2. Sea f : ℝ2 ℝ2 la función definida por: f (x,y) = (2x, y+1)Considere los conjuntos:

A = [0, ] x [0, ]α α

=[0,8] x [0,8]

B = {( x , y )R2/ x2+ y2≤γ }

= {( x , y )R2/ x2+ y2≤9}

Calcule y represente geométricamente f(A) , f(B) , f-1(A), f-1(B)

a) Calcular y representar f(A) Observamos que la región descrita por A es un cuadrado en R2 , con vértices en (0,0) , (0,8) , (8,0) y (8,8). Además, queremos calcular y graficar las imágenes que se obtienen luego que todos los vectores que conforman A, pasen por la función f(x,y).

Para calcular los valores de f(A) utilizaremos la siguiente línea de comandos en mathematica:

p={};Do [ p=Join [ p ,Table [ {x,y }, {x,0,8,0.5 } , {y,0,8,0.5 } ] ] ]pCon esto, lo que hacemos es generar una lista a la cual llamaremos “ p”, con los vectores que generan el cuadrado A, separados por una distancia de 0.5 tanto los que corresponden al eje de las abscisas como a los de las ordenadas.Si queremos graficar esta región, usando los puntos que tenemos agrupados en la lista p, podemos usar:

G 1=ListPlot [ p , PlotStyle→PointSize [0.015 ]]

2 4 6 8

2

4

6

8

Notar que si llamamos a los comandos:

Needs[Graphics`PlotField`]G 12=PlotVectorField [F [ x , y ] , {x ,0,8,0.5 },{ y ,0,8,0.5 }]

Obtenemos los vectores y sus longitudes:

Si unimos G1 con G12, usando: Show[G1,G12]

Ahora debemos obtener las imágenes generadas por los puntos en la lista, pero antes debemos definir la función:

F ¿

Y así, de forma similar, generamos una nueva lista pero con los valores de las imágenes:

q={};Do [q=Join [q ,Table [F [x , y] {x,0,8,0.5 } , {y,0,8,0.5 } ] ] ]qGraficamos: G 2=ListPlot [q ,PlotStyle→PointSize[0.015]]

5 10 15

2

4

6

8

b) Calcular y representar f(B)

Observamos que la región descrita por B es un círculo de radio r≤3, centrado en (0,0). Queremos calcular y graficar las imágenes que se obtienen luego que todos los vectores que conforman B, pasen por la función f(x,y).

Para calcular los valores de f(B) utilizaremos el mismo procedimiento que en el caso de f(A).

Lamentablemente luego de horas de intentos, no logré crear una lista con los vectores que generan el conjunto B, intenté con diversos comandos relacionados a graficar vectores y otros como RegionFunction y no lo conseguí, pero asumiendo que ya tenemos esta lista, basta con ocupar el mismo procedimiento para obtener las imágenes de dicha lista y plotearlas.

c) Y d) Para ver si la función admite o no inversa vemos si cumple la hipótesis, para ello primeramente obtenemos las derivadas parciales para calcular el determinante de la jacobiana de f(x,y):f (x,y) = (2x, y+1), y tomamos 2x = u , y+1 = v

[ J f ]= [du/dx du/dydv /dx dv /dy ] = [2 0

1 0] = 0 , ∴ La función no posee inversa.