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• Método de nodos

– Metodología

– Ejemplos

– Supernodos

Clase 4

De leyes a métodos

• Tanto la ley de voltajes de Kirchhoff como la ley de corrientes derivan en los métodos de mallas y nodos respectivamente.

• Ambas metodologías transforman el problema de circuitos en un problema matricial del estilo:

Ax = b

Donde:

A: Matriz NxN

x: Vector columna de incógnitas de N elementos

b: Vector columna de N elementos

• La solución del sistema matricial despeja el vector x, el cual representa a los siguientes parámetros:

Método de nodos → x es vector voltaje

Método de mallas → x es vector corriente

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Método de nodos

1) Escoger un nodo de referencia (tierra)Buscar el nodo con más conexiones

2) Definir en cada nodo un voltaje Vi que será la incógnita a despejar

Existen nodos cuyo voltaje es conocido dada la presencia de fuentes de voltaje

3) Escribir LKC en cada nodo con voltaje desconocido, utilizando:

I=(V1-V2)/R

4) Resolver el sistema de ecuaciones y despejar los Vi

• Al aplicar el método de nodos se pueden distinguir

básicamente 3 casos:

– Circuitos con sólo fuentes independientes de corriente

(Ej.1)

– Circuitos con fuentes independientes de corriente y

voltaje (Ej.2)

– Circuitos con fuentes independientes y dependientes

(Ej.3)

• Otros casos son fácilmente deducibles mediante el

conocimiento de los casos anteriores

Método de nodos

3

Ejemplo 1

• Obtener todos los voltajes asociados al circuito de

la figura

Ejemplo 1

• Aplicando paso 1 y 2:

• Aplicando paso 3:

Nodo 1:

Nodo 2:

Nodo 3:

0510

VV

15

VV

10

V

5

V2 131211

=−−

+−

+−−

01010

V

15

VV 221=+−

−

0510

VV15

5

V10 313

=+−

++−−

4

Ejemplo 1

• Acomodando matricialmente

10

1

5

10

10

1

010

1

15

1

15

110

1

15

1

10

1

15

1

10

1

5

1

+−

+−

−−+++

3

2

1

V

V

V

10

10

3−

=

• Esta matriz es conocida como matriz admitancia

– Matriz simétrica!!

– Muy fácil de construir mediante inspección!!

Ejemplo 2

Aplicando pasos 1 y 2

• Obtener todos los voltajes asociados al circuito de la

figura

5

Ejemplo 2

• Aplicando paso 3

Ec. Nodo 1:

Ec. Nodo 2:

Ec. Nodo 3:

Ejemplo 2

• Aplicando paso 4

Solución del sistema

V1 = 7.29V

V2 = 1.88V

V3 = 5.00V

Resultados complementarios

V20Ω= |V1-V2|=5.42V

I30Ω= (V2-5)/30Ω=104 mA

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Ejemplo 3

• Obtener el potencial de todos los nodos de la

siguiente figura.

Ejemplo 3

• Aplicando pasos 1 y 2

• Aplicando paso 3:– El ‘nodo y’ no necesita LKC ya que es una fuente de voltaje que tiene

un borne en tierra.

– Las fuentes dependientes introducen nuevas variables al problema, por

lo tanto es necesario derivar más ecuaciones

Ec. Nodo x

Relación de dependencia

01I50

V

2000

V

20

VI*1220x

xxxx=+−−−

−

2000

VI x

x =

Vx=24,7 [V]

Vy= 15 [V]Vy

7

Supernodos

• Cuando hay una fuente de voltaje que ninguno de

sus bornes está conectado al nodo de referencia, no

se puede expresar la corriente que pasa a través de

ésta en términos de voltaje, por lo tanto se utiliza la

técnica del supernodo.

• Ejemplo:

Supernodos

• Ecuación Supernodo:

0R

V

R

VII

4

b

2

a21 =−−+

LLab VVV =−• Ecuación fuente voltaje:

2 ecuaciones y 2 incógnitas

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Ejemplo Supernodo

• Escribir el sistema de ecuaciones que permite encontrar los

voltajes en cada nodo del siguiente circuito

Ejemplo Supernodo

• Ec. Nodo a: 01

VV

2

VV4 adab

=−

+−

+

01

VV

2

V0

1

V0

2

V0

2

VV dadcbba=

−+

−+

−+

−+

−

12VV bc +=

6VV dc +=

• Ec. Supernodo:

• Ec. Fuente 12 [V]:

• Ec. Fuente 6 [V]:

4 Ec y 4 incógnitas!

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Nodos

• El método de nodos sirve en general para

resolver cualquier circuito, más adelante se

analizarán distintas estrategias de resolución,

en particular es conveniente analizar cuándo

el método de nodos es preferible al método

de mallas.