Objetivos

Profundizarenlacomprensindelconceptodeintegracin. Aplicarlaintegralalclculodereasyvolmenes

ComandosdeMatlabint Calculademanerasimblicalaintegralindefinidadeunafuncin. Ejemplo:

syms x int(x^2/(x^6-8))

rsums AproximalaintegraldefmediantesumasdeRiemannyrealizaunarepresentacin grficadelosrectngulos. Ejemplo:

syms x rsums exp(-x^2)

1reaentredoscurvas:ConsiderarlareginAcomprendidaentrelaparbola 23x y ylarecta 1y x .a)Calcular

a.1)unaaproximacindelreadeAmediantereasderectngulosverticalesa.2)elvalordelreadelareginAintegrandorespectodex

b)Calcularb.1)unaaproximacindelreadeAmediantereasderectngulos

Prcticas Matlab

PRCTICA APLICACIONES DE LA INTEGRAL

Prctica 12

PGINA 2 MATLAB: APLICACIONES DE LA INTEGRAL

horizontalesb.2)elvalordelreadelareginAintegrandorespectodey

CdigoMatlab

a) Considerandorectngulosverticaleseintegrandorespectodexsyms x a1=areaAproximada('x-1','-sqrt(3-x)',-1,2,16); hold on a2=areaAproximada('sqrt(3-x)','-sqrt(3-x)',2,3,7); aprox=a1+a2 %El punto de corte entre las dos curvas es x=-1, x=2 area_A=int((x-1)+sqrt(3-x),-1,2)+int(sqrt(3-x)+sqrt(3-x),2,3) dondesehautilizadolafuncinsiguienteenlaquesesupone,porsimplificarelcdigo,quef estporencimade g enelintervalo ,a b function area=areaAproximada(f,g,a,b,n) dx=(b-a)/n; area=0; hold on for i=1:n c=a+(i-1)*dx; h1=subs(f,c); h2=subs(g,c); h=h1-h2; area=area+dx*h; %Crea un rectngulo con un vrtice en el punto (c,0) de %ancho dx y de alto h if h>0 rectangle('position',[c h2 dx h],'FaceColor',[1 0.9 0.8]) end end xx=a:0.01:b; y1=subs(f,xx); y2=subs(g,xx); plot(xx,y1,'r','LineWidth',3) plot(xx,y2,'b','LineWidth',3) end

b) Considerandorectnguloshorizontaleseintegrandorespectodelavariable y syms y a1=areaAproximadaV('3-y^2','y+1',-2,1,16) %El punto de corte entre las dos curvas es y=-2, y=1 area_A=int((3-y^2)-(y+1),-2,1) dondesehautilizadolafuncinsiguienteenlaquesesupone,porsimplificarelcdigo,quef estporencimade g enelintervalo ,a b function area=areaAproximadaV(f,g,a,b,n)

PGINA 3 MATLAB: PRCTICA 12

dx=(b-a)/n; area=0; hold on for i=1:n c=a+(i-1)*dx; h1=subs(f,c); h2=subs(g,c); h=h1-h2; area=area+dx*h; %Crea un rectngulo con un vrtice en el punto (c,0) de %ancho dx y de alto h if h>0 rectangle('position',[h2 c h dx],'FaceColor',[1 0.9 0.8]) end end yy=a:0.01:b; x1=subs(f,yy); x2=subs(g,yy); plot(x1,yy,'r','LineWidth',3) plot(x2,yy,'b','LineWidth',3) end

2

readeunareginplanalimitadaporunacurvadefinidaporecuacionesparamtricas:

,x x t y y t ,t a b a)DibujarlalemniscatadeBernouillideecuaciones

2

2

cossen 1

sen cossen 1

a tx t

t

a t ty t

t

ycalcularelreaencerradapordichacurva.Nota:Laecuacincartesianadelalemniscataes

22 2 2 2 2x y a x y Estacurvasedefinecomoellugargeomtricodelospuntosdelplanocuyoproductodedistanciasadospuntosfijosesconstanteeigualalcuadradodelasemidistanciaentredichospuntos.b)Repetirelapartadoa)considerandolacicloidedeecuacionesparamtricas:

sen

1 cos

x R t t

y R t t

Nota:Estacurvaeslaquedescribeunachinchetaclavadaenunaruedaderadio R queavanzagirandosindeslizar.

PGINA 4 MATLAB: APLICACIONES DE LA INTEGRAL

c)Repetirelapartadoa)considerandolacardioidedeecuacionesparamtricas:

cos 1 cos

sen 1 cos 0, 2

x a t t

y a t t t

Nota:Laecuacincartesianadelacardioidees 22 2 2 2 2x ax y x y a siendoaunparmetro.Estacurvaeslaquedescribeunpuntofijodelbordedeuncrculoqueruedasindeslizarsobreotrodelmismoradio.

Unacurvadadaenparamtricaseselconjuntodepuntos ,x y delaforma

,

x x t

y y t t a b

Silasfunciones x e y tienederivadacontinuaentonces elrealimitadaporCyelejeOXes

'ba

y t x t dt elrealimitadaporCyelejeOYes

'ba

x t y t dt Accedealapgina

http://www.giematic.com/integralDef/laboratorios/parametricas.htmlparaverlarepresentacindelascurvasquesedefinenenesteejercicio.Observaque:

serecorretodalalemniscatacuando 0, 2t serecorreunciclodelacicloidecuando 0, 2t R serecorrelacardioidecuando 0, 2t

CdigoMatlab

syms a t %Lemniscata de Bernouilli x=a*cos(t)/(sin(t)^2+1); y=a*sin(t)*cos(t)/(sin(t)^2+1); lemniscata=4*int(abs(y*diff(x,t)),t,0,pi/2) %Cicloide syms R

PGINA 5 MATLAB: PRCTICA 12

x=R*(t-sin(t)); y=R*(1-cos(t)); cicloide=simplify(int(abs(y*diff(x,t)),t,0,2*pi)) %Cardioide x=a*cos(t)*(1+cos(t)); y=a*sin(t)*(1+cos(t)); cardioide=2*int(abs(y*diff(x,t)),t,0,pi)

ElsiguientecdigopermiterepresentarlacicloideconMatlab

function cicloide(a,k,m) % cicloide(a,k,m) dibuja 1 ciclo de la cicloide dada por (a(t-sen(t),a(1-cos(t)) % as como la circunferencia generatriz % cicloide(a,k) dibuja k ciclos de la misma cicloide t=0:.01:2*pi; if nargin==3 x=a*(t-sin(t)); y=a*(1-cos(t)); plot(x,y,'--r') axis equal hold on for i=0:2*pi/m:2*pi xc=a*cos(t)+i*a; yc=a*sin(t)+a; plot(xc,yc) px=a*(i-sin(i));py=a*(1-cos(i)); plot(px,py,'or') plot(i*a,a,'o') plot([i*a, px],[a,py]) pause(2) end else for n=0:k-1 x=a*(t-sin(t))+2*pi*n*a; y=a*(1-cos(t)); plot(x,y) axis equal hold on end end hold off

3reasplanasencoordenadaspolaresa) Calcularelreaencerradaporlacardioidedeecuacinpolar

1 cosa siendo a unnmeroreal.b) Calcularelreadelareginencerradaalavezenlacardioideyenla

circunferencia sena considerando 0a .Nota:Esteejercicioestresueltoanalticamentepasoapasoenlapginahttp://www.giematic.com/integralDef/ejercicios/Eareapol3.html

Accedealapgina

http://www.giematic.com/integralDef/laboratorios/polares.html

PGINA 6 MATLAB: APLICACIONES DE LA INTEGRAL

paraverlarepresentacindelasdoscurvasycomo serecorrenlacardioidecuando 0, 2 serecorrelacircunferenciacuando 0,

a) Paracalcularelreadelsectorlimitadoporlacurva ,continuaenelintervalo

1 2, ,ylosdosradiosvectoressecalculacomo: 21

212

A d

.

Enelcasodelacardioideser:

22 2 20

31 cos2 2a d a

CdigoMatlab:syms a phi rho=a*(1+cos(phi)); int(1/2*rho^2,phi,0,2*pi)

Puedesutilizarlafuncincardioide.mpararepresentarenMatlabestacurva.

b) Calculamoslospuntosdecortequesonpara2 y

Elreapedidaser:

/22 2 22 20 /2

sen 1 cos 12 2 2a ad d a

CdigoMatlab:syms a phi rho=a*(1+cos(phi)); rho1=a*sin(phi); puntos=solve(rho-rho1,phi) area2=int(1/2*rho1^2,phi,0,puntos(2))+ int(1/2*rho^2,phi,puntos(2),puntos(1)); pretty(simplify(area2))

PararepresentarlacardioideylacircunferenenciaconMatlabpuedesutilizarelsiguientecdigo:

function curvasp(a) % Representacin de la cardioide t=0:.01:2*pi; r=a*(1+cos(t)); polar(t,r) hold on % Bastara considerar t entre 0 y pi % para recorrer la circunferencia r=a*sin(t); polar(t,r,'r')

PGINA 7 MATLAB: PRCTICA 12

legend('r=a(1+cos(t)','r=a sin(t)') hold off

Ejerciciospropuestos

1 Lasuperficiedeunapartedeunamquinaeslareginentrelasgrficasde 1y x y 22 0.08y x k a) Encontrarksilaparbolaestangentealagrficade 1y b) Encontrarelreadelasuperficiedelapartedelamquina.

2

Demostrar,conayudadeMatlab,que:a) Elreadeunacircunferenciadecentro ,a b yradiores 2r .

Utilizandocoordenadascartesianas:Utilizandoecuacionesparamtricas

cos

sen 0, 2

x t a r t

y t b r t t

b) Elreadeunaelipsedecentro , ydesemiejesa yb es ab Utilizandocoordenadascartesianas:Utilizandoecuacionesparamtricas

cos

sen 0, 2

x t a t

y t b t t

3reasplanasencoordenadaspolaresa) Calcularelreadeunarosade 2n ptalosdeecuacin cos n

para 2n ypara 4n .b) Calcularelreadelasdosprimerasvueltasdelaespiralde

Arqumedesdeecuacin a con 0a c) Calcularelreadelareginrodeadaporunlazodelalemniscata

2 cos 2