Ejercicio 1. Usando las propiedades basicas de los límites de funcionescalcular los siguientes límites. En cada caso indicar que propiedades se hanempleado:

(a) limx!1

�x2 + 3x+ 2

�p3x� 1 = 6

p2 (h) lim

x!2

x4�16x�2 = 32

(b) limx!0

ln (x+ 1) = 0 (i) limh!0

(t+h)2�t2h = 2t con t 2 R, t �jo

(c) limx!�1

e2x+5

x+2 = e3 (j) limx!2

�5x2+9x+2x2�4 = � 11

4

(d) limx!3

x2�1x2�3x+2 = 4 (k) lim

x!b

x3�b3x�b = 3b2

(e) limx!�2

xx+3 �

x2+xpx2+5

= � 1px2+5

�x2 + x

�� 2 (l) lim

x!1

x�1px�1 = 2

(f) limx!0

p1+x�

p1�xp

4x+1�3 = 0 (m) limx!0

qx+4x � 2p

x= unde�ned

(g) limx!�

4

sin2 x+tan x

cos( 2x3 )=p3

Ejercicio Calcular los siguientes límites:

(a) limx!3

(3x� 5)1

1�x = 12 (d) lim

x!0

�sin(2x)x

� tan x3x

= 3p2

(b) limx!1

�3x+12x�5

� x+13x+1

= 122

23

3p3 (e) lim

x!+1

�p2x2+1+1

x

�x+1=1

(c) limx!0+

�sin(2x)sin x

� 1x

=1 (f) limx!0+

�sin(3x2)sin(4x2)

� 1x

= 0

Ejercicio Sabiendo que limy!0

(1 + y)1y = lim

t!1

�1 + 1

t

�t= e calcular los

siguientes limites:

(a) limx!+1

�x�2x+3

�x= e�5 (e) lim

x!0

ln(1+x)x = 1

(b) limx!+1

�1 + a

x

�x= ea, a 2 R �jo (f) lim

h!0

ln(a+h)�ln ah = 1

a , a > 0 �jo

(c) limh!0

�1 + h

x

� 1h = e

1x (g) lim

h!0

eh�1h = 1

(d) limx!0

(1 + sinx)1x = e (h) lim

h!0

ea+h�eah = ea, a 2 R �jo

1

Ejercicio Determinar el conjunto de puntos de discontinuidad (en R)de las siguientes funciones. Rede�nirlas, si fuera posible, para que resultencontinuas:

(a) f(x) = x�1x(x2�4) (e) f(x) =

8<:4x2 � 3 si x > 11 si x = 1

x2�3x+2x2�4x+3 si x < 1

(b) f(x) =

8<: x si x < 0x2 si 0 � x < 22 si x � 2

(f) f(x) = x2px2+1�1

(c) f(x) = x23�4

2x23�3x

23�2

(g) f(x) =

( p3x+1�

px+3

x2�x si x > 1sin(�2x+2)x2+x�2 si x < 1

(d) f(x) = (x�1)2x2�1

Ejercicio En cada uno de los siguientes casos hallar todos los pares denumeros reales a y b para los que la funcion f resulta continua en todo R:

(a) f(x) =

8<: x si x 2 (�1; 0)ax+ b si x 2 (0; 2)x2 si x � 2

(b) f(x) =

8<: x3 + 1 si x � 0ax2 + b si 0 < x < 2x2 � 1 si x � 2

Práctica 6: Cálculo integral

1.R

dx2x2+5x+13 =

p79�279 arctan

p79�479x+

579

�� 1

79��

2.R

exdxe2x+6ex+10 = arctan (e

x + 3)� 12�

3.Rx�

12 sinh

pxdx =

R1pxsinh

px dx

4.R

dxpx2+6x+21

= 12 ln 3 + ln

�16x+

16

px2 + 6x+ 21 + 1

2

�5.R

2x+39x2�12x+18dx =

19 ln

�x2 � 4

3x+ 2�� 13252

p14�+ 13

126

p14 arctan

p14�314x�

17

�6.Rx�

parctan 2x1+4x2 dx = 1

8 ln�x2 + 1

4

��R p

arctan 2x4x2+1 dx

7.Rsin2 axdx = � 1

4a (sin 2ax� 2ax)8.Rcos2 axdx = 1

4a (sin 2ax+ 2ax)9.Rsin(9x� 1) sin(2x+ 5)dx = 1

14 sin (7x� 6)�122 sin (11x+ 4)

2

10.Rarcsin 1

xdx = arctanh1q

1x2(x2�1)

+ x arcsin 1x

11.Rxe2x cos 3xdx = 1

169e2x (5 cos 3x� 12 sin 3x+ 26x cos 3x+ 39x sin 3x)

12.Rarcsinxdx =

p1� x2 + x arcsinx

13.R

dxx2p4+x2

= � 14x

px2 + 4

14.R

x2px2�4dx = 2 ln

�2x+ 2

px2 � 4

�+ 1

2xpx2 � 4

15.Rsinpxdx =

Rsinpx dx

16.R

ln 2xx ln 4xdx = lnx� ln (2 ln 2 + lnx) ln 2

17.Rx4+8x3�x2+2x+1(x2+x)(x3+1) dx

18.R

1(x+1)(x2+x+1)2 dx

19.R

x3p1+2x�x2 dx

20.R

sec xsec x+tan xdx = �

2tan 1

2x+1

21.R

1sin x cos2 xdx =

12 cos x (ln (2� 2 cosx) cosx� ln (2 cosx+ 2) cosx+ 2)

22.Rtan3 xdx = 1

2 tan2 x+ ln (cosx)

3