Facultad de Ciencias UCV

MATEMATICA II

Practica XVI

Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales.

(1) La proporcion de C-14 en la masa del hueso de un fosil que un paleontologo ha

encontrado es de 0.0015. Usualmente, cuando el animal esta vivo es de 0.002. Sa-

biendo que la velocidad de desintegracion del carbono 14 esta definida pordC

dt= −1.44x10−5.C(t medido en anos ). Determine ¿Cuantos anos lleva muerto el

animal que dio origen al fosil?.

(2) La rapidez de crecimiento del numero de bacterias en cierto cultivo, es proporcional

el numero de bacterias presentes en el cultivo. Si al principio habıa 5000 bacterias

y 10 minutos despues habıa 8000 ¿Cuantas bacterias habra despues de1

2hora?.

(3) La velocidad de decrecimiento del numero (de miles) de unidades vendidas de cierto

artıculo al cual se le ha invertido x miles de dolares en una nueva campana de

publicidad es proporcional a la diferencia del numero maximo posible (de miles)

de unidades que se puedan vender del artıculo y el numero (de miles) de unidades

vendidas del artıculo, sı se sabe que el numero maximo de unidades que se pueden

vender es 50 mil unidades y ademas, que inicialmente se vendieron 10 unidades

(puesto que artıculo salio al mercado ante que se publicitara) ¿Cuantas unidades

se venderan si se invierten 8000 dolares en publicidad?. ¿Cuanto debe invertirse en

publicidad para generar ventas de 35000 unidades?.

(4) Una pintura de un hombre de CRO-MAGNON hallada en una cueva de ”LAS-

CANZA”, Francia, tiene cerca de 15000 anos. Aproximadamente que cantidad de

carbono 14 esperarıa hallarse en un fosil descubierto en la misma cueva de la pin-

tura.

(5) El ”Hombre de Hielo” es un cadaver congelado del neolitico, encontrado en un glaciar

alpino. Al comienzo se creyo que era de la edad de bronce debido al hacha que lle-

vaba. Sin embargo, se probo que el hacha era de cobre y no de bronce.¿Cuantos

1

anos debe tener el hombre de hielo si data de antes de la edad de bronce? ¿Cual es

el porcentaje ”maximo” de C-14 que puede quedar en una muestra de su cuerpo?.

(6) En 1389, Pierre d’Arcis, Obispo de Troyes, escribio al Papa para acusar a un colega

de hacer pasar ”cierta tela, habilmente pintada” por el manto de Jesucristo. A pesar

de este primer testimonio de falsificacion, la imagen que aparecıa en la tela era tan

vıvida que muchos la tenıan por una reliquia sagrada. Conocida como manto de

Turın, la tela fue expuesta a la datacion de carbono 14 en 1988. Si era autentica, la

tela deberıa tener aproximadamente 1960 anos. ¿Que porcentaje de

C-14 deberıa quedar aproximadamente?. Los cientıficos determinaron que quedaba

92.3% de C-14 del manto original. ¿Cuantos anos tiene el manto?.

(7) Una nina cae en un lago donde la temperatura del agua −3◦ centigrados. Se tiene

el conocimiento que la rapidez de descenso de la temperatura de su cuerpo despues

de t minutos en el agua es proporcional a la temperatura de su cuerpo; y que su

temperatura inicial era 35◦ centigrados que a los 15, 5.ln(2) minutos es35

32. Ademas,

se sabe que ella perdera la conciencia cuando la temperatura de su cuerpo alcance

27◦ centigrados. ¿Cual es su temperatura despues de estar 5 minutos en el agua?

¿Cuando tiempo tienen los socorristas para salvarla?.

(8) Si la velocidad de decaimiento de la cantidad de una sustancia radiactiva despues

de t anos es proporcional a la cantidad presente de la sustancia, donde la constante

de proporcion es −0.003. Encuentre la vida media de esta sustancia.

(9) MODELO DE DILUCION EN SALUD PUBLICA. Los residentes de cierta comu-

nidad han votado para descontinuar la fluorizacion de su reserva de agua. El deposito

local contiene actualmente 200 millones de galones de agua fluorada que contiene

1600 libras de fluor. El agua fluorada sale del deposito a razon de 4 millones de

galones por dıa y es sustituida a esa misma razon por agua sin fluorar. En todo

momento el fluor restante se distribuye uniformemente en el deposito. Exprese la

cantidad de fluor en el deposito como funcion del tiempo.

(10) MODELO FINANCIERO. ECUACIONES DIFERENCIALES ACOPLADAS.

Jessica tiene actualmente 15.000$ invertidos en un fondo de mercado de dinero que

gana 3% anual, capitalizado continuamente. Las condiciones del mercado estan

2

mejorando y ella decide transferir continuamente 20% de su cuenta a un fondo ac-

cionario que gana 8% anual. ¿Cuanto habra en cada cuenta en 4 anos a partir de

ahora?.

(11) AJUSTE TEMPORAL DE LA OFERTA Y LA DEMANDA. La oferta S(t) y de-

manda D(t) de cierta mercancıa varıan con el tiempo t (meses) en forma tal que:

dD

dt= −kD y

dS

dt= 2kS

para cierta constante k > 0. Se sabe que D(0) = 50 unidades y s(0) = 5 unidades

y que presentan un equilibrio cuando t = 10 meses, es decir, D(10) = S(10).

(a) Use esta informacion para hallar k.

(b) Encuentre D(t) y S(t).

(c) ¿Cuantas unidades se ofrecen y demandan en el equilibrio?.

(12) PROPAGACION DE UNA EPIDEMIA. Sea N(t) el numero de personas de una

poblacion susceptible Ns que estan infectados por cierta enfermedad t dıas despues

de iniciarse una epidemia. Unos investigadores modelan la epidemia usando la

ecuacion diferencial:

dN

dt= k(Ns −N)(N −m)

donde k > 0 y m son constantes, con 0 < m < Ns. Sea m el umbral epidemico de

la enfermedad. Suponga que k = 0 : 04, Ns = 250 : 000 personas son susceptibles

a la enfermedad, y que el umbral epidemico m es 1% de la poblacion susceptible.

(a) Resuelve la ecuacion diferencial para esta epidemia en terminos de N0 = N(0),

que es numero de personas que inicialmente estan infectadas.

(13) LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON. Al mediodıa, un asado se saca del horno

donde su temperatura era de 170◦F se coloca en un cuarto donde tarda una hora

para enfriarse a 125◦F . Si el asado esta listo para servirse a las 2:00 p.m. cuando

su temperatura llega a 100◦F , ¿Cual es la temperatura del aire en el cuarto?.

(14) LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON. Cuando una bebida frıa se saca de un

refrigerador, su temperatura es de 40◦F . Se pone en el exterior, donde la tempera-

tura del aire es 70◦F y, 20 minutos mas tarde, su temperatura es de 50◦F .

(a) ¿Cual sera la temperatura 30 minutos despues de sacarla del refrigerador?.

3

(b) ¿Cuanto tiempo debe transcurrir para que la temperatura de la bebida sea de

60◦F?.

(15) LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON. En un frıo de invierno, una taza de

chocolate caliente se saca al exterior, donde la temperatura es de −5◦C. Pasados 10

minutos, su temperatura es de 70◦C y, 10 minutos despues de eso, su temperatura

es de 50◦C. ¿Cual es la temperatura original de la bebida?.

(16) LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON. MODELO FORENSE. Un cadaver es

descubierto a las 3:00 p.m. de un lunes en un almacen, donde la temperatura del

aire es de 50◦F . La temperatura del cuerpo en ese momento es de 80◦F y 20 minutos

mas tarde es de 78◦F. ¿Cual fue la hora del fallecimiento?.

4