7/24/2019 prctica13_2015

1/2

INSTITUTO TECNOLGICO DEOAXACA

MTODOS NUMRICOSPRCTICA 13

13_U3-MN-2015-01

Nombre del alumno: Grupo:

3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

La modelacin matemtica implica representar un fenmeno observado en un lenguajematemtico, para expresarlo, en una ecuacin o en un conjunto de ecuaciones que representenel comportamiento general del fenmeno observado.

La solucin de ecuaciones de una sola variable se hace a travs de mtodos especficos paraencontrar sus races. Esas ecuaciones representan toda una gama de problemas y modelosasociados a ellos, as como los mtodos diseados para resolverlos. Este tipo de problemas esinsuficiente para modelar fenmenos ms complejos.

Una parte de los fenmenos observados en disciplinas como la ingeniera y la economa semodelan a travs de sistemas de ecuaciones lineales (sistemas lineales). Son lineales porquetodas las variables estn expresadas en trminos lineales (es decir, el exponente de todas las

variables es 1 y no hay multiplicaciones entre los trminos).

3.1 Mtodo Iterativo de Jacobi

Podemos establecer una estrategia que se base en una solucin inicial aproximada y sobre ellaseguir aplicando algn mtodo una y otra vez hasta que bajo algn parmetro o umbral de paronos detengamos. A este tipo de mtodos se les llama Mtodos iterativos.

Un mtodo iterativoes un procedimiento en el que tomado una solucin inicial aproximadase calcula la nueva solucin 1a partir de la solucin anterior calculada en la iteracin,esto es:

+ = ()

Hasta que se alcance el criterio de convergencia predefinido. Las convenciones para detener elalgoritmo pueden ser variadas, las ms populares son:

a)

La cantidad mxima de iteraciones se alcanzab) El error absoluto es menor que un error de aproximacin predefinidoc)

El error relativo respecto a la solucin anterior se rebasa.

La implementacin del Mtodo de Jacobi (tambin conocido como Mtodo de losdesplazamientos simultneos) es extremadamente sencilla ya que los nuevos vectores solucinse calculan a partir de despejar cada variable a partir de las ecuaciones originales en el sistema,

esto es:

+ =

Para = 1, ,

Lo que significa despejar cada variable de cada ecuacin para obtener la nuevasolucin +.

7/24/2019 prctica13_2015

2/2

INSTITUTO TECNOLGICO DEOAXACA

MTODOS NUMRICOSPRCTICA 13

13_U3-MN-2015-01

Nombre del alumno: Grupo:

De forma expresa esto significa que para aplicar el Mtodo de Jacobi primero tenemos quetomar nuestro sistema

Y despus despejar de cada una de las ecuaciones:

Ejemplo 1, considera el sistema = = =

Al despejar cada variable tenemosSi tomamos =0,0,0nuestra primera iteracin queda:

=

=

=

= ( )= .

= ( )= .

= ( )= .

Continuar las iteraciones de acuerdo a la siguiente tabla(Tres cifras significativas con redondeo)

m Error (igual)0 0.000 0.000

0.000

1 -0.200 0.222 -0.429 no2 0.14634578

Solucin del sistema

===