Universidad Nacional ExperimentalFrancisco de Miranda

Decanato de Acción SocialEspecialización Enseñanza de la Matemática

FUNDAMENTOS DE GEOMETRÍA

Lcdo. Luís Eduardo Arias Hernández (MSc))

ÁREA DE POLIGONOS REGULARES

Que representa?

Segmento de recta AB A B

Longitud entre A y B

Distancia entre A y B

Unidades de longitud?

La unidad principal de longitud es el metro

Abreviadamente se escribe m

Los múltiplos (unidades mayores)

del metro

decámetro dam.

hectómetro hm.

kilómetro km.

Metro

decímetrodm.

centímetrocm.

milímetromm.

Los submúltiplos (unidades menores)

del metro

La superficie es la parte del plano limitada por los lados de una figura

Las superficies se miden con unidades cuadradas; su nombre y valor se derivan de las unidades de longitud

1 cm= 1 cm2

Si la medida es un cuadrado de 1 cm por lado, se denomina 1 cm2, y se lee, un centímetro cuadrado.

APROXIMARSE A LA NOCIÓN DE ÁREA DE UNA FIGURA

RECTILÍNEA

A partir de proponer problemas que demanden medir y comparar áreas utilizando diferentes recursos: cuadriculas, superposición, cubrimiento con baldosas, entre otros

¿Cómo se puede hacer para calcular la cantidad de cerámicas que se necesitan para cubrir el piso de un patio representado en el dibujo con un rectángulo grande, si cada cerámica es como el que se representa con un cuadrado pequeño?

Determinar el área del rectángulo más grande, usando como unidad de medida cada figura

Con estos problemas se busca que los estudiantes identifiquen el área con cantidad de “baldosas” que permiten cubrir la figura

Se trata de avanzar en una idea acerca de que si disminuye la unidad de medida, aumenta el número que indica el área

Dos baldosas cuadradas equivalen a una rectangular?

Serán iguales el área del triangulo y el rectángulo?

Dos baldosas cuadradas equivalen a un triángulo?

Otro conjunto de problemas que pueden proponerse a los estudiantes implica comparar áreas “sin medirlas”

¿Será cierto que estas dos figuras tienen la misma área?

José dice que estas tres figuras tienen la misma área, y tiene razón. ¿Cómo habrá hecho para darse cuenta?

En este tipo de situaciones los estudiantes podrán identificar si una figura tiene mayor, menor o igual área que otra sin necesidad de conocer aún las fórmulas para el cálculo

Por otro lado, se busca que los estudiantes identifiquen que una figura puede ser el resultado de ”partir” la otra y “ordenar” las partes

Éste análisis permitirá concluir que si a una superficie no se quita ni agrega nada, las áreas serán iguales aunque cambien la forma

5 cmBASE

4 cm

ALTURA

3 cm

BASE

4 cm

ALTURA

BASE ALTURA AREA

5 cm 4 cm 20 cm2

BASE ALTURA AREA

3 cm 4 cm 12 cm2

Se observa que al multiplicar la base por la altura de cada rectángulo se obtiene su área. Por lo tanto, puede considerarse que:

El área de un rectángulo es igual al producto de la base por la altura

A = b.h

h

b

Observe que la base y la altura del triángulo miden igual que la base y altura del rectángulo que lo contiene

Recorta el triangulo

Sobrepone el triangulo azul en el triángulo amarillo

Que podemos concluir?

Los triángulos coinciden; es decir, tienen igual medida

BASE

ALTURA

h

Observe que la base y la altura del triángulo miden igual que la base y altura del rectángulo que lo contiene

Recorta los triangulo

Sobrepone los triángulosazules en el triángulo verde

Que podemos concluir?

Los dos triángulos azules forman otro que coincide con el triángulo verde

Se observa que el área del triangulo es la mitad del área del rectángulo

El área de un triangulo es igual a la base por la altura sobre dos

A = A

2A = b.hPero

A = b.h

2

A = b.h

2

APROXIMARSE A LA NOCIÓN DE PERIMETRO DE UNA

FIGURA RECTILÍNEA

Los jugadores de la vino tinto comienza siempre el entrenamiento dando tres vueltas completas a la cancha que tienen 105 metros de largo y 75 metros de ancho ¿cuántos metros recorren, aproximadamente en la entrada en calor

105 metros

75 metros

Iris dice que puede asegurar que el perímetro de esta figura es meyor que 12cm pero menor que 20 cm. ¿Están de acuerdo? Explique por qué

5 cm

1 cm

El siguiente dibujo es una cancha de bolas criollas. ¿Cuántos metros de madera hay que comprar para cerrarla?

25 metros

15 metros

Los problemas anteriores permitirán empezar a familiarizarse con las ideas sobre la noción y cálculo del perímetro

Promoverán que los estudiantes puedan elaborar algunas estrategias que permitan generalizarse

¿Será cierto que las figuras que se indican tienen el mismo perímetro? sin trampa, no vale medir

El siguiente rectángulo tiene 14 cm de perímetro. ¿será cierto que si se aumenta en 1 cm cada lado de 5 cm y se disminuye en 1 cm cada lado de 2 cm, se obtiene otro rectángulo que también tiene 14 cm de perímetro?

5 cm

2 cm

El perímetro de un rectángulo es de 12 cm ¿Cuáles pueden ser las medidas de sus lados? ¿hay una única posibilidad?

Los problemas antes discutido permitirán poner en evidencia que figuras de diferentes formas pueden tener el mismo perímetro

Por otro lado, figuras de la misma forma pueden tener diferentes perímetros

El perímetro de una figura plana es igual a la suma de las longitudes de los lados

Piensa en el cerco que cierra una hacienda, ésta delimita el perímetro del terreno, es decir, el perímetro es la cerca. El terreno que queda comprendido dentro de la cerca, será lo que llamamos área

Perímetro

Perímetro

Perímetro

Perímetro

Área

INDEPENDENCIA DE LAS VARIACIONES DEL ÁREA Y DEL PERIMETRO DE UNA

FIGURA

Realizarle alguna modificación al siguiente rectángulo de manera tal de obtener una figura

mayor área y de mayor perímetro

menor área y de menor perímetro

menor área y de igual perímetro

mayor área y de igual perímetro

igual área y de mayor perímetro

Estos problemas apuntan a que los alumnos avancen en la comprensión de la idea del perímetro y del área e identifiquen la independiencia que hay entre estos atributos de la figuras

En particular se espera que aprendan a reconocer que si cambia una de estas medidas, la otra puede o no cambiar, e incluso puede cambiar en sentido inverso que la primera

Dibujemos sobre una hoja, un segmento con uno de sus bordes que forme un triángulo rectángulo con el borde de la hoja

Llamemos a y b a los catetos y a c al lado mas largo del triangulo

a

b c

Seguimos con problemas de superposición

Recorta el triángulo rectángulo

Toma otra hoja, coloca el triángulo obtenido sobre uno de sus extremo

c

a

b

Usando la medida del lado pequeño a, trazamos una paralela al otro lado de la hoja

Colocamos nuevamente el triangulo utilizando el lado a sobre el otro lado de la hoja y trazamos una paralela al otro lado de la hoja

a

a

Toma otra hoja, coloca el triángulo obtenido sobre uno de sus extremo, trazamos una paralela al otro con medida b

Quitamos el triangulo y cortamos el cuadrado

a

b

Colocamos nuevamente el triangulo utilizando el lado b sobre el otro lado de la hoja y trazamos una paralela

b

a

Quitamos el triangulo y cortamos el cuadrado

b

Toma otra hoja, coloca la parte más larga del triángulo obtenido sobre uno de sus extremo, traza una paralela al otro lado con la medida c

Colocamos nuevamente el triangulo utilizando el lado c sobre el otro lado de la hoja y trazamos una paralela

c

c

Quitamos los triángulos y cortamos el cuadrado

c

b

a

Tomamos el cuadrado amarillo y sobre el, colocamos el triangulo y trazamos un segmento

Quitamos el triángulo

Colocamos el triangulo nuevamente en otro extremo del cuadrado amarillo y trazamos un segmento

Quitamos el triángulo

Cortamos las líneas

Se comprueba que el área del cuadrado verde, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados azul y amarillo

a

b

b

a

a

b

b

a

Demostración del teorema de Pitágoras

c

cc

c

A = LxL = (a+b)(a+b)El área del cuadrado grande

A = LxL = cxcEl área del cuadrado grande

El área del triángulo A = axb

2

Hay cuatro triángulos A = axb

24

A = A + A

GRACIAS