Instituto Politécnico Nacional Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniería y

Tecnologías Avanzadas Ingeniería Mecatrónica – ANALISIS Y SINTESIS DE MECANISMOS

Profesor: FLORES CAMPOS JUAN ALEJANDRO Grupo: 2MM1

Fecha: 10 de Octubre del 2015

Practica 5 Mecanismos Multilazo:

Análisis de posición y Velocidad

EQUIPO 1 CAMPOS JARDON LUIS EDUARDO HIPOLITO MENDEZ EROS EFREN

Objetivo

Realizar el análisis de posición y velocidad de un mecanismo multilazo utilizando

los métodos “Matricial” y “Algebra Compleja” para poder comprobar la efectividad

de ambos métodos para analizar este tipo de mecanismos apoyándose de

Working Model y Mathematica 10 para comprobar los resultados.

Mecanismos Multilazo.

Son aquellos que poseen dentro de su configuración más de un lazo cerrado de

eslabones. Este tipo de mecanismos son los más usados en la industria, ya que

sus configuraciones permiten generar diferentes tipos de movimientos, los cuales

pueden ser aprovechados por otros elementos y actuadores dentro de un sistema.

Estos mecanismos son complicados de analizar, ya que el acoplamiento entre los

lazos del sistema genera relaciones entre todas las variables que componen al

sistema.

Mecanismo No 8

Método Matricial.

Este método nos permite representar el sistema en un espacio de estado definido

por las condiciones a las cuales es sometido el mecanismo, en éste caso, la

velocidad de un motor.

Para el cálculo de la posición y la velocidad, se usará el software Mathematica

para poder construir las matrices y así calcular las incógnitas del sistema y poder

comparar los resultados con los obtenidos anteriormente en working model.

Análisis mediante WORKING MODEL para el método

matricial.

Para hacer un análisis rápido y confiable de un mecanismo, es necesaria la ayuda

del este software, ya que calcula las soluciones geométricas rápidamente de

acuerdo a los parámetros iniciales que se le otorguen.

Para este caso, el modelo del mecanismo se le aplicó un “mirror” para poder

analizarlo en el primer cuadrante del plano cartesiano y así obtener valores que

concuerden con los resultados.

Se observa que los resultados desplegados son adecuados y se pueden

corroborar geométricamente, pero se busca comprobarlos con otras herramientas

que nos ayudan a comprender el funcionamiento físico del mecanismo.

Análisis de Posición

Para el cálculo de la posición, se declaran las condiciones iniciales del sistema, es

decir, la longitud de los eslabones, las distancias en X y Y de los pivotes y el

ángulo inicial del sistema aplicado en “r2”.

Se plantea el sistema de ecuaciones del sistema, una por cada variable, en este

caso las variables son Ɵ3, Ɵ4, Ɵ5 y r6x. Esta última representa la distancia en x

del vector “r6”.

Una vez obtenido el sistema de ecuaciones, se procede a resolverlo utilizando el

comando “FindRoot”, especificando los valores de las ecuaciones, las incógnitas y

sus valores iniciales de las mismas para que de ahí comience a buscar la solución

y encontrar el punto donde convergen.

Éstos son los valores de solución para el sistema cuando “q=300°=5xPi/2”.

Se comparan los resultados arrojados por Mathematica con los obtenidos

anteriormente en working model.

Los resultados son casi idénticos, se tienen variaciones por la misma

configuración del sistema, o tal vez la aproximación no es del todo buena.

Análisis de Velocidad.

Aquí es donde se aplica el método matricial, ya que se obtienen las matrices de

parámetros de velocidad del sistema como sigue:

Para comenzar, se definen el sistema de ecuaciones y dos vectores, “F” el cual

contiene las ecuaciones y “S” el cual contiene las variables de las ecuaciones.

Se procede a obtener el jacobiano del sistema y la inversa.

Para obtener la matriz “Ks”, es necesario obtener la derivada del vector “F” con

respecto a “q”, obteniendo el siguiente resultado:

Una vez obtenida la matriz de parámetros de velocidad, se establecen las

condiciones iniciales del sistema, así como la velocidad, en este caso “qp=2rad/s”,

también, usando los valores de las posiciones obtenidos anteriormente.

Se obtienen los siguientes resultados para las velocidades y se comparan con los

obtenidos en Working Model.

Se observa que los valores se parecen mucho, pero tienen pequeñas variaciones

debido a que los elementos del sistema son pequeños y por los resultados

similares obtenidos en el análisis de posición.

Método de Algebra Compleja

Para realizar el análisis por el método de algebra compleja se utilizaron las

medidas de índex 1 aumentadas 10 veces para mejorar la precisión, como ángulo

se tomó Pi/3 y como velocidad 2rad/s

r2 r3 r4 r5 r7 lA lB lC 𝜃2 𝜃2𝑝

1.2m 4.5m 1.8m 3m 1.8m 1.5m 4.5m 1.4m Pi/3 2rad/s

Análisis mediante WORKING MODEL para el método de

algebra compleja.

Posición mediante Algebra Compleja

Empezamos estableciendo nuestras bases y parámetros de rotación

Establecemos la dirección de nuestros vectores

A continuación lo desarrollamos en Mathemática de la siguiente manera:

Declaramos la función de rotación, las constantes que nos servirán para el análisis

y con la función ClearAll borramos los datos de las variables cada que el programa

se ejecute

Declaramos los parámetros de rotación y establecemos las bases usando la función

declarada en el principio

Declaramos los vectores y mediante las ecuaciones del lazo 1 y el lazo 2 creamos

el sistema de funciones que al resolver nos desplegara los resultados

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑧𝑜 1

𝑏2 − 𝑏3 − 𝑏4 − 𝑏𝑓1 = {0,0}

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑧𝑜 2

𝑏7 − 𝑏5 − 𝑏𝑓2 = {0,0}

Mediante FindRoot encontramos la solución al sistema de ecuaciones y guardamos

las respuestas para el análisis de velocidad

Con el siguiente código desplegamos los resultados que se mostraran al finalizar el

análisis de posición y el de velocidad

Velocidad mediante Algebra Compleja

Analizamos las velocidades y proponemos los parámetros de velocidad en

Mathemática y creamos los vectores de velocidad con los cuales formaremos

nuestro sistema de ecuaciones a resolver

Resolvemos usando el comando de FindRoot y guardamos las respuestas para

desplegarlas

Con el siguiente código desplegamos los resultados

Evaluación de programa

Al evaluar nuestro código obtenemos los siguientes resultados que al comparar con

Working Model la diferencia mayor es de 0.001 por el método numérico que utiliza

este programa

Conclusiones.

Eros Efrén Hipólito Méndez

Al realizar el análisis de los lazos pude notar que el resolver un mecanismo multilazo

no es más difícil que resolver dos mecanismos de un lazo diferentes, agregando

una correspondencia o dependencia entre una medida, en el caso de nuestro

mecanismo, el lazo 2 depende del lazo 1 mediante el ángulo de giro y velocidad

transmitidos por las barras que se conectan (b4 y b7).

En el método de algebra compleja el signo del ángulo lo da el seno del parámetro

de rotación.

Luis Eduardo Campos Jardon

Para este mecanismo, nos resultó problemático asignar los vectores dentro del mecanismo, por eso se optó por hacer un espejo del sistema, para que a la hora de trabajarlo, las medidas negativas no afectara, también la ubicación del segundo pivote se volvía problemática a la hora de realizar el acoplamiento del sistema, ya que la superposición de los dos mecanismos que están unidos si daba el resultado correcto, pero cuando se buscaba la solución de todo el sistema, no eran resultados correctos. Otra de las problemáticas que se obtuvo fue considerar los “offsets” que poseen los pivotes, y el eje de acción de la biela. A veces se encontraban problemas de singularidades en el mecanismo, cuando el cálculo iterativo pasaba por Pi/2, parecía que de indeterminaba el sistema y sólo desplegaba ese valor. Observamos que el mecanismo posee diferentes singularidades, ya que contiene las del mecanismo de 4 barras y las del mecanismo de biela manivela.