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Pontificia Universidad Católica del Perú Estudios Generales Ciencias

Introducción a la Matemática Universitaria

Solución de la Práctica No. 1 Semestre académico 2012 – 1

INSTRUCCIONES � La práctica es sin libros, ni apuntes ni calculadoras. � No se permite el uso de correctores líquidos. � Duración: 2 horas

Pregunta 1

Analice la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones, justificando sus respuestas:

a) Si ] ]4;5 )2( −∈−x , entonces

∞−∈

++

9

13;

3

12

x

x. [2 p.]

b) Si 56

4≥

− b, entonces el conjunto solución de la inecuación en x: bxxx +<−<− 334212

es vacío. [2 p.]

Pregunta 2

a) Dado un número real a distinto de 1 y de -1, se definen los números reales x, y, A, B:

x = )1)(1( +− aa , )1)(1( 42 −+= aay ,

A = 4)1()1)(1()1( 244424 −++−++− aaaa , B = 22 4 −+ axy . Halle B

A. [1,5 p.]

b) Dada la ecuación cuadrática en x : 0)2(2)2( 2222 =−++− mxmxm , determine los valores de m tales que

dicha ecuación tenga dos soluciones reales iguales. [1,5 p.] Pregunta 3

a) Si los trinomios ( )83 2 +− axx y ( )63 2 −+ bxx tienen como factor común a ( )cx − , halle el valor de

( )cba + [1,5 p.]

b) Para n entero positivo, simplifique: 23

42

55

55−−

−−

−−

=nn

nn

E [1,5 p.]

Pregunta 4

Halle el conjunto solución en los números reales de:

a) 0)5)(2(

)3)(12(2

22

≤+−+−−+

xxx

xxxx [2 p.]

b) 113

1>

+−

+

x

x [3 p.]

CONTINÚA…

2 de 7

Pregunta 5

a) Racionalice el denominador en: 24

23 +

[2 p.]

b) Halle el conjunto solución en los números reales de: 34

4−≥

+−

xx

x. [3 p.]

Evaluación elaborada por los profesores del curso.

Coordinador de práctica: José Henostroza G.

Lima, 10 de abril de 2012.

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Pontificia Universidad Católica del Perú Estudios Generales Ciencias

Introducción a la Matemática Universitaria

Solución de la Práctica No. 1 Semestre académico 2012 – 1

Pregunta 1

Analice la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones, justificando sus respuestas:

a) Si ] ]4;5 )2( −∈−x , entonces

∞−∈

++

9

13;

3

12

x

x. [2 p.]

SOLUCIÓN

� Dividiendo: 3

52

3

5

3

)3(2

3

12

+−=

+−

+++

=++

xxx

x

x

x

� ] ]4;5 )2( −∈−x ⇒ 425 ≤−<− x

⇒ 63 ≤<− x ⇒ 930 ≤+< x

⇒9

1

3

1≥

+x

⇒9

5

3

5−≤

+−x

⇒9

13

3

52 ≤

+−x

⇒

∞−∈

++

9

13;

3

12

x

x

� Por tanto, la proposición es VERDADERA.

b) Si 56

4≥

− b, entonces el conjunto solución de la inecuación en x: bxxx +<−<− 334212

es vacío. [2 p.]

SOLUCIÓN

� Resolviendo la doble desigualdad: bxxx +<−<− 334212 ⇔ )34212( xx −<− ∧ )334( bxx +<−

⇔ )5( <x ∧

<−

xb

6

4

⇔ )5( <x ∧

−>

6

4 bx

� Luego, si 56

4≥

− b, se tiene que φ=CS

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Pregunta 2

a) Dado un número real a distinto de 1 y de -1, se definen los números reales x, y, A, B:

x = )1)(1( +− aa , )1)(1( 42 −+= aay ,

A = 4)1()1)(1()1( 244424 −++−++− aaaa , B = 22 4 −+ axy . Halle B

A. [1,5 p.]

SOLUCIÓN � Simplificando A mediante productos notables: A = [ ] 4)1)(1()1()1( 442424 −−++++− aaaa

= ( ) 4)1(12 88 −−++ aa

= 4122 88 −−++ aa = 18 −a � Simplificando B mediante productos notables: B = 22 4 −+ axy

= )1)(1( +− aa )1)(1( 42 −+ aa 22 4 −+ a

= )1( 2 −a )1)(1)(1( 222 +−+ aaa 22 4 −+ a

= 222 ))1)(1(( −+ aa 22 4 −+ a

= 24 )1( −a )1(2 4 −+ a = )1( 4 −a ( )1( 4 −a +2)

= )1( 4 −a )1( 4 +a = 18 −a .

� Luego, B

A = 1

1

18

8

=−−

a

a

b) Dada la ecuación cuadrática en x : 0)2(2)2( 2222 =−++− mxmxm , determine los valores de m tales que

dicha ecuación tenga dos soluciones reales iguales. [1,5 p.] SOLUCIÓN � La ecuación tendrá dos soluciones reales iguales, si su discriminante es igual a cero. Es decir,

( )( ) 0224)2( 2222 =−−− mmm .

� ( )( ) ( ) 01616044440224)2( 22442222 =−↔=+−−↔=−−− mmmmmmm

0)1(16 2 =−↔ m

� Luego, .11 −=∨= mm

5 de 7

Pregunta 3

a) Si los trinomios ( )83 2 +− axx y ( )63 2 −+ bxx tienen como factor común a ( )cx − , halle el valor de

( )cba + [1,5 p.] SOLUCIÓN

� Usando la factorización por aspa para ( )83 2 +− axx : x c−

x3

c

8−

Se tiene que: ( ) axcxxc

−=−

− 38

, de donde acc

−=−− 38

. De ello: 238 cac += … (I)

� Usando la factorización por aspa para ( )63 2 −+ bxx : x c−

x3

c

6

Se tiene que: ( ) bxcxxc

=−

3

6, de donde bc

c=− 3

6. De ello: 236 cbc −= … (II)

� Sumando (I) y (II): 14=+ bcac . De donde ( ) 14=+ cba

b) Para n entero positivo, simplifique: 23

42

55

55−−

−−

−−

=nn

nn

E [1,5 p.]

SOLUCIÓN

( )( )

( )( ) ( )5

656

4

2455

515

155

55

55 1343

24

23

42

−=−=

−

=−−

=−−

= −+−−−

−

−−

−−nn

n

n

nn

nn

E

Pregunta 4

Halle el conjunto solución en los números reales de:

a) 0)5)(2(

)3)(12(2

22

≤+−+−−+

xxx

xxxx [2 p.]

SOLUCIÓN

� )3)(4(122 −+=−+ xxxx

� 2

19

2

15

22 +

−=+− xxx . De ello (u observando que su discriminante es negativo), 052 >+− xx ,

para todo x.

� La inecuación equivale a: 02

)3)(4( 22

≤+

−+x

xxx

� Haciendo la tabla de signos correspndiente: [ [ { }3;02;4 ∪−−=CS

6 de 7

b) 113

1>

+−

+

x

x [3 p.]

SOLUCIÓN

� Como 013 >+−x , para todo x, la inecuación equivale a: 131 +−>+ xx

� Trabajando por zonas con los valores de referencia -1 y 3:

φ∈

>−

++−>−−

+−−>+−

x

xx

xx

05

131

1)3()1(

φ=IIICS

2

3

131

1)3()1(

>

++−>+

+−−>+

x

xx

xx

312

3: <≤−∧> xxCSII

= 3;2

3IICS

IRx

xx

∈

−>

+−>+

30

1)3()1(

3: ≥∧∈ xIRxCSI

[ [+∞= ;3ICS

Luego:

+∞=∪∪= ;2

3IIIIII CSCSCSCS

Pregunta 5

a) Racionalice el denominador en: 24

23 +

[2 p.]

SOLUCIÓN

( )

( )

( )( )

( )( )4

416216.24

816

416216.242

416216

416216.

216

242

216

242

24

24.24

2

24

2

33 23

33 23

33 2

33 2

3

3

3

3

3

3

33

++−=

−++−

=

++

++−−

=

−−

=

−−

+=

+

b) Halle el conjunto solución en los números reales de: 34

4−≥

+−

xx

x. [3 p.]

Caso I: 3≥x Caso II: 31 <≤− x Caso III: 1−<x

3 -1

7 de 7

SOLUCIÓN � Hallando el conjunto solución de existencia (restricciones):

( ) 40044004

400

4

4≤≤↔≥∧≤<−↔

≥∧≥+−

↔

≥∧≥+−

xxxxx

xx

x

x.

Luego [ ]4;0=ExistenciaCS

� A continuación:

03:2Caso03:1Caso ≥−∨<− xx Es decir: 9:2Caso9:1Caso ≥∨< xx

� Notemos que según la condición de existencia, el caso 9≥x no se da. � Así: [ ] 94;0 <∧∈ xx

Luego, [ ]4;0== ExistenciaCSCS

Evaluación elaborada por los profesores del curso.

Coordinador de práctica: José Henostroza G.

Lima, 10 de abril de 2012.