Práctica Dirigida 4_2014-2 (S)

8/19/2019 Práctica Dirigida 4_2014-2 (S)

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Práctica dirigida Nro 4

- Macroeconomı́a 2 -

Profesor

Vega de la Cruz, Marco Antonio

[email protected]

Jefes de prácticas

Barraza Salguero, David Abel Cox Lescano, Alvaro Esteban

[email protected] [email protected]

Setiembre de 2014

Nota

Basado en Vega De la Cruz, Marco Antonio (2014), Introducci´ on a la Macroeconoḿıa Avanzada , ma-nuscrito.

1. Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans

1. Modelo Neoclásico: En este ejercicio analizaremos una versión un poco más completa delmodelo neoclásico. Asuman que la economı́a esta compuesta por un hogar representativode tamaño Lt y que crece exógenamente de acuerdo a Lt+1 = (1 + n) Lt. El hogar castiga lautilidad del peŕıodo futuro con la tasa de descuento sub jetiva definida por β = 1

1+ρ, donde

puede definirse como una tasa de interés subjetiva en contraste con la tasa de interés real.El hogar maximiza la utilidad total del hogar definida por:

U t = Lt

∞j=t

1 + n

1 + ρ

j−tu (cj) (1)

sujeta a:

t+1 ≈ (1 + rt − δ − n) t + wt − ct (2)

donde ct es el consumo per cápita del hogar, t es el acervo de activos per cápita definidocomo los activos totales ( t) divididos entre Lt. Tambien wt y rt son el salario real y la tasade interés real respectivamente. La firma representativa posee una función de produccióncon aumentos tecnológicos a lo Harrod definida por:

Y t = K αt (AtLt)

1−α (3)

donde At representa el nivel tecnológico que crece de manera constante de acuerdo a At+1 =(1 + g) At, donde g es un escalar. En equilibrio, la firma escoge la combinación de capital ytrabajo de acuerdo a:

rt = f k̃t (4)

wt = At

f

k̃t

− k̃tf

k̃t

(5)

En ambas ecuaciones ((4) y (5)) se entiende que k̃t es el capital por unidades de eficiencia.

1


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a ) Interpretar en palabras la ecuación (1).

Podemos reescribir (1) desarrollando la sumatoria:

U t = Lt

u (ct) +

1 + n

1 + ρ

u (ct+1) +

1 + n

1 + ρ

2u (ct+2) + · · ·

= Ltu (ct) + (1 + n) Lt 11 + ρ β

u (ct+1) + (1 + n)2

Lt 11 + ρ β

2

u (ct+2) + · · ·

Dado que Lt crece exógenamente a una tasa n, e iterando hacia adelante y reemplanzado cadarezago al resultado, obtenemos:

Lt+1 = (1 + n) Lt

Lt+2 = (1 + n) Lt+1 = (1 + n) (1 + n) Lt = (1 + n)2

Lt

......

Lt+T = (1 + n)T

Lt

Del resultado anterior en el desarrollo de la sumatoria:

U t = Ltu (ct) + Lt+1βu (ct+1) + Lt+2β 2u (ct+2) + · · ·

U t =

∞j=t

Ljβ j−tu (cj)

Podemos ver que dicho resultado muestra la utilidad en niveles descontada de toda la vidade una econoḿıa (ya que está multiplicada por Lj ∀ j = t, t + 1, · · · ). Esta ecuación reflejacomo una econoḿıa definida por un agente representativo pondera la utilidad que le brinda losconsumos de toda su (infinita) vida con un factor de descuento subjetivo 0 < β


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Entonces reacomodando la expresión anterior:

ct + ct+1

(1 + rt+1 − δ − n) + · · · = (1 + rt − δ − n) t + wt +

wt+1

(1 + rt+1 − δ − n) + · · ·

V P {cj}∞j=t

= (1 + rt − δ − n) t + V P {wj}∞j=t

El resultado de esta expresión nos dice que el valor presente del consumo es igual a la riquezade toda la vida del hogar representativo más sus activos (o pasivos) con lo que comienza suvida. De esta forma podemos gastar más que nuestros ingresos en determinados peŕıodos, peroen general solo gastaremos nuestras fuentes de ingresos de toda la vida sin superávits o déficitsal final de los tiempos (los usos son iguales a las fuentes).

Para que exista mayor coherencia, no asumimos que hay un agente que vive infinitos peŕıodos,sino más bien una serie de generaciones no miopes y altruistas que les importa su descenden-cia y por lo tanto dejan herencia (o deudas) a la siguiente generación para que tengan activos(o pasivos) iniciales.

c ) Demostrar que las ecuaciones (4) y (5) representan las condiciones de primer orden de optimalidadde la firma representativa.

El objetivo de la empresa en el modelo neoclásico es maximizar su beneficio sujeto a la tecnologı́adisponible para realizar la producción del único bien en la economı́a:

máx{K t, Lt}

πt = Y t − wtLt − rtK t

s.a. Y t = K αt (AtLt)

1−α

que es lo mismo que:

máx{K t, Lt}

πt = K αt (AtLt)

1−α − wtLt − rtK t

que viene a ser la función objetivo sin restricción.

Las condiciones de primer orden (CPO) son:

∂πt

∂K t= 0 ,

∂πt

∂Lt= 0

αK α−1t (AtLt)1−α = rt , (1 − α) K

αt A

1−αt L

−αt = wt

α

K t

AtLt

α−1= rt , (1 − α) At

K t

AtLt

α= wt

αk̃α−1t = rt , (1 − α) Atk̃αt = wt

Sea f

k̃t

= ỹt = k̃

αt el PBI en términos de eficiencia de la función de producción con aumentos

tecnológicos a lo Harrod y f

k̃t

= αk̃α−1t su derivada respecto a

k̃t. Entonces, para rt

obtenemos:

rt = f k̃t

Luego para wt desarrollamos:

wt = (1 − α) Atk̃αt

= At

k̃αt − αk̃

αt

= At

f

k̃t

− αk̃αt

La expresión αk̃αt podemos descomponerla de la siguiente manera:

αk̃αt = αk̃t k̃α−1t =

k̃t

αk̃α−1t

= k̃tf

k̃t

3


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Finalmente para wt obtenemos:

wt = At

f

k̃t

− k̃tf

k̃t

d ) Sabiendo que en equilibrio general, los bienes que el hogar ahorra ( t) son equivalentes a las bienes

que las firmas demandan como capital (K t), derivar el sistema de ecuaciones en diferencias quedescriben la dinámica de esta economı́a. Las ecuaciones deben estar expresas en variables medidas

en unidades de eficiencia y asuman que la función de utilidad está dada por u (ct) = c1−

σt

1−σ .

Si resolvemos el problema del consumidor obtendremos las condiciones de primer orden:

máx{ct}

∞

j=t

U t =∞t=0

Ltβ tu (ct)

s.a. t+1 = (1 + rt − δ − n) t + wt − ct

Lt+1 = (1 + n) Lt, 0 < n 0, σ = 1

ln ct si σ = 1

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La ecuación de Euler (que estaba en términos per cápita) en términos de eficiencia es:

ct+1 =

1 + n

1 + ρ

1σ

(1 + rt+1 − δ − n)1σ ct

ct+1

At=

1 + n

1 + ρ

1σ

(1 + rt+1 − δ − n)1σ

ct

At

(1 + g) ct+1

At+1=

1 + n1 + ρ

1σ(1 + rt+1 − δ − n)

1σ

ct

At

(1 + g) c̃t+1 =

1 + n

1 + ρ

1σ

(1 + rt+1 − δ − n)1σ c̃t

c̃t+1 =

1

1 + g

1 + n

1 + ρ

1σ

(1 + rt+1 − δ − n)1σ c̃t

Por otro lado, si expresamos la restricción presupuestaria intertemporal en términos de eficiencia , obtenemos:

t+1 ≈ (1 + rt − δ − n) t + wt − ct

(1 + g) ̃t+1 = (1 + rt − δ − n) ̃t + w̃t − c̃t

Si dividimos por (1 + g), restamos ̃t en ambos lados:

̃t+1 − ̃t = (1 + rt − δ − n) ̃t + w̃t − c̃t

1 + g − ̃t

= (1 + rt − δ − n) ̃t + w̃t − c̃t − ̃t − g̃t

1 + g

̃t+1 ≈ (1 + rt − δ − n − g) ̃t + w̃t − c̃t

En equilibrio y en términos de eficiencia podemos expresar ̃t = k̃t para todo t. Sabemostambíen que rt = αk̃

α−1t y w̃t = (1 − α) k̃

αt :

k̃t+1 =

1 + αk̃α−1t − δ − n − g

k̃t + (1 − α) k̃αt − c̃t

k̃t+1 = k̃t − (δ + n + g) k̃t + k̃αt − c̃t

Por lo tanto, el sistema de ecuaciones no lineales a resolver, en términos de eficiencia, será:

c̃t+1 =

1

1+g

1+n1+ρ

1σ

1 + αk̃α−1t+1 − δ − n 1

σ

c̃t

k̃t+1 = k̃t − (δ + n + g) k̃t + k̃αt − c̃t

Si hacemos que ϕ = 11+g 1+n1+ρ1σ

> 0:

c̃t+1 = ϕ

1 + αk̃α−1t+1 − δ − n 1

σ

c̃t

k̃t+1 = k̃t − (δ + n + g) k̃t + k̃αt − c̃t

e ) Hallar el equilibrio de estado estacionario correspondiente

k̃ee, c̃ee y ỹee

, aśı como la tasa de ahorro

en estado estacionario.

Del sistema hallado en 1d , cuando c̃t+1 = c̃t = c̃ee y k̃t+1 = k̃t = k̃ee y recordando que

ϕ = 11+g1+n1+ρ 1σ obtenemos:c̃ee = ϕ

1 + αk̃α−1ee − δ − n

1σ

c̃ee , k̃ee = k̃ee − (δ + n + g) k̃ee + k̃αee − c̃ee

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Para k̃ee:

1

ϕ =

1 + αk̃α−1ee − δ − n

1σ

1

ϕ

σ= 1 + αk̃α−1ee − δ − n

k̃ee =

α1

ϕ

σ− 1 + δ + n

1

1−α

Para c̃ee:

c̃ee = k̃ee − (δ + n + g) k̃ee + k̃

αee −

k̃ee

c̃ee = k̃αee − (δ + n + g) k̃ee

Para ỹee:ỹee = k̃

αee

ỹee = α

1

ϕ

σ− 1 + δ + n

α

1−α

f ) En el equilibrio de estado estacionario, ¿cómo depende la tasa de ahorro de los parámetros ρ y g?Explicar.

La tasa de ahorro es endógena y esta definida como el ingreso neto del consumo (ahorro) sobreel ingreso:

s̃ee =k̃αee − c̃ee

k̃αee

= 1 −

c̃ee

k̃αee

= 1 −k̃αee − (δ + n + g) k̃ee

k̃αee

= (δ + n + g) k̃1−αee

s̃ee = α

g + δ + n

1

ϕ

σ− 1 + δ + n

NOTA: Antes debemos asegurarnos que s̃ee ∈ (0, 1). En primer lugar debemos determinar

el signo de 1

ϕσ

. Por un lado, sabemos que 1

1+g < 1 y que 1+n1+ρ < 1 por lo que ϕ = 1

1+g

1+n1+ρ

1σ< 1 ya que, para que el equilibrio sea estable, la tasa de crecimiento de la

población debe ser menor que la tasa de interés subjetiva n < g. De ello se desprende que1

ϕ > 1 →

1

ϕ

σ> 1. Por otro lado, como suponemos que g → 0 podemos asegurar que

1

ϕ

σ− 1 > g. Finalmente se asegura de s̃ee que el numerador δ + n + g es menor que el

denominador1

ϕ

σ− 1 + δ + n:

g + δ + n1

ϕ

σ− 1 + δ + n


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Si aumenta la tasa de interés subjetivo ↑ ρ entonces estaremos dispuestos (en nuestro interior)sacrificar consumo futuro por consumo presente. Aquel comportamiento hace evidente la menorimpaciencia que tiene un individuo respecto a sus consumos en el tiempo, por lo tanto ↓ ϕ. Loanterior modifica la intención de ahorro del hogar representativo y lo hace ahorrar menos↓ s̃t.En otras palabras, si la preferencia (definido por ρ) por el consumo presente aumenta, el hogarrepresentativo ahorrará menos, por lo cual le dará menor peso a los consumos del futuro ↓ β =

11+ρ. De esto obtenemos que ∂ ̃st∂ρ


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(c̃t+1 − c̃ee) − ϕ

1 + αk̃α−1ee − δ − n

1σ

(c̃t − c̃ee) −

ϕα (α − 1)

σk̃α−2ee

1 + αk̃α−1ee − δ − n

1σ−1

k̃t+1 − k̃ee

= 0

c̃t+1 − c̃

ee

c̃ee

c̃ee − ϕ

1

ϕ

c̃t − c̃ee

c̃ee

c̃ee −

ϕα (α − 1)

σk̃α−2ee ϕ

σ−1

k̃t+1 − k̃

ee

k̃ee

k̃ee = 0

c̃ee

ˆ̃ct+1 − c̃ee

ˆ̃ct − α (1 − α)ϕσ

σ ˜kα−1ee ˆ̃kt+1 = 0Finalmente:

k̃ee

ˆ̃kt+1 + k̃

ee

g −1

ϕ

σ ˆ̃kt + c̃

eeˆ̃ct = 0

c̃eeˆ̃ct+1 − c̃eeˆ̃ct − α (1 − α)

ϕσ

σ

k̃α−1ee

ˆ̃kt+1 = 0

b) Asumiendo que ρ = 0,03, g = 0,02, n = 0,01, σ = 0,5, α = 0,3 y δ = 0,05, encuentren primero losvalores de estado estacionario.

El dato que tenemos esta ordenado en la siguiente tabla:

Parámetros ρ g n σ α δ

Valores 0.03 0.02 0.01 0.5 0.3 0.05

Del ejercicio 1e tenemos:

k̃ee =

α

1

ϕ

σ− 1 + δ + n

11−α

Sea ϕ =

1

1+g

1+n1+ρ

1σ

=

1

1+0,02

1+0,011+0,03

2= 0,9427 . . ., entonces:

k̃ee = 0,3

1

0,9427...

0,5− 0,94

10,7

k̃ee = 5,5887 . . .

c̃ee = k̃αee − (δ + n + g) k̃ee

c̃ee = (5,5887 . . .)0,3 − (0,08)(5,5887 . . .)

c̃ee ≈ 1,2285 . . .

c ) Luego, encontrar la solución recursiva dada por el sistema:

ˆ̃kt+1 = N

ˆ̃kt (6)

ˆ̃ct = M ˆ̃kt (7)

y con punto inicial ˆ̃k0 = 0,5k̃

ee, donde N y M son parámetros por definir.

De 2a y recordando que1

ϕ

σ− 1 > g ⇒

1

ϕ

σ− g > 1 tenemos que:

k̃eeˆ̃kt+1 − k̃

ee 1

ϕσ

− g ˆ̃kt + c̃eeˆ̃ct = 0ˆ̃kt+1 =

1

ϕ

σ− g

ˆ̃kt −

c̃ee

k̃eeˆ̃ct

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y tambíen:

c̃eeˆ̃ct+1 − c̃eeˆ̃ct − α (1 − α)

ϕσ

σ

k̃α−1ee

ˆ̃kt+1 = 0

ˆ̃ct+1 = α (1 − α)

ϕσ

σ

k̃α−1eec̃ee

ˆ̃kt+1 − ˆ̃ct

Por lo tanto, para ˆ̃kt+1:

N ˆ̃kt =

1

ϕ

σ− g

ˆ̃kt − M

ˆ̃kt

N =

1

ϕ

σ− g

−

c̃ee

k̃eeM

y para ˆ̃ct+1:

M N ˆ̃kt = α (1 − α)

ϕσ

σ

k̃α−1eec̃ee

N ˆ̃kt − M

ˆ̃kt

M N = α (1 − α)ϕσ

σ k̃α−1ee

c̃ee N − M

Para hacer los cálculos hacemos:

a =

1

ϕ

σ− g

, b = c̃

ee

k̃ee, c = α (1 − α)

ϕσ

σ

k̃α−1eec̃ee

por lo que debemos resolver el sistema3:

N = a − bM

MN = cN − M

Es aśı que obtenemos valores para N y M :

M = 0,0497 . . . , N = 0,9990 . . .

Finalmente, si tenemos un valor inicial para ˆ̃kt para t = 0, por ejemploˆ̃k0 = 0, entonces podemos

obtener las sendas para cada una de las variables relevantes.

2. Modelo de economı́a abierta con un solo bien

1. El siguiente modelo que describe el comportamiento de una econoḿıa pequeña y abiertase puede representar como:

Producto Bruto Interno y Producto Nacional Bruto:

Y t = K αt (AtLt)

1−α(8)

Y N t = Y t + r∗F t (9)

Acumulación de Activos F́ısicos y Financieros:

Activos Fı́sicos:K t+1 = K t + I t − δK t (10)

Activos Financieros:F t+1 − F t = Y t + r

∗F t − C t − I t (11)

3

De lo anterior resolvemos un sistema tal que:

M 2 −

a + cb + 1

b

M +

ca

b= 0

y hallamos los valores para M , y por lo tanto para N .

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Ahorro en la economı́a:S t = Y t + r

∗F t − C t

Evolución de la tasa de interés real:

rt+1 = ρrrt + (1 − ρr)r∗

Definición de la tasa de interés real:

rt = PMgkt − δ

Se le pide que responda a las siguientes preguntas:

a ) Exprese las variables del modelo en unidades de eficiencia. Y encuentre las cuatro ecuaciones quedefinen la dinámica de esta economı́a.

b) Encuentre el estado estacionario del modelo.

c ) Defina cualitativamente el modelo.

d ) Explique qué sucede con el equilibrio estacionario si se incrementa la tasa de ahorro en la economı́a.

e ) Explique qué sucede con el equilibrio estacionario si se incrementa la tasa de ahorro externa en la

economı́a.

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Anexo

MATLAB: Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans

Para hallar los valores de M y de N haremos uso del Simbolyz Math Toolbox de MATLAB. De ellos usaremosel comando syms y solve.

mn.m

1 clear; clc;

2

3 % Parámetros

4 rho = 0.03; g = 0.02; n = 0.01; sigma = 0.5; alpha = 0.3; delta = 0.05;

5 varphi = (1 + g)^(-1)*((1 + n)/(1 + rho))^(1/sigma);

6

7 % Valores de estado estacionario

8 kee = ((alpha/(varphî (-sigma) - 0.94))) (̂1/(1 - alpha));

9 cee = kee^alpha - (delta + n + g)*kee;

10

11 % - Cálculos auxiliares

12 a = varphi^(-sigma) - g;13 b = cee/kee;

14 c = alpha*(1 - alpha)*(varphi^sigma/sigma)*(kee^(alpha - 1)/cee);

15

16 % Resolviendo el sistema de ecuaciones:

17 % N = a - bM

18 % MN = M - cN

19

20 syms M N

21 MN = solve(M̂ 2 - ((a + 1 + c*b)/b)*M + (c*a/b) == 0, N - a + b*M == 0);

22 MN = [MN.M MN.N];

23 MNd = double(MN);

24 M = MNd(2); N = MNd(4);

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