8/19/2019 Práctica 4 Solución 2012-1

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Pontificia Universidad Católica del PerúEstudios Generales Ciencias

Introducción a la Matemática UniversitariaPráctica No. 4

Semestre académico 2012  –  1

INSTRUCCIONES  La práctica es sin libros, ni apuntes ni calculadoras.   No se permite el uso de correctores líquidos.  Duración: 2 horas 

Pregunta 1

Sea  f   una función polinómica de grado 3. Se sabe que dos de sus raíces o ceros son 2 y  –   3 . Si su

gráfica pasa por el origen de coordenadas y por el punto  

  

 21;

2

1  , determine la regla de

correspondencia de  f y esboce su gráfica. [4 p.] 

Pregunta 3 

Sea  f  definida por3

32)(

 x

 x x f   ; para 2; x  

a) Demuestre analíticamente (usando la definición) que f es inyectiva. [2 p.]  b) Halle el rango de  f    [1 p.] 

c) Halle la regla de correspondencia de la función   1 f     [1 p.] 

Pregunta 3

Un agricultor dispone de 200 metros de malla metálica.Utilizando toda esta malla el agricultor desea delimitar unespacio de terreno en forma rectangular, colindante con un río(uno de los lados no necesita cerco)

a)  Exprese el área del terreno en función de la longitud de unode sus lados. [2 p.] 

 b)  Grafique la función obtenida. [1 p.] c)  Hallar las dimensiones del terreno área máxima. [1 p.] 

Pregunta 4

Dada  f   definida por:

112;3

20;2

1

0;12

)(

3  x si x

 x si x

 x si

 x f  

 x

 

Grafique la función  f   y determine su rango. [4 p.] 

CONTINÚA …. 

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Pregunta 5

Sea  f   definida por:

25;)(

20;)(

52;3

02;22

3

)(

 x si x B

 x si x A

 x si

 x si x

 x f    

Si  f   es una función par, con 5;5)(    f   Dom :

a)  Halle las expresiones )( x A   y )( x B   [2 p.]  b)  Grafique la función  f    [2 p.] 

Evaluación elaborada por los profesores del curso.Coordinador de Práctica: Prof. José Henostroza Gamboa

 Lima, 12 de junio de 2012.

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SOLUCIONES

Pregunta 1

Sea  f   una función polinómica de grado 3. Se sabe que dos de sus raíces o ceros son 2 y  –   3 . Si su

gráfica pasa por el origen de coordenadas y por el punto  

 

 

 21;

2

1  , determine la regla de

correspondencia de  f y esboce su gráfica. [4 p.] 

SOLUCIÓN

  De los datos, la regla de correspondencia de f  es de la forma )3)(2()(     x xax x f    

  Como además la gráfica de f  pasa por el punto  

  

 21;

2

1:

8)8(2121212

7

2

3

2

12132

122

1

2

1212

1

 

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

 aaaa f    

  La función es )3)(2(8)(     x x x x f    

A partir de la información se puede esbozar la siguiente gráfica:

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Pregunta 2 

Sea  f  definida por3

32)(

 x

 x x f   ; para 2; x  

a) Demuestre analíticamente (usando la definición) que f es inyectiva. [2 p.] 

SOLUCIÓN

  Se debe demostrar que: bab f  a f   f   Domba     )()(:)(,  

  Sean a y b en 2;  

ba

ba

ababbaab

abba

b

b

a

ab f  a f  

99

93629362

)3)(32()3)(32(

3

32

3

32)()(

 

 b) Halle el rango de  f    [1 p.] 

SOLUCIÓN

  Gráficamente

3

92

3

32)(

 x x

 x x f    

Graficamos f  aplicando sucesivamenteuna traslación horizontal seguida de unestiramiento vertical y una traslación

vertical, a partir de la función x

 x g    1)(    

Tomando valores 2; x  x …  -1 0 1 2f(x) …  -1/4 -1 -5/2 -7

Se observa que 2;7)(    f   Ran  

  Analíticamente:

  239

2703

9

903

1

11322;    x x x x x x  De modo que 2;7)(    f   Ran  

c) Halle la regla de correspondencia de la función   1 f     [1 p.] 

SOLUCIÓN

  Tenemos )( x f   y  , donde3

32

 x

 x y  

  Despejando x: 2

3333)2(3233

32

 y

 y x y x y x y yx x

 x y ; donde )(1  y f   x

 

 

  Cambiando x por y:2

33)(

1

 x

 x x f    

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Pregunta 3

Un agricultor dispone de 200 metros de malla metálica.Utilizando toda esta malla el agricultor desea delimitar unespacio de terreno en forma rectangular, colindante con un río(uno de los lados no necesita cerco)

a)  Exprese el área del terreno en función de la longitud de unode sus lados. [2 p.] 

 b)  Grafique la función obtenida. [1 p.] c)  Hallar las dimensiones del terreno área máxima. [1 p.] 

SOLUCIÓN

a)

  Sea  A el área del terreno rectangular de dimensiones a y x,

según la figura. Entonces a x A   .    Pero 2002   a x , de donde  xa   2200  

  Así, el área en función de x es:

 x x x A   2200)(   , o equivalentemente  x x x A   2002)(   2  

 para 100;0 x  

 b)

  El vértice de la gráfica de A(x) es V(h;k) donde:

50)2(2

200

2 a

b

h  5000))2(50200(50)50(    Ak   

  La gráfica comienza en (0;0) y termina en (100;0)

c)

Las dimensiones del terreno de área máxima son:

  .50mh x    

  .100)50(2200   ma    

a

x x

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Pregunta 4

Dada  f   definida por:

112;3

20;

2

1

0;12

)(

3  x si x

 x si

 x

 x si

 x f  

 x

 

Grafique la función  f   y determine su rango. [4 p.] 

SOLUCIÓN

Podemos usar las transformaciones de gráficas de funciones.

Tramo 1 x

2   x

2   12    x

  0,12  

 x si x

 

Tramo 2

 x

1 

2

1

 x  20,

2

1

  x si

 x 

Tramo 33  x   3 3 x   112,33   x si x  

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  La gráfica de f  es:

  El rango de f   es IR.

Pregunta 5

Sea  f   definida por:

25;)(

20;)(

52;3

02;22

3

)(

 x si x B

 x si x A

 x si

 x si x

 x f    

Si  f   es una función par, con 5;5)(    f   Dom :

a)  Halle las expresiones )( x A   y )( x B   [2 p.] 

SOLUCIÓN

  Como f  es función par, se tiene que: 5;5;)()(     x x f   x f    

  Para 20    x :

22

3)(2)(

2

3)(0220     x x f   x x f   x x . Así 2

2

3)(     x x A  

  Para 25     x :

3)(3)(5225     x f   x f   x x . Así 3)(    x B  

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 b)  Grafique la función  f    [2 p.] 

SOLUCIÓN

La regla de correspondencia de f  es:

25;3

20;22

3

52;3

02;22

3

)(

 x si

 x si x

 x si

 x si x

 x f    

La gráfica de f  es:

Evaluación elaborada por los profesores del curso.Coordinador de Práctica: Prof. José Henostroza Gamboa

 Lima, 12 de junio de 2012.