Presentación de PowerPointjjgarcia/Material_FisicaI/3_Dinamica(Ejercicios_com… · 7. Hallamos...

220/10/2020

Sobre un cuerpo en reposo, de masa 3 kg, actúa una fuerza de 20 N durante 4 s. El cuerpo está situadosobre una superficie horizontal y la fuerza aplicada es paralela a la misma. Suponiendo un coeficientede rozamiento µ=0.2, calcular el tiempo que transcurre desde que cesa la fuerza hasta que el cuerpo separa de nuevo.

¿x1?, t1=4 s

P

F

N

rF

P

N

rF

P

N

¿x2?, ¿t2?

1.- En todo el desplazamiento el peso está compensado con la normal y no hay movimiento en el eje perpendicular alsuelo. Luego estamos ante un movimiento unidimensional en el que consideraremos el vector unitario paralelo al sueloy en sentido de izquierda a derecha.

2.- En la primera parte del desplazamiento la segunda ley de Newton aplicada al cuerpo puede escribirse como:

1 1r

rF F F N F PF F ma a

m m m− −µ −µ

− = ⇒ = = =

donde hemos utilizado que debido a que el cuerpo se mueve la fuerza de rozamiento actúa con su mayor valor posibleque es µN.3.- Por lo tanto, en la primera parte, el sistema sufre una aceleración constante cuyas ecuaciones correspondientes, siconsideramos el origen del sistema de referencia en donde comienza el movimiento, serán:

221 ;

2 2a t F P F Px t v t

m m−µ −µ

= = =

320/10/2020


¿x1?, t1=4 s

P

F

N

rF

P

N

rF

P

N

¿x2?, ¿t2?

4.- Particularizando estas expresiones para cuando la fuerza deja de actuar nos queda:

5.- A partir de ese momento la única fuerza que actúa sobre el sistema en la dirección paralela al suelo es la fuerza derozamiento. Por lo tanto, en esta situación la laceleración del sistema será

2 2r

rF PF ma am m

µ− = ⇒ = − = −

6.- Por lo tanto, en este tramo, el sistema sufre una deceleración constante cuyas ecuaciones correspondientes, siconsideramos el origen del sistema de referencia en donde comienza la deceleración, serán:

222

1 1 1; 2 2

a t P Px v t v t t v v tm m

′ µ µ′ ′ ′ ′ ′ ′= + = − = −

21 1 1 137.65 m/s ; 18.83 m/s

2F P F Px t v t

m m−µ −µ

= = = =

donde el superíndice prima se ha incluido para distinguir las magnitudes cinemáticas de esta parte del problema de lasde la primera parte.

420/10/2020


¿x1?, t1=4 s

P

F

N

rF

P

N

rF

P

N

¿x2?, ¿t2?

7.- Finalmente, particularizamos las ecuaciones para el caso en el que el móvil se para:

22

2 1 2 11 7.2 s ; 1 90.4 m;2

F g Ft t x tmg mg

µ′ ′= − = = − = µ µ

520/10/2020

Dos masas de m1=1.5 kg y m2=3 kg están conectadas por una cuerda que corre sobre una polea sinmasa. La masa m2 cuelga de la cuerda; la otra se desliza en una rampa de 35º. ¿Cuál es la aceleración delas masas? Si el coeficiente de fricción cinético entre la masa m1 y la rampa es igual a 0.4 ¿Cuál es laaceleración de las masas? ¿Podemos asegurar que el sistema se mueve?

θ=35º

m1

m2

1. Planteamiento

620/10/2020


θ=35º

m1

m2

1. Planteamiento

2. Como hay fuerzas de rozamiento elegimos haciadonde creemos que se va a producir el movimiento.

720/10/2020


1. Planteamiento


3. Representamos las fuerzas que actúan sobre los doscuerpos. Aquí se ve que es importante haber elegidopreviamente el sentido del movimiento del sistema.θ=35º

T

1P

N

2P

rF

T

m1

m2

820/10/2020


1. Planteamiento



T

1P

N

2P

rF

T

m1

m2

4. Dado que estamos suponiendo que el sistema se mueve la fuerza de rozamiento va a actuar con sumáximo valor. rF N= µ

920/10/2020


1. Planteamiento



T

1P

N

2P

rF

T

m1

m2


5. Aplicamos la segunda ley de Newton a los dos cuerpos.1 1

2 2

Masa 1:

Masa 2: rP F N T m a

P T m a

+ + + =

+ =

1020/10/2020


1. Planteamiento


3. Representamos las fuerzas que actúan sobre los doscuerpos. Aquí se ve que es importante haber elegidopreviamente el sentido del movimiento del sistema.



2 2

Masa 1:


P T m a

+ + + =

+ =

6. Elegimos sistemas de referencia para cada uno de los cuerpos.

θ=35º

T

1P

N

2P

rF

T

m1

m2X

Y

ˆxuˆyu

ˆxuˆyu

θ

1120/10/2020


1. Planteamiento





2 2

Masa 1:


P T m a

+ + + =

+ =


θ=35º

T

1P

N

2P

rF

T

m1

m2X

Y

ˆxuˆyu

ˆxuˆyu

θ

7. Hallamos las componentes de las fuerzas en los sistema de referencia que hemos elegido yreescribimos la segunda ley de Newton en cada una de las direcciones.

1 1

1 1

2 2

Eje X: Masa 1:

Eje Y: 0 cos( )

Masa 2:

x r

y y

P F T m aP N N P mg

P T m a

− − + =− + = ⇒ = = θ

− + = −

1220/10/2020


1. Planteamiento





2 2

Masa 1:


P T m a

+ + + =

+ =


θ=35º

T

1P

N

2P

rF

T

m1

m2X

Y

ˆxuˆyu

ˆxuˆyu

θ

7. Hallamos las componentes de las fuerzas en los sistema de referencia que hemos elegido yreescribimos la segunda ley de Newton en cada una de las direcciones.

1 1

1 1

2 2

Eje X: Masa 1:

Eje Y: 0 cos( )

Masa 2:

x r

y y

P F T m aP N N P mg

P T m a

− − + =− + = ⇒ = = θ

− + = −

8. Utilizamos la ecuación para m1 en el eje Ypara calcular la fuerza de rozamiento

cos( )rF N mg= µ = µ θ

1320/10/2020


9. Resolvemos el sistema de ecuaciones que nos queda:

1 1

2 2

Masa 1: Eje X: cos( )Masa 2:

xP mg T m aP T m a

− −µ θ + =− + = −

12

Hacemos menos y despejamos la aceleración1 2

1 1

2 2

2 1 1 2( )

x r

x r

P F T m aP T m aP P F m m a

− − + =− =− − = +

( )2 1

1 2

sin( ) cos( )m ma g

m m− θ −µ θ

=+

10. Particularizamos la situación para el caso en que no hay fricción con el plano (µ=0).

22 1

1 2

sin( ) 4.66 m/sm ma gm m− θ

= =+

11. En el caso general, para asegurar que el sistema se mueve la aceleración que nos salga tiene que ser mayor o igual a cero

( ) ( ) ( )2 12 1 2 1

1 2

sin( ) cos( )0 sin( ) cos( ) 0 sin( ) cos( ) 3 kg 0.36 kg

m mg m m m m

m m− θ −µ θ

≥ ⇒ − θ −µ θ ≥ ⇒ ≥ θ −µ θ ⇒ ≥+

( )2 1 2

1 2

sin( ) cos( )5.73 m/s

m ma g

m m− θ −µ θ

= =+

1420/10/2020

Determinar la aceleración de los bloques m1 y m2 del sistema formado por el plano inclinado y laspoleas indicadas en la figura. Se supone que no hay rozamiento y se desprecia la masa del hilo y delas poleas.

1520/10/2020


1. Identificamos las fuerzas que actúan sobre ambos bloques.

1P

2P

2T

3T

1T

N

1620/10/2020



1P

2P

2T

3T

1T

N

2. Escribimos la segunda ley de Newton para ambos cuerpos.1 1 1 1

2 2 3 2 2

P N T m a

P T T m a

+ + =

+ + =

1720/10/2020



1P

2P

2T

3T

1T

N


2 2 3 2 2

P N T m a

P T T m a

+ + =

+ + =

3. Elegimos los sistemas de referencia y reescribimos lasecuaciones en función de sus componentes.

1 1 1 1

1

2 2 3 2 2

Eje X: -Eje Y: - 0

x

y

P T m aP NP T T m a

+ =+ =− − =

X

Yˆxuˆyu

ˆyu

1820/10/2020



1P

2P

2T

3T

1T

N


2 2 3 2 2

P N T m a

P T T m a

+ + =

+ + =


1 1 1 1

1

2 2 3 2 2

Eje X: -Eje Y: - 0

x

y

P T m aP NP T T m a

+ =+ =− − =

X

Yˆxuˆyu

ˆyu

4. Puesto que despreciamos la masa de la cuerda ysuponemos que esta es rígida y no se alarga nicontrae, la tensión a lo largo de la misma tiene queser constante, es decir

1 2 3T T T= =

1920/10/2020



1P

2P

2T

3T

1T

N


2 2 3 2 2

P N T m a

P T T m a

+ + =

+ + =


1 1 1 1

1

2 2 3 2 2

Eje X: -Eje Y: - 0

x

y

P T m aP NP T T m a

+ =+ =− − =

X

Yˆxuˆyu

ˆyu


1 2 3T T T= =

5. Por otro lado la relación entre las dosaceleraciones tiene que ser:

1 22a a=

x

2x

2020/10/2020



1P

2P

2T

3T

1T

N


2 2 3 2 2

P N T m a

P T T m a

+ + =

+ + =


1 1 1 1

1

2 2 3 2 2

Eje X: -Eje Y: - 0

x

y

P T m aP NP T T m a

+ =+ =− − =

X

Yˆxuˆyu

ˆyu


1 2 3T T T= =

5. Por otro lado la relación entra las dosaceleraciones tiene que ser:

1 22a a=

6. Sustituyendo estos resultados en el sistema deecuaciones y operando llegamos a:

1 1 21 1 2

12 2 2

2 2 2

Eje X: - 2-2 2 4

Eje Y: - 02

2

xx

y

P T m aP T m a

P NP T m a

P T m a

+ =+ =

+ = ⇒− =

− =

1 2 1 2 2-2 (4 )xP P m m a+ = +

2 12

1 2

-2 cos( )4

m ma gm m

θ=

+

2120/10/2020

Un vehículo de masa 100 kg describe una curva de 20 m de radio, con una velocidad de 2 m/s. Elcoeficiente de rozamiento entre las ruedas y el suelo vale 0,2. Determinar: a) si el suelo fuerahorizontal, la velocidad máxima que podría llevar el vehículo para que no derrape; b) si no hubierarozamiento, el peralte de la curva para que a esa velocidad no derrape.

2220/10/2020


θ

1. Planteamos el problema de forma general

2320/10/2020


θP

N

rF


2. Identificamos las fuerzas que actúan sobre el sistema.

2420/10/2020


θP

N

rF

2va aR

⇒ =



3. Tenemos en cuenta que se requiere que el sistema siga una trayectoria circular.

2520/10/2020


θP

N

rF

2va aR

⇒ =



3. Tenemos en cuenta que se requiere que el sistema siga una trayectoria circular.4. Escribimos la segunda ley de Newton para el automóvil.

rP N F ma+ + =

2620/10/2020


θP

N

rF

2va aR

⇒ =

X

Y

ˆxuˆyu




rP N F ma+ + =

5. Elegimos el sistema de referencia y reescribimosla segunda ley de Newton en función de lascomponentes vectoriales.

2

0

x rx

y ry

vN F mR

P N F

+ =

− + − =

2

sin( ) cos( )

cos( ) sin( ) 0

r

r

vN F mR

P N F

θ + θ =

− + θ − θ =

2720/10/2020


θP

N

rF

2va aR

⇒ =

X

Y

ˆxuˆyu




rP N F ma+ + =


2

0

x rx

y ry

vN F mR

P N F

+ =

− + − =

2

sin( ) cos( )

cos( ) sin( ) 0

r

r

vN F mR

P N F

θ + θ =

− + θ − θ =

6. Despejamos N de la segunda ecuación ysustituimos en la primera.

2 2sin ( )tan( ) cos( )cos( )

tan( )cos( )

r r

r

vP F F mR

PN F

θθ + + θ =

θ

= + θθ

2

2 2

cos( ) sin( )

sin ( )sin( )cos( ) cos( )

rvF m PRP vN m P

R

= θ − θ

θ= + θ −

θ θ

2820/10/2020


θP

N

rF

2va aR

⇒ =

X

Y

ˆxuˆyu




rP N F ma+ + =


2

0

x rx

y ry

vN F mR

P N F

+ =

− + − =

2

sin( ) cos( )

cos( ) sin( ) 0

r

r

vN F mR

P N F

θ + θ =

− + θ − θ =



tan( )cos( )

r r

r

vP F F mR

PN F

θθ + + θ =

θ

= + θθ

2

2 2

cos( ) sin( )


rvF m PRP vN m P

R

= θ − θ

θ= + θ −

θ θ

7. Utilizamos que la fuerza de rozamiento es menoro igual que el coeficiente de fricción estático por lanormal y nos queda:

cos( ) sin( )cos( ) sin( )

v Rg µ θ + θ≤

θ −µ θ

2920/10/2020


θP

N

rF

2va aR

⇒ =

X

Y

ˆxuˆyu




rP N F ma+ + =


2

0

x rx

y ry

vN F mR

P N F

+ =

− + − =

2

sin( ) cos( )

cos( ) sin( ) 0

r

r

vN F mR

P N F

θ + θ =

− + θ − θ =



tan( )cos( )

r r

r

vP F F mR

PN F

θθ + + θ =

θ

= + θθ

2

2 2

cos( ) sin( )


rvF m PRP vN m P

R

= θ − θ

θ= + θ −

θ θ



v Rg µ θ + θ≤

θ −µ θ8. Particularizando la anterior expresión para elcaso del suelo horizontal nos queda:

HORIZONTAL 6.3 m/s=22.5 Km/hv Rg≤ µ =

3020/10/2020


θP

N

rF

2va aR

⇒ =

X

Y

ˆxuˆyu




rP N F ma+ + =


2

0

x rx

y ry

vN F mR

P N F

+ =

− + − =

2

sin( ) cos( )

cos( ) sin( ) 0

r

r

vN F mR

P N F

θ + θ =

− + θ − θ =



tan( )cos( )

r r

r

vP F F mR

PN F

θθ + + θ =

θ

= + θθ

2

2 2

cos( ) sin( )


rvF m PRP vN m P

R

= θ − θ

θ= + θ −

θ θ



v Rg µ θ + θ≤

θ −µ θ8. Particularizando la anterior expresión para elcaso del suelo horizontal nos queda:

HORIZONTAL 6.3 m/s=22.5 Km/hv Rg≤ µ =

9. Sin rozamiento nos quedaría:SIN ROZAMIENTO tan( )v Rg≤ θ

tan( ) arctan( ) 21.8ºµ ≤ θ ⇒ µ ≤ θ⇒ θ ≥

3120/10/2020

El cuerpo A de 1 kg de masa, está unido por una cuerda inextensible y sin peso con el cuerpo B, de 2kg de masa, como indica la figura. Si los coeficientes cinéticos de rozamiento entre cada cuerpo y elplano inclinado valen, respectivamente, 0,2 y 0,3, calcular: a) la aceleración de los cuerpos; b) latensión de la cuerda.

3220/10/2020


1. Identificamos las fuerzas que actúan sobre los dos cuerpos

1P

2P

1N

2N

1rF

2rF

T

T−

3320/10/2020



1P

2P

1N

2N

1rF

2rF

T

T−

2. Escribimos la segunda ley de Newton para los dos cuerpos:

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

r

r

P N F T m a

P N F T m a

+ + − =

+ + + =

3420/10/2020



1P

2P

1N

2N

1rF

2rF

T

T−


1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

r

r

P N F T m a

P N F T m a

+ + − =

+ + + =

3. Elegimos el sistema de referencia y escribimos las anterioresecuaciones en función de sus componentes.

ˆxu

ˆxuˆyu

ˆyu

1 1 1

1 1 1 1

2 2 2

2 2 2 2

0

0

x r

y y

x r

y y

P F T m aP N N P

P F T m aP N N P

− − =− + = ⇒ =

− + =− + = ⇒ =

3520/10/2020



1P

2P

1N

2N

1rF

2rF

T

T−


1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

r

r

P N F T m a

P N F T m a

+ + − =

+ + + =

3. Elegimos el sistema de referencia y escribimos las anterioresecuaciones en función de sus componentes.

ˆxu

ˆxuˆyu

ˆyu

1 1 1

1 1 1 1

2 2 2

2 2 2 2

0

0

x r

y y

x r

y y

P F T m aP N N P

P F T m aP N N P

− − =− + = ⇒ =

− + =− + = ⇒ =

4. Tenemos en cuenta que si el sistema se mueve lafuerza de rozamiento es máxima y resolvemos elsistema de ecuaciones.

1 1 1

2 2 2

x y

x y

P P T m aP P T m a

−µ − =

−µ + =

1 2 1 1 2 2 1 2( )x x y yP P P P m m a+ −µ −µ = +

21 1 2 2

1 2

1 1 2 2 2 12 2 1 2

1 2 1 2

sin( ) cos( ) 2.64 m/s

cos( ) cos( ) 0.57 N

m ma gm m

m mT m g m m gm m m m

µ +µ= θ − θ = +

µ +µ µ −µ= θ µ − = θ = + +

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