1.er grado: Matemática

SEMANA 6

DÍA 3

Calculamos el número de palitos de diversas figuras utilizando una regla de formación

Días 3 y 4:Resolvamos

Los recursos que utilizaremos serán:

Cuaderno de trabajo de matemática: Resolvamos problemas 1_día 3, ficha 10, pág. 134.

Disponible en la sección “Recursos” de esta plataforma.

Leemos y observamos la siguiente situación

Construimos progresiones

La siguiente secuencia de figuras ha sido elaborada con palitos de mondadientes.

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

?

Fig. 4

A partir de la situación responde:

1. ¿Cuántos palitos habrá en la figura 4? ¿Y en la figura 20?

2. ¿Cuál es la regla de formación que permite calcular el número de palitos de cualquier figura?

• Hay tres figuras.

• Cada figura, tiene un número determinado de palitos en su construcción.

Comprendemos la situación

1. ¿Qué datos se presentan en la situación?

2. ¿Qué datos podemos obtener a partir del análisis de las figuras?

+2

3 palitos

Contando los palitos

utilizados en cada construcción.

5 palitos 7 palitos

+2

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

?Fig. 4

Sigamos respondiendo

De figura en figura, aumenta el número de palitos en 2.

A partir del análisis anterior, tenemos que:

• Es una progresión aritmética: 𝑎1; 𝑎2; 𝑎3 ; … ; 𝑎𝑛.

• Número de palitos de la figura 1: primer término 𝑎1= 3.

• Número de palitos de la figura 2: segundo término 𝑎2= 5.

• Número de palitos de la figura 3: tercer término 𝑎3 = 7.

• Número de palitos de la figura 4: cuarto término 𝑎4 = ¿ ?

• El número de palitos que se utilizará para construir la figura 4 y la figura 20.

• Hallar la regla de formación que permite calcular el número de palitos de cualquier figura.

3. ¿Qué piden hallar las preguntas de la situación?

Sigamos respondiendo

Estrategia:

• Analizo los datos de las figuras y las relaciones que se pueden establecerrespondiendo: ¿Cuántos palitos tiene cada figura? ¿Cuántos palitos aumentan defigura en figura?

• Encuentro la razón aritmética y hallo el número de palitos para la figura 4.• Para calcular el número de palitos en la figura 20, primero hallo la regla de

formación para la enésima figura, tomando en cuenta la fórmula del términogeneral de una progresión aritmética.

• Hallo el número de palitos para la figura 20.

Diseñamos una estrategia o plan

1. Describe el procedimiento que realizarías para dar respuesta a las preguntas.

Término general de una progresión aritmética

Recordamos algunas nociones básicas

Tenemos: 𝑎1; 𝑎2; 𝑎3; 𝑎4;…, 𝑎𝑛,donde 𝑎𝑛, es un término cualquiera de la sucesión.

Si aplicamos esta ley recursivamente para construir la sucesión, obtenemos que:

𝑎1 =𝑎2 = 𝑎1 + r

𝑎3 = 𝑎1 + r + r → 𝑎3 = 𝑎1 + 2r

𝑎4 = 𝑎1 + r + r + r → 𝑎4 = 𝑎1 + 3r

𝑎5 = 𝑎1 + r + r + r + r → 𝑎5 = 𝑎1 + 4r

…𝑎𝑛 = 𝑎1 + (n − 1)r

Primer término

1 vez la razón

2 veces la razón

4 veces la razón

3 veces la razón

n - 1 veces la razón

En general, nos queda que:

𝑎𝑛 = 𝑎1 + (n − 1) ∙ r

Esta expresión relaciona cualquier término n de la sucesión con el primer término y la razón de la progresión.

Sea la progresión aritmética:

𝑎1; 𝑎2; 𝑎3 ;… ; 𝑎𝑛 , tenemos:

𝑎1 = 3, 𝑎2 = 5, 𝑎3 = 7, 𝑎4 = ?r = 2

Hallando la cantidad de palitos que conforman la figura 4:

𝑎4 = 𝑎3 + 2𝑎4 = 7 + 2𝑎4 = 9

Tenemos:

Ejecutamos la estrategia o plan

Para hallar el número de palitos en la figura 20, primero responderemos la pregunta 2.

Respuesta: La figura 4 tiene 9 palitos.

+2

𝑎1 = 3 palitos 𝑎2 = 5 palitos 𝑎3 = 7 palitos

+2

?Fig. 4 Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

+2

𝑎𝑛 = 𝑛 palitos

1. ¿Cuántos palitos habrá en la figura 4? ¿Y en la figura 20?

2. ¿Cuál es la regla de formación que permite calcular el número de palitos de cualquier figura?

Para hallar un término cualquiera de la progresión, aplicamos la fórmula del término general: 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ r, donde:

Volvemos a la situación

Respuesta: La regla de formación que permite calcular el número de palitos de cualquier figura es:

𝒂𝒏 = 2n+ 1.

𝑎1: es el primer término.

𝑎𝑛: es el término enésimo.

r: es la razón aritmética.

Reemplazamos los datos en𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ r:𝑎𝑛 = 3 + 𝑛 − 1 ∙ 2𝑎𝑛 = 3 +2𝑛 − 2𝑎𝑛 = 2n + 1

+2

𝑎1 = 3 palitos 𝑎2 = 5 palitos 𝑎3 = 7 palitos

+2

?Fig. 4 Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

+2

𝑎𝑛 = 𝑛 palitos

Entonces:𝑎1 = 3, 𝑎2 = 5𝑎3 = 7, 𝑎20 = ?

r = 2

1. ¿Cuántos palitos hay en la figura 20?

Tenemos:

Recurrimos a la regla de formación encontrada que permite calcular el número de palitos de cualquier figura: 𝑎𝑛 = 2n + 1.Reemplazamos valores: 𝑎20 = 2 ∙ 20 + 1Realizamos operaciones: 𝑎20 = 40 + 1

𝑎20 = 41

Respuesta: La figura 20 tiene 41 palitos.

Volvemos a la situación

1. Completa los datos de la tabla y describe el procedimiento que se realizó para dar respuesta a las preguntas de la situación significativa.

Procedimiento:▪ Se reconoce que es una progresión aritmética y se halla la razón, encontrando la diferencia entre el número de

palitos de dos figuras consecutivas.▪ Para dar respuesta al número de palitos en la figura 4, sumamos al número de palitos de la figura 3 la razón que

es 2.▪ Hallamos la regla de formación para la figura enésima; que es la fórmula del término general de una progresión

aritmética: 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1) ∙ r.▪ Hacemos las operaciones y obtenemos la regla de formación, para hallar la cantidad de n palitos de la figura

enésima.▪ Finalmente, hallamos el número de palitos de la figura 20, empleando la regla de formación de la progresión.

Reflexionamos sobre lo desarrollado

Figura 1 2 3 4 5 … …20

Cantidad de palitos 3 5 7 9 11 … 41

+2 +2+2

2. ¿Podrías deducir el término general de otra manera? Explícala.

Sabemos que:𝑎1 = 3𝑎2 = 3 + 2𝑎3 = 3 + 2 + 2, entonces 𝑎3 = 3 + 2(2)𝑎4 = 3 + 2 + 2 + 2, entonces 𝑎4 = 3 + 3(2)𝑎5 = 3 + 2 + 2 + 2 + 2, entonces 𝑎5 = 3 + 4(2)

…

𝑎𝑛 = 3 + (n −1)(2)𝑎𝑛 = 3 + 2n −2

𝒂𝒏 = 2n+ 1

Sigamos desarrollando

Observamos que:• El término 1 es 3.• El término 2 es el 1.er término más la razón.• El término 3 es el 1.er término más 2 veces la razón.• El término 4 es el 1.er término más 3 veces la razón.• El término n, lo hallamos reemplazando el número que multiplica a

la razón por el término enésimo menos 1: (𝑛 − 1). • Finalmente, hacemos las operaciones y hallamos el término general

de la progresión.

las veces que se suma la razón, podemos representarlo por (𝑛 − 1).

Término general de la progresión

Figura 1 2 3 4 5 … …20

Cantidad de palitos 3 5 7 9 11 … 41

+2 +2…

+2

Para seguir aprendiendo en casa

Disponible en la sección Guía de actividades día 4.

Estimado(a) estudiante, con la finalidad de afianzar tus aprendizajes matemáticos te invitamos a revisar la actividad del día 4, donde encontrarás otras situaciones similares que deberás resolver.

Días 3 y 4

Gracias