Anotaciones:

FICHA CONTENIDOS

1

Explicitación de los criterios de congruencia y

semejanza de triángulos a partir de

construcciones con información determinada.

2

Construcción de figuras congruentes o

semejantes (triángulos, cuadrados y

rectángulos) y análisis de sus propiedades.

FICHA CONTENIDOS

6 Aplicación de criterios de congruencia..

7Resolución de problemas geométricos

mediante el teorema de Tales.

FICHA CONTENIDOS

8

Análisis de las características de los cuerpos

que se generan al girar sobre un eje, un

triángulo rectángulo, un semicírculo y un

rectángulo. Construcción de desarrollos

planos de conos y cilindros rectos

FICHA CONTENIDOS

10

Análisis de las relaciones entre los ángulos

agudos y los cocientes entre los lados de un

triángulo rectángulo.

11Explicitación y uso de las razones

trigonométricas seno, coseno y tangente.

Rosalba Contreras Gaytán - Américo Gerardo García Cardona - Omar Fuantos Sánchez

DIRECCIÓN DE CALIDAD ACADÉMICA DE SECUNDARIAS

FICHA CONTENIDOS

3Explicitación de los criterios de congruencia y

semejanza de triángulos.

4Análisis de propiedades de rotación, traslación

y simetría axial y central.

5 Explicitación y uso del teorema de Pitágoras

FICHA CONTENIDOS

9

Análisis de las relaciones entre el valor de la

pendiente de una recta, el valor del ángulo

que se forma con la abscisa y el cociente del

cateto opuesto sobre el cateto adyacente.

1) Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

a < b + c a > b - c2) La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.A + B + C =180º3) El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. α = A + Bα = 180º - C4) En un triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo.5) Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también son iguales.

Pro

pie

dades d

e u

n tri

án

gu

lo

Pro

pie

dades d

e u

n

para

lelo

gra

mo

Si un cuadrilátero ABCD es un paralelogramo, entonces:— Sus lados opuestos son paralelos: AB || DC y AD || BC;— Sus lados opuestos son de la misma longitud: AB = DC y AD = BC— Sus ángulos opuestos son iguales: propiedades del paralelogramo y propiedades del paralelogramo;— El punto medio de cada una de sus diagonales coincide con el punto donde se cruzan (el centro de simetría del paralelogramo); dos ángulos consecutivos son suplementarios: por ejemplo, propiedades del paralelogramo.

Figuras que tienen la misma forma y el mismo tamaño. Coinciden

exactamente cuando se sobreponen (se colocan una sobre otra).

Figuras congruentes Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, aunque tengan distinto tamaño.Matemáticamente, eso quiere decir que sus lados son proporcionales entre sí. De hecho, cuando vemos copias (ampliaciones o reducciones) que no reproducen exactamente al original, decimos que "están desproporcionadas".

Cuando dos figuras son semejantes, la razón entre los lados homólogos es una constante que se denomina razón de proporcionalidad.

1. Concepto de semejanza

Los lados a y a', b y b', c y c'

se llaman lados homólogos.

Son ángulos homólogos:

A y A´ B y B´ C y C´

Lados homólogosPropiedades de la semejanza de triángulos

Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos

La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama

razón de semejanza.

Propiedades de Congruencias de triángulos.Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes tienen la misma longitud y sus ángulos correspondientes tienen la misma medida.

Notación: Si dos triángulos son congruentes, entonces la relación se notará como:

Criterios para deducir o establecer la congruencia de dos triángulos.

1° Caso LAL: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales dos de sus lados respectivos y el ángulo comprendido entre ellos.2° Caso ALA: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales dos de sus ángulos respectivos y el lado entre ellos.3° Caso LLL: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales los tres lados.y el ángulo opuesto mayor medida que ellos.

Consigna . Indiv idualmente dibuja, si es posible, el triángulo DEF con las

medidas indicadas en cada inciso. Al terminar contesta las preguntas.

a) DE = 3 cm; EF = 4 cm y FD = 5 cm

b) DE = 4 cm; EF = 5 cm y FD = 10 cm

c) DE = 5 cm; EF = 7 cm y FD = 5 cm

d) DE = 8 cm; EF = 3 cm y FD = 4 cm

a) ¿En cuáles casos no pudiste construir el triángulo solicitado? ¿A qué crees

que se debe? ________________________________________

b) Da dos ejemplos dif erentes donde no se pueda construir un triángulo y explica

por qué._____________________________________________

Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones

con información determinada.

1 2

3 4

5 6

7 8

Ficha 1

Consigna. Organizados en equipos, construya cada uno un triángulo con la medida de los segmentos que se dan enseguida, recorten sus triángulos y compárenlos con los de sus compañeros de equipo. Después contesten las preguntas.a) ¿Los triángulos dibujados por cada uno de ustedes fue igual al de sus

compañeros de equipo?_________________b) b) Si hubo diferencias, analicen sus trazos y digan a qué se

debieron.________________________________c) ¿Serán iguales los triángulos que ustedes trazaron con los trazados por el resto de sus compañeros de grupo?___________________ ¿Por qué?____________d) ¿Dada la medida de los tres lados es suficiente para obtener triángulos iguales? ______________________________

Consigna Organizados en equipos, cada uno construya un triángulo

con los segmentos que aparecen enseguida de manera que entre

ellos formen un ángulo de 60°.

Comparen sus triángulos y digan qué sucedió.

Consigna . Con los mismos datos dibujen un triángulo diferente al anterior.

Comenten con sus compañeros de equipo qué sucedió y por qué.

Consigna Organizados en parejas, construyan un triángulo con el

segmento AC y los ángulos que se indican. Al terminar, compárenlo

con el de otras parejas poniéndolos a contraluz.

A___________________C A = 40° C = 70°

Consigna : Cada integrante de la pareja dibuje un triángulo cualquiera.

Después, cada uno anote en un papelito tres medidas del triángulo que

construyó para que con esta información la pareja pueda construir un triángulo igual.

Comparen los triángulos para ver si efectivamente son iguales.

Consigna: De manera individual traza, sobre una hoja blanca, un

triángulo equilátero. Cuando termines el trazo, haz lo que se indica

más abajo.

a) Reúnanse en equipos y comparen sus triángulos. Verif iquen que, aunque sean de distintos tamaños, todos son semejantes

porque tienen la misma forma.

b) ¿A qué creen que se debe que todos son semejantes?

_________________________________________

a) Tomen dos de los triángulos que construyeron y contesten las

siguientes preguntas:

¿Cuál es la razón entre los lados de esos triángulos? ____________

¿Cuál es la razón entre sus perímetros? ______________________

¿Cuál es la razón entre sus áreas? __________________________

b) Construya cada quien un cuadrado, procurando que sean de

distintos tamaños, después contesten las siguientes preguntas:

¿Por qué creen que todos los cuadrados que construyeron son

semejantes? Consideren solamente dos cuadrados para contestar lo siguiente:

¿Cuál es la razón entre sus lados? __________________

¿Cuál es la razón entre sus perímetros? ______________

¿Cuál es la razón entre sus áreas? __________________

Consigna: De manera individual traza, en una hoja blanca, un

triángulo escaleno (tres lados desiguales) cuyos ángulos midan

respectivamente 80°, 60° y 40°. Cuando termines tu trazo, haz y

contesta lo que se indica en seguida.

a) Reúnete con tu equipo y comparen sus triángulos.

b) ¿Por qué creen que resultaron semejantes?

____________________________

Tomen dos triángulos cualesquiera de los que construyeron,

identif iquen los lados correspondientes y márquenlos como se indica

en el siguiente dibujo. Después, calculen las razones expresadas con

letras.

''BA

AB

''CB

BC

'' AC

CA

d) ¿Cuál es la razón entre los lados correspondientes de los

triángulos que trazaron? _________________

e) ¿Cuál es la razón entre los perímetros? ______________

f) ¿Cuál es la razón entre las áreas? ___________________

9 10

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Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus

propiedades.Propiedades de Congruencias de triángulos.

Consigna: Equipos resuelvan los siguientes problemas.

1. Cada integrante del equipos construya los triángulos cuyos ángulos midan:

a)60º, 60º y 60º

b) 90º, 45º y 45º

c) 90º, 60º y 30º2. Agrupen sus triángulos, de acuerdo con las medidas de sus ángulos. Después contesten: ¿Por qué creen que los triángulos de cada grupo tienen la misma forma? ____________________________________________

3. Elijan dos triángulos que tengan la misma forma y hagan lo siguiente:

a)Nombren uno de los triángulos con las letras ABC y al otro con A’B’C’

b)Nombren los lados de uno de los triángulos con las letras abc y los lados del otro con a’b’c’.

c) Midan los lados de ambos triángulos y anoten los datos que se piden

en la siguiente tabla.

Triángulo

ABC

a= b= c= a/a’= b/b’= c/c’=

Triángulo

A’B’C’

a’= b’= c’= a/b= a’/b’=

d) ¿Por qué se puede asegurar que los lados de los triángulos ABC y

A’B’C’ son proporcionales? __________________________________

Consigna: Organizados en equipos resuelvan el siguiente problema.

Se quiere ampliar una fotografía cuyas medidas son 4 cm de largo por

2 cm de ancho, de tal manera que el homólogo del lado que mide 4

cm, mida 7 cm en la fotografía ampliada,

¿cuánto deberá medir el otro lado?

Consigna: En equipos resuelvan el siguiente problema.

Tracen los rectángulos que muestran el tamaño de las fotografías de la

sesión anterior sobre el siguiente plano cartesiano, ubicando uno de

sus vértices en el origen de éste y tracen otros dos rectángulos

semejantes a los dos primeros, de manera que coincidan con el punto (0,0). Expliquen cómo pueden saber que los dos últimos rectángulos

son semejantes a los primeros.

Consigna: En equipos, construyan un pentágono regular semejante al

que aparece abajo, pero cuyos lados midan el doble; tomen como

referencia el punto E”.

a) Comparen los lados homólogos de ambos polígonos y escriban el

factor de proporcionalidad entre ellos. Después digan cómo son los

ángulos correspondientes entre ambos polígonos.

Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes tienen la misma longitud y sus ángulos correspondientes tienen la misma medida.Notación: Si dos triángulos son congruentes, entonces la relación se notará como:

Criterios para deducir o establecer la congruencia de dos triángulos.

1° Caso LAL: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales dos de sus lados respectivos y el ángulo comprendido entre ellos.2° Caso ALA: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales dos de sus ángulos respectivos y el lado entre ellos.3° Caso LLL: Dos triángulos son congruentes si tienen iguales los tres lados. y el ángulo opuesto mayor medida que ellos.

Los catetos son los lados opuestos a los ángulos agudos de

un triángulo rectángulo.

triángulo rectángulo

Los catetos son los lados menores del triángulo rectángulo.

La hipotenusa es lado mayor del triángulo rectángulo. es el

lado opuesto al ángulo recto de un triángulo rectángulo.

Teorema de Pitágoras

El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados

de los catetos.

Ejemplos

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 m y uno de sus catetos 3 m. ¿Cuánto mide otro cateto?

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19 20

21 22

23 24

17

Ficha 2

Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos.Ficha 3

Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la pared. El pie

de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera

sobre la pared?

Consigna : Organizados en equipos, en una hoja construyan dos

cuadrados tomando como base las medidas de los lados menores del

siguiente triángulo.

Después tracen una diagonal en cada cuadrado que construyeron,

recorten las f iguras |resultantes y con éstas intenten cubrir el cuadrado trazado en el lado mayor

¿Con las f iguras recortadas lograron

cubrir toda la superficie del cuadrado

mayor? ¿Por qué crees que sucede

esto?

¿Qué clase de triángulo es el que está sombreado?

Consigna : En los mismos equipos, resuelvan el siguiente problema:

Se van a construir 3 plazas cuadradas adyacentes a los límites de un

jardín, como el que aparece en el dibujo, tomando como base las

medidas de sus lados.

¿Cuánto mide el área de cada una de

las plazas?

Encuentren qué relaciones hay entre las

áreas de las tres plazas.

¿Qué figura geométrica representa el

jardín?

Con base en la relación que

encontraron y considerando la f igura 3,

elaboren una conclusión. Figura 3

Consigna: En equipos

calculen el área de los

cuadrados que se pueden

construir con las medidas de

los lados de cada triángulo para completar la siguiente

tabla.

No.

Figu

ra

Suma de las áreas de

los cuadrados con

las medidas de los

lados menores

Área del

cuadrado con

la medida del

lado mayor

Nombre del

triángulo por la

medida de sus

ángulos

Nombre del

triángulo por la

medida de sus

lados

1

2

3

4

¿En qué triángulos se cumple que la suma de las áreas de los cuadrados construidos con la medida de los lados menores es igual al área del cuadrado construido con la medida del lado mayor?

Escriban una conclusión acerca de la relación que encontraron

Rotación

El movimiento de cambio

de orientación de un sólido

extenso de forma que,

dado un punto cualquiera

del mismo, este permanece a una distancia

constante del eje de

rotación.

Traslación

La traslación es una transformación

puntual por la cual a todo punto A

del plano le corresponde otro punto

A' también del plano de forma que

vector. Siendo vector el vector que define la traslación.

26

27 28

29 30

31 32

25

Análisis de propiedades de rotación, traslación y simetría axial y central.Ficha 4

Simetría axial

Una simetría axial de eje e es una transformación, por tanto a todo punto P del plano le corresponde otro punto P' también del plano, de manera que el eje e sea la mediatriz del segmento AA'.

Las simetrías axiales son isometrías porque conservan las distancias entre los puntos y sus homólogos.

Simetría central

Consigna: Organizados en equipo, completen las siguientes figuras de manera que la recta m sea eje de simetría de cada figura y contesten las preguntas.

a) ¿Qué figura se formará en el tercer dibujo?b) ¿A qué distancia de m estará el punto B’ en la primera figura?c) ¿Cuál va a ser la medida de los lados simétricos en cada figura?d) ¿Cuánto medirá el ángulo B’?e) ¿Cuál va a ser la medida de los ángulos O’ y P’ en la segunda figura?f) ¿Qué figura se formó en cada caso?g) Las figuras anteriores ¿tienen otros ejes de simetría, además de m? Trázalos.h) ¿Con qué otras figuras que tú conozcas sucede algo semejante?

Consigna: Tracen la figura simétrica a la dibujada. Consideren la línea q como eje de simetría. Al terminar los trazos, respondan las preguntas.

a) Describe el procedimiento que seguiste para trazar las figuras anteriores.b) ¿Cómo son los lados y los ángulos de la figura simétrica con respecto de la original?

Una simetría central, de centro el punto O, es un movimiento del plano con el que a cada punto P del plano le hace corresponder otro punto P', siendo O el punto medio del segmento de extremos P y P'.

Si comprendemos al cien por ciento estos dos conceptos básicos de los triángulos rectángulos, no tendremos ningún problema al analizar la relación dada gracias la teorema de Pitágoras. Así, tenemos que: “En todo triángulo rectángulo se cumple que la hipotenusa h elevada a la potencia 2 es igual que la suma de la misma potencia en cada cateto c1 y c2“. Esta expresión puede ser representada simbólicamente de la siguiente forma:

Para entender la definición del teorema de Pitágoras es necesario comprender dos conceptos fundamentales de la teoría de triángulos rectángulos:

Para que un triángulo rectángulo sea considerado como tal debe contar con un ángulo interior de 90° mientras que los otros dos son siempre menores que 90°.

Los lados de un triángulo rectángulo que comprenden el ángulo de 90° se denominan ‘catetos’ mientras que aquel lado que es opuesto a dicho ángulo es llamado ‘hipotenusa’; en todos los casos y sin excepción, la hipotenusa tiene un largo mayor al de los catetos que comprenden el triángulo rectángulo.

Consigna. Reunidos con dos compañeros, realicen lo que se indica enseguida:1. Expresen algebraicamente los valores solicitados en función de las otras dos variables.

2. En cada figura, ¿cuál es la expresión algebraica que representa la siguiente afirmación conocida como Teorema de Pitágoras? Escríbanla en cada espacio correspondiente.“En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.

Figura 1: _____________Figura 2: _____________ Figura 3: _____________

34

35 36

37 38

39 40

33

Explicitación y uso del teorema de Pitágoras.Ficha 5

zyc

ba

ca

a

𝒃𝟐 =_______________

𝒙𝟐 =_______________

𝒚𝟐 =_______________

𝒛 =_______________

𝒙 =_______________

𝒚 =_______________

𝒄𝟐 =_______________

𝒂𝟐 =_______________

𝟐𝒂𝟐 =_______________

𝒄 =_______________

𝒂 =_______________

𝒄𝟐 =_______________

𝒂𝟐 =_______________

𝒃𝟐 =_______________

𝒂 =_______________

𝒃 =_______________

𝒄 =_______________

Consigna: Organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas, pueden utilizar calculadora.1. Un albañil apoya una escalera de 5 m de largo contra un muro vertical. El pie de la escalera está a 2 m del muro. Calculen a qué altura se encuentra la parte superior de la

escalera.

2. En la esquina de una plaza rectangular se encuentra un puesto de helados. Si estoy en la esquina opuesta diagonalmente, ¿cuántos metros tengo que recorrer en diagonal para llegar al puesto? Los lados de la plaza miden 48 m y 64 m.

3. ¿Cuál es la máxima distancia que puedes recorrer sin cambiar de dirección en una pista de patinaje en forma de rombo, si cada lado mide 26 m y la diagonal menor 40 m?

4. El pueblo B está, en línea recta, 40 km al norte del pueblo A y el pueblo C está, en

línea recta, 30 km al este de B.¿Cuál es la distancia entre los pueblos A y C?

Consigna: Los dos triángulos que aparecen abajo son semejantes. Individualmente, calculen el perímetro de cada uno.

1. Figuras geométricas congruentesDos o más figuras geométricas son congruentes si tienen la misma forma y el mismo tamaño. Se demuestra que son congruentes si sus ángulos homólogos (correspondientes) tienen la misma medida y sus lados homólogos son congruentes entre sí, es decir, tienen la misma medida de longitud. Por ejemplo:

Las figuras A, B y C son congruentes, pues tienen la misma forma y el mismo tamaño. La figura D, en cambio, no es congruente a las anteriores porque su tamaño es mayor.

2 Congruencia de triángulosDos triángulos son congruentes si sus ángulos correspondientes tienen la misma medida, y sus lados homólogos miden lo mismo. Sin embargo, para construir un triángulo congruente, es necesario conocer tres de sus medidas, y uno de esos datos debe ser la medida de un lado. Como los elementos primarios de los triángulos (ángulos y lados) son dependientes, la información mínima necesaria para que los triángulos sean congruentes responde a los l lamados cri terios de congruencia:

Consigna. Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas.

1. Sea ABCD un cuadrilátero, ¿qué condiciones debe cumplir para que

al trazar una de sus diagonales resulten dos triángulos congruentes?

_______________________________________________________

2. Se tienen dos triángulos con el mismo perímetro; los lados del

miden LM=5x+3, LN=2x+2 y MN=8X-1; y los lados del miden

RS=3x+13, RT=4x-8, y, ST=6x+9

a) ¿Los triángulos LMN y RST son congruentes? _________ ¿Por qué? ___________________________________________________

Consigna. Organizados en equipos resuelvan los siguientes

problemas.

1. Analicen los siguientes casos y determinen si se trata o no de

triángulos semejantes, argumenten sus respuestas:

a) Dos triángulos isósceles ABC y MNL en los que el ángulo

desigual mide 45°.

b) Dos triángulos rectángulos cualesquiera.

¿Qué profundidad (x) tiene la

piscina?

¿Cuál es la distancia que hay

desde el punto G hasta H?

3. Dos caminos que son paralelos entre sí, se unen por dos puentes, los cuales se cruzan por un punto O, como se muestra en la figura.Considerando las medidas que se muestran, ¿cuál es la longitud total de cada puente?

2. El siguiente dibujo representa una parte lateral

de una piscina, la cual tiene 2.3 m de ancho. Con

base en la información de la f igura, contesten lo

que se pide.

42

43 44

45 46

47 48

41

Aplicación de criterios de congruencia.Ficha 6

A

B

C

D

Resolución de problemas geométricos mediante el teorema de Tales.

Consigna: Trabajen en equipo con el problema siguiente:El dibujo corresponde a un portón hecho por un herrero. Su ayudante dice que existe relación entre los segmentos (ED’, D’C’, C’B’, B’A’) de la barra reforzadora (EA’) y la medida del ancho de cada lámina (ED, DC, CB, BA) que forma el portón. ¿Cuánto deben medir de ancho las láminas que hay en los extremos? ________________________

a) Describan en forma breve qué relación existe entre esas medidas._________________________________________________Observen y comenten qué otras relaciones encuentran, además de las que señala el ayudante del herrero. Justifícalas ____________________________

a) ¿Cuántos puntos obtuvieron? _________________________

b) ¿En cuántas partes quedó dividido el segmento? __________

c) ¿Por qué se puede asegurar que todas esas partes son iguales? _________________________________

Consigna . Organizados en parejas señalen los puntos donde el segmento corta a las rayas de la hoja de un cuaderno.

Consigna Enseguida, dividan el segmento que aparece abajo en 7 partes iguales; pueden usar escuadras y compás. Describan el procedimiento usado y justifíquenlo.

Consigna Reunidos en equipos, realicen las siguientes actividades :a) Dividan el segmento AB en dos partes, de tal forma que la razón entre las medidas de las dos partes sea 2:3

b) Dividan los segmentos en partes cuya razón sea la indicada.

Teorema de Tales en un triángulo.Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.

Ejemplo:

Hallar las

medidas de

los segmentos

a y b.

Consigna : La siguiente fotografía, es un homenaje a Escher. Las líneas negras se colocaron para resaltar las dos alturas que se observan de la construcción. Digan qué relación existe entre dichas alturas y los segmentos que las unen. Justifiquen su respuesta.

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51 52

53 54

55 56

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Ficha 7

Análisis de las características de los cuerpos que se generan al girar sobre un eje, un triángulo rectángulo,

un semicírculo y un rectángulo. Construcción de desarrollos planos de conos y cilindros rectos.

Ficha 8

La generatriz es la línea exterior de una superficie que al girar alrededor de un eje da lugar a un cuerpo de revolución como el cilindro o el cono.

Generatriz del cilindroEl cilindro es un cuerpo de revolución engendrado por un rectángulo al girar en torno a uno de sus lados, que será la altura del cilindro y el lado opuesto será la generatriz.

Por tanto la altura del cilindro será igual a la generatriz.h = g

Un cuerpo de revolución es aquel que se origina al girar una figura plana alrededor de un eje. Las caras de un cuerpo de revolución son curvas.

Cuerpos de Revolución

Podemos distinguir:

Eje: recta alrededor de la cual gira la figura plana para general el cuerpo de revolución.Generatriz: son los límites exteriores de la figura plana.

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59 60

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57

Generatriz del conoEl cono es un cuerpo de revolución engendrado por un triángulo rectángulo al gi rar en torno a uno de sus catetos, que será la altura del cono y la hipotenusa será la generatriz.

Por el teorema de Pi tágoras la generatriz del cono será igual a:

Cilindro:

Tiene dos bases para lelas con forma de

círculo y una cara lateral curva . Se genera al gi rar

un rectángulo alrededor de un eje.

Esfera:

La es fera se genera al girar una semicircunferencia alrededor de un eje

En la esfera todos los puntos están a la misma distancia de su centro. El segmento que une cada punto de la esfera con el centro se denomina radio.

Cono:Tiene una sola base en forma de círculo y una cara lateral curva

que finaliza en un punto llamado vértice o cúspide.

Consigna 1: Organizados en equipos utilicen tres popotes como eje y peguen a cada uno de éstos un triángulo rectángulo, un rectángulo y un semicírculo. 1. Anticipen qué cuerpo geométrico se describe a l girar cada figura.2. Escriban las características de cada cuerpo generado.

Consigna 2: Comenten con sus compañeros de equipo: ¿qué cuerpo geométrico se genera al trasladar un círculo de un plano a otro paralelo?

Consigna 4: Organizados en equipos, realicen las siguientes actividades: • Usen un tubo de cartón, de los que trae el papel sanitario, para trazar los círculos que puedan servir de tapa superior e inferior del tubo y

recórtenlos.• Corten longitudinalmente el tubo y, completamente aplanado,

péguenlo en un pliego de cartoncillo.• Peguen donde corresponda las dos tapas para formar el desarrollo plano del ci lindro.• Anoten sobre las líneas que corresponda las siguientes medidas:a) Al tura del cilindrob) Radio del cilindroc) Perímetro de la base del cilindro.

Consigna 3: Organizados en equipos, usen un cono de papel para tomar agua y realicen las siguientes actividades:

• A parti r del modelo pegado en el cartoncillo, construyan el desarrollo plano de un cilindro cuyas medidas sean 4 cm de radio y 10 cm de a l tura. Recórtenlo y armen el ci lindro

• Anoten sobre las líneas que corresponda las siguientes medidas:a) Radio del conob) Al tura del conoc) Generatriz del conod) Perímetro de la base del conoe) Ángulo del sector ci rcular que permite formar el cono.

• Construyan el desarrollo plano para hacer un vasito en forma de cono que mida 4 cm de radio y 10 cm de a l tura. Armen el vaso y veri fiquen que tiene las medidas indicadas.

Esta figura se obtiene girando un triángulo rectángulo a l rededor un eje.

La generatriz es el segmento que va desde cualquier punto de la ci rcunferencia de la base al vértice.

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71 72

65

Ficha 9

El eje de abscisas o eje X es el eje horizontal de un sistema de coordenadas cartesianas.

Los puntos situados en el eje de abscisas tienen su ordenada igual a 0.

Análisis de las relaciones entre el valor de la pendiente de una recta, el valor

del ángulo que se forma con la abscisa y el cociente del cateto opuesto sobre el

cateto adyacente.

Signo

Abscisa

1er Cuadrante +

2do Cuadrante −

3er Cuadrante −4do Cuadrante +

Los puntos que están

en el eje de

ordenadas tienen su

abscisa igual a 0.

La ordenada

Es la distancia vertical al eje horizontal o de abscisas.

Las coordenadas de un punto cualquiera P se representan por (x, y).

A la segunda coordenada se la denomina ordenada del punto o coordenada y del punto.

Abscisa

Las coordenadas de un punto cualquiera P se representan por (x, y).

A la primera coordenada se la denomina abscisa del punto o coordenada x del punto.

La abscisa es la distancia horizontal al eje vertical o de ordenadas.

Los puntos situados

en una misma línea

vertical (paralela al

eje de ordenadas)

tienen la misma

abscisa. Los puntos situados en el eje de

abscisas tienen su ordenada igual a 0.

Signo

Ordenada

1er Cuadrante +

2do Cuadrante +3er Cuadrante −

4do Cuadrante −

Los puntos

situados en la

misma línea

horizontal (paralela

al eje de abscisas)

tienen la misma

ordenada.

74

75 76

77 78

79 80

73

La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas.

Si m < 0 la función es decreciente y ángulo que forma la recta con la

parte positiva del eje OX es obtuso.

La pendiente de una

recta es la tangente

del ángulo que forma

la recta con la

dirección positiva del

eje de abscisas.

Consigna:

Organizado

s en binas,

y a partir de

la gráfica de la recta y =

0.5 x + 1,

realicen lo

que se pide:

a) Determinen la medida del ángulo “A” que se forma con la recta y el eje x.

b) Construyan tres triángulos rectángulos, considerando la recta y el eje de las abscisas o una paralela a ésta.

c) Identifiquen y midan los catetos opuestos y adyacentes al ángulo “A” en cada triángulo.

d) Obtengan los cocientes de las razones formadas por el cateto opuesto entre el adyacente.

e) Veri fiquen que los cocientes obtenidos son iguales y expliquen por qué.

f) Contesten: ¿Qué relación existe entre la pendiente de la recta y los cocientes de los catetos? Argumenten su respuesta.

Consigna. Organizados en equipos realicen la siguiente actividad:

Comparen los resultados de su tabla con la elaborada por otro equipo, verifiquen que aunque los datos de las tres primeras columnas fueran diferentes, los de las dos últimas coinciden y expliquen por qué.

¿Sucederá lo mismo con otros ángulos? Compruébenlo y concluyan.

Se denota con la letra m.

Si m > 0 la función es

creciente y ángulo que

forma la recta con la parte positiva del eje OX es

agudo.

triángulos rectángulos, uno para cada ángulo, posteriormente completen la tabla y contesten las preguntas. Pueden utilizar un juego de geometría y una calculadora.

Consideren las rectas de la siguiente ilustración, las cuales forman con el eje horizontal un ángulo de 30°, uno de 45° y otro de 60°; para formar tres

82

83 84

85 86

87 88

81

Análisis de las relaciones entre los ángulos agudos y los cocientes entre los lados de un triángulo

rectángulo.Ficha 10

SenoEn un triángulo rectángulo, es la longitud de el lado opuesto dividido para la longitud de la hipotenusa.

La abreviatura es sin

Ejemplo: En un triángulo con lados de 3, 4 y 5,el seno del ángulo donde los lados de longitud 4 y 5 se encuentran 3/5

CosenoEn un triángulo rectángulo, es la longitud del lado adyacente dividida por la longitud de la hipotenusa.

La abreviación es cos.

Ejemplo: en un triángulo con lados de 3, 4 y 5, el coseno del ángulo donde se encuentran los lados de longitud 4 y 5 es 4/5.

Tangente En un triángulo rectángulo, es la longitud de el lado opuesto dividido para la longitud de el lado adyacente.

Su abreviatura es tan

Ejemplo: En un triángulo conlados de 3, 4 y 5, la tangente de el ángulo donde los lados de longitud 4 y 5 se encuentran es 3/4

Funciones trigonométricas

Tomen los datos necesarios de la gráfica y completen la siguiente tabla.Utilicen su calculadora y consideren hasta diezmilésimos en los cálculos yresultados. Luego, respondanlo que se cuestiona.

¿Cómo es el resultado de la razón seno en los cuatro triángulos? ___________________________________________________¿Y el de la razón coseno? _____________________________¿A qué creen que se deba esto?_________________________Con una calculadora científica, obtengan el seno y el coseno de los cocientesobtenidos.¿Los resultados coinciden con la medida del ángulo A? ¿Porqué?

hipotenusa

opuestoC.hipotenusa

adyacenteC.

adyacenteC

opuestoC

.

.

Consigna:Organizadosen parejas, ya partir de lagráfica de larecta y =1.5x + 1,realicen loque se pide:

Explicitación y uso de las razones trigonométricas seno, coseno y tangente. Ficha 11

Ángulo Seno Coseno Tangente Ángulo Seno Coseno Tangente Ángulo Seno Coseno Tangente

1° 0.0175 0.9998 0.0175 14° 0.2419 0.9703 0.2493 27° 0.4540 0.8910 0.5095

2° 0.0349 0.9994 0.0349 15° 0.2588 0.9659 0.2679 28° 0.4695 0.8829 0.5317

3° 0.0523 0.9986 0.0524 16° 0.2756 0.9613 0.2867 29° 0.4848 0.8746 0.5543

4° 0.0698 0.9976 0.0699 17° 0.2924 0.9563 0.3057 30° 0.5000 0.8660 0.5774

5° 0.0872 0.9962 0.0875 18° 0.3090 0.9511 0.3249 31° 0.5150 0.8572 0.6009

6° 0.1045 0.9945 0.1051 19° 0.3256 0.9455 0.3443 32° 0.5299 0.8480 0.6249

7° 0.1219 0.9925 0.1228 20° 0.3420 0.9397 0.3640 33° 0.5446 0.8387 0.6494

8° 0.1392 0.9903 0.1405 21° 0.3584 0.9336 0.3839 34° 0.5592 0.8290 0.6745

9° 0.1564 0.9877 0.1584 22° 0.3746 0.9272 0.4040 35° 0.5736 0.8192 0.7002

10° 0.1736 0.9848 0.1763 23° 0.3907 0.9205 0.4245 36° 0.5878 0.8090 0.7265

11° 0.1908 0.9816 0.1944 24° 0.4067 0.9135 0.4452 37° 0.6018 0.7986 0.7536

12° 0.2079 0.9781 0.2126 25° 0.4226 0.9063 0.4663 38° 0.6157 0.7880 0.7813

13° 0.2250 0.9744 0.2309 26° 0.4384 0.8988 0.4877 39° 0.6293 0.7771 0.8098

TABLA DE RAZONES (FUNCIONES) TRIGONOMÉTRICAS

Ángulo Seno Coseno Tangente Ángulo Seno Coseno Tangente Ángulo Seno Coseno Tangente

40° 0.6428 0.7660 0.8391 57° 0.8387 0.5446 1.5399 74° 0.9613 0.2756 3.4874

41° 0.6561 0.7547 0.8693 58° 0.8480 0.5299 1.6003 75° 0.9659 0.2588 3.7321

42° 0.6691 0.7431 0.9004 59° 0.8572 0.5150 1.6643 76° 0.9703 0.2419 4.0108

43° 0.6820 0.7314 0.9325 60° 0.8660 0.5000 1.7321 77° 0.9744 0.2250 4.3315

44° 0.6947 0.7193 0.9657 61° 0.8746 0.4848 1.8040 78° 0.9781 0.2079 4.7046

45° 0.7071 0.7071 1.0000 62° 0.8829 0.4695 1.8807 79° 0.9816 0.1908 5.1446

46° 0.7193 0.6947 1.0355 63° 0.8910 0.4540 1.9626 80° 0.9848 0.1736 5.6713

47° 0.7314 0.6820 1.0724 64° 0.8988 0.4384 2.0503 81° 0.9877 0.1564 6.3138

48° 0.7431 0.6691 1.1106 65° 0.9063 0.4226 2.1445 82° 0.9903 0.1392 7.1154

49° 0.7547 0.6561 1.1504 66° 0.9135 0.4067 2.2460 83° 0.9925 0.1219 8.1443

50° 0.7660 0.6428 1.1918 67° 0.9205 0.3907 2.3559 84° 0.9945 0.1045 9.5144

51° 0.7771 0.6293 1.2349 68° 0.9272 0.3746 2.4751 85° 0.9962 0.0872 11.4301

52° 0.7880 0.6157 1.2799 69° 0.9336 0.3584 2.6051 86° 0.9976 0.0698 14.3007

53° 0.7986 0.6018 1.3270 70° 0.9397 0.3420 2.7475 87° 0.9986 0.0523 19.0811

54° 0.8090 0.5878 1.3764 71° 0.9455 0.3256 2.9042 88° 0.9994 0.0349 28.6363

55° 0.8192 0.5736 1.4281 72° 0.9511 0.3090 3.0777 89° 0.9998 0.0175 57.2900

56° 0.8290 0.5592 1.4826 73° 0.9563 0.2924 3.2709 90° 1.0000 0.0000 ---------

TABLA DE RAZONES (FUNCIONES) TRIGONOMÉTRICAS

90

91 92

93 94

95 96

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Consigna. Organizados en parejas resuelvan los siguientes problemas. Para ello, usen su calculadora científica o la tabla de razones trigonométricas.

1. ¿Cuál es la altura del asta

bandera, si a cierta hora

del día el ángulo que

forma el extremo de su

sombra con la punta del

asta mide 37º?

2. ¿Cuál es la altura de la

torre y la longitud del

tirante que la

sostiene?

b = __________

c = __________

B = __________

a = __________

c = __________

B = __________

c = __________

A = __________

B = __________

a = __________

A = __________

B = __________

3. Un puente de 18 m de largo atraviesa por una barranca como se muestra en el siguiente esquema. ¿Cuál es la profundidad de la barranca?

4. Se desea calcular la altura de la torre, para ello se miden los ángulos de elevación desde los puntos A y B. Con los datos de la figura,¿cuál es la altura dela torre?

Consigna: Individualmente, calculen los valores que se piden en cada caso. Usen su calculadora científica o la tabla de razones trigonométricas.

Figura A

Figura B

Figura CFigura D