PPTCEG028EM32-A15V1 Teorema de Euclides EM-32. Resumen de la clase anterior Teorema de Thales C D F...
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PP
TC
EG
028E
M32
-A15
V1
Teorema de EuclidesEM-32
Resumen de la clase anterior
Teorema de Thales
C
D
F
E
A
BL1
L2
L3
AB
AC=
DE
DF
BC
AC=
EF
DF
AB
BC=
DE
EF
L1 // L2 // L3
b
u
a
v =b
vu
a
D
Teorema de la bisectriz
CA B
CB
AC = m n
BA D
BDAD
=mn
A B C D
m
AC
CB= =
nAD
BD
División de un segmento
División interior División exterior División armónica
Aprendizajes esperados
• Aplicar el teorema de Euclides en el triángulo rectángulo en la resolución de ejercicios.
• Analizar la proporcionalidad de trazos en el triángulo rectángulo y la semejanza de triángulos en el triángulo rectángulo.
Pregunta oficial PSU
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2013.
1. Teorema de Euclides
1. Teorema de Euclides
Definición
Sea ABC un triángulo rectángulo en C, y CD = hc, la altura sobre la hipotenusa, entonces se cumple que el producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa es igual a la altura (hc) al cuadrado.
∙hc2 = p q
Además, se cumple que:
hc c= a·b a2 = c q ∙
b2 = c p∙
p: proyección del cateto AC sobre la hipotenusa
q: proyección del cateto BC sobre la hipotenusa
Ejemplo: De acuerdo a la figura, ¿cuál es el valor de CD y AC?
Aplicando Teorema de Euclides:
CD2 = AD ∙ DB∙ (Reemplazando)
CD2 = 4 3∙ (Aplicando raíz)
CD =
34
CD =
32
AC =
72
AC2 = AB ∙ AD (Reemplazando)
AC2 = 7 4∙ (Aplicando raíz)
1. Teorema de Euclides
1. Teorema de Euclides
Ejemplo:
En el triángulo ABC de la figura, AB = 15 cm y DB = 6 cm. ¿Cuánto mide
la altura CD?
Si la hipotenusa AB = 15 cm, entonces
AD = AB – DB = 9 cm.
Aplicando el teorema de Euclides:
CD2 = 9 · 6
CD = 54
CD = 3 6 cm
69 (Descomponiendo la raíz)
CD2 = AD · DB
1. Teorema de Euclides
Ejemplo:
En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura, AC = 5 10 cm y AD = 5 cm. ¿cuál es la medida del segmento DB?
A B
C
D
Aplicando teorema de Euclides:
(Reemplazando)AC 2 = AD AB
(5 10 )2 = 5 AB
25 10 = 5 AB
250 = 5 AB
50 cm = AB
(Desarrollando las potencias)
(Multiplicando)
(Despejando AB )
AB = AD + DB 50 = 5 + DB 45 cm = DB Luego,
Pregunta PSU
En el triángulo ABC de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
C
B
A
6
8D
I) CD = 24II) BC = 84III) AC = 112
A) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III
Pregunta PSU
El triángulo ABC es rectángulo en C y el trazo CD es altura.
CD 2 = BD DA
CD 2 = 6 8
CD 2 = 48
CD = 48
(Reemplazando)
(Multiplicando)
(Aplicando raíz cuadrada)C
B
A
6
8D
(Descomponiendo la raíz)
Analizando las afirmaciones:
I) Falsa, ya que al aplicar el teorema de Euclides:
Resolución:
CD = 4 3
Pregunta PSU
BC 2 = BA BD
BC 2 = 14 6
BC 2 = 84
BC = 84
(Reemplazando)
(Multiplicando)
(Aplicando raíz cuadrada)
II) Verdadera, ya que al aplicar el teorema de Euclides:
AC 2 = AB AD
AC 2 = 14 8
AC 2 = 112
AC = 112
(Reemplazando)
(Multiplicando)
(Aplicando raíz cuadrada)
III) Verdadera, ya que al aplicar el teorema de Euclides:
C
B
A
6
8D
Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas.
Pregunta PSU
En el triángulo ABC de la figura, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
C
B
A
6
8D
I) CD = 24II) BC = 84III) AC = 112
A) Solo IB) Solo I y IIC) Solo I y IIID) Solo II y IIIE) I, II y III
Habilidad: ASE
D
Pregunta oficial PSU
ALTERNATIVA CORRECTA
B
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2013.
Tabla de corrección
Nº Clave Unidad temática Habilidad
1 C Geometría de proporción Aplicación
2 C Geometría de proporción Aplicación
3 C Geometría de proporción Aplicación
4 C Geometría de proporción Aplicación
5 A Geometría de proporción Aplicación
6 D Geometría de proporción ASE
7 D Geometría de proporción ASE
8 B Geometría de proporción ASE
9 B Geometría de proporción Aplicación
10 C Geometría de proporción Aplicación
11 C Geometría de proporción Aplicación
12 D Geometría de proporción Aplicación
Tabla de corrección
Nº Clave Unidad temática Habilidad
13 E Geometría de proporción Aplicación
14 D Geometría de proporción Aplicación
15 E Geometría de proporción ASE
16 A Geometría de proporción ASE
17 D Geometría de proporción ASE
18 D Geometría de proporción Aplicación
19 D Geometría de proporción Aplicación
20 A Geometría de proporción Aplicación
21 D Geometría de proporción ASE
22 E Geometría de proporción Aplicación
23 C Geometría de proporción Aplicación
24 A Geometría de proporción ASE
25 C Geometría de proporción ASE
Síntesis de la clase
Teorema de Euclides
hc2 = p · q
a2 = q · cb2 = p · c
hc = a ∙ b c
Prepara tu próxima clase
En la próxima sesión, estudiaremos Teoremas de proporcionalidad en la
circunferencia
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Equipo Editorial Matemática
