,399 1,563 0,9810 3,407 0,762 3,356 1,118 5,696 0,328 1,672

15 0,775 0,223 0,789 0,428 1,572 0,421 1,544 0,9823 3,472 0,755 3,422 1,203 5,741 0,347 1,653

16 0,750 0,212 0,763 0,448 1,552 0,440 1,526 0,9835 3,532 0,749 3,482 1,282 5,782 0,263 1,637

17 0,728 0,203 0,739 0.l446 1,534 0,458 1,511 0,9845 3,588 0,743 3,538 1,356 5,820 0,378 1,622

18 0,707 0,194 0,718 0,482 1,518 0,475 1,496 0,9854 3,640 0,738 3,591 1,424 5,856 0,391 1,608

19 0,688 0,187 0,698 0,497 1,503 0,490 1,483 0,9862 3,689 0,733 3,640 1,487 5,891 0,403 1,597

20 0,671 0,180 0,680 0,510 1,490 0,504 1,470 0,9869 3,735 0,729 3,686 1,549 5,921 0,415 1,585

21 0,655 0,173 0,663 0,523 1,477 0,516 1,459 0,9876 3,778 0,724 3,730 1,605 5,951 0,425 1,575

22 0,640 0,167 0,647 0,543 1,466 0,528 1,448 0,9882 3,819 0,720 3,771 1,659 5,979 0,434 1,566

23 0,626 0,162 0,633 0,545 1,455 0,539 1,438 0,9887 3,858 0,716 3,811 1,710 6,006 0,443 1,557

24 0,612 0,157 0,619 0,555 1,445 0,549 1,429 0,9892 3,895 0,712 3,847 1,759 6,031 0,451 1,548

25 0,600 0,153 0,606 0,565 1,435 0,559 1,420 0,9896 3,931 0,709 3,883 1,806 6,056 0,459 1,541

Gráficas de control con Excel(Veracidad)

XLCS

XLCI

XLC

GRAFICO DE

CONTROL X

barra R

n (dato muestra): Sulfatos 3 162,104

LAS 160,981

A2 = 1,023 158,734

d2 = 1,693 LAI 156,487

155,364

A B C PROMEDIO X R

160,90 156,37 159,25 158,840 4,530

160,49 155,96 158,84 158,430 4,530

161,31 156,37 158,53 158,737 4,940

160,49 158,43 159,66 159,527 2,060

160,49 158,02 157,60 158,703 2,890

158,84 156,37 158,02 157,743 2,470

160,49 156,37 158,02 158,293 4,120

160,07 156,78 159,66 158,837 3,290

159,66 158,43 158,43 158,840 1,230

160,90 158,02 159,25 159,390 2,880

Promedio 158,734 3,2940

Desvest del proceso 1,946

CONSTRUCCIÓN DE TABLA

X barra LCS LAS LC LAI LCI

1 158,840 162,104 160,981 158,734 156,487 155,364

2 158,430 162,104 160,981 158,734 156,487 155,364

3 158,737 162,104 160,981 158,734 156,487 155,364

4 159,527 162,104 160,981 158,734 156,487 155,364

5 158,703 162,104 160,981 158,734 156,487 155,364

6 157,743 162,104 160,981 158,734 156,487 155,364

7 158,293 162,104 160,981 158,734 156,487 155,364

8 158,837 162,104 160,981 158,734 156,487 155,364

9 158,840 162,104 160,981 158,734 156,487 155,364

10 159,390 162,104 160,981 158,734 156,487 155,364

CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICA

154.0

156.0

158.0

160.0

162.0

164.0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Gráfico de Veracidad X barra

LCS LAS LC LAI LCI X barra

Gráficas de control con Excel (Precisión)

XLCS

XLCI

XLC

A B C PROMEDIO X R

160,90 156,37 159,25 158,840 4,530

160,49 155,96 158,84 158,430 4,530

161,31 156,37 158,53 158,737 4,940

160,49 158,43 159,66 159,527 2,060

160,49 158,02 157,60 158,703 2,890

158,84 156,37 158,02 157,743 2,470

160,49 156,37 158,02 158,293 4,120

160,07 156,78 159,66 158,837 3,290

159,66 158,43 158,43 158,840 1,230

160,90 158,02 159,25 159,390 2,880

Promedio 158,734 3,2940

Desvest del proceso 1,946

n (dato muestra) 3 8,479

LAS 6,749

d3 = 0,888 3,294

D4 = 2,574

D3 = 0

0

RLC

RLCI

XLCS

CONSTRUCCIÓN DE TABLA

R barra LCS LAS LC LCI

4,5300 8,479 6,749 3,294 0

4,5300 8,479 6,749 3,294 0

4,9400 8,479 6,749 3,294 0

2,0600 8,479 6,749 3,294 0

2,8900 8,479 6,749 3,294 0

2,4700 8,479 6,749 3,294 0

4,1200 8,479 6,749 3,294 0

3,2900 8,479 6,749 3,294 0

1,2300 8,479 6,749 3,294 0

2,8800 8,479 6,749 3,294 0

CONSTRUCCIÓN DE GRÁFICA

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Gráfico de Precisión R barra

LCS LAS LC LCI R barra

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