Practica Resuelta Funciones
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Capitulo II 1
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ejercicios.
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Capitulo II
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Capitulo II
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FUNCIONES – PRÁCTICA RESUELTA N° 2
1. En cada uno de los siguientes casos dar la ley de la función descripta: a) El área de un rectángulo es de 10 cm². Expresar el perímetro del mismo en
función de la longitud de uno de sus lados .
▭ En el rectángulo ABCD se tiene: base = 0A ; long 0A x= Altura = 0C ; long 0C y=
Entonces 10
. . 10A b h x y yx
= = = ⇒ =
Si pide expresar el perímetro como f(x), por ejemplo.
Perímetro = 210 2 20
2 .2 2 .2 2 2.x
b h x y xx x
+= = + =
Es decir: perímetro = ( )22 20x
f xx
+=
b) Los lados iguales de un triángulo isósceles tien en 2 cm de longitud. Expresar el área del triángulo en función de la longitud de su base.
Sea ABC isósceles, entones: base = AC Long base = x En el AMB, triángulo rectángulo, se tiene por Pitágoras:
2 2 2
2 2 162 4
2 4 2
x x xh h h
− = + ⇒ = − ⇒ =
Se pide expresar el área en función a su base = x
2. 16
2 2.2
b h x xA
−= = ⇒ Área = ( )216
4
x xf x
−=
c) El volumen de un cajón rectangular abierto es de 1 m³. sabiendo que su largo
es el doble del ancho, expresar el área de la base en función de su altura. Sea A = área de la base, entonces V = A.y, donde “y” es la altura, es decir
1
1 .A y Ay
= ⇒ =
d) Un rectángulo está inscripto en un círculo de 3 cm de radio. Expresar el área del rectángulo como función de la longitud de uno d e los lados.
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▭ En el rectángulo ABCD se tiene: base = x y altura = y long 0 6B = (0B es diámetro del círculo)
En el triángulo rectángulo 0CB
△ se tiene: (long 0B )² = (long 0C )² + (long CB )²
2 2 2 26 36x y y x= + ⇒ = −
Y el área será: 2. . 36A b h x y x x= = = − 2( ) 36A f x x⇒ = = −
2. Dadas las siguientes funciones definidas por su le y, determinar el dominio de las
mismas:
a) ( ) 3 28 7f x x x= − +
Dom f = ℝ ya que es una función polinómica.
b) ( ) 4
8f x
x=
−
Dom f = { } { }/ 8 0 8x x∈ − ≠ = −ℝ ℝ
c) ( ) 3f x x= −
Dom f = { } [ )/ 3 0 3;x x∈ − ≥ = + ∞ℝ
d) ( ) 1
5 10f x
x=
+
Dom f = { } ( )/ 5 10 0 2;x x∈ + ⟩ = − + ∞ℝ
e) ( ) 2 1
4
xf x
x
−=+
Dom f = { }/ 2 1 0 4 0x x x∈ − ≥ ∧ + ≠ℝ
Dom f = 1
/ 42
x x x ∈ ≥ ∧ ≠ − ℝ
1;
2
= + ∞
f) ( ) ( )ln 1f x x= −
Dom f = ( ){ }/ ln 1 0x x∈ − ≥ℝ
( )ln 1 0 1 1 2x x x− ≥ ⇒ − ≥ ⇒ ≥
Dom f = [ )2; + ∞
g) ( ) 35
1
xf x x
x
+= − +−
Dom f = 3
/ 5 0 0 1 01
xx x x
x
+ ∈ − ≥ ∧ ≥ ∧ − ≠ − ℝ
( ]5 0 5 5 ; 5x x x x A− ≥ ⇔ − ≥ − ⇔ ≤ ⇔ ∈ −∞ =
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( ) ( )( ) ( )
( ] ( )
30 3 0 1 0 3 0 1 0
1
3 1 3 1
1 3
; 3 1;
xx x x x
x
x x x x
x x
x B
+ ≥ ⇔ + ≥ ∧ − ⟩ ∨ + ≤ ∧ − ⟨−
≥ − ∧ ⟩ ∨ ≤ − ∧ ⟨
⟩ ∨ ≤ −∈ −∞ − ∪ + ∞ =
Dom f = ( ] ( ]; 3 1; 5A B∩ = −∞ − ∪
h) ( ) ( )ln 1
1
xf x
x
+=
−
Dom f = { }/1 0 1 0x x x∈ + ⟩ ∧ − ≠ℝ
( )1 0 1 1;x x x A+ ⟩ ⇔ ⟩ − ⇔ ∈ − + ∞ =
{ }1 0 1 1x x x B− ≠ ⇔ ≠ ⇔ ∈ − =ℝ
Dom f = ( ) ( )1;1 1;A B∩ = − ∪ + ∞
i) ( ) 3 7ln
1
xf x
x
− +=+
Dom f = 3 7
/ ln 0 1 01
xx x
x
− + ∈ ≥ ∧ + ≠ + ℝ
( ) ( )
3 7 3 7 3 7 3 7 1 4 6ln 0 1 1 0 0 0
1 1 1 1 1
4 6 0 1 0 4 6 0 1 0
3 31 1
2 2
31;2
x x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x
x A
− + − + − + − + − − − +≥ ⇔ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔+ + + + +
⇔ − + ≥ ∧ + ⟩ ∨ − + ≤ ∧ + ⟨ ⇔
⇔ ≤ ∧ ⟩ − ∨ ≥ ∧ ⟨ − ⇔
⇔ ∈ − =
{ }1 0 1 1x x x B+ ≠ ⇔ ≠ − ⇔ ∈ − − =ℝ
Dom f = 3
1;2
A B ∩ = −
j) ( ) 1ln 6
2f x X
x= + −
−
Dom f = 1
/ 0 6 0 2 02
x x xx
∈ ⟩ ∧ − ≥ ∧ − ≠ − ℝ
( )10 2 0 2 2;
2x x x A
x⟩ ⇔ − ⟩ ⇔ ⟩ ⇔ ∈ + ∞ =
−
( ]6 0 6 ; 6x x x B− ≥ ⇔ ≤ ⇔ ∈ −∞ =
Dom f = ( )2; 6A B∩ =
3. Sean ( ) 23f x x= y ( ) 2g x x= + . Indicar domino y conjunto imagen de cada una,
calculando además. Datos Importantes: Dom f = ℝ , Im f = 0
+ℝ , Dom g = ℝ , Im g = ℝ
a) ( )1 1 3 71 3. 1 2 1
2 4 4 4f g + − = − + = + =
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b) ( ) ( ) ( )2 4 3.2 4 2 12f g+ − = − + = −
c) ( )( )1 3
11 1 2
f
g= =
+
d) ( ) ( ) ( ) 21 1 2 3 3.3 27f g f f= + = = =
4. Siendo ( )f x x= y ( ) 2xg x = , verificar si son ciertas las siguientes igualdade s:
a) ( )2f t f=
( ) ( )
2 2
20f t t t
t f t tt t
= = ≥ ⇔ ==
( ) ( )
2 2
20f t t t
t f t tt t
= = − ⟨ ⇔ =
= −
b) ( ) ( ) ( )153 1
2g x g x g x+ − − =
( )3 1 3 1 1 15 152 2 2 .2 2 .2 2 8 .2
2 2 2
x x x x x x g x+ − − − = − = − = =
c) ( )( ) ( )3
41
g xg
g x
+=
−
( )3 3
3 4
1 1
2 2 .22 .2 2 4
2 2 .2
x x
x xg
+
− −
/= = = =/
d) ( ) ( )
( ) ( )1f x h f x
h f x h f x
+ −=
+ + con ( )0; ,h x h x≠ + ∈ℝ
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
2 2
.
1 1
x h xx h x x h x x h x
h h x h x h x h x
x h x
f x h f xx h xh x h x
+ −+ − + − + += = =+ + + +
/+ −/ /= = =+ ++ +/ + +
5. Si ( ) 2f x x x= −
a) Calcular ( )1f − y ( )2f
( ) ( )1 1 ( 1) 2 2 2 2f f− = − − = = −
b) Hallar x tal que ( ) ( )1 2f x f x x+ − = − +
( ) ( )/ 1 2x f x f x x+ − = − +
( ) ( ) ( ) ( )2 21 1 2x x x x x+ − + − = − − − +
2 22 1 1 2 2 2x x x x x x+ + − − − = + ⇒ = −
c) Verificar si pertenecen a la gráfica de f(x) los puntos ( ) ( ) ( )1; 2 ; 3;12 ; 2; 6− −
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( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1; 2 1 1 1 0 1; 2 a la gráfica de f
3;12 3 9 3 6 3;12 a la gráfica de f
2; 6 2 4 2 6 2; 6 a la gráfica de f
f
f
f
⇒ = − = ⇒ ∉
− ⇒ − = − = ⇒ − ∉
− ⇒ − = + = ⇒ − ∈
d) Hallar los puntos de intersección de la gráfica de f(x) con los ejes coordenados.
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )2
Gráfica de eje 0;
0 0 0; 0
Gráfica de eje 0;
0 1 1; 0
f x y Q y
f Q
f x x P x
f x x x x P
∩ =
= ⇒
∩ =
= − = ⇔ = ⇒
6. Indicar cuales de las siguientes relaciones son fu nciones y especificar dominio e
imagen a) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1 1; 2 ; 2; 3 ; 1; 5 ; 6; 7R =
No es función, porque al 1 le corresponden dos elementos b) ( ){ }22 ; /R x y y x= = −
Sí, es función. Dom 2R = ℝ e Im 2 0R −= ℝ c)
Sí, es función. Dom [ ]3 2; 2R = − e Im [ ]2 2; 0R = −
d)
No es función 7. Dada ( ) 3 28 3 6f x x x x= − + − , calcular:
( ) ( ) ( )
3 2 3 2
2 2
1
2
18 3 6 8 3 6
2
16 12 3 6
2
p x f x f x
x x x x x x
x x
/ /
= + − =
= / − + − − / − − − =/ / / /
= − − = − −
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( ) ( ) ( )
3 2 3 2
3 3
1
2
18 3 6 8 3 6
2
116 2 8
2
q x f x f x
x x x x x x
x x x x
/ /
= − − =
= − / + − / + + / + + / =/ /
= + = +
Observar que p(x) es una función par, q(x) es una f unción impar y que además f = p + q . P(x) es par, q(x) es impar por lo tanto f = p+q = no es par, no es impar
8. Probar que el producto de dos funciones pares o de dos funciones impares es una función par y que el producto de una función par po r una impar, es una función impar. ¿Qué puede decirse para la suma?
Sean f(x) y g (x) funciones pares ( ) ( ) ( ) ( )f x f x g x g x= − ∧ = − )• El producto es par: . ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) . ( )f g x f x g x f x g x f g x= = − − = − Sean f(x) y g (x) funciones impares ( ) ( ) ( ) ( )f x f x g x g x= − − ∧ = − −
)• El producto es par: [ ]. ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) . ( )f g x f x g x f x g x f x g x f g x= = − − − − = − − = −
Sean f(x) par y g (x) impar ( ) ( ) ( ) ( )f x f x g x g x= − ∧ = − −
)• El producto es impar: [ ]. ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) . ( )f g x f x g x f x g x f x g x f g x= = − − − = − − − = − −
9. Determinar cuales de las siguientes funciones son pares y cuales son impares :
a) ( )
( ) ( ) ( )
2
2 2
5
5 5 es par
x
x x
f x x e
f x x e x e f x−
= −
− = − − = − = ⇒
b)
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 es impar
f x x x x x
f x x x x x x x x x f x
f x x x x x x x x x f x
= + + − − +
− = − + − − + + − = − + − + + ≠
− − = − − + + + − = + + − − + =
c)
( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
3ln
3
3ln no es par
3
33 3 3ln ln ln ln es impar
3 3 3 3
xf x
x
xf x f x
x
xx x xf x f x
x x x x
+=−
− +− = ≠− −
− +− + − − +− − = − = = = ⇒− − − + − − −
d) ( )
( ) ( )2
es par2
x x
x x
a af x a
a af x f x
−+
−
+= ∈
+− = = ⇒
ℝ
10. Completar las siguientes gráficas de modo que resulten gráficas de funciones:
1°) pares 2°) impares
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a) b)
[ ) ( ]; 0 0;fA a a= − ∪ [ ) ( ]; 0 0;fA a a= − ∪
11. Suponiendo que f(x) es una función periódica con p eríodo 2π , determinar dos
valores de x en el intervalo [ )0; 4π tales que:
a) ( ) 1 2
3 72 2.2
2 2 2 2 2 2f x f x x x
π π π ππ π π π = − ⇒ = − ⇒ = − + = ∧ = − + =
b) ( ) ( ) 1 215 15 15 6.2 3 15 7.2f x f x x xπ π π π π π π π= ⇒ = ⇒ = − = ∧ = − =
12. Graficar una función periódica tal que su período sea igual a 1 y que en [ )0;1 este
dada mediante la ley:
a) y x= b) 2y x=
( )f x x= 2( )f x x=
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13. En cada caso graficar una función que tenga las ca racterísticas pedidas:
a) Impar, biyectiva y creciente b) Par y periódica c) Impar, inyectiva y decreciente
14. Sea t °C la temperatura a k metros de la superfici e de la tierra (suponer que la función que relaciona t y k es lineal). Si la tempe ratura en la superficie de la tierra es de 8 °C y la temperatura a 175 m es 6,9 °C. ¿Cuá l es la temperatura a 700 m?
k 0 175 700 t 8 6,9 ?
t = f(k) por ser una relación lineal se tiene t = mk+h donde h = 8 (ordenada al
orígen; k = 8), por lo tanto t = mk + 8.
P(175; 6,9) ∈ a la gráfica ⇒ 6,9 = m.175 + 8, de donde m = 11
1750−
t = 11
1750− k + 8, si k = 700 ⇒ t =
11
1750− .700 + 8 ⇒ t = 3,6
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15. Graficar una función que sea:
a) Exponencial creciente en ( ];1−∞
b) Lineal decreciente en ( ]1; e
c) Logarítmica creciente en ( );e + ∞
2 1
( ) 3 1
ln
x Si x
f x x si x e
x si x e
≤= − + ⟨ ≤ ⟩
16. Resolver gráficamente
a) lnx
xe
= b) . 10
7
x y
x y
= + =
a) ( ){ };1S A e= x e= b) ( ) ( ){ }5; 2 ; 2; 5S A B=
17. Para cada una de las siguientes funciones definida s por la ley dada:
i. Indicar dominio ii. Decir si es par o impar
iii. Graficar e indicar conjunto imagen iv. Estudiar intervalos de crecimiento y decrecimie nto v. Analizar suryectividad e inyectividad
vi. En caso de existir función inversa, indicar su ley y graficarla.
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a) ( ) 3f x =
i. fA = ℝ
ii. ( ) ( ) 3f x f x= − = ⇒ f(x) es par
iii. { }3fB =
iv. Es constante v. No es suryectiva, no es inyectiva
vi. No admite función inversa. b) ( ) 7 5f x x= −
i. fA = ℝ
ii. ( ) 7 5 ( )f x x f x− = − + ≠ ⇒ no es par ( ) 7 5 ( )f x x f x− − = − ≠ ⇒ no es impar
iii. fB = ℝ
iv. f(x) es estrictamente creciente v. Es suryectiva e inyectiva
vi. Por ser biyectiva admite inversa 15 1 5 1 5
7 5 ( )7 7 7 7 7
yy x x x x f x x−+= − ⇒ = ⇒ = + ⇒ = +
c) ( ) 1 3f x x= −
i. fA = ℝ
ii. ( ) 1 3 ( )f x x f x− = + ≠ ⇒ no es par ( ) 1 5 ( )f x x f x− − = − − ≠ ⇒ no es impar
iii. fB = ℝ
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iv. f(x) es estrictamente decreciente v. Es suryectiva e inyectiva
vi. Su inversa es: 11 1 1 1 11 3 ( )
3 3 3 3 3
yy x x x x f x x−−= − ⇒ = ⇒ = − + ⇒ = − +
−
d) ( ) 3f x x=
i. fA = ℝ
ii. ( )3 3( ) ( )f x x x f x− = − = − ≠ ⇒ no es par
( )3 3( ) ( )f x x x f x− − = − − = = ⇒ es impar
iii. fB = ℝ
iv. f(x) es estrictamente creciente v. Es suryectiva e inyectiva
vi. Su inversa es: 1
3 1 33 ( )y x x y f x x−= ⇒ = ⇒ =
e) ( )1
3f x x=
i. fA = ℝ
ii. 3 3( ) ( )f x x x f x− = − = − ≠ ⇒ no es par
( )3 3( ) ( )f x x x f x− − = − − = = ⇒ es impar
iii. fB = ℝ
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iv. Es estrictamente creciente v. Es inyectiva y suryectiva, por lo tanto biyectiva
vi. Su inversa es: 3 1 33 ( )y x x y f x x−= ⇒ = ⇒ = (gráfica en el ejercicio d))
f) ( ) xf x x
x= −
i. { }0fA = −ℝ
ii. ( )
( ) ( )x x
f x x x f xx x
−− = − − = − + ≠ ⇒
−no es par
( ) ( )x x
f x x x f xx x
− − = − − + = − = ⇒
es impar
iii. Recordemos la definición de |x|. 0
0
x xx
x x
≥= − ⟨
aplicando esta
definición a f(x).
Si 0 ( ) 1x
x f x x xx
⟩ ⇒ = − = −
Si 0 ( ) 1x
x f x x xx
⟨ ⇒ = − = +−
Es decir: 1 0
( )1 0
x xf x
x x
− ≥= + ⟨
⇒ fB = ℝ
iv. Es estrictamente creciente en ( ); 0−∞ y en ( )0; + ∞
v. Es suryectiva: toda paralele al eje x corta a la gráfica en, por lo menos, un punto.
No es inyectiva: cualquier paralela al eje x, que se encuentre entre las rectas y = 1 ∧ y = -1 corta a la gráfica en dos puntos. vi. No admite inversa
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g) ( )1 Si x 1
1 Si 1 x 2
4 Si x 2
f x
− ⟨= ≤ ⟨ ≥
i. fA = ℝ
ii. No es par, ni impar, que no es simétrica respecto al eje y, ni al origen de coordenadas.
iii. { }1;1; 4fB = −
iv. Es creciente. v. No es suryectiva: una paralela al eje x, que pase por y = 2 no corta a la
gráfica. No es inyectiva ya que la paralela al eje x, que pasa por y = 1 corta a la gráfica en más de un punto. vi. No admite inversa
h) ( )3 Si x 1
Si 1 x 2
1 Si x 2
f x x
≤ −= − − ⟨ ⟨− ≥
i. fA = ℝ
ii. No es par ni impar (no hay simetría) iii. { } { }3 / 2 1fB x x= ∪ ∈ − ⟨ ⟨ℝ
iv. En ( ]; 1−∞ − permanece constante
En ( )1; 2− es estrictamente decreciente
En [ )2; + ∞ permanece constante
v. No es suryectiva ni inyectiva vi. No admite inversa.
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i) ( ) [ ]0
0
x xf x
x x
− ≤= ⟩
i. fA = ℝ
ii. No es par ni impar iii. 0fB
−= ∪ℝ ℕ
iv. Es creciente v. No es suryectiva no inyectiva
vi. No admite inversa
j) ( )[ ]
2
4 2 2
2
x x
f x x x
x x x
≤ −= − ⟨ ⟨ + ≥
i. fA = ℝ
ii. No es par ni impar iii. [ )2;fB = + ∞
iv. Es estrictamente decreciente en ( ]; 2−∞ −
Es contante en ( )2; 2− −
Es estrictamente creciente en [ )2; + ∞
v. No es suryectiva ni inyectiva vi. No admite inversa
k) ( ) 5f x x= −
i. fA = ℝ
ii. No es par ni impar
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iii. 0fB−= ℝ
iv. ( ; 5)−∞ es estrictamente decreciente
[ )5; + ∞ es estrictamente creciente
v. No es inyectiva ni suryectiva vi. No admite inversa.
l) ( ) 2 1f x x= + −
i. fA = ℝ
ii. ( )( ) 2 1 2 1 ( )f x x x f x− = + − − = + + ≠ ⇒ no es par
( ) 2 1 ( )f x x f x− − = − − + ≠ ⇒ no es impar
iii. La gráfica de f(x) puede obtenerse por corrimientos a partir de 1( )f x x= ;
haciendo luego 2 ( ) 1 1f x x x= − + = − y finalmente ( ) 2 1f x x= + − por lo
tanto [ )Im 2;f = + ∞
iv. En ( );1−∞ es estrictamente decreciente y en [ )1; + ∞ es estrictamente
creciente. v. No es suryectiva ni inyectiva
vi. No admite inversa
m) ( ) 1 1 3f x x x= − + − −
i. fA = ℝ
ii. ( ) 1 1 3 ( )f x x x f x− = − − + − − − ≠ ⇒ no es par
( ) 1 1 3 ( )f x x x f x− − = − − − − + − − ≠ ⇒ no es impar
iii. Para graficar f(x) conviene obtener una nueva expresión de f(x) estudiando su comportamiento en el eje real (su dominio). Los términos afectados por las barras de valor absoluto son x – 1 y x – 3 los cuales cambian de signo en los puntos 1 y 3, por lo tanto estudiaremos el comportamiento de f(x) en los intervalos ( ] ( ] ( );1 ; 1; 3 ; 3;−∞ + ∞ por separado.
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( ]( )( ) ( ) ( ) ( ]
) ;1
1 0 1 1( ) 1 1 3 1 1 3 ( ) 1 ;1
3 0 3 3
x
x x xf x x x x x f x x
x x x
• ∈ −∞
− ≤ ⇒ − = − − ⇒ = − − + − − − = − + + + − ⇒ = − ∀ ∈ −∞ − ⟨ ⇒ − = − −
⊙
( ]
( ) ( ) ( ]
) 1; 3
1 0 1 1( ) 1 1 3 3 ( ) 2 3 1;3
3 0 3 3
x
x x xf x x x x x f x x x
x x x
• ∈
− ⟩ ⇒ − = − ⇒ = − + − − − = + − ⇒ = − ∀ ∈ − ≤ ⇒ − = − −
⊙
( )
( )
) 3;
1 0 1 1( ) 1 1 3 3 ( ) 3 3;
3 0 3 3
x
x x xf x x x f x x
x x x
• ∈ + ∞
− ⟩ ⇒ − = − ⇒ = − + − + = ⇒ = ∀ ∈ + ∞
− ⟩ ⇒ − = − ⊙
Según los ⊙ se tiene:
1 1
( ) 2 3 1 3
3 3
si x
f x x si x
si x
− ≤= − ⟨ ≤ ⟩
[ ]Im 1; 3f⇒ = −
iv. Es creciente v. No es inyectiva ya que la recta paralela al eje x que pasa por y = 3 ∨ y = -1
corta a la gráfica en más de un punto. No es suryectiva ya que toda la paralela al eje x de ecuación y = α , donde 3 1α α⟩ ∨ ⟨ − no corta a la gráfica.
vi. No existe función inversa.
n) ( ) 2 1 6f x x x x= + + − −
i. fA = ℝ
ii. ( ) 2 1 6 ( )f x x x x f x− = − + + − − − − ≠ ⇒ no es par
( ) 2 1 6 ( )f x x x x f x− − = − − + − − − − ≠ ⇒ no es impar
iii. Los términos afectados por las barras de valor absoluto son: x + 1; x y x – 6, por lo tanto estudiaremos f en los intervalos:
( ] ( ] ( ] ( ); 1 ; 1; 0 ; 0; 6 ; 6;−∞ − − + ∞
En el siguiente cuadro analizamos el signo de cada término en cada uno de los intervalos: ( ]; 1−∞ − ( ]1; 0− ( ]0; 6 ( )6; + ∞
Signo de x + 1 ≤ 0 ⟩ 0 ⟩ 0 ⟩ 0 Signo de x ⟨ 0 ≤ 0 ⟩ 0 ⟩ 0 Signo de x - 6 ⟨ 0 ⟨ 0 ≤ 0 ⟩ 0
Capitulo II
18
Teniendo en cuenta los signos de cada término se tiene:
( ] ( ) ( ) ( )( ] ( ) ( ) ( )( ] ( ) ( )( ) ( ) ( )
) ; 1 ( ) 2 1 6 2 8
) 1; 0 ( ) 2 1 6 2 4
) 0; 6 ( ) 2 1 6 4 4
) 6; ( ) 2 1 6 2 8
x f x x x x x
x f x x x x x
x f x x x x x
x f x x x x x
• ∈ −∞ − ⇒ = − + + − − − − = − −
• ∈ − ⇒ = + + − − − − = −
• ∈ ⇒ = + + − − − = −
• ∈ + ∞ ⇒ = + + − − = +
2 8 1
2 4 1 0( )
4 4 0 6
2 8 6
x si x
x si xf x
x si x
x si x
− − ≤ − − − ⟨ ≤= − ⟨ ≤ + ⟩
[ )Im 6;f⇒ = + ∞
iv. Es estrictamente decreciente en ( ]; 1−∞ −
Es estrictamente creciente en ( )1;− + ∞
v. No es inyectiva, la recta y = α con 6α ⟩ − corta a la gráfica en dos puntos. No es suryectiva, si 6α ⟨ − no corta a la gráfica de f vi. No existe función inversa.
o) ( ) 2 1 4f x x x x= + + +
i. fA = ℝ
ii. ( )( ) 2 1 4 ( )f x x x x f x− = − + + − + − ≠ ⇒ no es par
( ) ( )f x f x− − ≠ ⇒ no es impar iii. Procedimiento como en m) y n) se tienen:
Los intervalos a analizar son: ( ] ( ] ( ); 1 ; 1; 0 ; 0;−∞ − − + ∞
Capitulo II
19
( ]; 1−∞ − ( ]1; 0− ( )0; + ∞
Signo de x + 1 ≤ 0 ⟩ 0 ⟩ 0 Signo de x ⟨ 0 ≤ 0 ⟩ 0 Teniendo en cuenta los signos de cada término se tiene:
( ] ( )( ] ( )( ] ( )
) ; 1 ( ) 2 1 4 2
) 1; 0 ( ) 2 1 4 5 2
) 0; 6 ( ) 2 1 4 7 2
x f x x x x x
x f x x x x x
x f x x x x x
• ∈ −∞ − ⇒ = − + − + = −
• ∈ − ⇒ = + − + = +
• ∈ ⇒ = + + + = +
2 1
( ) 5 2 1 0
7 2 0
x si x
f x x si x
x si x
− ≤ −= + − ⟨ ≤ + ⟩
Im f⇒ = ℝ
iv. Es estrictamente creciente v. Es suryectiva e inyectiva. Toda recta de ecuación y = α , α∀ ∈ℝ corta a la
gráfica en un único punto. vi. Como la función es biyectiva, existe función inversa, la cual analizaremos
en cada intervalo por separado, recordando que si :f A B→ entonces 1 :f B A− →
( ] ( ]
( ]( ] ( ]
( ]
1
1
) ; 1 ( ) 2; Im ; 3
2 2
cambiando de variable ( ) 2; ; 3
) 1; 0 ( ) 5 2; Im 3; 2
1 25 2
5 5
1 2es decir ( ) ; 3; 2
5 5
−
−
• ∈ −∞ − ⇒ = − = −∞ −= − ⇒ = +
⇒ = + ∈ −∞ −
• ∈ − ⇒ = + = −
= + ⇒ = −
⇒ = − ∈ −
x f x x f
y x x y
f x x Si x
x f x x f
y x x y
f x y Si x
Capitulo II
20
( ) ( )
( )1
) 0; ( ) 7 2; Im 2;
1 27 2
7 7
1 2entonces ( ) ; 2;
7 7
−
• ∈ + ∞ ⇒ = + = + ∞
= + ⇒ = −
⇒ = − ∈ + ∞
x f x x f
y x x y
f x y Si x
Resumiendo lo obtenido, la ley de 1( )f x− es:
1
2 3
1 2( ) 3 2
5 5
1 22
7 7
x si x
f x x si x
x si x
−
+ ≤ −= − − ⟨ ≤ − ⟩
p) ( ) 1 2 4 1f x x x x= − + − − +
i. fA = ℝ
ii. ( )( ) 1 2 3 1 ( )f x x x x f x− = − − + − − − − + ≠ ⇒ no es par
( ) ( )f x f x− − ≠ ⇒ no es impar iii. Como x – 1 = 0 ⇔ x = 1 y x – 2 = 0 ⇔ x = 2 , los intervalos a analizar son:
( ] ( ] ( );1 ; 1; 2 ; 2;−∞ + ∞
( ];1−∞ ( ]1; 2 ( )2; + ∞
Signo de x - 1 ≤ 0 ⟩ 0 ⟩ 0 Signo de x - 2 ⟨ 0 ≤ 0 ⟩ 0 Eliminando las barras de valor absoluto en f(x) se tiene:
( ] ( ) ( )( ] ( )( )
) ; 1 ( ) 1 2 3 1 5 4
) 1; 2 ( ) 1 2 3 1 3 2
) 2; ( ) 1 2 3 1 2
x f x x x x x
x f x x x x x
x f x x x x x
• ∈ −∞ − ⇒ = − − − − − + = − +
• ∈ ⇒ = − − − − + = − +
• ∈ + ∞ ⇒ = − + − − + = − −
5 4 1
( ) 3 2 1 2
2 2
x si x
f x x si x
x si x
− + ≤= − + ⟨ ≤ − − ⟩
Im f⇒ = ℝ
iv. Es estrictamente decreciente v. Es suryectiva e inyectiva.
Capitulo II
21
vi. Función inversa
( ] [ )
[ )
( ] [ )
[ )
( ) ( )
1
1
) ;1 ( ) 5 4; Im 1;
1 45 4
5 5
1 4cambiando de variable ( ) ; 1;
5 5
) 1; 2 ( ) 3 2; Im 4; 1
1 23 2
3 3
1 2es decir ( ) ; 4; 1
3 3
) 2; ( ) 2; Im ; 4
x f x x f
y x x y
f x x Si x
x f x x f
y x x y
f x x Si x
x f x x f
y x
−
−
• ∈ −∞ ⇒ = − + = − + ∞
= − + ⇒ = − +
⇒ = − + ∈ − + ∞
• ∈ ⇒ = − + = − −
= − + ⇒ = − +
⇒ = − + ∈ − −
• ∈ + ∞ ⇒ = − − = −∞ −= −
( )1
2 2
entonces ( ) 2; ; 4
x y
f x x Si x−
− ⇒ = − −
⇒ = − − ∈ −∞ −
Resumiendo lo obtenido, la ley de 1( )f x− es:
1
2 4
1 2( ) 4 1
3 3
1 41
5 5
x si x
f x x si x
x si x
−
− − ⟨−= − − − ≤ ⟨ − − + ≥ −
18. Graficar las siguientes funciones:
a) ( ) 2 cosf x x=
Graficamos primero ( )1 cosf x x= y a partir de esta ( )1( ) 2f x f x= como
2 0⟩ resulta una dilatación en sentido del eje y, y además: ( )1(0) 0f f=
b) ( ) 3 2f x sen x= +
Graficamos: ( )1f x sen x= y ( )2 3f x sen x= (dilatación en el sentido del eje y).
( )2( ) 2f x f x= + (Desplazamiento de ( )2f x ; dos unidades hacia arriba)
Capitulo II
22
c) ( )f x tg x=
Graficamos: ( )1f x tg x= y ( )1( )f x f x tg x= = ( ) 0
( ) 0
f x tg x si tg x
f x tg x si tg x
= ≥⇒ = − ⟨
d) ( )f x tg x=
( )0 0
( )0 0
x x x tg x tg x tg x si xf x
x x x tg x tg x tg x si x
≥ ⇒ = ⇒ = ≥⇒
⟨ ⇒ = − ⇒ = − − ⟨
Capitulo II
23
e) ( ) ( )66
6
xf x x
x
+= ≠+
Graficamos ( )1
xf x
x= ⇒ ( )1
6( ) 6
6
xf x f x
x
+= + =+
desplazamiento de la
gráfica seis unidades a la izquierda.
f) ( ) cos 4f x x=
Graficamos ( )1 cosf x x= ⇒ ( )1( ) 4 cos 4f x f x x= =
Se tiene que fA = ℝ . Para visualizar la comprensión en el sentido del eje x,
hicimos: gráfica de ( )1f x en el 3 3
;2 2
π π −
Y resulta la gráfica de f(x) en el 3 3
;8 8
π π − .
g) ( ) ( ) ( )ln 1 1f x x x= − ⟩
Graficamos ( )1 lnf x x= ⇒ ( ) ( )1( ) 1 ln 1f x f x x= − = − desplazamiento a la
derecha en el sentido del eje x.
Capitulo II
24
h) ( ) 1
4f x x
= −
Graficamos ( ) [ ]1f x x= ⇒ 1
1( )
4f x f x
= −
desplazamiento de [ ]x a la derecha
19. Dada ( )0c
ax bf x d
cx d xc
≠ + = + ≠ −
llamada función homográfica:
a) Efectuar la división ax b
cx d
++
ax b⇒ + cx d+
ad
axc
− − a
c
/ ad
bc
−
b) Observar que entonces se puede escribir ( )f xx
β αγ′
= ++
siendo:
, , , .a b d
c c cα β γ β β α γ′= = = = −
Por a) .
b a dad cbax b a a c c cc
dcx d c cx d cc x
c
−− + = + = ++ + +
haciendo , ,a b d
c c cα β γ= = = se tiene
.
( )ax b
f xcx d x
β α γαλ
+ −= = ++ +
finalmente si .β β α γ′ = − ⇒ ( )f xx
βαλ′
= ++
c) Analizar y representar gráficamente f(x) en los siguientes casos:
1°) 0β ′ = ( )f x α= (función constante) f
dA
c
= − −
ℝ
Capitulo II
25
2°) 0β ′ ≠ (Distinguir las representaciones gráficas según el signo de β ′ )
Observación: Las rectas de ecuaciones: i. d
xc
= − , ii. a
yc
= se llaman
asíntotas. En el caso i. es asíntota vertical y e n ii. es asíntota horizontal .
0β ′ ≠ ( )f xx
βαλ′
= ++
a) 0β ′ ⟩ Graficamos a partir de 1
1( )f x
x=
( )2
1( )f x f x
xγ
γ= + =
+ Desplazamiento en el sentido del eje x a la
derecha o izquierda según sea 0γ ⟨ o 0γ ⟩
( )3 2( )f x f xx
ββγ′′= =
+ Se produce una compresión o dilatación en el
sentido del eje y según sea 1β ′ ⟨ o 1β ′ ⟩
( )3( )f x f xx
βα αγ′
= + = ++
Desplazamiento en el sentido del eje y hacia
arriba o abajo según sea 0α ⟩ o 0α ⟨ Graficamos, tomando como ejemplo 0α ⟩ ; 0γ ⟩ y 1β ′ ⟩
Las ecuaciones de las asíntotas son:
Asíntota vertical: )vd
A x xc
γ= − ⇒ = −
Asíntota horizontal: )ha
A y yc
α= ⇒ =
b) 0β ′ ⟨ Para graficar seguimos los pasos dados en a) pero como ahora
0β ′ ⟨ se tiene que β β′ ′= − , hacemos: 1
1( )f x
x= y ( )2 1( )f x f x γ= +
como en el caso a) y luego ( )3 2( )f x f xβ ′= lo que implica una dilatación
o comprensión en el sentido del eje y. Según sea 1β ′ ⟩ o 1β ′ ⟨ .
Agregamos ( ) ( )4 3 2( )f x f x f xβ ′= − = − que gráficamente significa una
reflexión de ( )3f x con respecto al eje x y finalmente hacemos
( )4( )f x f xα= + desplazamiento hacia arriba 0α ⟨ o abajo 0α ⟩ .
Tomamos como ejemplo 0α ⟩ , 0γ ⟩ y 1β ′ ⟩ , los pasos son:
Capitulo II
26
Observamos que las ecuaciones de las asíntotas son:
Asíntota vertical: )vc
A x xd
γ= − ⇒ = −
Asíntota horizontal: )ha
A y yc
α= ⇒ =
Conclusión: La gráfica de la función homográfica ( )ax b
f xcx d
+=+
son dos
hipérbolas cuyas asíntotas son )vc
A xd
= − y )ha
A yc
= . Las hipérbolas se
encuentran en el primer y tercer cuadrante (determinado por las asíntotas) si 0β ′ ⟩ y en el segundo y cuarto cuadrante si 0β ′ ⟨ .
20. Graficar las siguientes funciones homográficas: Por la conclusión dada en el ej. 19. para trazar aproximadamente la gráfica de una función homográfica, basta con representar las asíntotas y un punto de paso, para determinar en que cuadrante se hallan las hipérbolas. También se puede determinar la intersección con los ejes coordenados, si es que existen.
a) ( ) ( )33
xf x x
x= ≠ −
+
) 3v
dA x
c= − = − ) 1h
aA y
c= = Buscamos un punto de paso, por ej. Si x = 0
( )0,0
00 0
3y = = ⇒ ∈ Gráfica de f
Capitulo II
27
b) ( ) 2 3
3 5 5
xf x x
x
− = ≠ −
1°) Determinamos asíntotas: 3
)5
vA x = 1 1
)5 5
h
aA y
c
−= = =−
2°) Un punto de paso: x = 0 2 2
0,3 3
y P
⇒ = ⇒ ∈
gráfica f ⇒ intersección con el
eje y, y = 0 ⇔ 2 – x = 0 ⇔ x = 2 ⇒ ( )2, 0P ∈ gráfica f ⇒ Intersección eje x
21. Graficar las siguientes funciones, determinando en cada caso los ceros y los
conjuntos ( ) ( ){ }/ 0P x x f x= ⟩ y ( ) ( ){ }/ 0Q x x f x= ⟨
( ) 0f x ⟩ ⇒ La gráfica f está por encima del eje x
( ) 0f x ⟨ ⇒ La gráfica f está por debajo del eje x
a) ( ) ( )22f x x= −
Cero: x = 2 P = R y Q = ∅ ya que toda la gráfica está por encima del eje x.
Capitulo II
28
b) ( ) 2 5 4f x x x= + +
Ceros: ( ) 2 5 4 0f x x x= + + =
1 2 1 2
5 25 16, 1 4
2x x x x
− ± −= ⇒ = − = −
Completamos cuadrado: ( )2
2 25 25 5 9 5 95 4 ,
4 4 2 4 2 4f x x x x V
= + + − + = + − ⇒ − −
( ) ( ), 4 1,P = −∞ − ∪ − + ∞ ( )4, 1Q = − −
c) ( ) 2 4 8f x x x= − +
Ceros: ( ) 2 4 8 0f x x x= − + =
1 2
4 16 32,
2x x
± −= ⇒ ∃/ Raíces reales
Completamos cuadrado: ( ) ( ) ( ) ( )22 4 4 4 8 2 4 2, 4f x x x x V= − + − + = − + ⇒
P = ℝ Q = ∅ (no hay puntos en la gráfica por debajo del eje x)
d) ( )2 0
03
xxf x
xx
⟨−= ≥
Ceros: 0x = ya que ( )0 3.0 0f = =
P += ℝ Q −= ℝ
Capitulo II
29
22. Resolver las siguientes inecuaciones, representand o en el eje el conjunto solución:
a) 23 3 3 2
2 2 0 0x x
x xx x x
− −− ⟩ ⇔ − − ⟩ ⇔ ⟩
Resolvemos gráficamente haciendo ( ) ( )2 3 2f x x x= − − y ( )g x x=
El cociente ( )
( )
f x
g x será positivo solo sí f(x) y g(x) tienen el mismo signo.
Es decir ( )
0( )
f x
g x⟩ ⇒ signo de f = signo de g
Entonces: ( ) ( )) 0 0f x y g x• ⟨ ⟩ ⇒ Las gráficas de f y g están por encima del eje x
( ) ( )) 0 0f x y g x• ⟨ ⟨ ⇒ Las gráficas de f y g están por debajo del eje x
Graficamos: 2( ) 2 3f x x x= − −
Ceros: 1 2 1 2
2 4 12, 3 1
2x x x x
± += ⇒ = = −
Hallamos las coordenadas del vértice completando cuadrado
( ) ( ) ( ) ( )22 2 1 1 3 1 4 1, 4f x x x x V= − + − − = − − ⇒ −
Resolvemos gráficamente: signo f(x) = signo g(x) ⇔ las gráficas de f y g están en el mismo semiplano con respecto al eje x. en el gráfico sombreamos la zona correspondiente. ( ) ( )1, 0 3,S = − ∪ + ∞
b) 2 2 3
03
x x
x
+ −⟨
+
Hacemos ( ) 2 2 3f x x x= + − y ( ) 3g x x= + , entonces ( ) 0g x ≠ ;
( )
0( )
f x
g x⟨ ⇒ Signo de f(x) ≠ signo de g(x) ⇒ las gráficas de f y g están en distinto
semiplano.
Graficamos: 2( ) 2 3 0f x x x= + − = ⇔ 1 2
2 4 121 3
2x x
− ± +⇒ = = −
Vértice: ( ) ( ) ( ) ( )22 2 1 1 3 1 4 1, 4f x x x x V= + + − − = + − ⇒ − −
2( ) 2 3
0( ) 3
f x x x
g x x
+ −= ⟨ ⇒+
Sgf ≠ Sgg ( ) ( ), 3 3,1S = −∞ − ∪ −
Capitulo II
30
c) 2
10
2 2x x⟩
+ + ⇔ 2 2 2 0x x+ + ⟩ ⇔ 2 4 8
2
− ± − ∃/ raíces reales
S = ℝ Ya que no tiene raíces reales y el coeficiente de 2x es 0⟩ a = 1 ⇒ la parábola está por encima del eje x
d) 2
21 2
4
x
x+ ≥
+ ⇔
2
21 2 0
4
x
x+ − ≥
+⇔
2
21 0
4
x
x− ≥
+ ⇔
2 2
2
40
4
x x
x
− − ≥+
⇔
⇔ 2
40
4x
− ≥+
⇔ 2 4 0x + ⟨ ⇔ S = ∅
e) ( )22
08
x
x
−≤ Como ( )22: 2 0x x∀ − ≥ , se tiene que
( )22
08
x
x
−≤ ⇔ 8 0x ⟨ ⇔ 0x ⟨ ⇒ S −= ℝ
f) 3 2 8
12 6 3
x
x x
+ − ⟩− −
⇔ ( )3 2 8
1 02 3 3
x
x x
+ − − ⟩− −
⇔ ( )3 2 16 2 6
02 3
x x
x
+ − − +⟩
− ⇔ ( )
80
2 3
x
x
−⟩
−
Si ( ) 3f x x= − y ( ) ( )2 3 2 6g x x x= − = − se tiene que
( )
0( )
f x
g x⟩ ⇔ Sgf = Sgg ⇔ Gráficas de f y g están en el mismo semiplano
( ) 0 2 6 3g x x x≠ ≠ − ⇔ ≠ y ( ) 0 8 8f x x x= = − ⇔ = ⇒ ( ) ( ), 3 8,S = −∞ ∪ + ∞
Capitulo II
31
g) 2 4 8
03
x x
x
− + ≤
Sea ( ) 2 4 8f x x x= − + , 1 2
4 16 32,
2x x
± −=
f(x) no tiene ceros reales y además el coeficiente de 2x es: ( )1 0 0a f x x= ⟩ ⇒ ⟩ ∀ ∈ℝ , entonces
2( ) 4 8
0 3 0 3 0( ) 3
f x x xx S
g x x
−− += ≤ ⇔ ⟨ ⇔ ⟨ ⇒ = ℝ
h) 2
2
20
2
x x
x x
+ − ≥− −
( ) 2 2f x x x= + − , 1 2 1 2
1 1 8, 1 2
2x x x y x
− ± += ⇒ = = −
( ) 2 2g x x x= − − , 1 2 1 2
1 1 8, 2 1
2x x x y x
± += ⇒ = = −
Completamos cuadrado: ( )2
2 1 1 1 9 1 92 ,
4 4 2 4 2 4ff x x x x V
= + + − − = + − ⇒ − −
( )2
2 1 1 1 9 1 92 ,
4 4 2 4 2 4fg x x x x V
= − + − − = − − ⇒ −
( )
0( )
f x
g x≥ ⇔ Sgf = Sgg y ( ) 0f x = y ( ) 0g x ≠ ⇒ ( ] ( ] ( ), 2 1,1 2,S = −∞ − ∪ − ∪ + ∞
Como g(x) = 0 en x = -1 y x = 2 estos valores quedan excluidos en el conj. S.
i) 2 6 5 3x x− + ≥
( ) 2 6 5f x x x= − + y ( ) 3g x = entonces ( ) ( )f x g x≥ ⇔ la gráfica de f(x) está
por encima de la gráfica de g(x)
( ) 2
1 1 2
6 36 20 6 16 6 166 5 0
2 2 2f x x x x y x
± − + −= − + = ⇔ ⇒ = =
( ) ( ) ( ) ( )22 2
1 6 5 6 9 9 5 3 4 3, 4f x x x x x x V= − + = − + − + = − − ⇒ −
Graficamos primero ( )1f x y luego ( ) ( )1f x f x=
Capitulo II
32
Buscamos los valores de x para los cuales la gráfica de f está por encima de la gráfica de g, es decir f g≥ y vemos que es la zona sombreada, es decir
( ] [ ][ )1 2 3 4; ; ;x x x x x∈ −∞ ∪ + ∞ . En 1x , 2x , 3x y 4x se tiene f = g.
Calculamos los puntos de intersección: 2 6 5 3x x− + =
1°) Sacamos barras de valor absoluto
Si ( )1
2 2 2
1 46 5 0 6 5 6 5 3x x x x x x x y x− + ≥ ⇒ − + = − + =������
Si ( ) ( )2 2 2
2 3
2
6 5 0 6 5 6 5 3x x x x x x x y x− + ⟨ ⇒ − + = − − + =��������
Resolvemos 1 2 2 6 36 8 6 286 5 3 6 2 0
2 2x x x x
± − ±− + = ⇔ − + = ⇒ =
Es decir 1 2
6 28 6 28
2 2x y x
− += =
Resolvemos 2 ( )2 2
2 3
6 36 326 5 3 6 8 0 2 4
2x x x x x y x
± −− − + = ⇔ − + = ⇒ ⇒ = =
Reemplazamos estos valores se tiene el conjunto solución:
( ]6 28 6 28, 2, 4 ,
2 2S
− += −∞ ∪ ∪ + ∞
j) 2 1x x x− ≤ +
( ) 2f x x x= − y ( ) 1g x x= + Se pide que ( ) ( )f x g x≤ , entonces debemos
Buscar los valores de x para los cuales la gráfica de f(x) está por debajo de la gráfica de g(x) Graficamos ( ) 2f x x x= − Ceros: ( )2
1 20 1 0 1x x x x x y x− = = − ⇒ = =
Vértice: ( )22 1 1 1 1 11 ;
4 4 4 2 4x x x V
− + − = − − ⇒ −
Gráfica de g(x) = x + 1, una recta.
Capitulo II
33
Sombreamos la zona donde la gráfica de f(x) está debajo de la gráfica de g(x) y resulta que [ ]1 2;x x x∈ ⊙ En 1 2;x x resulta f(x) = g(x)
Calculamos los puntos de intersección 2 1x x x− = + .
En el gráfico se ve que la intersección se produce cuando 2 0x x− ⟩ entonces:
2 2 2 2 4 4 2 81 2 1 0
2 2x x x x x x x
± + ±− = − = + ⇔ − − = ⇒ =
Es decir 1 2
2 8 2 8
2 2x y x
− += =
Reemplazamos estos valores en ⊙ y se tiene el conjunto solución:
2 8 2 8
,2 2
S − +=
23. Determinar el dominio de la función definida por la ley dada en los siguientes casos:
a) ( ) 2 3 4f x x x= − − + (El radicando debe ser positivo o igual a cero)
{ }2/ 3 4 0fA x x x= ∈ − − + ≥ℝ
Resolvemos la inecuación gráficamente.
2
1 2
3 9 16 3 53 4 0 4 1
2 2x x x y x
± + ±− − + = ⇒ = ⇒ = − =− −
El coeficiente de 2x es 1 0a = − ⟨ la parábola tiene las ramas hacia abajo entonces
la gráfica es: [ ]2 3 4 0 4;1x x x− − + ≥ ⇔ ∈ − es decir [ ]4;1fA = −
Capitulo II
34
b) ( )( ) ( )
5
2 3f x
x x=
− +
( ) ( ){ }/ 2 3 0fA x x x= ∈ − + ⟩ℝ
Resolvemos gráficamente tomando g(x) = x – 2 y h(x) = x + 3, entonces el producto g(x).h(x) ⟩ 0 ⇔ g y h están ene el mismo semiplano con respecto al eje x, esto ocurre para los x de la zona sombreada, es decir: ( )( ) ( ) ( )2 3 0 , 3 2,x x x− + ⟩ ⇔ ∈ −∞ − ∪ + ∞ entonces: ( ) ( ), 3 2,fA = −∞ − ∪ + ∞
c) ( )22 5 2
2
x xf x
x
− +=−
{ }2fA = −ℝ El denominador debe ser ≠ 0
d) ( )2
1
8
xf x
x x
+=− +
{ }2/ 8 0fA x x= ∈ − + ⟩ℝ
Resolvemos gráficamente: ( )2 8 8x x x x− + = − + ⇒ Ceros: 1 0x = y 2 8x =
Coeficiente de 2x : 1 0a = − ⟨ (ramas hacia abajo) entonces: ( )0, 8fA =
e) ( )2
2
2 5
4 4
x xf x
x
− +=−
2 2
1 2
/ 2 5 0 4 4 0fA x x x x = ∈ − + ≥ ∧ − ⟩ ℝ ������ ����
Resolvemos 1: 2 2 4 202 5 0
2x x
± −− + = ⇒ ⇒ ∃/ ceros reales.
Coeficiente de 2x : 1 0a = ⟩ entonces la parábola está encima del eje x.
Entonces: 2 2 5 0x x x− + ≥ ⇒ ∈ℝ ⊙
Capitulo II
35
Resolvemos 2: ( )2 2
1 24 4 4 1 0 1 1x x x x− = − = ⇒ = ∨ = −
Coeficiente de 2x : 4 0a = ⟩
Completamos cuadrados en ( ) ( ) ( )22 22 5 2 1 1 5 1 4 1, 4x x x x x V− + = − + − + = − + ⇒
( ) ( )24 4 0 , 1 1,x x− ⟩ ⇔ ∈ −∞ − ∪ + ∞ ⊙
Según los dos ⊙ ( ) ( ), 1 1,fA = −∞ − ∪ + ∞ ya que fA es igual a la intersección de
los dos ⊙
f) ( ) 24ln 2 8
3f x x
x= + −
− Recordamos que el Dom (ln x) = +ℝ
2
21
4/ 0 3 2 8 0
3fA x x x
x
= ∈ ⟩ ∧ ≠ ∧ − ≥ −
ℝ����
����
Resolvemos 1: ( ) ( )40 3 0 4 0 3 3;
3x ya que x x A
x⟩ ⇔ − ⟩ ⟩ ⇔ ⟩ ∈ + ∞ =
−
Resolvemos 2: Graficamos ( )2 2
1 22 8 2 4 0 2 2x x x x− = − = ⇒ = ∨ = −
Coeficiente de 2x : 2 0a = ⟩ (ramas hacia arriba)
( ] [ )22 8 0 , 2 2,x x B− ⟩ ⇒ ∈ −∞ − ∪ + ∞ =
( )3,fA A B= ∩ = + ∞
g) ( )2 3
ln4
xf x
x
+=
3
/ 1 04
f
xA x x
x
+ = ∈ ≥ ∧ ≠ ℝ
Resolvemos la inecuación: 2 23 3 3 4
1 1 0 04 4 4
x x x x
x x x
+ + + −≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥
Capitulo II
36
Para resolver gráficamente hacemos ( ) ( )2 4 3; 4 0f x x x g x x= − + = ≠
( ) 2
1 2
4 16 124 3 0 3 1
2f x x x x y x
± −= − + = ⇒ ⇒ = =
Coeficiente de 2x : 1 0a = ⟩ (ramas hacia arriba)
( )( )
2 3 40
4
f xx x
x g x
+ − = ≥ ⇔ Sgf = Sgg y g(x) ≠ 0
En el gráfico hemos sombreado la parte donde las dos gráficas están en el mismo semiplano respecto del eje x y resulta: ( ] [ )0,1 3,fA = ∪ + ∞
h) ( )2
2
1ln
4
xf x
x
−=
− +
2
2
1/ 0
4f
xA x
x
− = ∈ ⟩ − + ℝ
Sea ( ) 2 21 1 0 1f x x x x= − = − = ⇒ = ± y ( ) 2 4 0 2g x x x= − + = ⇒ = ±
( )( ) ( )
2
2
10; 0
4
xf xg x
g x x
−= ⟩ ≠
− +
En el gráfico hemos sombreado la parte donde las dos gráficas están en el mismo semiplano respecto del eje x y resulta: ( )2, 2fA = −
24. Graficar una función que sea:
a) Lineal con pendiente 2 en ( ]; 0−∞
b) Cuadrática con los dos ceros reales distintos y 0a ⟨ en [ ]0; 2
c) Cuadrática sin ceros reales con 0a ⟩ en ( )2; + ∞
Capitulo II
37
25. Se dispara un proyectil desde un globo, de forma q ue transcurridos t segundos la altura alcanzada sea de h metros. Si h = - 16 t² + 96 t + 256, encontrar: a) h cuando t = 0 b) La altura máxima alcanzada por el proyectil c) La gráfica de la función
a) h cuando t = 0 256h⇒ =
c) Gráfica. ( ) ( )2 216 96 256 16 6 16h t t t h t t t = − + + ⇒ = − − −
( ) 1,2 1 2
6 36 64 6 100 8 2
2 2h t t t t
± + ±= ⇒ = = ⇒ = ∧ = −
Completamos cuadrados:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2216 6 9 9 16 16 3 25 16 3 400 3, 400h t t t t t V = − − + − − = − − − = − − + ⇒
b) El proyectil alcanza la altura máxima en el vértice de la parábola, entonces h max = 400
26. Hallar y graficar la función inversa de: ( ) 2
0
0
sen h x xf x
x x
≤=
⟩
1arg 0
( )0
senh x si xf x
x si x
−≤= ⟩
Graficamos 1( )f x− simétrica de f(x) respecto a la bisectriz del I° C y III° C.
Capitulo II
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27. Demostrar que dadas las funciones f y g, tal que e l conjunto imagen de g este incluido en el dominio de f, entonces: a) g par ( )f g⇒ par
g par ( ) ( )g x g x⇔ = − (hipótesis)
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )f g x f g x f g x f g x f g= = − = − ⇒ es par
b) impar
par
g
f
( )f g⇒ par
Hipótesis: g impar ( ) ( ) ( ) ( )g x g x g x g x⇒ = − − ⇒ − = −
F par ( ) ( )f x f x⇒ = −
Demostración: ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )f g x f g x f g x f g x f g= = − = − ⇒ es par
28. Sea A = {2; 3; 4} y f: A →A, g: A →A definidas por f(2) = 2, f(3) = 4, f(4) = 3, g(2) =
4, g(3) = 3, g(4) = 2. Hallar: a) ( )( ) ( ) ( )2 2 4 3f g f g f= = =
b) ( )( ) ( ) ( )3 3 4 2g f g f g= = =
29. Si ( ) 22 6f x x= + y ( ) 7 2g x x= + hallar:
a) ( )( ) ( ) ( ) ( )4 4 2.16 6 38 7.38 2 268g f g f g g= = + = = + =
b) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 25 5 7.5 2 37 2.37 6 2744f g f g f f= = + = = + =
c) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 7.2 2 16 7.16 2 114g g g g g g= = + = = + =
d) ( )( )g f x y el dominio de g f
( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 6 7 2 6 2 14 44g f x g f x g x x x= = + = + + = +
fA = ℝ y gA = ℝ y ( ){ }/g f f gA x A f x A= ∈ ∈ =
ℝ
e) ( )( )f g x y el dominio de f g
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 27 2 2 7 2 6 2 49 28 4 6 98 56 14f g x f g x f x x x x x x= = + = + + = + + + = + +
( ){ }/f g g fA x A g x A= ∈ ∈ =
ℝ
Capitulo II
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30. Si ( ) 3 1f x x= + y ( ) 5 2g x x= − + hallar x tal que sea ( )( ) 2f g x =
( )( ) ( ) [ ] ( )5 2 3 5 2 1 15 7f g x f g x f x x x= = − + = − + + = − +
( )( ) 12 15 7 2
3f g x x x= ⇒ − + = ⇒ =
31. Hallar las leyes y los dominios de h = f g y l = ( )g f en cada uno de los
siguientes casos: a) ( ) ( ) cosf x x g x x= = f gA A= =ℝ ℝ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ } { }) cos cos
/ ( ) / cosh g f
h x f g x f g x f x x
A x A g x A x x
• = = = =
= ∈ ∈ = ∈ ∈ =
ℝ ℝ ℝ
( ) ( )( ) ( ) ( )
{ } { }) cos
/ ( ) /l f g
l x g f x g f x g x x
A x A f x A x x
• = = = =
= ∈ ∈ = ∈ ∈ =
ℝ ℝ ℝ
b) ( ) ( ) 21f x x g x tg x= + = [ )1, / ;2
f gA A x x k kπ π = − + ∞ = ∈ ≠ + ∈
ℝ ℤ
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
2 2
2
) 1
/ ( ) / , 12
h g f g
h x f g x f g x f tg x tg x
A x A g x A x x k k tg x Aπ π
• = = = = +
= ∈ ∈ = ∈ ≠ + ∈ ∧ ≥ − =
ℝ ℤ
Justificación: Como 2 20 1g gtg x x A tg x x A≥ ∀ ∈ ⇒ ≥ − ∀ ∈
( ) ( )( ) ( ) ( )
{ } [ )
2) 1 1
/ ( ) 1, / 1 ,2
l f g
l x g f x g f x g x tg x
A x A f x A x x k kπ π
• = = = + = +
= ∈ ∈ = ∈ − + ∞ + ≠ + ∈
ℤ
Resolvemos: 2 2
1 1 12 2 2
x k x k x kπ π ππ π π + ≠ + ⇒ + ≠ + ⇒ ≠ + −
[ )2
1, / 1;2
lA x x k kπ π
= ∈ − + ∞ ≠ + − ∈
ℤ
c) ( ) ( )1ln
4f x g x x
x= =
− { }4f gA A += − =ℝ ℝ
( ) ( ) ( )
{ }{ } { } { }4 4
1) ln
ln 4
/ ln 4 /h
h x f g x f xx
A x x x x e e+ + +
• = = = −= ∈ ∈ − = ∈ ≠ = −ℝ ℝ ℝ ℝ
{ } 4ln 4 ln 4x x x e∈ − ⇒ ≠ ⇒ ≠ℝ
( ) ( )
{ }
1 1) ln
4 4
1 1/ 4 / 0
4 4l f g
l x g f x gx x
A x A A xx x
• = = = − −
= ∈ ∈ = ∈ − ⟩ − − ℝ
1
0 4 0 44
x xx
⟩ ⇔ − ⟩ ⇔ ⟩−
{ }{ } ( )4 / 4 4,lA x x= ∈ − ⟩ = + ∞ℝ
Capitulo II
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32. Siendo: a) y = z² z = x+1, expresar y como función de x
( )22 1y z x= = +
b) y = sen x v = ln y u = 21 v+ , expresar u como función de x.
2 2 21 1 ln 1 lnu v y sen x= + = + = + 33. Determinar f y g de manera que h = f g siendo:
a) ( ) 3 1h x x= + ( )( ) ( ) ( ) ( ) 31f g x f g x g x x f x x= ⇒ = + ∧ =
b) ( ) 2h x sen x= ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2f g x f g x g x sen x f x x= ⇒ = ∧ =
34. Dadas ( ) 2 1f x x= − , ( ) 2 2g x x= + , ( ) 3 1p x x= + hallar ( )f g p x .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 23 1 3 1 2 2 3 1 2 1 2 9 6 1 4 1f g p x f g x f x x x x = + = + + = + + − = + + + −
( ) ( ) 218 12 5f g p x x x= + +
