Cálculo de errores

Cálculo de errores

Cálculo de Errores1 Objetivo.

Hacer un repaso general de los tópicos aprendidos previamente sobre el Cálculo de errores, esto implica a las variables usadas, fórmulas y procedimiento para la obtención de datos cuantitativos en general.

Obtención de los distintos tipos de errores a partir de los datos proporcionados por el docente de Laboratorio.

2 Fundamento Teórico.

En las tareas usuales de experimentación se observa que las mediciones efectuadas de la misma propiedad, bajo las mismas condiciones, poseen cierta discrepancia unos con otros; así en la determinación del tiempo de cierto evento, como el de la caída de un objeto a partir del reposo, los tiempos cronometrados para la altura de caída H=60 cm. pueden ser: 0,351 s; 0,348 s; 0,353 s.

En la labor cotidiana de los ingenieros se observan también hechos similares, imaginemos que nos encontramos en una fábrica de gaseosas, en las cuales se envasa el producto en recipientes de 1 litro, al medir los volúmenes de varios frascos, se podrán obtener valores como: 1,06 lt; 0,970 lt; 1,10 lt; etc...

En ambos ejemplos, el valor a ser reportado debe ser uno solo. Para ello, los científicos, ingenieros y todos los que de alguna manera están relacionados con las medidas deben recurrir a las estadística.

Términos usados en el cálculo de errores

Valor verdadero (µ). Es la cantidad que se expresa el valor absoluto de esa magnitud. Su determinación por medición en la generalidad de los casos es muy difícil y sólo se conocen aproximaciones. Esto se debe a las limitaciones de los instrumentos, limitaciones en el sujeto que efectúa la medición y algunas veces a la inaccesibilidad de la medición.

Laboratorio de Física Básica II ( FIS-102L ) Lic. René Torrez

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µ Exacta y precisa

Precisa e inexacta

Inexacta e imprecisa

1ª Serie de medidas



MAGNITUD DE LA MEDIDA

VALOR VERDADERO

Cálculo de errores

Exactitud y precisión. La exactitud señala el grado en que un valor experimental (xi) o un promedio ( ) se acerca al valor verdadero (µ).

La precisión indica el grado de concordancia entre los valores experimentales, es decir en cuánto se aproximan unas a otras.

Población y muestras. Población es un conjunto de objetos reales o conceptuales y principalmente mediciones u observaciones.

Si la población es infinita, no es posible observar todos sus valores; aún en el caso de las poblaciones finitas, determinar todos los valores puede resultar impracticable y/o costoso, tazón por la cual es necesario recurrir a muestras, que son porciones o partes de la población y luego a partir de ellas inferir los resultados relativos a la población entera. Para que estos resultados sean útiles, es necesario que la muestra sea representativa de la población, con el propósito que la muestra sea representativa, se recurren a las llamadas muestras aleatorias. En este punto es necesario diferenciar muestra aleatoria del muestreo al azar, una muestra es aleatoria cuando todos los miembros de la población tienen posibilidad de ser incluidos, mientras que el término al azar corresponde a casual y no a aleatorio.

Tipos de errores

Errores sistemáticos. Son errores que afectan el resultado de una medida en la misma proporción y signo (sesgo), es decir, las mediciones repetidas poseen siempre el mismo sesgo ya sea positivo o negativo.


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µ Medida conSesgo ositivo

Medidas con mayor Sesgo positivo

1ª Serie demedidas

2ª Serie demedidas

VALOR VERDADERO

µ Medida conSesgo negativo

Medidas conmayor Sesgo negativo



VALOR VERDADERO

Cálculo de errores

Entre las causas que originan estos errores podemos citar:

a) Debido a cálculos

i) Empleo de una ecuación en su forma más simple

Por ejemplo, para un resorte en oscilación, la constante de rigidez K se calcula por la ecuación:

Donde, M = Masa del cuerpo oscilante; m = masa del resorte y T = periodo.

Cuando la masa del resorte es muy pequeña comparada con la del cuerpo oscilante. Es posible despreciar m frente a M; luego la anterior ecuación en su forma simple se escribe:

Por una conclusión bastante obvia se infiere que los valores calculados por la última ecuación siempre serán ligeramente inferiores a los calculados por la expresión sin simplificaciones.

ii) Uso de un valor constante equivocado.

El peso de un objeto se calcula por la ecuación:

W=m·g

Donde el valor de g varía según la distancia al centro de la Tierra. Por ejemplo, si deseamos calcular pesos en la ciudad de La Paz, deberíamos emplear 9,775 m/s2 como el valor de la gravedad, y no 9,81 m/s2 que es el valor al nivel del mar.


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2

2

24

T

mM

K

+

=π

2

24

T

MK

π=

Cálculo de errores

b) Debido a los instrumentos de medida

i) Error de cero.

Este se presenta debido a las existencia de algún defecto en el cero del instrumento, por ejemplo, consideremos una regla, la cual por el uso excesivo sufrió desgaste…

En el ejemplo mostrado, las graduaciones son correctas, pero el desgaste en la región del cero, hace que sistemáticamente leamos valores ligeramente mayores.

Este error es frecuente en instrumentos como: vernier, micrómetro, pipetas, balanzas, algunos instrumentos de lectura con aguja, etc...

ii) Error de calibración

Los instrumentos pueden venir mal calibrados desde fábrica o descalibrarse por uso excesivo y descuidado. Para el primer caso, la escala del instrumento no corresponde a los valores correctos; para el segundo tenemos una gran variedad de situaciones: Por ejemplo, balanzas y cronómetros que van descalibrandose poco a poco, citaremos también el caso de las buretas, pipetas, matraces aforados, que cuando en ellas se mide volúmenes de líquidos calientes, estos materiales al enfriarse no vuelven a su tamaño original, quedando por lo


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Cálculo de errores

tanto con desca libración permanente.

Por todo ello, es conveniente comprobar periódicamente la calidad de la escala de cualquier instrumento.

El vernier es uno de los instrumentos de medición cuya descalibración es bastante común.

c) Debido a las características del observador

i) Error de paralaje

Al realizar medidas con una regla, si la línea visual del observador no es perpendicular a la escala del instrumento, entonces se comete el error de paralaje.

En el uso de instrumentos de medida analógicos como el amperímetro y el voltímetro, el observador tiene la tendencia a situarse a la izquierda o derecha de la aguja que señala la medida. Es también frecuente este error en la lectura de buretas, pipetas, probetas y otros instrumentos de medida de volumen, el observador se sitúa por encima o debajo del menisco que forma el líquido y la escala del instrumento.

Los errores sistemáticos pueden corregirse cuantificando el monto del error, y luego sumando o restando esta cantidad, según sea el caso, al resultado de la medida.


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Cálculo de errores

Errores aleatorios o fortuitos

Son errores que ocurren e modo aleatorio y no pueden controlarse ni conocerse con anticipación. Las causa que originan estos errores son difíciles de descubrir, algunos de ellos son:

Los cambios bruscos de temperatura del ambiente, que por la dilatación o contracción, pueden cambiar la longitud de los objetos.

La presencia de corrientes de aire qu pueden desviar la aguja indicadora de una balanza sensible.

En la determinación del tiempo, es posible que el experimentados realice la lectura con anticipación o retardo (con retraso) o prevean la posición del objeto y se cronometre el tiempo con adelanto.

En la lectura de las longitudes con regla u otros instrumentos por lo general las limitaciones en el sentido de la vista, permiten realizar lecturas diferentes para la misma longitud, por el mismo experimentador o por el grupo de experimentadores.

El cansancio del observador luego de varias horas de trabajo, disminuyéndole su capacidad visual y la rapidez de sus reflejos.

Los errores fortuitos afectan el resultado de una medida ya sea por exceso o defecto indistintamente, en consecuencia, estos errores son difíciles de corregir. Sin embargo, estos errores pueden minimizarse realizando varias medidas, ya que no en todas ellas esperamos la presencia del mismo error.

Faltas graves o errores gruesos

Estos errores afectan grandemente el resultado de una medida y, normalmente se deben al observador ya sea por una mala toma de datos o el uso de una ecuación equivocada. Por ejemplo, si la masa de cierto objeto se muestra en la balanza como 8,5 g, el experimentados puede anotar 5,8 g. Para corregir estos errores, solamente es necesario mayor concentración en el trabajo.


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Cálculo de errores

Variables correspondientes al cálculo de errores

a) Media aritmética

Dado un conjunto de medidas u observaciones, x1, x2, ...... xn, la media aritmética se define como;

Medición mínima

Es la medición, obtenida del conjunto de mediciones realizadas, cuya magnitud es la menor de todas.

Medición máxima

Es la medición, obtenida del conjunto de mediciones realizadas, cuya magnitud es la mayor de todas.

Rango

Es la diferencia aritmética existente entre la medición máxima y la mínima.

Moda

Es la cifra mayormente obtenida del conjunto de mediciones realizadas.

Mediana

Es el valor intermedio existente entre las medidas de mayor y menor magnitud.

Varianza y Desviación estándar

Un conjunto de medidas, en ausencia de errores sistemáticos, se caracteriza porque no todas son iguales, esto debido a errores aleatorios que no pueden evitarse, de manera que dichas medidas se encuentran alrededor de la mediana ( ) con una cierta dispersión. Si bien el valor de reporta el valor más confiable, no nos dice nada acerca del grado de dispersión de las medidas.


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n

x

n

xxxx

n

in

∑==+++= 1121 ......

Cálculo de errores

En un conjunto de medidas x1, x2, ...., xn con media , las siguientes operaciones (x1- ), (x2- ), ....., (xn- ) se denomina desviación de la media. Resulta natural pensar entonces que el promedio de estas desviaciones sea una medida del grado de dispersión, son

embargo esto no es posible porque su suma siempre es cero, 0)(11

=−∑=

n

i xx . Otra alternativa

para medir el grado de dispersión es trabajar con los cuadrados de las desviaciones con respecto al promedio, definiéndose de esta manera la varianza de la muestra.

La razón de dividir entre n-1, se debe a que solo n-1 de las n desviaciones (x i- ) son independientes, ya que la desviación restante se calcula de la ecuación 0)( =−∑ xxi .

Sin embargo, como medida de la dispersión se prefiere emplear la desviación estándar (s), que es la raíz cuadrada de la varianza:

La ventaja que posee la desviación estándar con respecto a la varianza para expresar la dispersión, se debe a que posee las mismas unidades que las de promedio (o medidas).

Frecuencia

La frecuencia (Y) es el número de observaciones o medidas repetidas.

Coeficiente de dispersión

Es el cociente que existe entre la desviación estándar y la media.Error absoluto

Es el cociente entre la desviación estándar y la raíz cuadrada del número de mediciones hechas.


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1

)(112

−

−=

∑=

n

xxs

n

i

1

)(11

−

−=

∑=

n

xxs

n

i

Cálculo de errores

Error relativo

El error relativo es el cociente del error absoluto (E) entre el valor medio.

Error relativo porcentual

Es el error relativo multiplicado por 100.

3 Resultados.

A continuación tenemos el cuadro con los datos provistos por el docente:

X Y11,2 214,4 322,8 431,7 540,4 651,2 7

4 Procesamiento de datos.

Presentamos los cálculos correspondientes a las medidas y errores relacionados con el conjunto de datos previamente proporcionados.

Medición mínima

11,2Medición máxima

51,2


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Cálculo de errores

Rango

51,2 – 11,2 = 40Moda

51,2Mediana

(11,2 + 51,2)/2 = 31,2Media

X/27 = 33,9

Desviación estándar

S = 13,9

Varianza

S2 = 193,7Coeficiente de dispersión

0,4

Error absoluto

Nº = 2,7


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n

x

n

xxxx

n

in

∑==+++= 1121 ......

1

)(11

−

−=

∑=

n

xxs

n

i

1

)(112

−

−=

∑=

n

xxs

n

i

Cálculo de errores

Error relativo

E/ = 8,0x10-2

Error porcentual

Er·100 = 8%

Regresión lineal

Nº Xi Yi Xi·Yi Xi2 Yi2

1 11,2 2 22,4 125,4 42 14,4 3 43,2 207,3 93 22,8 4 91,2 519,8 164 31,7 5 158,5 1004,9 255 40,4 6 242,4 1632,2 366 51,2 7 358,4 2621,4 49 28,6 4,5 152,7 773,7 23,2

Y = a+b·x

22 )(

·

xx

yxxyb

−−=

b = 0,12xbya ·−=

a = 1,1

y = 1,1+0,2·x


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Cálculo de errores

Regresión lineal

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

0 1 2 3 4 5 6 7 8

X

Y

5 Conclusiones.

En un mundo cuyos pilares son las medidas y cuantificaciones, este tipo de herramientas son de uso más que indispensable, la alta tecnología actual ha permitido que el error presente en dichos temas se disminuya drásticamente, pero aún así debemos tomar en cuenta que en la micro realidad nada puede ser medido con absoluta exactitud, puesto que nuestro mundo se basa en moléculas imperceptibles, aún estamos relativamente alejados de la maquinaria necesaria para evitar estos errores minúsculos, que en ciertos campos de la ciencia pueden costar hasta vidas humanas, y si esta tecnología llegara a inventarse, es seguro que estará basada en los principios estudiados previamente.

6 Comentarios, sugerencias, referencias.

Puesto que lo avanzado es parte de un medio conceptual, y no así práctico, no existen mayores problemas en su estudio o procedimiento.


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