Presentacion de errores

República Bolivariana de Venezuela.República Bolivariana de Venezuela. Universidad del Zulia. Universidad del Zulia.

Facultad de Humanidades y Educación.Facultad de Humanidades y Educación.División de Estudios para graduados.División de Estudios para graduados.

Programa de MatemáticaPrograma de Matemática

Errores en el Aprendizaje de las MatemáticasErrores en el Aprendizaje de las Matemáticas

Licdo. Franklin Villalobos C.I. 9721538.

Licda. Elsa GonzálezC.I. 10.424.771

Maracaibo, enero de 2007

¿Qué es el error?¿Qué es el error?

Errores y obstáculos en el aprendizaje de la matemáticaFranklin Villalobos


ERROR

DEFINICION SEMANTICA:DEFINICION SEMANTICA:

1. Error1. Error. Según el diccionario Larouse, el error se define como:. Según el diccionario Larouse, el error se define como:“Opinión falsa, inexactitud, culpa o defecto, equivocación”“Opinión falsa, inexactitud, culpa o defecto, equivocación”

2. DEFINICION CONCEPTUAL:2. DEFINICION CONCEPTUAL:

Rico (1995), considera al error como “una posibilidad permanente de Rico (1995), considera al error como “una posibilidad permanente de adquisición y consolidación del conocimiento y puede llegar a formar adquisición y consolidación del conocimiento y puede llegar a formar parte del conocimiento científico que emplea las personas a los parte del conocimiento científico que emplea las personas a los colectivos” colectivos”

Socas (1997) señala que el “el error es la presencia de un esquema Socas (1997) señala que el “el error es la presencia de un esquema cognitivo inadecuado en el alumno y no solamente una consecuencia cognitivo inadecuado en el alumno y no solamente una consecuencia de una falta especifica de conocimiento o despiste”.de una falta especifica de conocimiento o despiste”.


ACTITUD DE LOS DOCENTES FRENTE A LOS ERRORES DE SUS ALUMNOS

Astolfi (1999)

Actitud de castigo: Falla del alumno

Actitud de replantear la programación: Falla de los programas educativos o de la enseñanza.

Actitud de interés hacia los errores de sus alumnos: El error es el centro del aprendizaje que se quiere obtener.

Fuente: Héctor Bohórquez / Lissette Franchi


NeutraNegativa

Positiva





Utilización del error en el proceso didáctico. Brousseau (2001)Utilización del error en el proceso didáctico. Brousseau (2001)El profesor debe tomar en cuenta un error de un alumno: El profesor debe tomar en cuenta un error de un alumno:

Cuando la producción de ese error sea suficientemente Cuando la producción de ese error sea suficientemente frecuente en ese alumno.frecuente en ese alumno.

Cuando sea suficientemente extendida en un conjunto de Cuando sea suficientemente extendida en un conjunto de alumnos.alumnos.

Cuando tenga consecuencias importantes en otras Cuando tenga consecuencias importantes en otras adquisiciones o en el desarrollo ordinario de la enseñanza.adquisiciones o en el desarrollo ordinario de la enseñanza.

Cuando se pueda vincular con decisiones didácticas en relación Cuando se pueda vincular con decisiones didácticas en relación con la organización de la enseñanza. Algunas de estas con la organización de la enseñanza. Algunas de estas decisiones didácticas: la demostración, la explicación, la decisiones didácticas: la demostración, la explicación, la expresión del problema en lemas y corolarios, la presentación expresión del problema en lemas y corolarios, la presentación de contra-ejemplos, etc.de contra-ejemplos, etc.




Utilización del error en el proceso didáctico. Brousseau (2001)Utilización del error en el proceso didáctico. Brousseau (2001)El profesor debe tomar en cuenta un error de un alumno: El profesor debe tomar en cuenta un error de un alumno:

Cuando la producción de ese error sea suficientemente Cuando la producción de ese error sea suficientemente frecuente en ese alumno.frecuente en ese alumno.

Cuando sea suficientemente extendida en un conjunto de Cuando sea suficientemente extendida en un conjunto de alumnos.alumnos.

Cuando tenga consecuencias importantes en otras adquisiciones Cuando tenga consecuencias importantes en otras adquisiciones o en el desarrollo ordinario de la enseñanza.o en el desarrollo ordinario de la enseñanza.

Cuando se pueda vincular con decisiones didácticas en relación Cuando se pueda vincular con decisiones didácticas en relación con la organización de la enseñanza. Algunas de estas decisiones con la organización de la enseñanza. Algunas de estas decisiones didácticas: la demostración, la explicación, la expresión del didácticas: la demostración, la explicación, la expresión del problema en lemas y corolarios, la presentación de contra-problema en lemas y corolarios, la presentación de contra-ejemplos, etc.ejemplos, etc.




Utilización del error en el proceso didáctico. Brousseau (2001)Utilización del error en el proceso didáctico. Brousseau (2001)

Estas estrategias exigen la utilización por parte del profesor de la Estas estrategias exigen la utilización por parte del profesor de la organización de los conocimientos de los alumnos y de su cultura organización de los conocimientos de los alumnos y de su cultura matemática.matemática.

Una enseñanza demasiado pragmática o mal estructurada desde Una enseñanza demasiado pragmática o mal estructurada desde el punto de vista teórico, va a conducir a alumnos y profesores a el punto de vista teórico, va a conducir a alumnos y profesores a un océano de aprendizajes aislados.un océano de aprendizajes aislados.




Utilización del error en el proceso didáctico. Brousseau (2001)Utilización del error en el proceso didáctico. Brousseau (2001)

La ilustración, la analogía, la reformulación y la repetición son La ilustración, la analogía, la reformulación y la repetición son apreciadas por ciertos pedagogos pero, sobre todo en matemáticas, apreciadas por ciertos pedagogos pero, sobre todo en matemáticas, conllevan fuertes peligros de rectificaciones inadecuadas, porque conllevan fuertes peligros de rectificaciones inadecuadas, porque exigen y contribuyen a desarrollar agregados de conocimientos, exigen y contribuyen a desarrollar agregados de conocimientos, diferentes de las concepciones científicas.diferentes de las concepciones científicas.


Tipología de errores.

ERROR

Movshovits-Hardar, Zalavksy e Inbar

Astolfi

Socas

Radatz


Errores según Movshovits-Hardar, Zalavksy e Inbar:

a) Datos mal utilizados: Errores que se producen por alguna discrepancia entre los datos y el tratamiento que le da el alumno, esto puede estar dado porque añaden datos extraños; se olvida algún dato necesario para la solución; se contesta a algo que no es necesario o se hace una lectura incorrecta del enunciado.

b) Interpretación incorrecta del lenguaje: Son errores se deben a una traducción incorrecta de hechos matemáticos descritos en un lenguaje simbólico distinto.

c) Inferencias no validas lógicamente: Estos errores se deben a fallas en el razonamiento y no se debe al contenido específico.

d) Teoremas o definiciones deformadas: Se producen por deformación de un principio, regla, teorema o definición identificable.

e) Falta de verificación en la solución. Se presenta cuando se realiza todo el procedimiento completo, excepto el resultado final de l problema planteado.

f) Errores técnicos: En esta categoría se incluye los errores de calculo, al tomar de una tabla en al manipulación de símbolos algebraicos y otros derivados de la ejecución de algoritmos.


Tabla 1Clasificación de los errores encontrados

Numero de repeticiones

Categoria

Grupo Sección Grado

Promedio

Porcentaje

1. Extracción en forma incorrecta de los datos que se encuentran en el problema o añade datos que no aparecen en el enunciado.

6

6

9no

0,85

85 %

2. Plantea ecuaciones en discordancia con el enunciado y tipo de problema.

6

6

9no

0,85

85 %

3. Plantea situaciones en discordancia con el enunciado del problema.

4. Lee incorrectamente el enunciado y realiza omisión de letras (variables) y/o números.

5. Utiliza valores de una variable para otra distinta.

6. Transcribe mal las cantidades al despejar la incógnita (calculo).

2

2

9no

0,29

29 %

7. Ejecuta incorrectamente operaciones de aritmética.

1

1

9no

0,14

14 %

8. Despeja incorrectamente la incógnita de una expresión.

1

1

9no

0,14

14 %

9. Transforma de forma incorrecta las unidades y desconoce las magnitudes físicas.

2

2

9no

0,29

29 %


Tabla 2Clasificación de los errores encontrados

Numero de repeticiones

Indicador

Grupo Sección Grado

Promedio

Porcentaje

1. Extracción en forma incorrecta de los datos que se encuentran en el problema o añade datos que no aparecen en el enunciado.

3

3

4t0

0,13

13 %

2. Plantea ecuaciones en discordancia con el enunciado y tipo de problema.

4

4

4to

0,17

17 %

3. Plantea situaciones en discordancia con el enunciado del problema.

1

1

4to

0,04

4 %

4. Lee incorrectamente el enunciado y realiza omisión de letras (variables) y/o números.

10

10

4to

0,43

43 %

5. Utiliza valores de una variable para otra distinta.

1

1

4to

0,04

4 %

6. Transcribe mal las cantidades al despejar la incógnita (calculo).

3

3

4to

0,13

13 %

7. Ejecuta incorrectamente operaciones de aritmética.

14

14

4to

0,60

60 %

8. Despeja incorrectamente la incógnita de una expresión.

8

8

4to

0,34

34 %

9. Transforma de forma incorrecta las unidades y desconoce las magnitudes físicas.

2

2

4to

0,08

8 %


Ejemplo 1.

Un ciclista viaja A hasta una ciudad B con una rapidez constante 30 Kl/h empleando en

2 horas en recorrida la distancia entre las 2 ciudades.

Trabajo del alumno

Datos

V = 300 Kl/h

T = 2 h

X =?

Transformación

segmseg

m

seg

m

seg

m/25,0

12

3000

1200

300000

1200

1000300 ===⋅

t = 2 h a seg

t = 2 x 60 se

t = 1200 seg

V = 300 Kl/h T = 2 h

A B X


Ejemplo 2:

La distancia que separa dos columnas consecutivas del tendido eléctrico de la vía férrea es de 60 metros.

Calcula el tiempo que emplea un tren en recorrer la distancia entre 2 columnas, si tiene una rapidez constante

de 72 Km/h

Trabajo del alumno

t =? V = 72 Km/h X = ?

Transformar las unidades

X = 60 m

V = 72 Km/h

72 Km/h a m/seg

segmseg

m

seg

m

seg

m/20

36

720

3600

72000

3600

100072 ===⋅

t

XV = Despeja a “t”

t = V.X sustituir los valores Error de despeje

tsegundosm

segmt === 3

60

/20 Error de aritmética en la sustitución

X

Los errores



Detrás de ciertos errores



¿Qué es un obstáculo?


Idea o concepción preconcebida como correcta y que resulta errada o falsa

Las ideas de Bachelard

La noción de Obstáculo Epistemológico emergió en los años treinta como herramienta en la polémica con la filosofía positivista de la ciencia. Bachelard lo utilizó en sus argumentos contra la presunción positivista de que existe una transición continua del pensamiento común al pensamiento científico.



Gastón Bachelard(1884-1962)

Las ideas de Bachelard



Gastón Bachelard(1884-1962)

“A menudo me ha sorprendido el hecho de que los profesores de ciencias, más incluso que los otros, si cabe, no comprenden que no se comprenda.”

“Los profesores de ciencias imaginan […] que siempre es posible rehacer una cultura descuidada repitiendo una clase, que se puede comprender una demostración repitiéndola punto por punto.”



Los obstáculos en la TSD

“Un alumno no está realmente haciendo matemática a menos que se haga preguntas a sí mismo y resuelva problemas. Todo el mundo está de acuerdo en eso. Las dificultades comienzan cuando se trata de saber qué problemas se deben plantear, quién los plantea y cómo.”

“Una noción aprendida es utilizable sólo en la medida en que es conectada a otras, constituyendo esos vínculos su significado, su etiqueta, su método de activación.”

Guy Brousseau(1933-)



Las aportes de Sierpinska

Anna Sierpinska

“De acuerdo con Brousseau, los obstáculos que aparecen en la enseñanza de la matemática pueden tener varios orígenes: ontogénico, didáctico, epistemológico, cultural.”

“Los obstáculos ontogénicos son formas de pensamiento cuyas limitaciones se deben al estadio del desarrollo mental del niño. No se puede pretender que un niño de 6 años entienda los principios de una teoría axiomática.”

“Los obstáculos didácticos son formas de pensamiento cuyas limitaciones se derivan de una cierta manera de enseñar.”



Los aportes de Sierpinska

Anna Sierpinska

“Los obstáculos epistemológicos son aquellos cuyas limitaciones están relacionadas con el propio significado de los conceptos matemáticos. Un concepto matemático tiene muchos niveles de generalidad y abstracción, y muchos aspectos, desarrollados a lo largo de su historia y dependiendo del contexto de su uso. Cada nivel y aspecto tiene sus limitaciones, y si uno piensa en un concepto con un significado que no es el apropiado para un contexto o problema dado, entonces esta forma de pensar funciona como un obstáculo y uno comete errores o puede no llegar a resolver el problema.”



EJEMPLOS:

Teorema de Pitágoras

“En todo triangulo rectagulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual a l cuadrado de la hipotenusa”

Obsérvese que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa.

42 + 32 = 52

Concebir el área como el número de cuadrados unitarios con el que uno puede cubrir la superficie dada; este número es un entero.



EJEMPLOS:

Detrás de este obstáculo hay la creencia de que siempre es posible encontrar una medida común de los lados de un rectángulo

222 )23(33 =+

Para superar este obstáculo uno tiene que(C2): estar atento a la existencia de segmentos inconmensurables y plantear la pregunta: ¿cuál es el área de un rectángulo si sus lados son inconmensurables? En este caso, no es posible cubrir el rectángulo con cuadrados unitarios por más pequeños que los escojamos.



OTROS EJEMPLOS:

De acuerdo con Bachelard, se dan cinco obstáculos principales a saber:

1. La experiencia básica o conocimientos previos.

2. El obstáculo verbal.

3. El peligro de la explicación por la utilidad.

4. El conocimiento general.

5. El obstáculo animista


OTROS EJEMPLOS:

Para Bachelard , en la formación del espíritu científico el primer obstáculo es la experiencia básica.

En este caso solo se tratara el O1:

O1: Al preguntarle a un niño: ¿Qué es un cambio de estado?

Responde: “Es cuando el hielo se derrite y se convierte en agua”

“No se explica el concepto, solo describe lo que interiorizo al hacer sus observaciones.

O2: Pregunta, ¿Qué es la flor?

Respuesta: “Un adorno?

“Se sustituye el concepto, por una palabra que designa una de las utilidades o empleo de esos vocablos”

Según Bachelard, este obstáculo es la falsa explicación lograda mediante una palabra explicativa.


OTROS EJEMPLOS:

E3: Pregunta ¿Qué es un animal salvaje o silvestre?

Respuesta: Son los leones y los tigres que viven en África y que atacan para comerse a la gente y a otros animales.

“En este caso se debe a creencias inducidas debido a procesos de socializacion, Estas concepciones se originan en el entorno familiar, social y por lal ainfluenbcia de los medios de comunicación”



La noción de obstáculo

•Los obstaculos no se tratan de limitaciones o debilidades de los sentidos o la mente del sujeto.•Se manifiestan a través de errores.•Son en sí mismos un conocimiento o una concepción, no una dificultad o una falta de conocimiento.•Dicho conocimiento o concepción le ha resultado útil al sujeto dentro de determinado contexto.•Pero fuera de dicho contexto conduce a respuestas falsas, generando un conflicto en el sujeto.•No se trata de impedimentos o dificultades derivadas de objetos externos al sujeto.



La noción de obstáculo•El éxito anterior exhibido por tal conocimiento dificulta el que se le reconozca como falso o impreciso, así como su sustitución por un conocimiento o una concepción más adecuados.•Resiste contradicciones ocasionales. El establecimiento de un nuevo conocimiento no garantiza la desaparición del anterior: pueden coexistir.•Aun reconocida su inexactitud por parte del sujeto, continúa aflorando intempestiva y persistentemente.•Puede caracterizarse como epistemológico cuando está vinculado al significado de los conceptos mismos, sin ser simplemente algo que ocurre a una persona o dos sino que está más extendido, o se ha extendido alguna vez en alguna cultura.


CONCLUSIONES

Derivado de la revisión bibliografica y de la experiencia docente en las aulas con estudiantes de bachillerato a lo largo de estos últimos años hemos llegado a las siguientes conclusiones:

1. En la revisión de las pruebas efectuadas a alumnos de 3er año y 4to año respectivamente se contabilizaron 30 pruebas, de las cuales surgieron 9 errores.

2. Al estudiar las diferentes topologías de errores presentadas por los diferentes autores e investigadores, se llego a la conclusión que de acuerdo a los errores presentados esta es atribuirle a la presentada por: Movshovits-Hardar, Zalavksy e Inbar. Logrando ubicar los errores en los nombrados por estos autores los relacionados con: Datos mal utilizados Interpretación incorrecta del lenguaje Errores técnicos

3. El error que más se observo fue el referido a los errores técnicos, en lo referido a los cálculos y procedimiento matemático para la resolución del problema.

4. Quizás los errores se cometen por la no utilización de gráficos que ilustren o dibujen el problema en su expresión más sencilla y comprensible.


CONCLUSIONES

5. Es necesario hacer mayor énfasis en el lenguaje físico en este caso.6. También es necesario una mayor integración entre las diferentes áreas del

conocimiento, de manera de establecer vínculos y similitudes para un mayor aprendizaje de las matemáticas.

7. De momento hemos encontrado los errores antes nombrados sin embargo estamos abierto a sugerencias y orientaciones con la finalidad de mejorar nuestro trabajo en el aula y fuera de ella.

Licenciado Franklin VillalobosCorreo electrónico: [email protected]

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