MATERIAL DE APOYO PARA SEXTA LA PRÁCTICA DE MATEMÁTICAS FINANCIERAS (2008-09)

En la sexta práctica informática de LADE y LD-LADE redactaremos cuadros de amortización

de empréstitos ayudados de la hoja de cálculo Excel. En concreto resolveremos los siguientes

tipos de empréstitos:

1. Empréstito normal de anualidad constante y amortización a la par.

2. Empréstito normal de anualidad constante con prima de amortización y lote.

3. Empréstito a amortizar mediante títulos constantes y prima de amortización.

4. Empréstito con pérdida del último cupón.

1. Empréstito normal de anualidad constante y amortización a la par.

En un empréstito amortizado mediante anualidad constante lo primero que se calcula es la

anualidad teórica, y se hace a través de la ecuación que establece la equivalencia financiera

entre lo que la sociedad emisora adquiere como deuda en el momento inicial por la puesta en

circulación de los títulos y la actualización financiera del flujo de anualidades que entrega para

la amortización de obligaciones y pago de intereses periódicos.

inin a

CNaa.aCN 1

1 =⇒=

Antes de redactar el cuado de amortización hemos de calcular el nº de títulos que se amortizan

cada año; comenzamos con los amortizados el primer año ( ) y posteriormente hallamos los

títulos amortizados los años consecutivos ( ) siguiendo la expresión:

1M

nM...,M,M,M 432

11 )1( −+= k

k iMM . Para obtener los títulos amortizados el primer año tenemos dos opciones:

a) Calcular M1 desde la anualidad teórica obtenida anteriormente:

CCiNa

MCMCiNmIa.

.. 111111

−=⇒+=+=

b) Calcular M1 desde la siguiente expresión:

ininn s

NMsMMMMMN 1113211 =→⋅=+⋅⋅⋅+++=

Hallados , a continuación, se realiza el redondeo de los títulos amortizados

cada uno de los años, ya que cada año debe amortizarse un número de títulos entero. Para ello se

sumará la parte entera de los títulos amortizados cada uno de los años y los títulos que falten

hasta llegar al total de títulos emitidos se repartirán entre aquellos que presenten la parte

decimal más alta, redondeando por defecto todos los demás.

nM...,M,M,M,M 4321

Una vez calculado esto comenzados con el cuadro de amortización.

1

- 1º Completamos la columna de los títulos amortizados ( ) en cada uno de los años una vez

realizado el redondeo.

hM

- 2º Columna de total títulos amortizados ( hhh MTT += −1 )

- 3º Columna de los títulos vivos a principio del año h ( hhh MNN −=+1 )

- 4º Columna de las cuotas de amortización ( CMm hh ⋅= ). Esta columna representa lo que la

entidad emisora paga por amortización cada uno de los años y será el número de empréstitos

amortizados cada uno de los años por el valor nominal de los títulos.

- 5º Columna correspondiente a la cuota de interés ( iCNI hh ⋅⋅= ). La cuota de interés se

calcula como el cupón por el número de títulos vivos a principio de periodo.

- 6º la columna de las anualidades se calcula como suma entre la cuota de interés y de

amortización de cada uno de los años ( hhh Ima += ). Aunque este empréstito teóricamente es

de anualidad constante el redondeo de los títulos lleva a que la anualidad no salga constante.

A continuación, se muestra un ejemplo en el que calcularemos el cuadro de amortización de un

empréstito de anualidad constante y amortización a la par.

La Empresa R emite un empréstito de 8.000 títulos u obligaciones de 100€ de nominal cada uno

de ellos a amortizar a la par mediante anualidad constante durante 10 años y por el que se

pagará un cupón anual por título de 6€.

Lo primero que tenemos que calcular es el valor actual y final con las fórmulas de EXCEL VA

= 7,3601 y VF = 13,18 para poder calcular posteriormente tanto la anualidad teórica

€,.,*

aCN

ain

T 3769410836017

80001001 === como el número de títulos amortizados el primer año:

2

946061813800011 ,,/s

NMin

=== . Luego, en la columna E desde E7 a E16

introduciremos los títulos amortizados en los años 2 a 10 mediante:

9668113664311 123

112

11 ,)i(MM;,)i(MM)i(MM h

h =+=→=+=→+= − y así para todos los

años.

Como el número de los títulos a amortizar cada año, en este caso, no es un número entero,

debemos pasar a realizar un procedimiento de redondeo de los títulos. Así, en la columna F

colocamos sólo la parte entera de los títulos, la sumamos al final de la columna y observamos

cuántos títulos faltan hasta llegar al total de emitidos. Esta diferencia la repartimos entre los

valores de la columna G a aquellos que en la columna E tenían la parte decimal más alta. Para

realizar este cálculo en la columna F utilizamos la función de Excel Entero, con ella en la celda

correspondiente aparecerá solo la parte entera de la celda que le indiquemos. Por ejemplo, en la

celda F7 pondremos =ENTERO(E7) y aparecerá 606 y así sucesivamente. Posteriormente

sumaremos todos los títulos en la celda F17 y en este caso aparece 7.994 títulos por lo que

faltan por distribuir 6 títulos que se los colocaremos a aquellos que tienen la parte decimal más

alta (para mayor claridad los hemos puesto en color azul), por lo que en la columna G tienen un

título más. Así, por ejemplo en la celda F7 hay 606 títulos como tienen una parte entera alta en

la G7 hemos puesto =F7+1 = 607 títulos. (Decimos en este caso que todos esos Mk los

redondeamos por exceso, mientras que el resto se redondean por defecto).

Los títulos que aparecen en esta columna G7 serán los que colocaremos en el cuadro de

amortización en la columna E, desde E21 hasta E30. Así, en E21 pondremos =G7 y

arrastraremos la fórmula hasta E30. Desde este momento comenzaremos a rellenar el cuadro de

amortización con las indicaciones y orden establecidos anteriormente quedando el cuadro como

mostramos a continuación:

3

2. Empréstito normal de anualidad constante con prima de amortización y lote.

Este tipo de empréstito se caracteriza porque presenta la prima de amortización como

característica comercial, las obligaciones se amortizan por un valor superior al nominal, lo que

implica que la cuota de amortización se calcula en este caso como ).PC(Mm hh +=

Para calcular el cuadro de amortización se debe realizar en primer lugar, un proceso de

normalización, lo que nos permitirá obtener el número de títulos que se amortiza cada uno de

los años. La normalización que tendremos que realizar será la siguiente:

PCC +=′

PCiC

CiCiiCiC

+⋅

=⋅

=⇒⋅=⋅'

'''

Con los valores C´ e i´ resolvemos el empréstito como si fuera un empréstito normal de

anualidad constante recordando que en la cuota de amortización cada título se amortiza no por

el valor nominal sino por el valor nominal más la prima.

En primer lugar, calculamos la anualidad teórica estableciendo la equivalencia financiera entre

el compromiso adquirido por la empresa emisora en el momento de la emisión, que es C´N1, y

las anualidades actualizadas que dicha empresa entregará, esto es, .a

NCaa.aN'.C

'in'in

11

′=⇒=

En segundo lugar, obtendremos los títulos amortizados el primer año M1, ya sea mediante:

4

''''.''. 1

111 CiCNaMCMiCNa ⋅−

=⇒+= o a través de la expresión: 'in

sNM 1

1 = .

En tercer lugar, calculamos los títulos a amortizar el resto de los años mediante la expresión: 1

1 1 −+= hh )'i(MM . En caso de que el número de títulos a amortizar cada uno de los años no sea

entero realizaremos el mismo procedimiento de redondeo realizado en el ejemplo anterior.

A partir de este momento, realizaremos el cuadro de amortización del empréstito como si fuese

un empréstito normal con la única diferencia de que en las cuotas de amortización de cada año

tendremos en cuenta la prima de amortización.

Cuadro de Amortización.

- 1º Calculamos la columna de los títulos amortizados ( ) una vez realizado el redondeo (en

caso de ser necesario).

hM

- 2º Columna de total títulos amortizados ( hhh MTT += −1 )

- 3º Columna de los títulos vivos a principio del año h ( hhh MNN −=+1 )

- 4º Rellenamos la columna de las cuotas de amortización ( )( PCMm hh +⋅= ). Lo que la entidad

emisora paga por amortización cada uno de los años será el número de títulos amortizados por el

valor nominal de los títulos más la prima de amortización que recibe cada título.

- 5º Columna correspondiente a la cuota de interés ( iCNI hh ⋅⋅= ).

- 6º La columna de las anualidades se calcula como suma entre la cuota de interés, cuota de

amortización de cada uno de los años ( hhh Ima += ).

En el caso, en el que también existiese un lote, incorporaríamos una nueva columna en el cuadro

amortización (Lote= ). Lo cual afectaría a la anualidad que estaría formada por cuota de

amortización, interés y lote (

hL

hhhh LIma ++= ).

Ejemplo. Supongamos que la empresa R emite un empréstito compuesto por 8.000 títulos de

100€ de nominal cada uno de ellos a una tasa de interés anual constante del 6%, que se

amortizará en los próximos 10 años mediante anualidad constante. Como novedad emite los

títulos con una prima de amortización de 5€, esto es, el valor de amortización de cada título es

105€.

Para resolver este cuadro de amortización tal y como anteriormente hemos indicado lo primero

que haremos será normalizar el empréstito quedando los siguientes valores:

€PC'C 1055100 =+=+= ; %,PCiC

'CiC'i 715

1056

==+⋅

=⋅

=

Con estos valores de C´ e i´ calcularemos VA, VF, anualidad teórica y los títulos que se

amortizan cada año. Realizaremos posteriormente el redondeo y el cuadro de amortización

como siempre, recordando que en este caso en la columna de los títulos amortizados cada año

5

tendremos en cuenta que nos devuelven el valor de amortización y este incluye el nominal más

la prima de amortización: )( PCMm hh +⋅= . Quedando el cuadro de amortización como sigue:

Ejemplo. Supongamos que la empresa anterior realiza la misma emisión anterior pero para

animar a los obligacionistas a adquirir títulos reparte 50 lotes anuales por valor de 10€ cada uno

de ellos. Calcule el cuadro de amortización de dicho empréstito.

En este caso, el cuadro de amortización es similar al anterior con la única diferencia de que

existirá una nueva columna llamada lote y estará compuesta por todo lo que la empresa paga de

lote anual (50*10=500€) y que la anualidad debe incorporar el lote en su cálculo

( ). €,..,.LaaL 21089113000521589112 =+=+=

Quedando el cuadro de la siguiente manera:

6

3. Empréstito en el que se amortiza anualmente un número constante de títulos

Cada año se amortiza el mismo número de títulos, por lo que el cálculo de este empréstito es

muy sencillo ya que lo primero que se calcula es el número de títulos que se debe amortizar

cada año que al ser constantes se calcula de la siguiente manera: n

NMMMM n

121 ... =====

Realizado este cálculo debe observarse si el número de títulos a amortizar es entero, en caso de

no serlo será necesario redondear (de igual modo al realizado en los empréstitos anteriores).

Hecho esto, se comienza el cuadro en el mismo orden y siguiendo la misma estructura que la

explicada en el apartado anterior. Esto es:

Cuadro de Amortización:

- 1º Completamos la columna de los títulos amortizados ( MMh = ) una vez realizado el

redondeo.

- 2º Columna de total títulos amortizados ( MTT hh += −1 )

- 3º Columna de los títulos vivos a principio del año h ( hhh MNN −=+1 )

- 4º Rellenamos la columna de las cuotas de amortización ( CMmh ⋅= ). En este caso, esta

columna tendrá una cuantía constante.

- 5º Columna correspondiente a la cuota de interés ( iCNI hh ⋅⋅= ).

7

- 6º La columna de las anualidades se calcula como suma entre la cuota de interés y de

amortización de cada uno de los años ( MCi.CNmIa kkkk +=+= ). En este tipo de empréstitos la

anualidad no se mantendrá constante, sino que seguirá una progresión aritmética decreciente.

Ejemplo. Supongamos una determinada empresa desea emitir un empréstito con las mismas

características que en ejercicios anteriores, esto es, se emiten 8.000 títulos u obligaciones de

100€ de nominal cada uno de ellos a amortizar durante 10 años en el que se pagará un cupón

anual por título de 6€, pero en este caso se amortizan mediante títulos constante.

Lo primero que tendremos que calcular será el número de títulos constante que se amortiza cada

año: títulos.n

NMM...MM n 800

1000081

21 ======= , en este caso como el número de títulos a

amortizar cada año es constante no hace falta realizar el redondeo y podremos comenzar con el

cuadro de amortización como siempre. Quedando el cuadro como sigue:

En el caso en el que además de que el número de títulos a amortizar cada uno de los años sea

constante exista una prima de amortización, el cuadro de amortización seguirá la misma

estructura que el cuadro anterior, con la única diferencia que en la columna de las cuotas de

amortización lo que la entidad emisora paga por amortización cada uno de los años será el

número de títulos amortizados (que en este caso es una cuantía constante) por el valor nominal

de los títulos más la prima de amortización que recibe cada título, esto es, ( ). )PC(Mmh +⋅=

8

Para los casos en los que el número de títulos que se amortiza cada año sea constante y exista

prima de amortización no se realiza el proceso de normalización. Este procedimiento se realiza

exclusivamente para empréstitos con anualidad constante.

Siguiendo el ejemplo anterior pero considerando además que existe una prima de

amortización de 5€ lo único que cambiaría sobre el cuadro anterior es las cuotas de

amortización que eran constantes en este caso su valor es igual a:

, quedando el cuadro de amortización como sigue: €.)()PC(Mmh 000845100800 =+⋅=+⋅=

4. Empréstito con pérdida del último cupón, amortización a la par y anualidad constante.

En este tipo de empréstito las obligaciones amortizadas pierden el derecho a percibir el cupón

correspondiente a dicho periodo, por lo que solo recibirán el valor de amortización (nominal o

nominal más prima de amortización según corresponda).

Para calcular dicho cuadro de amortización se debe proceder en primer lugar, a un proceso de

normalización. La normalización que tendremos que realizar para esta característica es:

)i(CiCCC −⋅=⋅−=′ 1 ;

)1('

'''iC

iCC

iCiiCiC−⋅⋅

=⋅

=⇒⋅=⋅

Con los valores C´ e i´ resolvemos el empréstito como si fuera un empréstito normal, de manera

que utilizaremos C´ e i´ para el cálculo de los títulos amortizados cada uno de los años mediante

9

la expresión: 'in

sNM 1

1 = . Posteriormente, pasaremos a calcular los títulos a amortizar el resto

de los años mediante la expresión: 11 1 −+= h

h )'i(MM

A partir de este momento realizaremos el cuadro de amortización del empréstito como si fuese

un empréstito normal con la única diferencia de que para el cálculo de las cuotas de interés

tendremos en cuenta la pérdida del último cupón calculándolo como: iCNI hh ⋅⋅= +1.

Cuadro de Amortización:

- 1º Completamos la columna de los títulos amortizados ( ) una vez realizado el redondeo (en

caso de ser necesario).

hM

- 2º Columna de total títulos amortizados ( hhh MTT += −1 )

- 3º Columna de los títulos vivos a principio del año h ( hhh MNN −=+1 )

- 4º Columna de las cuotas de amortización ( CMm hh ⋅= ).

- 5º Columna correspondiente a la cuota de interés. Cada año reciben cupones todos los títulos

vivos al principio de dicho año excepto los que se amortizan ese mismo año, es decir hay que

pagar cupones a las obligaciones que quedarán vivas al principio del año siguiente:

( ). Por tanto, el último año el valor de la cuota de interés es 0. iCNI hh ⋅⋅= +1

- 6º La columna de las anualidades se calcula como suma entre la cuota de interés, cuota de

amortización de cada uno de los años ( hhh Ima += ).

Ejemplo: Calcule el cuadro de amortización de la empresa R si esta realiza la misma emisión de

títulos que en los ejercicios anteriores, es decir, emite 8.000 obligaciones de 100€ de nominal

cada uno de ellos a una tasa de interés anual constante del 6%, que se amortizará en los

próximos 10 años, pero en este caso el sistema de amortización se realiza mediante anualidad

constante y los títulos amortizados cada año pierden el último cupón.

La estructura del cuadro de amortización será la siguiente:

10

Para realizar el cuadro de amortización debemos comenzar realizando la normalización, lo que

nos llevará a obtener un C´ e i´ que nos servirá para calcular los títulos que se amortizan cada

año. En este caso los valores de C´ e i´ serán de 94 y 6,38% respectivamente y nos servirán para

calcular VA, VF, la anualidad teórica y los títulos amortizados cada año con las expresiones:

115964213800011 ,,/s

NMin

=== ; 6467411663411 123

112

11 ,)i(MM;,)i(MM)i(MM h

h =+=→=+=→+= −

y así sucesivamente para el resto de los años. Una vez realizado el redondeo correspondiente de

los títulos rellenaremos el cuadro de amortización como siempre teniendo en cuenta que en la

columna de la cuota de interés los cupones se pagan en relación al número de títulos vivos del

año correspondiente ( ). Así, por ejemplo la cuota de interés del primer año se

calculará como

iCNI hh ⋅⋅= +1

€..iCNI 424446404721 =⋅=⋅⋅= , una vez realizado todos los cálculos el cuadro

queda de la siguiente forma:

11

12