CÁLCULO EN UNA VARIABLE

Longitud de Arco de una curva plana

GRUPO No. 4:Ananganó Georginio

Jara LuisMoposita Wellington

Ríos Juan

•INTRODUCCIÓN•SUMA DE RIEMANN•INTEGRAL DEFINIDA•TEOREMA DE PITÁGORAS•CONCEPTOS DE LONGITUD DE ARCO•CÁLCULO DE LA LONGITUD DE ARCO DE FUNCIONES•EJEMPLOS

CONTENIDOS

Introducción

Longitud de Arco

Introducción

Longitud de Arco

Problema recurrente del

Cálculo

Tiene diferentes mecanismos

Utilizado para calcular perímetros de cualquier figuraAbarca diferentes

tipos de funciones

Introducción

Suma de Riemann

Longitud de Arco

Suma de Riemann

Recordaremos la notación sigma antes de hacer una remembranza de la sumatoria de Riemann.

Suma de Riemann

La forma generalizada de la suma de términos se establecería de la siguiente manera:

Suma de Riemann

De este conocimiento de sumatoria podemos entender que, la sumatoria de Riemann permite el definir el área bajo la curva de una función.

Integral definida

Longitud de Arco

Integral definida

Sabemos que la integral definida, por definición es la generalización de la sumatoria de Riemann cuando la norma de mayor tamaño tiende a cero y por tanto el numero de rectángulos de área tienden al infinito.

Teorema de Pitágoras

Longitud de Arco

Teorema de Pitágoras

Conceptos

Longitud de Arco

Conceptos

Si en la gráfica tenemos esta función y queremos determinar la longitud de la cuerda entre los puntos de interés, ¿qué se nos ocurriría?

Conceptos

Conceptos

Pero si queremos encontrar la longitud de toda la curva debemos aplicar la sumatoria en n términos.De tal manera que si los n términos de la sumatoria tienden al infinito, tenemos:

Cálculo de longitud en funciones

Longitud de Arco

Cálculo de Longitud en Funciones Rectangulares y Paramétricas

En esta sección emplearemos los límites al infinito y el teorema del valor medio.

Ahora transformaremos la ecuación conseguida en forma de límite, en su forma generalizada con el Cálculo Integral

Cálculo de Longitud en Funciones Rectangulares y Paramétricas

Se define el Teorema del Valor medio para reemplazar en la ecuación conocida de Límite, relacionada con la Longitud de Arco.

Cálculo de Longitud en Funciones Rectangulares y Paramétricas

Realizamos un despeje de variables con respecto a lo que se verá en el siguiente proceso:

Cálculo de Longitud en Funciones Rectangulares y Paramétricas

Nótese cómo cambia la ecuación de límite al reemplazar este nuevo valor:

Cálculo de Longitud en Funciones Rectangulares y Paramétricas

Ahora se sigue el siguiente proceso:

Cálculo de Longitud en Funciones Rectangulares y Paramétricas

Por si no se entendió qué sucedió…

Funciones Paramétricas

Longitud de Arco

Funciones Paramétricas

Pero hay otra clase de funciones que necesitan un análisis de ciencia mayor. Por tanto aquí se presenta cómo calcular la longitud de arco en funciones paramétricas.

Funciones ParamétricasPara calcular la longitud del arco de estas funciones debemos tener en cuenta la siguiente condición obtenida del teorema del Valor medio:

La forma en la que se presentarán estas funciones es la siguiente

A partir de la forma anterior del cálculo de la curva:

Funciones Paramétricas

Sabiendo que de acuerdo a los parámetro de cada función se cumplirá:

Al reemplazarlo en la expresión general:

Funciones Paramétricas

Finalmente, podemos apreciar que la longitud del arco de una función paramétrica viene dada por la expresión:

Ejemplos

Longitud de Arco

Ejemplos

Tomando en cuenta el método de cálculo de funciones paramétricas calcule la longitud de la curva entre t=0 y t=1.

Podemos ver la función en el siguiente gráfico:

Ejemplos

Tomando en cuenta el método de cálculo de funciones ordinarias halle la longitud del arco de una cuerda dada por la función y, en el intervalo [0,3], sea y definida por:

Para realizar este tipo de ejercicios debemos recordar la expresión por:

Entonces desarrollamos la expresión ubicada dentro de la raíz cuadrada:

GRACIAS POR SU ATENCIÓN