PRCTICA # 4

PNDULO FSICO CON MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

1. Introduccin.-

Se denomina pndulo fsico o compuesto, cuando un objeto colgante oscila alrededor de un eje fijo que no pasa por su centro de masa, y el objeto no puede aproximarse con precisin como una masa puntual.Tomemos un cuerpo rgido de forma irregular que gira sin rozamiento sobre un eje horizontal (0) y desplazado de la vertical un ngulo , la distancia del eje al centro de gravedad es b; el momento de inercia del pndulo respecto al eje de rotacin es I y la masa del pndulo es m. el peso del cuerpo da lugar a un momento recuperador

1.1. Determinacin del periodo de un pndulo fsico con M.A.S.

Si se desplaza de su posicin de equilibrio un pequeo ngulo y se suelta; el movimiento no es armnico simple, pues el momento no es proporcional a , sino a sen. De todas formas, si es pequeo, podemos aproximar sen = y el movimiento es aproximadamente armnico simple para pequeas amplitudes.

Con esta aproximacin.. = (mgb) (1.1)

y la constante de torsin efectiva es k= = mgb (1.2)

la frecuencia angular es = = (1.3)

el periodo esT= 2 = 2 (1.4)

Donde:

= movimiento recuperador (N*m; dinas*cm)m = masa total del pndulo (Kg; g)g= aceleracin de la gravedad (m/s2; cm/s2)b = distancia del pivote al centro de gravedad (m; cm)k= constante de torsin (N*m; dinas*cm)I = momento de inercia (Kg*m2; g*m2)

1.2. Teorema de Steiner haciendo uso del teorema de Steiner podemos expresar la inercia como:

I = IG + mb2 (1.5) Pero: IG es:

IG = mr2 (1.6) Donde: r = radio de giro.

Sustituyendo la expresin (1.6) en (1.5), tenemos:I = mr2 +mb2 (1.7)Sustituyendo esta ecuacin en la expresin (1.4)del periodo obtenemos:

2 (1.8)

Escribiendo de forma conveniente esta ecuacin llegamos a :

b2 = T2b r2 (1.9)

Si representamos un sistema de ejes cartesianos los valores b2 en ordenadas y los de T2b en abscisas, obtenemos una recta cuya pendiente nos permite hallar el valor de g y la ordenada en el origen el valor r del radio de giro del cuerpo.

2. Objetivos.-

2.1. Objetivos generales.- determinar el valor experimental de la gravedad en sucre, utilizando un pndulo fsico

2.2. Objetivos Especficos.-

a. Encontrar la relacin funcional del periodo del pndulo en funcin de la distancia desde su centro de masa al punto de oscilacin.

b. Determinar el valor experimental de la aceleracin de la gravedad.

c. Determinar el radio de giro del pndulo

d. Cuantificar e interpretar grficamente: la elongacin, velocidad y la aceleracin en funcin del tiempo.

e. Cuantificar e interpretar grficamente: Energa potencial, energa cintica y energa total en funcin de la amplitud.

3. Equipo y material

3.1. Materiales.- Pared de demostracin, un pndulo fsico o compuesto, esfera de acero, cuchilla, un cronometro y una regla graduada

3.2. Montaje del equipo

4. Descripcin del experimento

a. Montar el equipo de acuerdo a la figura y nivelarlo con precisin.b. Medir la distancia b desde el centro de gravedad (marcado con 0) de la varilla a una de las muescas de la varilla (marcado con 1) alejndose de la esfera de aceroc. Sujetar la cuchilla con el tornillo, de modo q la punta coincida con la muesca 1. Colocar la cuchilla sobre su soporte para suspender la barra.d. Hacer oscilar al pndulo separndolo un determinado ngulo de la vertical. Medir el tiempo para 10 oscilaciones. Calcular el periodo T de las oscilaciones.e. Repetir los pasos (c),(d) y (e) sujetando la cuchilla sobre la muesca siguiente, medir los periodos respectivos en cada caso.

5. Resultados experimentales

5.1. Tabulacin de resultados experimentales y analticos

5.1.1. Tabla N1 Determinacin experimental de la aceleracin de la gravedad

b(m)t1(s)t2(s)t3(s)t4(s)T(s)T2*b(s2m)b2(m2)g(m/s2)r(m)

0.1014,3014,3114,4114,401,4360,2060.019,3960,198

0.2013,0012,9712,8113,031,2950,3350.040,199

0.3013,2513,3113,3813,221,3290,5290.090,190

0.4014,2114,1914,3114,281,4250,8120.160,183

0.5015,2515,2815,2215,221,5241,1610.250,162

0.6016,3416,2216,1616,341,6271,5880.360,134

5.1.2. Tabla N 2 Clculo del valor de de x. v, a en funcin del tiempo

t (s)0T/8T/43T/8T/25T/83T/47T/8T

x(cm)16,711,8450,056-11,774-16,699-11,832-0.02511,79716,684

v(cm/s0-51,356-72,912-51,707-0,17851,45672,91251,6080.037

a(cm/s2)-318,335-225,969-1,083224,439318,334225,5370,469-224,873-318.335

5.1.3. Tabla N3 Calculo de la energa cintica, potencial y total en funcin de la elongacin

T(s)0T/8T/43T/8T/25T/83T/47T/8T

Ek(erg)02114440,234261939,3122143441,34925,3462122654,414487240,1572135227,0891,114

Ep(erg)4261988,6482147548,41849,3362118547,2994261963,3022139334,2359,2722126761,5594261987,534

Et(erg)4261988,6484261988,6484261988,6484261988,6484261988,6484261988,6484261988,6484261988,6484261988,648

6. Clculos

6.1. Determinacin de T, T2*b y b2

T =

T1 = 57,42 / 40 = 1,436s

T2 = 51,81 / 40 = 1.295s

T3 = 53,16 / 40= 1.329s

T4 = 56,99 / 40= 1,425s

T5 = 60,97 / 40 = 1,524s

T6 = 65,06 / 40 = 1,627s

Ti2 * bi

(1,436)2 * 0.10 = 0,206s2m

(1,295)2 * 0.20 = 0,335s2m

(1,329)2 * 0.30 = 0,529s2m

(1,425)2 * 0.40 = 0,812s2m

(1,524)2 * 0.50 = 1,161s2m

(1,627)2 * 0.60 = 1,588s2m

6.2. Determinacin de la gravedad

g = 4*B*2

g = 4* 0,238*2 = 9,396m/s2

6.3. Determinacin del radio de giro

T= 2 despejando r: r =

r1 = r1 = 0,198 m

r2 = r2 = 0,199 m

r3 = r3 = 0,190 m

r4 = r4 = 0,183 m

r5 = r5 = 0,162 m

r6 = r6 = 0,134 m

6.4. Determinacin de la frecuencia angular () y la amplitud (A)

=

= = 4,366rad/s

cm

6.5. Determinacin de la elongacin en funcin del tiempo (x)

x = A cos (t + )

x1 = 16,7*cos(4,366*0 + 0) = 16,7cm

x2 = 16,7*cos(4,366*0,179 + 0) = 11,845cm

x3 = 16,7*cos(4,366*0,359 + 0) = 0,056cm

x4 = 16,7*cos(4,366*0,539 + 0) = -11,774cm

x5 = 16,7*cos(4,366*0,719 + 0) = -16,699cm

x6 =16,7*cos(4,366*0,899 + 0) = -11,832cm

x7 = 16,7*cos(4.366*1,079 + 0) = -0,025cm

x8 = 16,7*cos(4,366*1,259 + 0) = 11,797cm

x9 = 16,7*cos(4,366*1,439 + 0) = 16,684cm

6.6. Determinacin de la velocidad en funcin del tiempo (V)

V = -A sen (t + )

V1= -(16,7*4,366)sen(4,366*0 + 0) = 0

V2= -(16,7*4,366)sen(4,366*0,179 + 0)= -51,356cm/s2

V3= -(16,7*4,366)sen(4,366*0,359 + 0)= -72,912cm/s2

V4=-(16,7*4,366)sen(4,366*0,539 + 0)= -51,707cm/s2

V5= -(16,7*4,366)sen(4,366*0,719 + 0)= -0,178cm/s2

V6= -(16,7*4,366)sen(4,366*0,899 + 0)= 51,456cm/s2

V7= -(16,7*4,366)sen(4,366*1,079 + 0)= 72,912cm/s2

V8= -(16,7*4,366)sen(4,366*1,259 + 0)= 51,608cm/s2

V9= -(16,7*4,366)sen(4,366*1,439 + 0)= 0.037cm/s2

6.7. Determinacin de la aceleracin en funcin del tiempo (a)

a = -A2 cos (t + )

a1 = -(16,7*19,062)cos(4,366*0 + 0)-318,335cm/s2

a2 = -(16,7*19,062)cos(4,366*0,179 + 0) a2 = -225,969cm/s2

a3 = -(16,7*19,062)cos(4,366*0,359 + 0) a3= -1,083cm/s2

a4 = -(16,7*19,062) cos (4,366*0,539 + 0) a4 = 224,439cm/s2

a5 = -(16,7*19,062) cos (4,366*0,719 + 0) a5 = 318,334cm/s2

a6 = -(16,7*19,062) cos (4,366*0,899 + 0) a6 = 225,537cm/s2

a7 = -(16,7*19,062) cos (4,366*1,079 + 0) a7 = 0,469cm/s2

a8 = -(16,7*19,062) cos (4,366*1,259 + 0) a8 = -224,873cm/s2

a9 = -(16,7*19,062) cos (4,366*1,439 + 0) a9 = -318,335cm/s2

6.8. Determinacin de la energa cintica (Ek)

Ek = mA22 sen2 (t+ )

Ek1 = 0.5*1603,4*(16.7)2*(4,366)2*sen2(4,336*0)Ek1= 0

Ek2 = 0.5*1603,4*(16.7)2*(4,366)2*sen2(4,366*0,179)Ek2= 2114440,23 erg.

Ek3 = 0.5*1603,4*(16.7)2*(4,366)2*sen2(4,366*0,359)Ek3= 4261939,312 erg.

Ek4 = 0.5*1603,4*(16.7)2*(4,366)2*sen2(4,366*0,539)Ek4= 2143441,349 erg.

Ek5 = 0.5*1603,4*(16.7)2*(4,366)2*sen2(4,366*0,719) Ek5= 25,346 erg.

Ek6 = 0.5*1603,4*(16.7)2*(4,366)2*sen2(4,366*0,899)Ek6= 2122654,414 erg.

Ek7 = 0.5*1603,4*(16.7)2*(4,366)2*sen2(4,366*1,079)Ek7= 487240,157 erg.

Ek8 = 0.5*1603,4*(16.7)2*(4,366)2*sen2(4,366*1,259)Ek8= 2135227,089 erg.

Ek9 = 0.5*1603,4*(16.7)2*(4,366)2*sen2(4,366*1,439)Ek9= 1,114erg.

6.9. Determinacin de la energa potencial (Ep)

Ep = m2 A2 cos2 (t+ )

Ep1 = 0.5*1603,4*(4,366)2*(16,7)2*cos2(4,336*0)Ep1 = 4261988,648 erg

Ep2 = 0.5*1603,4*(4.366)2*(16,7)2* cos2 (4,366*0,179)Ep2 = 2147548,418 erg

Ep3 = 0.5*1603,4*(4,366)2*(16,7)2* cos2 (4,366*0,359)Ep3 = 49,336 erg

Ep4 = 0.5*1603,4*(4,366)2*(16,7)2* cos2 (4,366*0,539)Ep4 = 2118547,299 erg

Ep5 = 0.5*1603,4*(4,366)2*(16,7)2* cos2 (4,366*0,719) Ep5 = 4261963,302 erg

Ep6 = 0.5*1603,4*(4,366)2*(16,7)2* cos2 (4,366*0,899)Ep6 = 2139334,235 erg

Ep7 = 0.5*1603,4*(4,366)2*(16,7)2* cos2 (4,366*1,079)Ep7 = 9,272 erg

Ep8 = 0.5*1603,4*(4,366)2*(16,7)2* cos2 (4,366*1,259)Ep8 = 2126761,559 erg

Ep9 = 0.5*1603,4*(4,366)2*(16,7)2* cos2 (4,366*1,439)Ep9 = 4261987,534 erg

6.10. Determinacin de la energa total (Et)

Et = mA2 2 (Cte.)

Et = 0.5*1603,4*(16,7)2*(4,366)2 = 4261988,648

7. Grficas del experimento

Grafica 7.1. Grafica de b2 en funcin de T2b

Grfica 7.2Grafica de la elongacin (x) en funcin del periodo (T)

Grfica 7.3Grafica de la velocidad (V) en funcin del periodo (T)

Grfica 7.4Grafica de la aceleracin (a) en funcin del periodo (T)

Grfica 7.5

Grafica de la energa cintica(Ek) en funcin de la elongacin (x)

Grfica7.6

Grfica de la energa potencial (Ep) en funcin de la elongacin (x)

8. Anlisis de resultados

8.1. Anlisis general.- No se pudo dar con la aceleracin gravitacional de sucre, se obtuvo un 0.39 m/s2 menos, en comparacin a la gravedad en Sucre que es de 9,786m/s2.

Tal vez se deba a que al llegar a 0.4 en el valor de b el pndulo chocaba con uno de los pernos del soporte y tuvimos que reducir el ngulo de oscilacin tambin es posible que no se haya tenido cuidado al tomar los datos ya que en la grfica 1.1 se ve un error muy notable

8.2. Anlisis especficos.- Pese a que no se obtuvo el valor de la gravedad deseada los resultados siguientes no fueron del todo incoherentes ya que estos dieron lugar a las grficas correctas.

9. Concusiones.- El valor obtenido de la gravedad fue de 9,396m/s2; el radio de giro vara entre 0,199 0,134m.; las grficas de la elongacin (x), velocidad (V), aceleracin (a), energa cintica (Ek), energa potencial Ep y energa total (Et) fueron correctas

10. Bibliografa.- -Fsica General. Ing. Goi Galarza, 278 cap. 9, 1 edicin. -Fsica Bsica II (FIS102). Ing. Javier Barrn Escobar. Ing. Genaro Silva Daz.

11. Anexos

(ajuste de curva y determinacin de la pendiente B)

T2bb2(T2b)2T2b* b2n

0,2060.010,0420,0027

0,3350.040,1120,013

0,5290.090,2790,048

0,8120.160,6590,129

1,1610.251,3480,290

1,5880.362,5220,572

= 4,631= 0,91= 4,962=1,054

11.1. Ajuste de curvas por el mtodo de los mnimos cuadrados (por formula)

a =

a =

a =

a = 0,028B =

B =

B =

B = 0,23811.2. Determinacin de los nuevos valores de b2 utilizando la ecuacin de la recta adaptada

b2 = a + B* T2b

T2bb2

0,2060,077

0,3350,108

0,5290,154

0,8120,221

1,1610,304

1,5880,406

b21 = 0,028 + (0,238*0,206) = 0,077

b22 = 0,028 + (0,238*0.335) = 0,108

b23 = 0,028 + (0,238*0,529) = 0,154

b24 = 0,028 + (0,238*0,812) = 0,221

b25 = 0,028 + (0,238*1,161) = 0,304

b26 = 0,028 + (0,238*1,588) = 0,406