PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

Guıa Practica: Distribuciones continuas y discretas.

En los proximos tres ejercicios estudiaremos empıricamente las propiedades de la esperanza y la varianza

de una variable aleatoria. Para ello genere dos muestra de tamano 500, una de X ∼ N(3, 1) y otra de

Y ∼ Unif [0, 1] (respectivamente muestra1 y muestra2). Recuerde que el promedio y varianza muestral son

estimadores de la media y varianza de una variable aleatoria.

1. a) Calcule la media muestral de muestra1.

b) Sumele una constante a muestra1 y calcule su media. ¿Que puede concluir acerca de E(X + a)?

c) Multiplique por una constante a la muestra1 y calcule su media. ¿Que puede concluir acerca de

E(cX)?

d) Utilizando los dos puntos anteriores, ¿que puede concluir acerca de E(cX + a)?

2. a) Calcule la varianza muestral de muestra1.

b) Sumele una constante a la muestra1 y calcule su varianza. ¿Que puede concluir acerca de V ar(X+

a)?

c) Multiplique por una constante a la muestra1 y calcule su varianza. ¿Que puede concluir acerca

de var(cX)?

3. a) Calcule la varianza de muestra1+ muestra2. ¿Que puede concluir acerca de var(X + Y ) en este

caso?

b) Sea Z = X2 (y muestra3 respectivamente). Calcule la varianza de muestra1 + muestra3.

¿Que puede concluir acerca de var(X + Z) en este caso?

4. En los ejercicios anteriores trabajamos con muestras de variables aleatorias continuas. ¿Se repiten los

resultados con variables aleatorias discretas?

5. (Ejercicio 6.5, Walpole, Myers, Myers y Ye) Dada la variable aleatoria X con distribucion normal con

media 18 y desviacion estandar 2.5. Realice lo siguiente:

a) Encuentre utilizando la tabla de la ditribucion normal estandar:

1) P (X < 15).

2) el valor de k tal que P (X < k) = 0.2236.

3) el valor de k tal que P (X > k) = 0.1814.

4) P (17 < X < 21).

Compare el resultado con el obtenido en R.

b) Genere una muestra aleatoria de tamano 1000 de esta variable y realice el histograma correspon-

diente. En en mismo grafico superponga la funcion de densidad de X.

1

c) A patir de la muestra genereda en b), construya una muestra para la variable aleatoria

Y =X − 18

2.5

grafique el histograma correspondiente, calcule la media y la varianza de esta nueva muestra.

¿Que observa?

6. (Ejercicio 6.11, Walpole, Myers, Myers y Ye) Un abogado viaja todos los dıas de su casa en los

suburbios a su oficina en el centro de la ciudad. El tiempo medio para un viaje de ida es 24 min con

una desviacion estandar de 3.8 min. Se supone que los tiempos de viaje tienen distribucion normal.

a) ¿Cual es la probabilidad de que un viaje tome al menos media hora?

b) Si la oficina abre a las 9:00 a.m. y el sale de su casa a diario a las 8:45 a.m., que porcentaje de

las veces llegara tarde al trabajo?

c) Si un dıa sale a las 8:35 a.m. y el cafe se sirve en la oficina de 8:50 a.m. a 9:00 a.m., ¿cual es la

probabilidad de que se pierda el cafe?

d) Encuentre el valor de tiempo de viaje que es superado por el 15 % de los viajes mas lentos.

e) Encuentre la probabilidad de que 2 de los siguientes 3 viajes le tomen al menos 1/2 hora.

7. (Ejercicio 6.22, Walpole, Myers, Myers y Ye) Un autobus llega cada 10 minutos a una parada. Se supone

que el tiempo de espera para un individuo en particular es una variable aleatoria X con distribucion

continua uniforme.

a) Grafique la funcion de densidad de la variable X.

b) Grafique la funcion de distribucion acumulada teorica F (x) de X.

c) Utilizando la funcion de distribucion acumulada F (x) encuentre la probabilidad de que el indivi-

duo espere entre 2 y 7 minutos al autobus.

d) Calcule la esperanza y la varianza de X.

e) Simule 1000 valores para X realice un histograma. Compare con el item a).

f ) Grafique la funcion de distribucion acumulada empırica Fn(x) de X. Compare con el item b).

g) Obtenga aproximaciones de las cantidades calculadas en c) y d).

8. (Ejercicio 8.41, Walpole, Myers, Myers y Ye) La variable aleatoria X con distribucion chi cuadrado

tiene la siguiente funcion de densidad:

f(x) =

{0, si x ≤ 0,

1

2ν2 Γ(ν/2)

xν/2−1e−x/2 si x > 0.

donde ν es un entero positivo que denominaremos grados de libertad. Para calcular en R el valor de

esta funcion en x lo hacemos de la siguiente forma:

dchisq(x,ν)

Dada una variable aleatoria X con distribucion chi cuadrado, realice lo siguiente:

2

a) En un mismo grafico dibuje la funcion de densidad para v = 5 : 20. Esto puede realizarse de

manera automatica de la siguiente manera:

curve(dchisq(x, 5), col = 1, xlim = c(0,30), ylim = c(0,1),

ylab = ’f(x)’, main = ’Densidad teorica para la Chi2’)

for (v in 6:20){

curve(dchisq(x, v), col = v, add = TRUE,

xlim=c(0,30), ylim=c(0,1)) }

¿Que observa?

b) En un mismo grafico dibuje la funcion distribucion acumulada para v = 5 : 20. Esto puede

realizarse de manera automatica de la siguiente manera:

curve(pchisq(x, 5), col = 1, xlim = c(0,30), ylim = c(0,1),

ylab = ’F(x)’, main = ’Fda teorica para la Chi2’)

for (v in 6:20){

curve(pchisq(x, v), col = v, add = TRUE, xlim =

c(0,30), ylim = c(0,1)) }

¿Que observa?

c) Encuentre:

1) P (X > 15) cuando v = 2 y v = 5.

2) el valor de k tal que P (X > k) = 0.99 cuando v = 4.

3) el valor de k tal que P (X > k) = 0.025 cuando v = 19.

4) el valor de k tal que P (37.652 < X < k) = 0.045 cuando v = 25.

9. (Ejercicio 5.5, Walpole, Myers, Myers y Ye) De acuerdo con Chemical Engineering Progress, el 30 %

de todas las fallas de operacion en las tuberıas de plantas quımicas son ocacionadas por errores del

operador.

a) Grafique la funcion de probabilidad puntual de la variable aleatoria X = numero de fallas de

operacion en las tuberıas de plantas quımicas ocacionadas por errores del operador de 20 fallas

que se producen.

b) Calcule la probabilidad de que en 20 fallas de las tuberıas al menos 10 se deban a un error del

operador.

c) Calcule la probabilidad de que no mas de 4 de 20 fallas se deban a un error del operador.

d) Calcule el valor esperado y la varianza de la variable aleatoria X definida en a).

e) Genere una muestra aleatoria de tamano 1000 de X y construya un histograma con esas obser-

vaciones, calcule la media y la varianza muestrales y compare estos valores con los obtenidos en

el item anterior.

f ) Genere una muestra aleatoria de tamano 1000 de la misma variable pero ahora suponiendo que

la probabilidad de falla del operador es 0.7. Construya un histograma con esas observaciones,

calcule la media y la varianza muestrales.

3

g) Genere una muestra aleatoria de tamano 1000 de 20−X y construya un histograma y comparelo

con el item anterior.

h) Compare los items d) y e), ¿que observa?

10. Sea W la variable que cuenta el numero de caras menos el numero de cecas en tres lanzamientos de

una moneda equilibrada.

a) Describa los valores que puede tomar la variable W , calcule y grafique la funcion de probabilidad

puntual de dicha variable.

b) Calcule y grafique la funcion de distribucion acumulada teorica F (w) de W .

c) Utilizando la funcion de distribucion acumulada F (w) encuentre P (W > 0) y P (−1 ≤W < 3).

d) Calcule la esperanza y la varianza de la variable aleatoria W .

e) Simule este experimento 1000 veces y realice un histograma con los valores de W . Compare con

el item a).

f ) Grafique la funcion de distribucion acumulada empırica Fn(w) de W . Compare con el item b).

g) Obtenga aproximaciones de las probabilidades calculadas en c).

h) A partir de la muestra, ¿como puede aproximar los valores calculados en d)?

11. (Ejercicio 5.62, Walpole, Myers, Myers y Ye) El numero de ratas por acre en un campo tiene distri-

bucion de Poisson con un promedio de 12 ratas.

a) Por lo menos, ¿cuantas ratas se encontraran en un acre con probabilidad 0.24?

b) Calcule la probabilidad de que se encuentren menos de 7 ratas de campo en un acre dado.

12. (Ejercicio 3.36, Walpole, Myers, Myers y Ye) La funcion de densidad de los resultados observados en

cierta tarea de laboratorio, cuando el equipo esta funcionando correctamente, es dada por:

f(x) =

{2(x− 1) si 1 < x < 2,

0 en otro caso.

a) Grafique f(x).

b) Calcule y grafique la funcion de distribucion acumulada teorica F (x) de X.

c) Utilizando la funcion de distribucion acumulada F (x) encuentre la probabilidad de que el error

de medicion sea menor que 3/2.

d) Calcule la esperanza y la varianza de la variable aleatoria X.

e) Simule este experimento 1000 veces y realice un histograma con los valores de X. Esto se puede

hacer de la siguiente manera:

n = 1000

y = runif(n,0,1)

x = 1 + sqrt(y)

Compare con el item a).

f ) Grafique la funcion de distribucion acumulada empırica Fn(x) de X. Compare con el item b).

4

g) Obtenga una aproximacion de la probabilidad calculada en c).

h) Aproxime los valores obtenidos en d).

13. La variable aleatoria X, que representa el numero de errores por 100 lineas de programacion tiene la

siguiente distribucion de probabilidad:

x 2 3 4 5 6

f(x) 0.01 0.25 0.4 0.3 0.04

a) Encuentre la esperanza de X y de X2.

b) A partir de los resultados del item anterior, calcule la varianza de X.

c) Calcule la esperanza y la varianza de la variable aleatoria Z = 3X − 2

14. Sean X, Y y Z variables aleatorias independientes con medias 2, 3 y 1 respectivamente y desviaciones

estandares 4, 2 y 1 respectivamente. Calcule la esperanza y la varianza de las siguientes variables

aleatorias:

a) V = X/2;

b) T = 2X − 4;

c) W = Z − 15 ;

d) U = 2X − Y .

15. Ejercicios seleccionados del Walpole, Myers, Myers y Ye:3.3, 3.5, 3.7, 3.8, 3.10, 3.11, 3.13, 3.15, 3.16,

3.23, 3.26, 3.30, 3.35,4.1, 4.2, 4.4, 4.7, 4.8, 4.12, 4.15, 4.17, 4.18, 4.20, 4.21,4.35, 4.37, 4.43,4.55, 4.57,

4.64, 4.65, 5.1, 5.3, 5.8, 5.10, 5.11, 5.15, 5.28, 6.2, 6.3, 6.4, 6.8, 6.20, 6.14, 6.15, 6.16, 6.17, 8.39, 8.40 y

8.42.

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