Práctica 4. Diferenciabilidad de funciones de varias...

Práctica 4. Diferenciabilidad defunciones de varias variables.Plano tangente.

Análisis Matemático II. Departamento de Matemáticas.Diplomatura en Estadística / Ingeniería Técnica de Informática de Gestión

1.- DIFERENCIABILIDAD

Ejemplo 1. Función con derivadas parciales en (0,0) pero que no es diferenciable en (0,0).In[1]:= Clear@"Global`∗"D

f@x_, y_D :=x^2 y

x^2 + y^2

In[3]:= grafica = Plot3D@f@x, yD, 8x, −1, 1<, 8y, −1, 1<D

Out[3]=

En la gráfica se observa que en el origen la gráfica tiene un "pico" por lo que no existe su plano tangente y por tanto no esdiferenciable en (0,0). Veamos sin embargo que las derivadas parciales existen:

In[4]:= planoy = ContourPlot3D@y 0, 8x, −1, 1<, 8y, −1, 1<, 8z, −1, 1<D

Out[4]=

In[5]:= Show@grafica, planoyD

Out[5]=

2 Practica4_Diferenciacion.nb

In[6]:= Plot@f@x, 0D, 8x, −2, 2<, PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D, [email protected]<D

Out[6]=-2 -1 1 2

-1.0

-0.5

0.5

1.0

La intersección es la curva constante igual a 0. Por tanto ∑x f H0, 0L = 0 porque es el valor de la derivada de esta curva enel punto x=0.

In[7]:= planox = ContourPlot3D@x 0, 8x, −1, 1<, 8y, −1, 1<, 8z, −1, 1<D

Out[7]=

Practica4_Diferenciacion.nb 3

In[8]:= Show@grafica, planoxD

Out[8]=

In[9]:= Plot@f@0, yD, 8x, −2, 2<, PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D, [email protected]<D

Out[9]=-2 -1 1 2

-1.0

-0.5

0.5

1.0

La intersección es la curva constante igual a 0. Por tanto ∑y f H0, 0L = 0 porque es el valor de la derivada de esta curva enel punto y=0.

Ejemplo 2. Función con derivadas parciales en (0,0) pero que no es continua en (0,0) (y por tanto tampoco es diferenciable en (0,0)).In[10]:= Clear@"Global`∗"D

f@x_, y_D :=−3 x y

x^2 + y^2


In[12]:= grafica = Plot3D@f@x, yD, 8x, −1, 1<, 8y, −1, 1<D

Out[12]=

In[13]:= Limit@f@x, m ∗ xD, x → 0D

Out[13]= −3 m

1 + m2

En la gráfica se observa que en el origen f(x,y) no es continua. Además usando límites direccionales hemos comprobadoque no existe el límite de la función en el origen . Veamos sin embargo que las derivadas parciales existen:

In[14]:= planoy = ContourPlot3D@y 0, 8x, −1, 1<, 8y, −1, 1<, 8z, −1, 1<D

Out[14]=


In[15]:= Show@grafica, planoyD

Out[15]=

In[16]:= Plot@f@x, 0D, 8x, −2, 2<, PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D, [email protected]<D

Out[16]=-2 -1 1 2

-1.0

-0.5

0.5

1.0

La intersección es la curva constante igual a 0. Por tanto ∑x f H0, 0L = 0 porque es el valor de la derivada de esta curva enel punto x=0.


In[17]:= planox = ContourPlot3D@x 0, 8x, −1, 1<, 8y, −1, 1<, 8z, −1, 1<D

Out[17]=

In[18]:= Show@grafica, planoxD

Out[18]=


In[19]:= Plot@f@0, yD, 8x, −2, 2<, PlotStyle → 8RGBColor@1, 0, 0D, [email protected]<D

Out[19]=-2 -1 1 2

-1.0

-0.5

0.5

1.0

La intersección es la curva constante igual a 0. Por tanto ∑y f H0, 0L = 0 porque es el valor de la derivada de esta curva enel punto y=0.

2.- PLANO TANGENTECuando una función f(x,y) es diferenciable en un punto (a,b) entonces la función admite un plano tangente en dicho puntocuya ecuación viene dada por

f Ha, bL + ∂x f Ha, bL ∗ Hx − aL + ∂y f Ha, bL ∗ Hy − bL

Entonces para valores de (x,y) cercanos al punto (a,b) podemos aproximar el valor de la función por el valor de su planotangente

f Hx, yL ≈ f Ha, bL + ∂x f Ha, bL ∗ Hx − aL + ∂y f Ha, bL ∗ Hy − bL

y el incremento de la función puede aproximarse por la diferencial

f Hx, yL − f Ha, bL ≈ ∂x f Ha, bL ∗ Hx − aL + ∂y f Ha, bL ∗ Hy − bL


Ejemplo 3. Representa la gráfica de f(x,y)=x2+ y2 y su plano tangente en (1/2,0).In[20]:= Clear@"Global`∗"D

f@x_, y_D := x^2 + y^2grafica = Plot3D@f@x, yD, 8x, 0, 1<, 8y, −1, 1<D

Out[22]=

Calculamos las derivadas parciales.

In[23]:= ∂x f@x, yD

Out[23]= 2 x

In[24]:= ∂y f@x, yD

Out[24]= 2 y

Como son continuas sabemos que la función es diferenciable y por tanto tiene plano tangente. Vamos a calcular suecuación

In[25]:= ∂x f@x, yD ê. 8x → 1ê 2, y → 0<

Out[25]= 1

In[26]:= ∂y f@x, yD ê. 8x → 1ê 2, y → 0<

Out[26]= 0

In[27]:= planotangente@x_, y_D := f@1ê2, 0D + 1 ∗ Hx − 1ê2L + 0 ∗ Hy − 0LPrint@"El plano tangente es ", z == planotangente@x, yDD

El plano tangente es z −1

4+ x


In[29]:= plantang = Plot3D@planotangente@x, yD, 8x, 0, 1<, 8y, −1, 1<D

Out[29]=

In[30]:= Show@grafica, plantangD

Out[30]=


Ejemplo 4. Representa la gráfica de f(x,y)=senHxL- senHyL y su plano tangente en ( p2 , 3 p

2 ).

In[31]:= Clear@"Global`∗"Df@x_, y_D := Sin@xD − Sin@yDPlot3D@f@x, yD, 8x, −2 π, 2 π<, 8y, −2 π, 2 π<D

Out[33]=

In[34]:= a = 0.01; grafica = Plot3D@f@x, yD, 8x, π ê 2 − a, π ê 2 + a<, 8y, 3 π ê2 − a, 3 π ê2 + a<D

Out[34]=

Calculamos las derivadas parciales.

In[35]:= ∂x f@x, yD

Out[35]= Cos@xD

In[36]:= ∂y f@x, yD

Out[36]= −Cos@yD

Como son continuas sabemos que la función es diferenciable y por tanto tiene plano tangente. Vamos a calcular suecuación


In[37]:= ∂x f@x, yD ê. 8x → π ê 2, y → 3 π ê2<

Out[37]= 0

In[38]:= ∂y f@x, yD ê. 8x → π ê2, y → 3 π ê2<

Out[38]= 0

In[39]:= planotangente@x_, y_D := f@π ê 2, 3 π ê2D + 0 ∗ Hx − π ê2L + 0 ∗Hy − 3 π ê2LPrint@"El plano tangente es ", planotangente@x, yDD

El plano tangente es 2

In[41]:= plantang := Plot3D@planotangente@x, yD, 8x, π ê2 − a, π ê2 + a<, 8y, 3 π ê 2 − a, 3 π ê 2 + a<D

Representamos las gráficas de la función y de su plano tangente cerca del punto ( p2 , 3 p2 )

In[42]:= Show@grafica, plantangD

Out[42]=

Si las representamos suficientemente cerca del punto ( p2 , 3 p2 ) el plano tangente resulta indistinguible de la gráfica de la

función.

Ejemplo 5. La resistencia total R de dos resistenciasconectadas en paralelo es 1/R=1/R1+1/R2. Aproximar elcambio en R cuando R1 incrementa de 10 ohms a 10.5 ohms yR2 decrece de 15 ohms a 13 ohms.In[43]:= Clear@"Global`∗"D

r@r1_, r2_D :=1

1r1

+ 1r2

Valor exacto del incremento:


In[45]:= [email protected], 13D − r@10, 15D

Out[45]= −0.191489

Valor aproximado usando la diferencial: ∂r1 r Ha, bL ∗ Hr1 − aL + ∂r2 r Ha, bL ∗ Hr2 − bL

In[46]:= ∂r1 r@r1, r2D

Out[46]=1

r12 I 1r1

+ 1r2M2

In[47]:= ∂r2 r@r1, r2D

Out[47]=1

I 1r1

+ 1r2M2

r22

In[48]:= ∂r1 r@r1, r2D ê. 8r1 → 10, r2 → 15<

Out[48]=9

25

In[49]:= ∂r2 r@r1, r2D ê. 8r1 → 10, r2 → 15<

Out[49]=4

25

In[50]:=9

25∗H10.5 − 10L +

4

25∗ H13 − 15L

Out[50]= −0.14

3.- Ejercicios propuestos

Ejercicio 1. Calcular el plano tangente a la gráfica de f(x,y)=x+sen(x y) en el punto (0,0). Representarlos gráficamente.

Ejercicio 2. Dibujar la gráfica de f(x,y)=-x y „-x2-y2 y de su

plano tangente en el punto (0.7,-0.7). Después acercarse hasta que la gráfica y el plano tangente no puedan distinguirse.

Ejercicio 3. Usar la diferencial total para aproximar la cantidad sen(1.052+0.952)-sen(1+1)


Ejercicio 4. Evaluar f(1,2) y f(1.05,2.1) y calcular Dz. A continuación utilizar la diferencial dz para aproximar el incremento Dz:

ü (a) z=f(x,y)= x 2 + y2

ü (b) z=f(x,y)=x ey

Ejercicio 5. El radio y la altura de un cono circular recto miden 10 cm y 25 cm, respectivamente, con un error máximo en la medición de 0.1 cm para cada medida. Utilizar la diferencial para estimar el error máximo cometido al calcular el volumen del cono.


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