1

Tema 2 TRANSMISIÓN ACÚSTICA A TRAVÉS DE VARIOS MEDIOS

1 10.09 Repaso: reflexión, ondas estacionarias. Formula de la línea

2 15.09 Coeficiente de transmisión. Multicapa. Dos y tres medios

3 17.09 Extremo abierto. Rama lateral.

4 22.09 Bifurcación. Método matricial

5 24.09 Incidencia oblicua. Refracción acústica.

Tema 3 DIFRACCIÓN ACÚSTICA. BARRERAS CONTRA EL RUIDO

6 29.09 Array. Espiral de fasores. Zonas de Fresnel

7 01.10 Orificio circular. Espiral Cornú. Fórmula de Maekawa. Barreras

8 06.10 Resolución de los problemas de difracción

9 08.10 Repaso

EXTREMO ABIERTO

RAMA LATERAL

Impedancia de radiación de un pistón : )ka(radcaZ 2pistrad ρπ=

( )tcosv0 ω ( ) ka38j

2ka)ka(rad

41ka

2

π+≈⇒<

a

expresión exacta de la función rad(ka):

BF:

( ) ( ) ( ) ,ka

ka2Hjka

ka2J1karad 11 +−= ( ) ( )( )

−π

= ∫

π2

01 dzzcosxsen

dxd12xH

Función de Struve

(ka)2

kaka

0.5

0 2 4 6 8

1Re(rad(ka))

Im(rad(ka))

Lewine, Schwinger (1948): ( ) ka·56.0·jka24.0)ka(rad 2 +=

3

5

FUNCIONES DE BESSEL

6

EXTREMO ABIERTO DE UN TUBO

( )kRradSczradρ

=

RAMA LATERAL

latprincunión z1

z1

z1

+=

uniónz princz

latz( )

yxxyy,xpar+

=

radzSR

Ejemplo :

12

3

( )[ ]

ρ

ρ

ρ= 22

21

11

1kL,kRradlin

Sc,kL,

cSzlin

Scpar

( )33 kLtgj1

Scρ

=R= radio del tubo 2 L1,2,3=longitudes transversalesS1,2,3=secciones transversales

cerrado rígidamente

abierto

cerrado con Z1

PM (punto de mira)

→PMZ

←PMZ

7

( )[ ]

ρ

= 211212

kL,kL,kRradlinSS1lin

Sc

cerrado rígidamente

abierto123

32

1abierto

cerrado rígidamente

( )[ ]

ω

ρ−

ωρ+

ρ=

Vc

SLjACT,kL,kRradlin

Scpar

2

2

21

1

PM (punto de mira)

( )33 kLtgj1

Scρ

=←PMZ→PMZ

R= radio del tubo 1 L1,2,3=longitudes transversalesS1,2,3=secciones transversalesV= volumen del resonadorACT = parte activa de la impedancia del resonador

( )33 kLtgj1

Scρ

=←PMZR= radio del tubo 1 L1,2,3=longitudes transversalesS1,2,3=secciones transversales

→PMZPM (punto de mira)

8

32

1

abierto

z1

1

23

abierto( )[ ]

ρ

ρρ

= 222

1

1

1

1kL,kRradlin

Sc,kL,

Sc

zlinScparz

z

z

( )[ ]

ω

ρ−

ωρ+

ρ=

Vc

SLjACT,kL,kRradlin

Scparz

2

2

21

V

ρρ

= 3

1

1entrada kL,

Sczlin

Scz

ρ=α

3

t

Sc

entrada_ztransm

ρρ

= 3

1

1entrada kL,

Sczlin

Scz

ρ=α

3

t

Sc

entrada_ztransm

entradaz

entradaz

9

RC

LCLF

R

( )

=α LCk,LFk),kR(radlin

RRClin

RCRtransm 2

2

2

2

t

TRANSMISIÓN A TRAVÉS DE UN CONDUCTO (1)

10

TRANSMISIÓN A TRAVÉS DE UN CONDUCTO (2)

α

=−=t

ti1log10LL)lossontransmissi(TL

11

Calcular las pérdidas por transmisión alpropagarse una onda armónica a través delfiltro acústico, representado en la figura. Laimpedancia final del tubo lateral es 1000·jPa·s/m3.

Los radios del tubo principal y lateralson iguales a 10 cm. La longitud del tubo lateralL=λ·(MN + DN)/20, siendo λ la longitud de laonda incidente. M y N son mes y día delnacimiento del alumno.

L

( ) ( ) 325'0kLtg,597'6DNMN20

2kL.1 ==+λ

λπ

=

j5270...kL,zzlinzz,j1000z,12730

rcz.2

0

fin0lat_entrfin20 ==

===

πρ

=

( ) j44941859...z,zparz.3 0lat_entrunion_entr +===

407'0...z

ztransm.4

0

union_entrt ==

=α

dB907'31log10TLntransmisióporperdidas.5t=

α

=

12

Calcular el coeficiente de transmisión a través de un tubo infinitamente largo con dos ramas laterales:

Ambas ramas laterales terminan en extremos rígidamente cerrados. Los diámetros de las ramas laterales y del tubo principal son iguales.

Sc0z ρ=1z

2z3z

Solución:

La impedancia de entrada de la ramas : j0z

4tanj

0z

8ktanj

0zz =

π

=

λ

=

j10z

j0z0z

j0z0z

1z+

=+

=( )( ) 1z

tan1zj0ztan0zj1z0z2z =

π+π+=

j210z

j10z

j0z

j10z

j0z

1zj0z

1zj0z

3z+

=

++

+=+

=

21

1j21

1

1j21

1

1j21

1transm0z3ztransm

2

t =+

+

−+−=

+

=

=α

13

PROBLEMA OPTATIVO Construir la gráfica “coeficiente de transmisión a través de un tubo presentado en la figura en función de la frecuencia” entre 5 y 2000 Hz. El tubo es infinitamente largo hacia la izquierda y está abierto en su extremo derecho. La impedancia de radiación está de acuerdo con la fórmula:

Los radios del tubo principal y de las ramas laterales son: a = 3 cm. Las dos ramas laterales están cerradas rígidamente.

La flecha indica el sentido de propagación de la onda incidente.Las longitudes indicadas en la figura son:

b = 0.1 + 0.01·DMN mL = 0.7 + 0.01·DMN md = 0.5 m

( ) ka·56.0·jka24.0)ka(rad 2 +=

14

NO IMPORTA LA FORMA GEOMÉTRICA DE LA SECCIÓN DEL CONDUCTO.

IMPORTAN SOLO: EL VALOR SEL AREA “S” Y LA LONGITUD L

S = sección transversal

15

TAMPOCO IMPORTA LA DIRECCIÓN DE LA RAMA LATERAL:

16

ZONAS DE CONTRACCIÓN Y EXPANSIÓN“CALLEJÓN”

h

L

h

L

Las zonas “ciegas”, formadas al introducir parte del tubo principal al interior de la cámara de expansión, equivalen a una rama lateral formada por un tubo cerrado de la misma longitud que las zonas “ciegas” y de la misma sección transversal.

=

Tubos de sección constante: A, C, E, G, IZonas de expansión: B, FZonas de contracción: D, H

En estas zonas importan 2 parámetros: S y L:

16

Utilizando las funciones transm, lin, rad y par, escribir la fórmula para calcular el coeficiente de transmisión de la potencia acústica a través del sistema formado por tubos cilíndricos. Las longitudes y radios de los tubos están puestos en la figura.

18

19

05.02.09 Al final de una línea acústica, compuestapor dos tubos de diferentes radios, se coloca unamuestra de fibra de vidrio. R = 10 cm, r = 5 cm, L1= L2 = 17 cm. La impedancia específica de fibra devidrio para 1000 Hz es igual a 800 rays.Calcular el coeficiente de transmisión de la línea.Solución:

La cavidad formada en el segmento L1 del tubo ancho por inserción del tuboestrecho (“callejón”) es de longitud igual a λ/2 y por tanto su impedancia deentrada es infinitamente grande:

( ) ( ) ∞→π

=

λλπ

=tan

1

22tan

1kLtan

1~

La conexión en paralelo de esta cavidad no tiene ningún efecto. Por tanto elsistema se simplifica. La impedancia de entrada al tubo ancho:

2S800

02zfibra_z02z,

02zfibra_zlin02z2kL,

02zfibra_zlin02zz ==

π=

=

El coeficiente de transmisión:

98

21211

1S400

1S4800

1S400

1S4800

1

1S400

2S800

1S400

2S800

101zz01zz1

01zztransm

2

22

2

t =+−

−=+

−−=

+

−−=

+−

−=

=α

20

La figura representa un silenciador, formado por tres tubos metálicos con sección cilíndrica. Los tubos de entrada y de salida son semiinfinitos. Construir la gráfica “el coeficiente de transmisión a través del silenciador en función de la frecuencia” entre 5 y 2000 Hz.

21

22

Dentro de cada tubo uniforme tenemos dos variables complejas :

( ) ( )jkxjkx0 Feepxp += −

Calcular el coef. de transmisión en el sistema de cuatro tubos uniformes:

Fyp0

presión total:

( ) ( ) c/SFeepxU jkxjkx0 ρ−= −

velocidad volumétrica total:

En general son 8 constantes incógnitas: p01 , F1 , p02 , F2 , p03 , F3 , p04 , F4 .Una de ellas, por ejemplo, p01 podemos suponer = 1.Aplicamos 6 condiciones de continuidad (3 en cada unión):p1(A)=p2(A) p1(A)=p3(A) v1(A)=v2(A)+v3(A)p2(B)=p4(B) p1(3)=p4(B) v2(B)+v3(B)=v4(B)(en el punto A sustituimos en las ondas 1,2,3: x=0. en el punto B: sustituimos en las ondas 2 y 4 x=L2, onda 3 x=L3)

y el conocimiento de la impedancia final:

Resolvemos el sistema de 7 ecuaciones con 7 incógnitas y encontramos F1 .Luego calculamos el coeficiente de transmisión:

13

2 4→ →

A B

( )( ) )dato(final_zB4vB4p

=

21t F1−=α

DISTRIBUCIÓNDE LA POTENCIA

EN UNA BIFURCACIÓN

24

BIFURCACIÓN EN UN CONDUCTO

1Z 2Z

2

1

( )( )

2

2

1

1

21

221

1

zz

zRezRe1

1

WW1

1WW

W

+

=+

=+

( ) ( )21211 z,zbifWWW +=( )

( )( )

2

yx

xReyRe1

1y,xbif+

=

función “distribuidora”

( )zRez2

pW 2

2

=

25

[ ] [ ]

[ ] ( )zRez2

Uz(z)Re

z2Ucos

z2UeRe

z2U

ezUURe

21eIeURe

21UIRe

21UIW

2

2222j

j)t(ωjtωj

==ϕ==

=

====

ϕ−

ϕ−ϕ+−∗

deducimos que la potencia eléctrica disipada en una impedancia z al aplicar la tención alterna U:

Por tanto esta potencia es nula en tres casos:z=0, U = 0, “cortocircuito”z=∞, pared absolutamente rígidaRe (z) = 0, impedancia puramente reactiva

Si al final de una línea (sin bifurcación ni atenuación) la transmisión es nula lo es también al principio, es decir a través de la línea.

( )2

0

02

0

02

0

0

zzzzRe4

zzzz,

zzzz

1r1t

2

i0pr0p̂

ir

r +=

+−

+−

−=α−=α===αII

Otra manera de demostrarlo en el caso acústico:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]φ+ω−ω=φ

=φ+ωω∫ tjtjT

0

eeRe21

2cosdttcostcos

T1

Utilizando la relación :

En el caso acústico :

( )zRez2

pW 2

2

=

26

Todos los tubos tienen el mismo diámetro y son semiinfinitos hacia fuera. La flecha indica la entrada del filtro. A la entrada incide una onda armónica con la potencia de 100 mw.

Las distancias AB y AC son: AB = λ / 8, AC = 3λ /8 (siendo λ la longitud de onda).

Calcular las potencias W1, W2, W3 y W4, que se transmiten, respectivamente, por las salidas 1, 2, 3 y 4.

Hablaremos de las impedancias normalizadas (divididas entre z0)

5.0zz.1 CB ==

( ) ( )( ) 6'0j8'0

5'0j1j5'0

AB·ktg5'0j1AB·ktgj5'0AB·k,zlinz.2 BAB +=

++

=+

+==

4AB·k π

=

( ) 6'0j8'0AC·k,zlinz.3 CAC −==

43AC·k π

=

( ) 625'0z,zparz.4 ACAB ==

( ) mw7'94625'0transm100W.5 A == ( )( )( )

21

zz

zRezRe1

1z,zbif.6 2

AC

AB

AB

ACACAB =

+

=

mw67'237'9441WWWW.7 4321 =====

B

A

C

27

La potencia acústica W_incid que incide desde la izquierda dentro del tubo, representado en la figura, es de 100 mw. El radio del tubo es de 61 mm.La impedancia de radiación del orificio lateral es de ( 20000 + 10000 j ) rayls/m2.Calcular las potencias W_rad, W_refl, W_resto.

2R

W_incidW_rad

W_restoW_refl34220Rc0z 2 =π

ρ=

j385213333rad_z0z

rad_z·0zunion_z +=+

=Impedancia de la unión:

j1000020000rad_z +=Solución:

mw817.190zunion_z0zunion_zincid_Wrefl_W

2

=+−

=

mw183.80refl_Wincid_Wrad_Wresto_W =−=+

( ) ( ) ( )

mw33.46

2422.3

422.3j21

1183.80

34220,j20000bif183.800z,rad_zbifrad_Wresto_Wrad_W

2 ==

++

=

=+=+=

mw85.33rad_Wrefl_Wincid_Wresto_W =−−=

MÉTODOMATRICIAL

mm22mm211m

mm12mm111m

UTpTUUTpTp

+=+=

+

+

m22m21

m12m11m TT

TTT =

MATRICES DE TRANSFERENCIA

( ) ( )( ) ( )

=

∞

∞

kLcosz

kLsenjkLsenzjkLcos

Ttubo

1m1m U,p ++ mm U,p

0 x = L x =

tubo uniforme

=

10z1

T mserie

1m1m U,p ++ mm U,p

impedancia en seriemz

= 1

z1

01T

m

par

1m1m U,p ++ mm U,p

impedancia en paralelo

mz

31

32

( ) ( )( )

[ ]

( )( ) ( ) dB56.14035.0log10CTlog10TL

035.0027.0·j10·868.8transm01zztransmCTTransm_Coef)6

1365·j5.4511816·j5.894,4610·jparLk,02z01zlin·02z,call_zparz)5

1816·j5.89486.13tg·84.7j186.13tgj84.7·649686.13,84.7lin·6496Lk,

02z01zlin·02z)4

3

=−=−=→

=−=

==

−=−−=

=

−=+

+==

−

( ) 4610·j)hk(tg

call_0zjcall_z7446rR

ccall_0z)3

6496Rc02z50930

rc01z)2

615.1)hk(tg86.13340

7502c

f2k)1

14.0R05.0r

22

22

−=−==−π

ρ=

=πρ

==πρ

=

==π

=π

=

==

h

L

Calcular las pérdidas por transmisión originadas al propagarse una onda armónica a través del filtro acústico, representado en la figura.

DATOS:frecuencia 750 Hzradio del tubo principal r = 5 cmradio de la cámara de expansión R = 14 cmlongitud del “callejón” h = 30cmlongitud del resto de la cámara L = 1 impedancia específica del aire ρc = 400 kg/m2·s

Impedancia vista mirando desde el punto A a la derecha:

A