Práctica 4 Solución 2012-1

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    Pontificia Universidad Católica del PerúEstudios Generales Ciencias

    Introducción a la Matemática UniversitariaPráctica No. 4

    Semestre académico 2012  –  1

    INSTRUCCIONES  La práctica es sin libros, ni apuntes ni calculadoras.   No se permite el uso de correctores líquidos.  Duración: 2 horas 

    Pregunta 1

    Sea  f   una función polinómica de grado 3. Se sabe que dos de sus raíces o ceros son 2 y  –   3 . Si su

    gráfica pasa por el origen de coordenadas y por el punto  

      

     21;

    2

    1  , determine la regla de

    correspondencia de  f y esboce su gráfica. [4 p.] 

    Pregunta 3 

    Sea  f  definida por3

    32)(

     x

     x x f   ; para 2; x  

    a) Demuestre analíticamente (usando la definición) que f es inyectiva. [2 p.]  b) Halle el rango de  f    [1 p.] 

    c) Halle la regla de correspondencia de la función   1 f     [1 p.] 

    Pregunta 3

    Un agricultor dispone de 200 metros de malla metálica.Utilizando toda esta malla el agricultor desea delimitar unespacio de terreno en forma rectangular, colindante con un río(uno de los lados no necesita cerco)

    a)  Exprese el área del terreno en función de la longitud de unode sus lados. [2 p.] 

     b)  Grafique la función obtenida. [1 p.] c)  Hallar las dimensiones del terreno área máxima. [1 p.] 

    Pregunta 4

    Dada  f   definida por:

    112;3

    20;2

    1

    0;12

    )(

    3  x si x

     x si x

     x si

     x f  

     x

     

    Grafique la función  f   y determine su rango. [4 p.] 

    CONTINÚA …. 

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    Pregunta 5

    Sea  f   definida por:

    25;)(

    20;)(

    52;3

    02;22

    3

    )(

     x si x B

     x si x A

     x si

     x si x

     x f    

    Si  f   es una función par, con 5;5)(    f   Dom :

    a)  Halle las expresiones )( x A   y )( x B   [2 p.]  b)  Grafique la función  f    [2 p.] 

    Evaluación elaborada por los profesores del curso.Coordinador de Práctica: Prof. José Henostroza Gamboa

     Lima, 12 de junio de 2012.

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    SOLUCIONES

    Pregunta 1

    Sea  f   una función polinómica de grado 3. Se sabe que dos de sus raíces o ceros son 2 y  –   3 . Si su

    gráfica pasa por el origen de coordenadas y por el punto  

     

     

     21;

    2

    1  , determine la regla de

    correspondencia de  f y esboce su gráfica. [4 p.] 

    SOLUCIÓN

      De los datos, la regla de correspondencia de f  es de la forma )3)(2()(     x xax x f    

      Como además la gráfica de f  pasa por el punto  

      

     21;

    2

    1:

    8)8(2121212

    7

    2

    3

    2

    12132

    122

    1

    2

    1212

    1

     

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

      

     aaaa f    

      La función es )3)(2(8)(     x x x x f    

    A partir de la información se puede esbozar la siguiente gráfica:

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    Pregunta 2 

    Sea  f  definida por3

    32)(

     x

     x x f   ; para 2; x  

    a) Demuestre analíticamente (usando la definición) que f es inyectiva. [2 p.] 

    SOLUCIÓN

      Se debe demostrar que: bab f  a f   f   Domba     )()(:)(,  

      Sean a y b en 2;  

    ba

    ba

    ababbaab

    abba

    b

    b

    a

    ab f  a f  

    99

    93629362

    )3)(32()3)(32(

    3

    32

    3

    32)()(

     

     b) Halle el rango de  f    [1 p.] 

    SOLUCIÓN

      Gráficamente

    3

    92

    3

    32)(

     x x

     x x f    

    Graficamos f  aplicando sucesivamenteuna traslación horizontal seguida de unestiramiento vertical y una traslación

    vertical, a partir de la función x

     x g    1)(    

    Tomando valores 2; x  x …  -1 0 1 2f(x) …  -1/4 -1 -5/2 -7

    Se observa que 2;7)(    f   Ran  

      Analíticamente:

      239

    2703

    9

    903

    1

    11322;    x x x x x x  De modo que 2;7)(    f   Ran  

    c) Halle la regla de correspondencia de la función   1 f     [1 p.] 

    SOLUCIÓN

      Tenemos )( x f   y  , donde3

    32

     x

     x y  

      Despejando x: 2

    3333)2(3233

    32

     y

     y x y x y x y yx x

     x y ; donde )(1  y f   x

     

     

      Cambiando x por y:2

    33)(

    1

     x

     x x f    

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    Pregunta 3

    Un agricultor dispone de 200 metros de malla metálica.Utilizando toda esta malla el agricultor desea delimitar unespacio de terreno en forma rectangular, colindante con un río(uno de los lados no necesita cerco)

    a)  Exprese el área del terreno en función de la longitud de unode sus lados. [2 p.] 

     b)  Grafique la función obtenida. [1 p.] c)  Hallar las dimensiones del terreno área máxima. [1 p.] 

    SOLUCIÓN

    a)

      Sea  A el área del terreno rectangular de dimensiones a y x,

    según la figura. Entonces a x A   .    Pero 2002   a x , de donde  xa   2200  

      Así, el área en función de x es:

     x x x A   2200)(   , o equivalentemente  x x x A   2002)(   2  

     para 100;0 x  

     b)

      El vértice de la gráfica de A(x) es V(h;k) donde:

    50)2(2

    200

    2 a

    b

    h  5000))2(50200(50)50(    Ak   

      La gráfica comienza en (0;0) y termina en (100;0)

    c)

    Las dimensiones del terreno de área máxima son:

      .50mh x    

      .100)50(2200   ma    

    a

    x x

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    Pregunta 4

    Dada  f   definida por:

    112;3

    20;

    2

    1

    0;12

    )(

    3  x si x

     x si

     x

     x si

     x f  

     x

     

    Grafique la función  f   y determine su rango. [4 p.] 

    SOLUCIÓN

    Podemos usar las transformaciones de gráficas de funciones.

    Tramo 1 x

    2   x

    2   12    x

      0,12  

     x si x

     

    Tramo 2

     x

    2

    1

     x  20,

    2

    1

      x si

     x 

    Tramo 33  x   3 3 x   112,33   x si x  

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      La gráfica de f  es:

      El rango de f   es IR.

    Pregunta 5

    Sea  f   definida por:

    25;)(

    20;)(

    52;3

    02;22

    3

    )(

     x si x B

     x si x A

     x si

     x si x

     x f    

    Si  f   es una función par, con 5;5)(    f   Dom :

    a)  Halle las expresiones )( x A   y )( x B   [2 p.] 

    SOLUCIÓN

      Como f  es función par, se tiene que: 5;5;)()(     x x f   x f    

      Para 20    x :

    22

    3)(2)(

    2

    3)(0220     x x f   x x f   x x . Así 2

    2

    3)(     x x A  

      Para 25     x :

    3)(3)(5225     x f   x f   x x . Así 3)(    x B  

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     b)  Grafique la función  f    [2 p.] 

    SOLUCIÓN

    La regla de correspondencia de f  es:

    25;3

    20;22

    3

    52;3

    02;22

    3

    )(

     x si

     x si x

     x si

     x si x

     x f    

    La gráfica de f  es:

    Evaluación elaborada por los profesores del curso.Coordinador de Práctica: Prof. José Henostroza Gamboa

     Lima, 12 de junio de 2012.