Cálculo de Errores

MEDIDAS Y CLCULO DE ERRORES

Introduccin

Error absoluto y relativo

Representacin numrica de

resultados experimentales

Clculo de errores en medidas

directas

Clculo de errores en medidas

indirectas

Ajuste por el mtodo de mnimos

cuadrados

1

Una medida lleva asociado un error, que es la

desviacin que existe entre el resultado de la medida

de la magnitud y el verdadero valor de sta

Errores sistemticos

Debidos a imperfecciones en los instrumentos

Se producen siempre en el mismo sentido

No son fciles de detectar ni de tratar

Para evitarlos hay que calibrar los aparatos siempre que se

vayan a utilizar

Errores accidentales

Debidos a pequeas variaciones en los experimentos y a

imperfecciones de nuestros sentidos

Se pueden minimizar si se repite la medida un nmero

suficiente de veces

2

MEDIDAS Y CLCULO DE ERRORES

INTRODUCCIN

Errores accidentales Admiten tratamiento estadstico

Errores sistemticos

3

ERROR ABSOLUTO Y RELATIVO

o Error absoluto e Sensibilidad instrumento utilizado

o Medida de una magnitud

, +

o La ltima cifra significativa del valor y la ltima del error

han de ser del mismo orden decimal

Ejemplos: l=2.4560.001m ea=0.001m

m=2.450.01g ea=0.01g

rTS=(1.50.4)108 km ea=0.4x108 km

ex

4


o Error relativo

o Precisin en la medida

Ejemplos

100x

ar

ee

l=1.470.02mm ea=0.02mm er=1.4 % m=25.50.1g ea=0.1g er=0.4% rTS=(1.50.4)10

8 km ea=0.4x108 km er=26.6 %

5


Ejemplo 1

Se miden las masa de un hombre y de un camin

mh=8010 kg, mc=5000 10kg, calcular el error relativo

en cada caso.

Para la masa del hombre el error relativo es:

Para la masa del camin, el error relativo es:

%5.1210080

10rhe

%2.01005000

10

cre

6


7

Ejemplo 2

Un tren viaja 890 km, de Berln a Pars, y rebasa el fin de la va 10m (a)Cul ser el error relativo de aproximacin en la distancia total

recorrida?

(b)Cul sera el error relativo si el viaje se realizase desde Albacete a la Roda, cuya distancia es 35km?

(a) En este caso el error absoluto es ea=10m=10-2km,

y el error relativo sera

%1012.1100890

10 32

xrhe

(b)En este caso el error absoluto es ea=10m=10-2km,

y el error relativo sera

%108.210035

10 22

xrhe

RESULTADOS EXPERIMENTALES

Cifras significativa es todo dgito (exceptuando el cero

cuando se utiliza para situar el punto decimal) cuyo valor

se conoce con seguridad

La longitud tiene 4 cifras significativas, la masa tiene

3 cifras significativas

En el error solamente debe emplearse una cifra distinta de

cero, aunque si la primera cifra es 1 o 2 suelen darse dos

cifras

l=2.4560.001m ea=0.001m m=2.450.01g ea=0.01g

8

El nmero que expresa el valor de la medida se redondea

hasta el orden de las cifras del error

Caso 1

x=8.0723 e=0.04 = 8.07 0.04

Caso 2

x=8.0774 e=0.04 = 8.08 0.04

Caso 3

x=8.0774 e=0.015 = 8.077 0.015

9


Si los ceros aparecen como primeras cifras de una

cantidad nunca son cifras significativas

57g y 0.057kg expresan la misma cantidad en diferentes

unidades ( 2 cifras significativas)

Si los ceros aparecen como ltimas cifras de una

cantidad pueden ser o no ser cifras significativas

x=530mm

Si lo hemos medido con un instrumento que aprecia mm

= 5.30 102mm

Si lo hemos medido con un instrumento que aprecia cm

= 5.3 102mm 10



El resultado de una medida no puede tener ms decimales

que el error

Medida (x) Error(e) Resultado (xe)

12.38 0.75 12.40.8

5.67x10-2 0.428x10-2 (5.70.4)10-2

925375 45 92540050

1.86x106 0.31x106 (1.90.3)x106

57.75 1.0 57.81.0

421605 790 421600800

345.2 3 3453 11


El resultado de una medida no puede tener ms decimales

que el error

Medida (x) Error(e) Resultado (xe)

124.3 12 12012

394976 245 395000250

6x109 0.47x109 (6.00.5)x109

87462 231 87500230

19.56437 0.013 19.5640.013

10.674 0.0878 10.670.09

23.463 0.165 23.460.17 12

EXPRESIN CORRECTA DE RESULTADOS

El nmero de cifras significativas del resultado de una

multiplicacin o divisin no debe ser mayor que el menor

nmero de cifras significativas de cualquiera de los factores

(1.14)(9.99x104)=11.3886x1041.14x105

12/(4.56x10-3)= 8.267349x1038.3x103

(5.6x10-5)(0.0000075)/(2.4x10-12)=175 180

63.25/(4.17x10-3)=15167.86 1.52x104

13

EXPRESIN CORRECTA DE RESULTADOS

El resultado de la suma o resta de dos nmeros carece

de cifras significativas ms all de la ltima cifra

decimal en que ambos nmeros originales tienen cifras

significativas

2.34x102+4.93=238.93239

27.6+5.99x102=626.6 627

138.2+27.153-11.74=153.613 153.6

(2.78x10-8)-(5.31x10-9)= (2.78x10-8)-(0.531x10-8)=

=2.249x10-8 2.25x10-8

14

CLCULO DE ERRORES EN MEDIDAS

DIRECTAS

e de cada medida

Sensibilidad del aparato utilizado

Instrumentos analgicos

15


DIRECTAS

e de cada medida

Instrumentos digitales Error debido a la precisin del aparato

(manual del aparato)

Error debido a las limitaciones de la salida en pantalla

Ejemplo

7.320.01V

(2.50.1)x10-3V

16


DIRECTAS

e de una medicin de la que se han realizado varias

medidas (1)Media aritmtica

(2)Se calcula el rango

(3)Se calcula el porcentaje de dispersin

minmax xxR

x

RT 100

n

x

n

xxxxx

n

in 1321 ........

17


DIRECTAS

Porcentaje de dispersin

0 T 2 % Bastan las tres medidas

realizadas

2 T 8 % Son necesarias 6 medidas

como mnimo

8 T 12 % Son necesarias 15 medidas

como mnimo

12T Son necesarias 50 medidas

como mnimo

18


DIRECTAS

e de una medicin de la que se han realizado

varias medidas

Hasta 6 medidas

Se asigna el mayor

n

i

in 1

1ee eD=R/4

19


DIRECTAS


varias medidas

Distribucin normal

20


DIRECTAS

La desviacin tpica es ndice de la dispersin de

las medidas en torno al valor medio

n

xxi

2)(

21


DIRECTAS


varias medidas

Ms de 6 Medidas Se asigna como error de la medicin el error cuadrtico

)1()1(

)( 2

nnn

xxic

e

22


DIRECTAS Ejemplo3.- Se mide con un tornillo micromtrico el espesor de

una chapa y se obtienen los siguientes resultados expresados en mm

l:7.05, 7.03, 7.04, 7.05, 7.04

Calculamos el valor medio

El error absoluto medio es

El error de dispersin es

El valor de la medida con su error es

El porcentaje de dispersin es T=0.28% . Es suficiente el nmero de medidas

mml 042.7

mm01.0e

mmD 005.0e

mml 01.004.7

23

CLCULO DE ERRORES EN

MEDIDAS DIRECTAS

Ejemplo 4.- Supongamos que disponemos de un cronmetro que aprecia dcimas de segundo, con el que hemos medido un tiempo, los valores obtenidos han sido:

t: 6.3s, 6.2s,6.4s,6.2s





El porcentaje de dispersin es T=3.2% . Seran necesarias 6 medidas como mnimo

st 275.6

s1.0e

sssR

D 05.04

2.64.6

4

e

st 1.03.6 24


MEDIDAS DIRECTAS

Ejemplo 5.- Supongamos un ejemplo similar al anterior donde el tiempo se ha medido con un cronmetro, que aprecia dcimas de segundo, pero ahora los valores de tiempo estn ms dispersos

t: 5.5s, 5.7s, 6.2s, 6.5s





El porcentaje de dispersin es T=16.7%>12%. Seran necesarias 50 medidas como mnimo

st 975.5

s1.0e

sssR

D 25.04

5.55.6

4

e

st 25.097.5

25


MEDIDAS DIRECTAS

Ejemplo 6 .-Supongamos que se obtienen los siguientes valores al

medir una resistencia, expresados en ohmios

R: 4.615,4.638,4.597,4.634,4.613,4.623,4.659,4.623


Como se han realizado ms de 6 medidas, calculamos el error cuadrtico

As el valor de la resistencia y su error sera

26

625.4R

)1()1(

)( 2

nnn

xxic

e

007.07

01746.0

)1(nc

e

007.0625.4R

CLCULO DE ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS

MTODO GENERAL

El error mximo de M

El error cuadrtico

....),,( zyxfM

dzz

fdy

y

fdx

x

fdM

zyxMz

f

y

f

x

feeee

.......

222

zyxC

z

f

y

f

x

feeee 27


Ejemplo7. Un cilindro tiene un dimetro D=8.500.02cm y una altura

h=0.0500.005cm. Determinar

(a)El volumen del cilindro con su error

(b)El cociente D/h con su correspondiente error

(a) El volumen del cilindro viene dado por:

hrhSV 2

hDhD

V

2

2

42

DhD

V2

4

667.050.8050.0

2

D

V

2

4D

h

V

75.5650.8

4

2

h

V

32 837.205.0)50.8(4

cmV

28


El error cuadrtico del volumen vendr dado por

El volumen del cilindro con su error es

322 284.0005.075.5602.0667.0 cmc e

3)28.084.2( cmV

29

22

hDc

h

V

D

Veee


El cociente es

El error cuadrtico del cociente D/h vendr dado por

As el error del cociente resulta

El valor del cociente con su error es

30

170050.0

50.8

h

DC

22

hDc

h

C

D

Ceee

hD

C 1

2h

D

h

C

2005.0

1

D

C

340005.0

5.82

h

C

17005.0340002.020 22 xxce

17170C

Ejemplo 8.- La velocidad con la que se propagan las ondas en una

cuerda se obtiene a partir de la ecuacin

Donde T es la tensin de la cuerda, y m su densidad lineal de masa. Una

cuerda tienen una densidad lineal de masa m=525g/m , y est sometida

a una tensin T=45N. Obtener la velocidad con la que se propagan las

ondas en esa cuerda con su error absoluto

Para calcular La velocidad con que se propagan las ondas en la cuerda

empleamos unidades del S.I.

31


m

Tv

smmkg

Nv /2582.9

)/(525.0

45

El error cuadrtico se obtiene a partir de la

ecuacin

Calculamos las derivadas parciales

El error cuadrtico ser

La velocidad con su error absoluto es

32


22

me

mee

v

T

vTc

mm

TT

v

2

1

mm

m T

Tv

22

1

10287.0

525.0

45525.02

1

T

v

8173.8

525.0

45525.0

45

2

1

2

m

v

smc /10325.0108173.8110287.0232 e

smv /)10.026.9(


Funciones de una nica variable

La magnitud y, cuyo valor queremos hallar depende

solamente de la magnitud x, mediante la relacin funcional

y=f(x). El error de y, cuando se conoce el error de x, viene

dado por la expresin

donde es el valor medio de la magnitud x

33

xxfy )('

x


Ejemplo 9. Supongamos que queremos medir el periodo T, de un

oscilador, es decir, el tiempo que tarda en efectuar una oscilacin

completa, y disponemos de un cronmetro, que aprecia centsimas

de segundo, 0.01s. Medimos el tiempo que tarda en realizar 20

oscilaciones, por ejemplo t=8.26s, obtener el periodo T, con su error

Dividiendo este tiempo entre 20, resulta T=0.413s, que es el periodo medio

Obtenemos para el error T=0.0005, por tanto podremos expresar la

medida como

Podemos aumentar la resolucin instrumental para medir T aumentando el

numero de oscilaciones en la medida directa de T, pero de esta forma

tambin se incrementa la probabilidad de cometer errores al contar el

nmero de oscilaciones.

Otro factor a tener en cuenta es que la amplitud del oscilador no

permanece constante, normalmente debido al amortiguamiento ir

disminuyendo hasta pararse.

20

t

N

tT

20

t

N

tT

sT 0005.04130.0

34


MTODO DE LOGARITMOS NEPERIANOS

.......cba zyxKM

......lnlnlnln ybxaKM

...y

dyb

x

dxa

K

dK

M

dM

...

y

yb

x

xa

K

K

M

M35


MTODO DE LOGARITMOS NEPERIANOS

MrMM ee

MM e

...... ryrxrKrM ba eeee

36


Ejemplo 10.- Una pelota que se mueve en lnea recta con velocidad

constante recorre una distancia d=2.357m durante un tiempo t=5.2s

Determinar la velocidad de la pelota con su error absoluto.

Se trata de un movimiento rectilneo y uniforme

Tomamos logaritmos neperianos

t

xv

t

xv lnln

txv lnlnln

smv /453269.02.5

357.2

37


Diferenciando la expresin anterior

x=2.3570.001m t=5.20.1s

t

dt

x

dx

v

dv

txv

txvrv

eeee

41054.1962.5

1.0

357.2

001.0 xrve

vrvv ee

smxv /109.83e

009.0453.0 v m/s 38

AJUSTE POR EL MTODO DE MNIMOS

CUADRADOS

Ajuste de funciones lineales

x x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8

y y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8

x 1 3 4 6 8 9 11 14

y 1 2 4 4 5 7 8 9

39


CUADRADOS

0

2

4

6

8

10

0 5 10 15

YY

X

40


CUADRADOS

Se trata de encontrar la pendiente, m, y la

ordenada en el origen, b, de la recta de ajuste

0

2

4

6

8

10

0 5 10 15

YY

X

41


CUADRADOS

0

2

4

6

8

10

0 5 10 15

YY

X

di

d2

P1 (x1,y1)

P2(x2,y2)

42


CUADRADOS

C= di2 = (yi-mxi-b)

2

La suma de los cuadrados de las desviaciones ha

de ser mnima

0)(21

n

i iiibmxyx

m

C

0)(21

n

i iibmxy

b

C

43


CUADRADOS

Sistema de ecuaciones

)(2 iiii yxxbxm

ii ynbxm

44


CUADRADOS

Obtencin de m y b

22 xnx

yxnyxm

i

ii

22

2

xnx

yxxxyb

i

iii

ixn

x1 iy

ny

1

45

02

4

6

8

10

0 5 10 15

Y

X

y = m1 + m2 * M0

ErrorValue

0.458820.54545m1

0.0566920.63636m2

NA2.5455Chisq

NA0.97701R


CUADRADOS

46


CUADRADOS

Movimiento uniforme

d(m) 14 32 42 64 71 92 108

t(s) 1 2 3 4 5 6 7

tvd

47


CUADRADOS

Movimiento uniforme

tvd

0

20

40

60

80

100

120

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Movimiento uniforme

d(m

)

t(s)

y = m1 + m2 * M0

ErrorValue

2.7618-1.1429m1

0.6175615.393m2

NA53.393Chisq

NA0.996R

6.04.15 v m/s

48


CUADRADOS

Ley de Hooke

x(cm) 3.2 6.4 9.6 12.8 16.1 19.1 22.4 25.7

P(p) 10 20 30 40 50 60 70 80

xKF

49


CUADRADOS

Ley de Hooke

0

20

40

60

80

100

0 5 10 15 20 25 30

P(p

ond)

Ax(cm)

y = m1 + m2 * M0

ErrorValue

0.163690.047399m1

0.0101193.119m2

NA0.26523Chisq

NA0.99997R

xKF

50


CUADRADOS

Ecuaciones no lineales, reducibles a forma

lineal

d(m) 0 10 20 30 40 50

t(s) 0 1.63 2.33 2.83 3.31 3.79

2

2

1tad

Movimiento

uniformemente acelerado

51


CUADRADOS

Movimiento uniformemente acelerado

-10

0

10

20

30

40

50

60

-5 0 5 10 15

d -t ^2

d(m

)

t2

y = m1 + m2 * M0

ErrorValue

0.700020.72459m1

0.0829763.5169m2

NA3.8879Chisq

NA0.99889R

2

2

1tad

17.004.7 a m/s2

52


CUADRADOS

Movimiento uniformemente acelerado

-10

0

10

20

30

40

50

60

-1 0 1 2 3 4

d(m

)

t(s)

Y = M0 + M1*x + ... M8*x8 + M9*x

9

-0.1786M0

1.435M1

3.1665M2

0.99938R

53


CUADRADOS

CVP

V(l) 0.890 1.013 1.187 1.454 1.944 3.179

P(Atm) 4.162 3.366 2.557 1.931 1.305 0.687

54


CUADRADOS

Ajuste de funciones no lineales

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Trasformacion Adiabatica

P(Atm)

P(A

tm)

V(l)

CVP

55


CUADRADOS

Ecuaciones no lineales reducibles a

forma lineal

Transformacin Adiabtica

CVP

CVP lnlnln 56


CUADRADOS

2

2.5

3

3.5

4

4.5

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Transformacion Adiabatica

lnP

lnP

ln(V)

y = m1 + m2 * M0

ErrorValue

0.0212223.9058m1

0.037103-1.4042m2

NA0.006109Chisq

NA0.99861R

CVP lnlnln

=1.400.04

CVP lnlnln

bmxy

57

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